解一元一次方程：方程式变形
数学方程式的知识点总结
数学方程式的知识点总结1. 什么是方程式方程式是数学中的重要概念，它是一个含有未知数的等式。
方程式可以用来描述各种各样的问题，如物理、化学、经济等领域中的问题。
方程式通常用字母表示未知数，并将它与已知数和运算符结合起来，通过这些数学符号的组合来描述各种现实世界中的问题，以及通过解方程式来解决这些问题。
例如，下面的方程式描述了一个简单的问题：2x + 3 = 7在这个方程式中，代表未知数，我们要找到一个值，使得这个等式成立。
解方程式的过程就是寻找满足这个条件的未知数的值。
解方程式是数学中的一个重要技巧，它是数学解题中的基本方法之一。
2. 方程式的基本性质方程式有一些重要的性质，我们需要了解这些性质，才能更好的理解和解决方程式的问题。
(1) 变形：方程式可以通过一系列等价变形，得到另一个等价的方程式。
这种变形包括交换两个数的位置，将一个数移到另一边等的运算等。
例如，下面的方程式可以通过将3移到等式的另一边，变成一个等价的方程式：2x = 7 - 3(2) 方程式的解：一个方程式的解就是满足这个方程式的未知数的值。
例如，上面的例子中，方程式2x + 3 = 7的解是x=2。
解方程式就是找出满足这个等式的未知数的值。
(3) 方程式的类型：方程式分为代数方程式、微积分方程式等。
在代数方程式中，未知数和已知数之间通过代数运算符结合。
在微积分方程式中，未知数和已知数之间通过微积分运算符结合。
不同类型的方程式有不同的解法和求解方法。
(4) 等式变形法则：求解方程式的过程中，我们通常会用到一些等式的变形法则，如交换两边的位置、合并同类项、移项等。
这些法则是解方程式的关键，需要熟练掌握。
3. 一元一次方程式一元一次方程式是最常见的方程式之一，它是形如ax+b=0的方程式，其中a和b是已知数，x是未知数。
一元一次方程式的解法比较简单，通常可以通过一些基本的代数运算来解决。
解一元一次方程式的一般步骤如下：(1) 将方程式化为标准形式：将方程式化为ax+b=0的形式；(2) 移项和合并同类项：将方程式中的未知数移到等式的一边，将常数移到等式的另一边；(3) 解方程：通过移项、合并同类项等运算，求出未知数的值，即为方程式的解。
新华东师大版七年级数学下册《6章 一元一次方程 6.2 解一元一次方程 等式的性质与方程的简单变形》教案_1
1.等式的性质与方程的简单变形第1课时由等式的性质到方程简单变形归纳导入复习导入类比导入悬念激趣同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．图6－2－1小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．现在认识一下天平，然后回答下列问题：问题1：天平有什么作用呢？它代表什么意义呢？问题2：要让天平平衡应该满足什么条件？问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着重(3x＋4)克的物体，右盘放着重4x克的物体，你知道怎样列式吗？问题4：已知方程4x＝3x＋4，你能求出x吗？[说明与建议] 说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾以前知识，提醒学生注意与新知识的对比．上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即方程，只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程的解，比如：5x＋4＝9.对于这样的方程：23x＝13，比较复杂，怎么解呢？要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质，才可以解决这个问题．[说明与建议] 说明：学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决目前的问题，学生遇到了困难，从而激发学生的求知欲，产生了克服困难的决心和信心，更能积极投入到新课的学习情境中去．建议：可让学生去解一下这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，是否能够找到解决办法．——教材第6页例1、例2 例1 解下列方程： (1)x －5＝7；(2)4x ＝3x －4. 例2 解下列方程： (1)－5x ＝2；(2)32x ＝13.【模型建立】利用等式的基本性质解方程就是通过对方程进行简单变形，使含未知数的项在一边，不含未知数的项在另一边，合并同类项后，两边同时除以未知数的系数即可．【变式变形】1．如果5a 3b 5与a 3b 6m －7是同类项，那么m 的值为( B )A ．－4B ．2C ．－2D ．42．当x ＝___3___时，代数式3x －7的值是2. 3．当k ＝__－12__时，方程5x －k ＝3x ＋8的解是－2. 4．解方程：(1)2－3x ＝5.[答案：x ＝－1] (2)－2x ＝6＋3x.[答案：x ＝－65](3)－35x ＋2＝－4.[答案：x ＝10] (4)－14x ＋1＝－2x ＋4.[答案：x ＝127][命题角度1] 等式的基本性质的应用此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，应用等式的基本性质对方程进行简单变形． 例 把方程12x ＝1变形为x ＝2，其依据是__等式的性质2__．[命题角度2] 移项的识别移项的依据是方程的变形规则1，这一变形过程不改变方程的解．注意：(1)移项的时候一定要变号；(2)移项不等于移动，在等号一边利用加法交换律移动的项不能改变符号；(3)移项不改变方程中项的数目，不要漏写任一项．例 解方程6x ＋1＝－4，移项正确的是( D ) A ．6x ＝4－1 B ．－6x ＝－4－1 C ．6x ＝1＋4 D ．6x ＝－4－1[命题角度3] 利用等式的基本性质解方程利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax ＝b 的形式，然后两边同时除以a 即可．例 [湖州中考] 方程2x －1＝0的解是x ＝__12__．[命题角度4] 与其他知识综合此类型试题检测学生的审题能力，并能根据题意准确列出式子，利用一元一次方程的解法求出有关字母的值．例 x 为何值时，代数式2x －3与－3x ＋7的值互为相反数？[答案：x ＝4] [命题角度5] 解决实际应用题列方程解决实际问题是本章的重点及难点，此类型考题注重考查学生的综合分析能力及解决问题的能力，要求学生能够读懂题意，找准等量关系，正确列出方程并求解．图6－2－2例 [金华中考] 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图6－2－2方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可做多少人？ (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？解：(1)4张餐桌：4×4＋2＝18(人)；8张餐桌：4×8＋2＝34(人)． (2)设这样的餐桌需要x 张，由题意得4x ＋2＝90，解得x ＝22. 答：这样的餐桌需要22张．练习1 P5 1．回答下列问题：(1)由a ＝b 能不能得到a －2＝b －2？为什么？ (2)由m ＝n 能不能得到－m 3＝－n3？为什么？(3)由2a ＝6b 能不能得到a ＝3b ？为什么？ (4)由x 2＝y3能不能得到3x ＝2y ？为什么？解：(1)能，根据等式的基本性质1，两边同时减去2. (2)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以－13.(3)能，根据等式的基本性质2，两边同时除以2. (4)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以6.2. 填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪一条等式性质得到的： (1)如果x －2＝5，那么x ＝5＋________； (2)如果3x ＝10－2x ，那么3x ＋________＝10； (3)如果2x ＝7，那么x ＝________； (4)如果x －12＝3，那么x －1＝________.解：(1)2，等式的基本性质1. (2)2x ，等式的基本性质1. (3)72，等式的基本性质2. (4)6，等式的基本性质2. 练习2 P71．下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由3＋x ＝5，得x ＝5＋3； (2)由7x ＝－4，得x ＝－74；(3)由12y ＝0，得y ＝2；(4)由3＝x －2，得x ＝－2－3.解：(1)错误，3由等号左边移项到等号右边没有改变符号． (2)错误，方程两边同时除以7，得x ＝－47.(3)错误，方程两边同时乘以2，得y ＝0.(4)错误，x 由等号右边移项到等号左边没有改变符号． 2．(口答)求下列方程的解： (1)x －6＝6； (2)7x ＝6x －4； (3)－5x ＝60； (4)14y ＝12. 解：(1)x ＝12. (2)x ＝－4. (3)x ＝－12. (4)y ＝2. 练习3 P8 1．解下列方程： (1)3x ＋4＝0； (2)7y ＋6＝－6y ； (3)5x ＋2＝7x ＋8； (4)3y －2＝y ＋1＋6y ； (5)25x －8＝14－0.2x ； (6)1－12x ＝x ＋13.解：(1)移项，得3x ＝－4. 两边同时除以3，得x ＝－43.(2)移项，得7y ＋6y ＝－6. 合并同类项，得13y ＝－6. 两边同时除以13，得y ＝－613. (3)移项，得5x －7x ＝8－2. 合并同类项，得－2x ＝6. 两边同时除以(－2)，得x ＝－3. (4)移项，得3y －y －6y ＝1＋2. 合并同类项，得－4y ＝3. 两边同时除以(－4)，得y ＝－34.(5)两边同时乘以20，得8x －160＝5－4x . 移项，得8x ＋4x ＝5＋160. 合并同类项，得12x ＝165.两边同时除以12，得x ＝554. (6)两边同时乘以6，得6－3x ＝6x ＋2. 移项，得－3x －6x ＝2－6. 合并同类项，得－9x ＝－4. 两边同时除以(－9)，得x ＝ 49.2．试解6.1节中问题1所列出的方程． 解：移项，得44x ＝328－64. 合并同类项，得44x ＝264. 两边同时除以44，得x ＝ 6. 习题6.2.1 P9 1．解下列方程： (1)18＝5－x ； (2)34x ＋2＝3－14x ； (3)3x －7＋4x ＝6x －2； (4)10y ＋5＝11y －5－2y ； (5)x －1＝5＋2x ；(6)0.3x ＋1.2－2x ＝1.2－2.7x . 解：(1)移项，得x ＝5－18. 合并同类项，得x ＝－13. (2)移项，得34x ＋14x ＝3－2.合并同类项，得x ＝1.(3)移项，得3x ＋4x －6x ＝7－2. 合并同类项，得x ＝5.(4)移项，得10y －11y ＋2y ＝－5－5. 合并同类项，得y ＝－10. (5)移项，得x －2x ＝5＋1. 合并同类项，得－x ＝6， 两边同时除以－1，得x ＝－6. (6)移项，得0.3x －2x ＋2.7x ＝1.2－1.2. 合并同类项，得x ＝0. 2．解下列方程： (1)2y ＋3＝11－6y ； (2)2x －1＝5x ＋7； (3)13x －1－2x ＝－1； (4)12x －3＝5x ＋14. 解：(1)移项，得2y ＋6y ＝11－3. 合并同类项，得8y ＝8. 两边同时除以8，得y ＝1.(2)移项，得2x －5x ＝7＋1. 合并同类项，得－3x ＝8. 两边同时除以－3，得x ＝－83.(3)移项，得13x －2x ＝－1＋1.合并同类项，得－53x ＝0.两边同时除以－53，得x ＝0.(4)移项，得12x －5x ＝14＋3.合并同类项，得－92x ＝134.两边同时除以－92，得x ＝－1318.3．已知A ＝3x ＋2，B ＝4－x ，解答下列问题： (1)当x 取何值时，A ＝B? (2)当x 取何值时，A 比B 大4?解：(1)根据题意，要求3x ＋2＝4－x 的解． 解这个方程得x ＝12.所以当x ＝12时，A ＝B .(2)根据题意，要求3x ＋2－(4－x )＝4的解． 解这个方程得x ＝ 32.所以当x ＝32时，A 比B 大4.专题一 一元一次方程1. 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1． 2. 某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )．A ．25％B ．40％C ．50％D ．66.7％ 3. 下面判断中正确的是 [ ]A ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(同解B ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(没有相同的解C ．方程x x x =-)32(的解都是方程132=-x 的解D ．方程132=-x 的解都是方程x x x =-)32(的解专题二 探究题4. 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数.例如[3.14]＝3,[－7.59]＝－8,则满足关系式[377x +]＝4的x 的整数值有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5. 现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的21，而九年前弟弟的年龄是哥哥年龄的51，则哥哥现在的年龄是___________岁．6.解方程：3x-1.10.4 －4x-0.20.3 ＝0.16-0.7x0.06状元笔记【知识要点】1.等式的基本性质：（1）等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.2.方程的变形规则：（1）方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；（2）方程的两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.3.方程的变形类型：（1）移项：依据方程的变形规则1，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形；（2）将未知数的系数化为1：依据方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数的变形.4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程.5.解一元一次方程的步骤： ①去分母 ②去括号 ③移项④合并同类项⑤化未知项的系数为1⑥检验方程的解一般不需答出，但要养成检验的习惯 6.列一元一次方程解应用题的步骤：①弄清题意，设未知数：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件，找等量关系：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程，列方程：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程.④解所得的方程：求解所列出的一元一次方程，并检验所求的解是否原方程的解、是否符合实际意义.⑤写出答语.【温馨提示（针对易错）】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等都不是一元一次方程.2.解方程时要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.【方法技巧】解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，将方程化为“x ＝常数”的形式，最后的“常数”就是方程的解. 答案1.【答案】D2.【答案】C ．【解析】设商品的进价为a 元，标价为b 元， 则80%b －a ＝20%a ，解得b ＝32 a ，原标价出售的利润率为b-aa ×100%＝50%3.【答案】D【解析】方程132=-x 的解是2=x；方程x x x =-)32(的解是0=x 和2=x ．因此，A .B ．C ．的判断都是错误的，只有D 判断正确． 4. 【答案】D 5. 【答案】12【解析】设弟弟年龄是x ，则哥哥年龄是2x ，则依题意有5（x －9）＝(2x －9)， ∴x ＝ 12.6. 【答案】解：原方程变形为 30x-114 －40x-23 ＝16-70x6去分母，得3×(30x －11)－4×(40x －2)＝2×(16－70x ) 去括号，得90x －33－160x ＋8＝32－140x 移项， 得90x －160x ＋140x ＝32＋33－8 合并， 得70x ＝57 系数化为1，得x ＝5770“方程的简单变形”学习点拨学习方程变形的依据及方程的两种简单变形，是为进一步学习解一元一次方程作铺垫。
小学一元一次方程的解法步骤
小学一元一次方程的解法步骤
在小学数学中，一元一次方程是一个基础但重要的概念。
解一元一次方程的过
程可以帮助我们学习如何运用代数知识解决实际问题。
下面将介绍一元一次方程的解法步骤，希望能帮助你更好地理解这一概念。
步骤一：理解一元一次方程的含义
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次幂为一的代数方程。
通常表示为ax+b=c，其中a、b和c分别是已知数。
解一元一次方程的过程就
是要找出未知数的值，使得等式成立。
步骤二：化简方程
解一元一次方程的第一步是化简方程，将方程中的各项合并并简化。
例如，如
果方程为2x+3=7，可以先将方程化简为2x=4。
步骤三：移项和消项
移项是指将方程中的项移动到等号的另一侧，消项是指将方程中的某些项相消。
在上面的例子中，移项是将3移动到等号右侧变为−3，得到2x=4−3。
接着可以
继续消项，得到2x=1。
步骤四：解方程
最后一步是解一元一次方程，求出未知数的值。
在这个例子中，我们可以将
2x=1中的2系数去掉，得到$x = \\frac{1}{2}$。
这样我们就求得了这个一元一次
方程的解。
通过以上步骤，我们可以看到解一元一次方程并不难，只需要按照一定的步骤
进行推导和计算，就可以得到方程的解。
希望这个简单的介绍能帮助你更好地理解一元一次方程的解法。
一元一次方程自动计算
一元一次方程自动计算一元一次方程自动计算是一种非常常见的数学计算方法，它可以帮助我们快速地求解一元一次方程。
而且，它的使用非常简单，只需要按照步骤操作即可。
下面，我将分步骤来阐述一元一次方程自动计算的使用方法。
第一步，确认方程式的类型首先，我们需要确认方程式的类型。
一元一次方程是指只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数为1的方程式。
在确认方程式的类型后，我们需要把方程式中所有的数值都整理到等号的一侧，把未知数放到另一侧。
这样，方程式就变成了“ax+b=c”的形式。
以“2x+5=9”为例，我们可以把方程式变形为“2x=9-5”的形式。
第二步，去“+”和“-”在确认了方程式的类型后，我们需要进行去“+”和“-”的操作。
这个步骤需要按照以下步骤来进行：1. 如果等式两边都有“+”，那么我们可以直接把它们合并。
2. 如果等式两边都有“-”，那么同样可以直接合并。
3. 如果等式两边一边为“+”，一边为“-”，那么我们需要把它们合并，并把“+”变为“-”。
以“2x=9-5”的式子为例，我们把它变成了“2x=4”的形式。
第三步，去“x”系数在第二步完成后，我们要去x系数。
这是指我们需要把方程式中的x的系数也就是2给除掉。
那么这个步骤该怎么来进行呢？操作步骤如下：1. 将每个系数除以其自身。
2. 将等号两侧的值直接相除。
以“2x=4”的式子为例，我们将2给除以，这样就得到了“x=2”的结果。
第四步，验证结果在得到了x的结果后，我们需要验证一下结果是否正确。
我们只需要把求得的结果代入到原方程式中，看看是否得到了正确的结果。
如果能够得到正确的结果，那么这个解就是正确的。
以“2x+5=9”的式子为例，我们把x=2代入到原式中，得到了“2×2+5=9”的式子。
经计算可得出结果2=2，验证结果正确。
总结一元一次方程自动计算是一种非常方便的数学计算方法，它可以帮助我们快速地求解一元一次方程。
在使用时，我们需要确认方程式的类型，把方程式中所有的数值都整理到等号的一侧，把未知数放到另一侧。
小学数学六年级上册教案：解方程的方法与技巧
小学数学六年级上册教案：解方程的方法与技巧解方程的方法与技巧解方程是小学六年级数学学习的重点之一，既涉及到基本的代数知识，又需要灵活运用数学思维和方法，因此很多同学在这方面会遇到一些困难。
本篇文章将详细介绍六年上册解方程的方法与技巧，供同学们参考。
一、解一元一次方程1.1 原理一元一次方程的一般形式为：ax+b=c，其中a、b、c都是已知数，x是未知数。
解方程的过程就是求出未知数x的值使得等式成立。
要解一元一次方程，可以运用两种主要的方法：以图形法和代数法。
1.2 图形法图形法是一种基本的解方程方法，它通过几何图形的方式来解决方程。
解一元一次方程时，把等式两边看成两调线段，转化成求相等长度，然后利用几何图形，选取合适的图形来解决问题。
通常利用平行四边形、三角形等图形求解。
1.3 代数法代数法是一种通用的解方程方法，它可以应用到各种类型的一元一次方程。
代数法是通过移项、相乘、去分、对等牵连等基本代数运算方法，将方程变成x=常数式、常数式x=常数式、常数式÷x=常数式等，从而得出解法。
还可以利用分配律、合并同类项、因式分解等代数方法进一步简化式子，尽可能让x的系数为1，使求解变得更加简单易懂。
1.4 解题技巧在解题时，需要注意以下几点：（1）方程两边进行的任何变形，都必须同步进行,确保等式两边都变化了。
（2）方程两边变化的符号必须相反。
（3）解出的结果必须带入原方程，验证等式是否成立。
（4）注意避免分母为0的情况。
（5）方程式中系数为整数时，方式好记，一般只需按基本代数运算法则逐步对变量x进行移动和运算即可。
上述技巧将大大方便同学们在解方程时的思维和操作。
二、解一元一次方程组2.1 原理一元一次方程组是由多个一元一次方程组成的，是一个比较高级的解方程形式。
解一元一次方程组的方法有代数解法和消元法两种。
2.2 代数解法代数解法就是通过我们刚才学过的代数知识，将方程组转换为一元一次方程求解，然后将解代入另一个方程中，不断验证得到结果。
解一元一次方程的基本思路
通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
合并同类项
合并同类项，把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝a/b
等式基本性质2Βιβλιοθήκη
解一元一次方程—方程的简单变形
用等式的性质解一元一次方程
例2 解下列方程： 2 解下列方程
(1) 4 x = –1 + 3 x (2)
x = –1
用等式的性质解一元一次方程
(举一例）解:(1)两边都减去3x，得 4x-3x=-1+3x-3x 合并同类项，得 x=-1
检验： 把x=-1代入方程4x=-1+3x中， 左边＝4×(-1)=-4，右边＝-1+3×(-1)=-4 因为左边＝右边，所以x=-1是方程的解。
1xx2623xx34xx312xx346xx221xx8xx3xx6xx13这节课我们利用天平原理得出了等式的这节课我们利用天平原理得出了等式的两个性质并初步学习了用等式的两个性质两个性质并初步学习了用等式的两个性质两个性质并初步学习了用等式的两个性质两个性质并初步学习了用等式的两个性质解一元一次方程
等式的基本性质2： 等式的基本性质 ： 等式两边都乘或除以同一 等式两边都乘 除以同一 个不等于0的数， 个不等于 的数，所得的结 的数 果仍是等式。 果仍是等式。
用等式的性质解一元一次方程
例1 解下列方程 1 解下列方程： (1) x + 5 = 2 (2) –2 x = 4
把求出的解代 入原方程，可 怎样检验 以检验解方程 解方程是 是否正确 否正确？
解 题 后 的 反 思
1.你是怎么解的？每一步的依据是什么？ 还有其他解法吗？ 2.怎样才叫做“方程解完了”？ 3.使用等式的两个性质对方程两边进行 “同加减”、“同乘除”的目的是什么？ 求方程的解就是将方程变形为x = a x a的形式
小 结：
问题一：能这样解方程吗？下面的解法错在 哪里？ 解方程 4x = 2x x x 解: 方程两边都除以x , 得 4＝2 x 问题二：你能利用等式性质把“－1＝ x”变形 为 “x ＝ －1 ”吗？ x
一元一次方程解法
一元一次方程解法一元一次方程是数学中最基本、最简单的方程形式之一。
其一般形式可以表示为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
解一元一次方程的基本原理是将未知数x的系数和常数项移到方程两侧，通过一系列的运算得到x的值。
下面将介绍一些常用的解法：1. 消元法：消元法是一种常用的解一元一次方程的方法。
它的基本思想是通过一系列的运算，使方程中含有未知数的项和常数项相互抵消，最终得到未知数的值。
例如，对于方程2x + 3 = 8，我们可以通过以下步骤来解方程：- 首先，将常数项3移到方程右侧，得到2x = 8 - 3。
- 接着，通过除以系数2，得到x = (8 - 3) / 2。
- 最后，计算得出x的值，即x = 2。
通过消元法，我们成功地解出了一元一次方程的解。
2. 相等法：相等法也是一种常用的解一元一次方程的方法。
它的基本原理是，将方程两边的表达式相等的性质利用起来，通过等式的性质进行变形和运算，最终求得未知数的值。
例如，对于方程4x - 5 = 7x - 3，我们可以通过以下步骤来解方程：- 首先，将未知数x的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，得到4x - 7x = -3 + 5。
- 接着，通过合并同类项，得到-3x = 2。
- 最后，通过除以系数-3，得到x = 2 / -3。
通过相等法，我们得到了一元一次方程的解。
3. 代入法：代入法是一种较为直接的解一元一次方程的方法。
它的基本思想是，将方程中的一个未知数用已知数表示出来，然后代入到另一个方程中，通过一系列的运算求得未知数的值。
例如，假设有两个方程2x + y = 5和3x - y = 1，我们可以通过以下步骤来解方程：- 首先，将第一个方程中的y用已知数表示出来，得到y = 5 - 2x。
- 接着，将y的表达式代入到第二个方程中，得到3x - (5 - 2x) = 1。
- 然后，通过合并同类项，得到5x = 6。
- 最后，通过除以系数5，得到x = 6 / 5。
(完整版)一元一次方程及其解法
一元一次方程及其解法1．一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．如：7－5x＝3,3(x＋2)＝4－x等都是一元一次方程．解技巧正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：①只含有一个未知数(元)；②未知数的次数都是一次；③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可．(2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解，也叫做方程的根．②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，假设方程左、右两边的值相等，那么它是方程的解．如x＝3是方程2x－4＝2的解，而y＝3就不是方程2x－4＝2的解．(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程．方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程．【例1－1】以下各式哪些是一元一次方程( )．11＝1；－1＝2；－5＝1；x2＋2x＋1A．S＝2ab；B.x－y＝0；＝0；D.2 x＋3＝0；＋2.解析：E中不含未知数，所以不是一元一次方程；G中未知数的次数是2，所以不是一元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有C，F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程．答案：CF【例1－2】x ＝－3是以下方程A ．－5(x －1)＝－4(x －2) ()的解．B ．4x ＋2＝11C ．3x ＋5＝5D ．－3x －1＝0解析：对于选项A ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝－5×(－3－1)＝20，右边＝－4×(－3－2)＝20，因为左边＝右边，所以x ＝－3是方程－5(x －1)＝－4(x －2)的解；对于选项B ，把x ＝－3代入所给方程的左右两边，左边＝4×(－3)＋2＝－10，右边＝1，因为左边≠右边，所以x ＝－3不是方程4x ＋2＝1的解，选项C ，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选A.答案：A2．等式的根本性质 (1)等式的根本性质①性质1：等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为：如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.②性质2：等式的两边都乘以 (或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式． 用式子形式表示为： 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a ＝b(c ≠0)．c c③性质3：如果a ＝b ，那么b ＝a.(对称性) 如由－8＝y ，得y ＝－8.④性质4：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c.(传递性) 如：假设∠1＝60°，∠2＝∠1，那么∠2＝60°.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．谈重点 应用不等式的性质的考前须知(1)应用等式的根本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上 (或减去)同一个数或同一个 整式，才能保证所得结果仍是等式． 这里特别要注意： “同时〞和“同一个〞，否那么就会破坏相等关系．(2)等式的根本性质2 中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别．(3)等式两边不能都除以 0，因为0 不能作除数或分母．【例2－1】以下运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的选项是()．5A ．假设4y ＋2＝3y －1，那么y ＝1B ．假设7a ＝5，那么a＝7C ．假设x＝0，那么x ＝2D ．假设x－1＝1，那么x －6＝12 6解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．A 根据等式的根本性质1，等式的两边都减去 3y ＋2，左边是y ，右边是－3，不是 1；C 根据等式的根本性质2，两边都乘以 2，右边应为 0，不是 2；D 根据等式的根本性质 2，左边乘以6，而右边漏乘 6，故不正确；只有B 根据等式的根本性质2，两边都除以7，得5 到a ＝7.答案：B【例2－2】利用等式的根本性质解方程：(1)5x－8＝12；(2)4x－2＝2x；(3)x＋1＝6；(4)3－x＝7.分析：利用等式的根本性质求解．先利用等式的根本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的根本性质2将未知数的系数化为 1.解：(1)方程的两边同时加上8，得5x＝20.方程的两边同时除以5，得x＝4.(2)方程的两边同时减去2x，得2x－2＝0.方程的两边同时加上2，得2x＝2.方程的两边同时除以2，得x＝1.(3)方程两边都同时减去1，得x＋1－1＝6－1，∴x＝6－1.x＝5.(4)方程两边都加上x，得3－x＋x＝7＋x,3＝7＋x，方程两边都减去7，得3－7＝7＋x－7，∴－4＝x，即x＝－4.3.解一元一次方程(1)移项①移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的根本性质1.②移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．③移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程．即对移动的项进行变号的过程，如，－ 2－3x＝7，把－2从方程的左边移到右边，－2在原方程中前面带有性质符号“－〞，移到右边后需变成“＋〞，在移动的过程中同时变号，没有移动的项那么不变号．所以由移项，得－3x＝7＋2.④要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变．如，3＋5x＝1，把3从方程的左边移到右边要变号，得5x＝1－3，是属于移项；而把5x－15x＋11x＝11变成5x＋11x－15x＝11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号．辨误区移项时应注意的问题在移项时注意“两变〞：一变性质符号，即“＋〞号变为“－〞号，而“－〞号变为“＋〞号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边．(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据考前须知方程左右两边的每一项不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式去分母都乘以各分母的最小公等式的根本性质2倍数的去掉分母后，要加小括号不要漏乘括号内的去括号可由小到大，或由大到分配律；去括号的项；括号前是“－〞小去括号法那么号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项就是将方程中的某移项些项改变符号后，从方等式的根本性质1移项要变号程的一边移到另一边将方程化为ax＝b的最合并同类项的法那么只将系数相加，字母合并同类项及其指数不变简形式方程的左右两边同时除化系数为1以未知数系数或乘以未等式的根本性质2分子、分母不能颠倒知数系数的倒数解技巧巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了防止错误，可将解出的结果代入原方程进行检验．【例3－1】以下各选项中的变形属于移项的是A．由2x＝4，得x＝2B．由7x＋3＝x＋5，得7x＋3＝5＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9解析：选项A是把x的系数化成1的变形；选项()．B中x＋5变成5＋x是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a＝b，那么b＝a〞所作的变形．所以变形属于移项的是选项C.答案：C【例3－2】解方程2－x－5＝x－1 34.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数12，去掉分母得4(2－x)－60＝3(x－1)，再按照步骤求解，特别注意－5不能漏乘分母的最小公倍数12.解：去分母，方程两边都乘以12，得4(2－x)－60＝3(x－1)．去括号，得8－4x－60＝3x－3.移项，得－4x－3x＝－3－8＋60.合并同类项，得－7x＝49.两边同除以－7，得x＝－7.4．解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程．一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的根底．解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x＝a(a是一个数)．复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的．方程中假设含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中假设含有小数或百分数，就要根据分数的根本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算．要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数．【例4】解方程－9x－5＝＋－.2－9＋分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的根本性质把－910，变为4x－90＋小数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以5，在式子的分子、分母中都乘以100，变为3＋2x3，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解．解：分母整数化，得4x－90x－53＋2x5－2＝3.去分母，得6(4x－90)－15(x－5)＝10(3＋2x)．去括号，得24x－540－15x＋75＝30＋20x.移项，得24x－15x－20x＝540－75＋30.合并同类项，得11x＝495.两边同除以－11，得x ＝－45. 5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点．解题的关键是理解方程的解的概念．(1)方程的解求字母系数：假设方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，那么得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值．同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值．【例5－1】关于x 的方程3x ＋5＝0与3x ＋3k ＝1的解相同，那么 k ＝()． 4 4A ．－2B ．3C ．2D ．－ 35解析：解方程3x ＋5＝0，得x ＝－.35将x ＝－3代入方程3x ＋3k ＝1，得－5＋3k ＝1，解得k ＝2，故应选 C.答案：C【例5－2】假设关于x 的方程(m －6)x ＝m －4的解为x ＝2，那么m ＝__________.解析：把x ＝2代入方程(m －6)x ＝m －4，得(m －6)×2＝m －4，解得m ＝8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤， 去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1，可有些一元一次方程，假设能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，那么不但可以提高解题速度与准确性， 而且还可以使解题过程简捷明快， 下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧．有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法．(2)对于一些含有分母的一元一次方程，假设硬套解题的一般步骤，先去分母那么复杂繁琐，假设根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，那么使运算显得简捷明快．有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便．巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣． 【例6－1】解方程 34 1 1 －4 ＝3x ＋1. x － 443 2 2 3 4 3 3 4 1 1 3分析：注意到4×3＝1，把4乘以中括号的每一项，那么可先去中括号，4×3 2x － 4－4×4＝3x ＋1，再去小括号为 1x － 1－3＝3x ＋1，再按步骤解方程就非常简捷了．2 2 4 2解：去括号，得1 1 32x －4－3＝2x ＋1.17移项，合并同类项，得－x ＝ 4.17两边同除以－1，得x ＝－4.【例6－2】解方程x ＋3－x ＋2＝x ＋1－x ＋47 5 6 4.分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但此题假设直接去分母，那么两边乘以最小公倍420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，5x ＋3－7x ＋22x ＋1－3x ＋4数 35＝12，把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解．5x＋3－7x＋22x＋1－3x＋4.化简，得－2x＋1解：方程两边分别通分，得＝1235＝35－x－10.12去分母，得12(－2x＋1)＝35(－x－10)．去括号，得－24x＋12＝－35x－350.移项、合并同类项，得11x＝－362.362两边同除以11，得x＝－11.7．列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可．(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值．列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系．再列出方程，解方程从而求出字母的取值．谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可开掘隐含的条件，列一元一次方程解题，开掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学根底知识．【例7－1】(1)当a＝__________时，式子2a＋1与2－a互为相反数．(2)假设6的倒数等于x＋2，那么x的值为__________．解析：(1)根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a＋1＋(2－a)＝0，解得a ＝－3；(2)由倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6(x＋2)＝1，解11得x＝－6.11答案：(1)－3(2)－6【例7－2】x＝－2是方程x－k＋3k＋2－x＝x＋k的解，求k的值．362分析：把x＝－2代入原方程，原方程就变成了以k为未知数的新方程，解含有未知数k的方程，可以求出k的值．解：把x＝－2代入原方程，得－2－k3k＋2－(－2)＝－2＋k3＋62.去分母，得2(－2－k)＋3k＋2－(－2)×6＝3(－2＋k)．去括号，得4－2k＋3k＋2＋12＝－6＋3k.移项、合并同类项，得2k＝－16.方程两边同除以－2，得k＝8.课后作业黑体小四【题01】以下变形中，不正确的选项是〔〕A．假设x25x，那么x5．B．假设7x7,那么x1．C．假设x1x，那么10x1x．D．假设xy，那么ax ay．2a a【题02】以下各式不是方程的是〔〕A．y2y 4B．m2nC．p22pq q2D．x0【题03】解为x2的方程是〔〕A．2x40B．5x362C．3(x2)(x3)5x D．x27x5462n23(n4)0是一元一次方程，求n的值．【题04】假设关于x的方程2x【题05】(2m3)x 2．(23m)x1是关于x的一元一次方程，那么m【题06】假设关于x的方程(2 |m|)x2(m 2)x (5 2m) 0是一元一次方程，求m的解．【题07】假设关于x的方程(k2)x k1．5k0是一元一次方程，那么k=【题08】假设关于x的方程(k2)x k15k0是一元一次方程，那么k=．假设关于x 的方程(k2)x24kx5k0是一元一次方程，那么方程的解x=．【题09】(3a8b)x25bx7a0是关于x的一元一次方程，且该方程有惟一解，那么x 〔〕A．21B．214040C．56D．561515【题10】解方程：1(33x) 52【题11】解方程：1 (4y) 3【题12】解方程：x x123(25x)3641(y3)42x233【题13】解方程：2x15x11 36【题14】解方程：1x 10.2x)1x31 (x4)【题15】解方程：35x19【题16】解方程：x 【题17】解方程：x14213【题18】解方程：2[x(x)]x3324【题19】解方程：1[1(1x1)6]20 343。
学习技巧掌握解一元一次方程的快速方法
学习技巧掌握解一元一次方程的快速方法学习技巧：掌握解一元一次方程的快速方法解一元一次方程是初中数学学习中的一项基本技能，也是后续数学学习的基础。
掌握解一元一次方程的快速方法能够帮助我们在解题过程中节省时间，提高效率。
本文将介绍一些学习技巧，帮助大家快速掌握解一元一次方程的方法。
一、理解一元一次方程在学习解一元一次方程之前，我们首先要明确一元一次方程的概念。
一元一次方程又称为一次方程，是指方程中只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1。
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0（其中，a和b为已知常数，a≠0）。
二、变量的归并与消除在解一元一次方程的过程中，我们需要将方程中的变量归并到等号一边，将常数项归并到等号的另一边。
通过这一步骤，我们可以使得方程变为形如：ax = b的简化形式。
举例说明：例题1：2x - 5 = 3x - 1解法：通过变量的归并与消除，我们可以将方程变形为：2x - 3x = -1 + 5。
进一步简化得到：-x = 4。
例题2：-3x + 7 = x - 1解法：将方程变形为：-3x - x = -1 - 7。
进一步简化得到：-4x = -8。
三、移项与合并同类项在解一元一次方程之前，我们需要先移项，将含有未知数的项移至等号的另一边。
同时，我们还需要合并同类项，将具有相同未知数的项合并成一个整体。
举例说明：例题1：2x + 3 = 5x - 2解法：通过移项与合并同类项，我们可以将方程变形为：2x - 5x = -2 - 3。
进一步简化得到：-3x = -5。
例题2：-4x - 2 = 2x + 3解法：将方程变形为：-4x - 2x = 3 + 2。
进一步简化得到：-6x = 5。
四、求解未知数经过上述步骤，我们已经将一元一次方程化简为了ax = b的形式。
接下来，我们可以通过除以a的方式求解未知数x。
举例说明：例题1：-x = 4解法：由于-x = 4，我们可以将方程两边同时除以-1，得到：x = -4。
【数学知识点】一元一次方程定义及解法
【数学知识点】一元一次方程定义及解法一元一次方程是初中最常见也是最基本的方程，接下来大家分享一元一次方程定义及解法。
一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，叫做一元一次方程。
求出方程中未知数的值叫做方程式的解。
一元一次方程是一种线性方程，且只有一个根。
判断一元一次方程的条件(1)首先必须是方程。
(2)其次必须含有一个未知数。
(3)分母中不含有未知数。
求根公式法对于关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)，其求根公式为：x=-b/a.推导过程ax+b=0ax=-bx=-b/a.一般方法(1)去分母：去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
(2)去括号括号前是"+",把括号和它前面的"+"去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
括号前是"-",把括号和它前面的"-"去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
(改成与原来相反的符号，例：-(x-y)=-x+y。
(3)移项：把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
(4)合并同类项合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
通过合并同类项把一元一次方程式化为最简单的形式：ax=b (a≠0)(5)系数化为1设方程经过恒等变形后最终成为ax=b型(a≠1且a≠0)，那么过程ax=b→x=b/a叫做系数化为1。
这是解方程的一个通用步骤，就是解方程最后一个步骤。
即方程两边同时除以未知项的系数.最后得到x=a的形式。
先和方程照个面，看看方程长啥样。
去分母，剥括号，分母括号要去掉。
去分母，莫急躁，先把分母倍数找。
两边同乘公倍数，谨防漏乘某一处。
约去分母括号补，再去括号障碍除。
去括号，有讲道，确定是否要变号。
正括号，白去掉，括号里面要照抄。
七年级华师大版下册：6.2 解一元一次方程 6.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第2课时 方程的简单变形
(3)－7x＝21; (4)－3x＝3. 22
9．方程 3x－4＝1＋2x，移项，得 3x－2x＝1＋4，也可以理解为方程两边同时( A )
A．加上(－2x＋4) B．减去(－2x＋4)
C．加上(2x＋4) D．减去(2x＋4)
第6章 一元一次方程
6.2 解一元一次方程 6.2.1 等式的性质与方程的
第2课时简单方变程的形简单变形七年级下册·数学·来自华师版1．方程的变形规则：
(1)方程 两边都 ___加__上___(或都 减去)同一 个_数___ 或同 一个__整__式___， 方程的 解 __不__变_；
(2)方程两边都___乘___以__(或都除以)同一个___不__等___于__0的数，方程的解__不__变__． 练 习 1 ： (1) 方 程 3x ＝ 2x ＋ 1 两 边 都 减 去 ____2_x___ ， 得 __x_＝___1， 其 根 据 是 _方__程__的___变__形_；规则1 (2)方程 2x＝6 两边都除以___2_____，得__x_＝___3_，其根据是_方___程__的___变__形__规__.则2 2．将方程中的某些项改变__符__号__后，从方程的一边移到另一边，像这样的变形 叫做__移__项__．
2
解：解方程－2x－4＝0，得 x＝－6，则另一个方程的解为 x＝－6＋2＝－4.将 x＝－4 3
代入方程 3x＋a＝2x－3a，得－12＋a＝－8－3a，解得 a＝1.
17．我们规定：若关于 x 的方程 ax＝b 的解为 x＝b－a，则称该方程是“差解方程”．例
如：2x＝4 的解为 x＝2，且 2＝4－2，则 2x＝4 是“差解方程”．
解方程式练习题300题
解方程式练习题300题解方程式是数学中的重要内容之一，通过解方程可以找到数值或变量的解。
在数学学习过程中，掌握解方程的方法和技巧对于提高数学能力至关重要。
本文将提供300个解方程式的练习题，帮助读者巩固解方程的知识和技能。
一、一元一次方程1. 解方程：2x + 5 = 13解：首先将方程式变形为：2x = 13 - 5 = 8然后将等式两边除以2，得到：x = 8/2 = 4所以方程的解为x = 4。
2. 解方程：3(x - 1) = 12解：首先将方程式拆分为：3x - 3 = 12然后将等式两边加上3，得到：3x = 12 + 3 = 15最后将等式两边除以3，得到：x = 15/3 = 5所以方程的解为x = 5。
3. 解方程：4 - 2x = 6解：首先将方程式变形为：-2x = 6 - 4 = 2然后将等式两边除以-2，得到：x = 2/(-2) = -1所以方程的解为x = -1。
4. 解方程：2(x + 3) - 4 = x + 5解：首先将方程式拆分为：2x + 6 - 4 = x + 5然后将等式两边合并，得到：2x + 2 = x + 5然后将等式两边减去x，得到：x + 2 = 5最后将等式两边减去2，得到：x = 5 - 2 = 3所以方程的解为x = 3。
5. 解方程：3(x - 2) + 4x = 2(x + 1) + 5解：首先将方程式拆分为：3x - 6 + 4x = 2x + 2 + 5然后将等式两边合并，得到：7x - 6 = 2x + 7然后将等式两边减去2x，得到：7x - 2x - 6 = 7最后将等式两边加上6，得到：5x = 13最后将等式两边除以5，得到：x = 13/5所以方程的解为x = 13/5。
二、一元二次方程1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0解：首先将方程式拆分为：(x - 3)(x - 2) = 0然后使用零乘法，得到两个解：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解得：x = 3 或 x = 2所以方程的解为x = 3或x = 2。
五招助你巧解一元一次方程
五招助你巧解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
在每一个步骤中，倘若我们能根据方程的特点巧妙变形，则可以使得解题过程更简便。
下面本文结合例题介绍五招巧解一元一次方程的重要策略，供同学们借鉴：第一招：紧扣等式的基本性质，在方程的两边同时乘以x 项原系数的倒数，使其系数巧妙化为1。
例1解方程：3125.0=-x解：原方程的两边同时乘以8-得24-=x评注：在系数化为1时，有些同学往往因为漏掉“负数的倒数的符号”而出错，应引起我们高度的警惕。
对应练习1解方程：5.425.0=-x第二招：当原方程的各分母是小数时，可以利用分数的基本性质把它们化成整数“1”，从而巧妙去分母。
例2解方程：1.02.12.08.055.05.14x x x -=--- 解：依题意，对第一项分子和分母同时乘以2，第二项分子和分母同时乘以5，第三项分子和分母同时乘以10，则原方程可以化为x x x 101242538-=+--，移项合并同类项得117=-x 解得711-=x 评注：分数的基本性质是巧解分母是小数的一元一次方程的重要依据，而其求解的关键是使原方程的各个分母化为“1”，从而简便运算。
但是，在求解的过程中，要注意原方程在去分母时，其分子是否需要变号的问题。
对应练习2解方程：25.0225.012=--+x x 第三招：根据各类括号内外系数的特点，改变去括号的一般顺序，从而简便运算。
例3解方程：1}8]6)432(51[71{91=++++x 解：原方程两边同时乘以9得98]6)432(51[71=++++x 整理得1]6)432(51[71=+++x 对此方程两边同时乘以7得76)432(51=+++x 整理得1)432(51=++x 再对此方程两边同时乘以5得5432=++x 整理得132=+x 最后对此方程两边同时乘以3得32=+x 解得1=x 评注：去括号的一般顺序是从内到外。
解读一元一次方程中的转化思想
读一元一次方程中的转化思想是数学中最基本最重要的数学思想方法．它的实质是将未知的问题已知化，复杂的问题简单化，生疏的问题熟悉化，抽象的问题具体化，实际的问题数学化，最终使问题得以解决．下面讲讲转化思想在一元一次方程中的应用．一、利用性质、法则转化例1解方程手+与≥=簪解：去分母，得7髫+3(髫一1)=8并一l；去括号，得：7x+3x一3=8冤一1：移项，合并得2z=2；化系数为l，得z=1．评注解一元一次方程的过程，实质上就是利用等式性质(去分母、移项得)和法则(去括号、合并同类项)将原方程转化成新的更简单的方程的过程，最后以最简形式戤=6(口≠O)出现，从而求出方程的解茗=旦(口≠0)，这种转化思想，在以后学习形式更复杂的方程，将体现得更加突出．在学习过程中一定要体会这种转化思想二、整体转化例2解方程÷(z一5)=3一÷(髫一5)．分析将(并一5)看成一整体，方程可视为关于(并一5)的一元一次方程，那么可直接移项、合并、运算、避免去分母、去括号的运算．解：移项。
得÷(石一5)+÷(z一5)=3；合并，得：聋一5=3：．’．菇=8评注用整体思想转化，回避去分母，去括号的运算，从而巧解方程．今后在解题中善于抓住方程的特点，从整体出发，可出奇制胜，简化一些不必要的运算．三、换元转化例3解方程3{2髫一l一[3(2z一1)+3]}=5分析按先去小、中、大括号后。
再进行合并，移项转化思想嗯缝令；瓤堕…．趣裴童剩刿．壹型．俎匿…燕蠢煮…喹戛峰运算，计算量大且易出错，抓住(2善一1)这个整体。
用换元法可简化运算．解：令(2茗一1)=t，则方程变形为：3[t一(3￡+3)]=5；去小括号，得3(一2l一3)=5；'．’．一6t一9=5；t=一÷；1，即2互一l=一{一；．‘．算=一÷评注抓住(2并一1)这一整体换元，不仅简化方程的形式，而且省去大括号运算，从而巧解方程．四、设元转化设元转化主要体现在解决实际问题时，通过设未知数，将实际问题转化成一元一次方程来求解．例4某商场将彩电按原价提高40％，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少?分析假设每台彩电原价是茗元，则提高40％后为(1+40％)并元，八折为(1+40％)茹·80％，也就是现售价为(1+40％)算·80％元．解：设每台彩电原价为菇元，根据售价比原价差为270，列方程，得：并(1+40％)·80％一茹=”0，解得茹=2250．例5如图，已知线段A B上有两点c、D，A c：C D=2：5；A D：加=5：6，CD=13，求A8．^C口口解：设A曰=茗，由Ac：c日=2：5，得：A c=÷石，c8=争，同理AD=齐，肋=年；由图形中等量关系cD=气々A D—A c，列方程夺一争213，解得茗=77·评注通过设未知数将实际问题中的数量关系转￡懿一一一一一一一一一一一一一一一一一一一·化为一元一次方程，将求几何图形的长度转化为求解一元一次方程五、数形结合转化数形结合转化主要体现就是用方程解应用题时，用数形结合的方法分析实际问题．借助画出的几何图形，让各个数量关系，十分清晰地展现在我们面前，从而速列方程，解决问题．克服实际问题具有抽象性、严谨性造成难找等量关系，即使找到相等关系，在分析各个量之间关系时，顾此失彼，丢三落四的现象．即抽象的问题具体化．例6某班有学生45人，选举2人作为学生会干部候选人，结果有40人赞成甲，37人赞成乙，对甲、乙都不赞成的人数是都赞成人数的音，问都赞成和都不赞成的人数各是多少?分析题中数量关系较抽象，不明显，难找等量关系，可借助下面图形分析．解：如图大圆表示赞成甲的人数，小图表示赞成乙的人数，两圆相交部分表示都赞成人数，长方形表示班级总人数45人，则阴影部分表示不赞成人数，设赞成人数为石，则都不赞成为扣人．由图形列方程：(40一茹)+(37一并)+并+寺石=45．解得茗=36；寺=4(人)．评注解应用题最好能画出图形(如线段图、列表)，借助直观，帮我们分析问题．六、用方程的概念转化例7如果4茹2+3省一5=‰2—2m+20矗是关于并的一元一次方程，那么，矗=——，方程的解是解析要判断方程是否是一元一次方程，首先应化为最简形式，原方程化为：(4一||})聋2+23茹+(一5—20||}) =o，由定义知4一后=o，l|}=4，把矗=4代人，解得戈=簧评注方程未知，要求解方程看似不可能，借方程的概念，化未知为已知，从而解决问题．七、用方程解的定义转化例8若关于茹的一元一次方程垒≠一生喾：1的解是戈=一l，则后=一解析将茹：一1代人得，二等生一二与逊：1，解得l|}=1评注由方程解的定义，代入原方程，将问题转化成关于l|}的一元一次方程．(上接7页)例12求证口3+÷口2+÷口一l对任何正整数Ⅱ都是整数，且被3除余2简析原式=÷[(口3+3n2+2口)+(83一口)一6] +2=÷[口(口+1)(口+2)+(Ⅱ一1)o(Ⅱ+1)一6]+2．又‘．’三个连续自然数的积必定是2和3的倍数，则一定能被6整除．习§么Ⅱ(Ⅱ+1)(o+2)+(口一1)a(口+1)一6是6的整数倍，且对于任何正整数n都是整数．则÷[n(口+1)(口+2)+(o一1)o(口+1)一6]是3的倍数．于是÷[8(口+1)(口+2)+(口一1)口(a+1)一6]+2被3除的余数是2．评注这类问题往往对原式先进行因式分解或局部因式分解为以茗)=A·曰或八髫)=A·口+P形式，其中A，日的次数低于八戈)的次数，口的次数低于A(鳓的次数，即余数为口，当n=0时以茹)能被A(B)整数，这是带有整除，余数问题的常用廨法．六、其他例13口，6，c为实数，且÷+÷+÷=了丢焉求证口，6，c中至少有两个互为相反数．简析‘．‘口，6，c都≠o'．．．尘!竽=了a鬲√．(o+6+c)(口6+6c+c口)=n6c，．·．口26+口62+矿c+nc2+ 6c2+6c2+2口6c=O，．·．(口+6)(6+c)(c+口)=O，．·．o+6 =0或6+c=O或c+o=0，则口，6，c中至少有两个数互为相反数．颡霹。
用求根公式解一元一次方程
解方程：2x²-5x+1=0 解方程：ax²+bx+c=0
求根公式
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0)，
当b²-4ac≧0时，它有两个实数根：
x1= b b2 4ac x2= b b2 4ac
2a
2a
这就是一元二次方程ax²+bx+c=0 （a≠0)的求根公式。
用配方法解一元二次方程
1、2x²-4x-1=0 2、x²+1.5=-3x 3、x²-√2x+0.5=0
总结配方法的步骤
1、移项 2、化二次系数为1 3、方程两边都加上一次项系数的一半的平方 4、原方程变形为（x+m）²=n的形式 5、如果右边是非负数，就可以直接开平方求
开动你的脑筋，动手编辑一个 一元二次方程，请你的同伴回 答。
作业：教材四十五页 习题22.2 复习巩固 第四题
x= b b2 4ac = 1 17
2a
2
x1= 1 17 2
x2= 1 17 2
3、解方程：x²-4x+4=0
解：原方程中a=1,b=-4,c=4 b²-4ac=（-4）²-4×1×4 =0
x= b b2 4ac =
2a
x=2
4 0 4
4、解方程：2x²+x+2=0
解：原方程中a=2,b=1,c=2 b²-4ac=1²-4×2×2 =-15
x= b b2 4ac
2a
x1= 1 15
4
= 1 15
4
x2=
1 15 4
面对小马虎的马虎 你想到了一些什么?
初中数学 方程的变形如何应用于解一元一次方程
初中数学方程的变形如何应用于解一元一次方程解一元一次方程是初中数学中的基本内容，方程的变形是解一元一次方程的关键步骤之一。
下面将详细介绍如何应用方程的变形来解一元一次方程。
一元一次方程的标准形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的目标是求出使得方程成立的x的值。
解一元一次方程的步骤如下：1. 根据方程的标准形式，将方程中的常数项b移到方程的另一侧，得到ax = -b。
2. 如果方程中的系数a不等于1，可以通过除以a来得到简化形式，即x = -b/a。
如果a等于1，则不需要进行这一步骤。
通过上述步骤，我们可以得到一元一次方程的解。
下面将通过具体的例子来说明方程的变形在解一元一次方程中的应用。
例子1：解方程3x + 2 = 8。
首先，将常数项2移到方程的另一侧，得到3x = 8 - 2，即3x = 6。
然后，将方程中的系数3除以3，得到x = 6/3，即x = 2。
所以，方程3x + 2 = 8的解为x = 2。
例子2：解方程2(3x - 1) = 5x + 4。
首先，根据分配律将方程中的括号展开，得到6x - 2 = 5x + 4。
然后，将常数项-2移到方程的另一侧，得到6x = 5x + 4 + 2，即6x = 5x + 6。
接下来，将方程中的系数6和5相减，得到x = 6。
所以，方程2(3x - 1) = 5x + 4的解为x = 6。
通过以上例子可以看出，方程的变形是解一元一次方程的关键步骤。
通过合并同类项、移项、去括号等变形方法，可以将方程转化为更简单的形式，从而求解出未知数的值。
除了基本的方程变形方法，还可以应用其他技巧来解一元一次方程，如消元法、代入法、图解法等。
这些方法都是基于方程的变形原理，通过适当的变形和运算，可以得到方程的解。
总结起来，方程的变形在解一元一次方程中起着至关重要的作用。
通过掌握方程的变形方法，我们可以更快、更准确地解决一元一次方程的问题，并提高数学解题能力。
公式法解一元一次方程
25
10
28
5
x1
6 5
;
x2
2.
用a,b,c写出各 项系数;
3.计算: b24ac的值;
4.代入:把有 关数值代入公 式计算;
5.定根:写出 原方程的根.
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解:
a=2 b=5 c= -3
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2)
= 24.
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6, x2= 2 6 .
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0)
练习：用公式法解方程
2x2+x-6=0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方 程x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
这里的a、b、 c的值是什么？
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的解为：
x1 b
b2 2a
4ac , x2
b
b2 4ac 2a
x1 x2
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6.2解一元一次方程
1．方程的简单变形
教学目的 :
通过天平实验，让学生在观察和思考的基础上理解归纳出方程的两种变形，并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。
重点、难点
1．重点：方程的两种变形。
2．难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。
教学过程
一、引入
上一节课我们学习了列方程解简单的应用题，列出的方程有的我们不会解，我们知道解方程就是把方程变形成x＝a形式，本节课，我们将学习如何将方程变形。
二、新授
让我们先做个实验，拿出预先准备好的天平和若干砝码。
测量一些物体的质量时，我们将它放在天干的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等。
如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡。
如果把天平看成一个方程，课本第4页上的图，你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗?
让同学们观察图6.2.1的左边的天平；天平的左盘内有一个大砝码和
2个小砝码，右盘上有5个小砝码，天平平衡，表示左右两盘的质量相等。
如果我们用x表示大砝码的质量，1表示小砝码的质量，那么可用方程x+2＝5表示天平两盘内物体的质量关系。
问：图6.2.1右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所表示的方程如何由方程x+2＝5变形得到的?
学生回答后，教师归纳：方程两边都减去同一个数，方程的解不变。
问：若把方程两边都加上同一个数，方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去)同一个整式呢?
让同学们看图6.2.2。
左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x＝2x+2，右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?
把天平两边都拿去2个大砝码，相当于把方程3x＝2x+2两边都减去2x，得到的方程的解变化了吗?如果把方程两边都加上2x呢?
由图6.2.1和6.2.2可归结为；
方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
让学生观察(3)，由学生自己得出方程的第二个变形。
即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变：
通过对方程进行适当的变形．可以求得方程的解。
例1．解下列方程
(1)x－5＝7 (2)4x＝3x－4
解：(1) 两边都加上5，得x＝7+5 即 x＝12
(2) 两边都减去3x，得x＝3x－4－3x 即 x＝－4
请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3与原方
程4x＝3x－4比较，你发现了这些方程的变形。
有什么共同特点?
这就是说把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
注意：“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先变号后移项。
例2．解下列方程 (1)－5x＝2
(2) 3/2x＝1/3
这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。
以上两个例题都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的形式。
练习：
课本第6页练习1、2、3。
练习中的第3题，即第2页中的方程①先让学生讨论、交流。
鼓励学生采用不同的方法，要他们说出每一步变形的根据，由他们自己得出采用哪种方法简便，体会方程的不同解法中所经历的转化思想，让学生自己体验成功的感觉。
三、巩固练习
教科书第7页，练习
四、小结
本节课我们通过天平实验，得出方程的两种变形：
1．把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。
2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程的解不变。
第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。
五、作业
教科书第7—8页习题6.2.1第1、2、3。