2001上海交通大学自主招生冬令营数学试卷

2001年度上海交通大学冬令营数学试题

一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12

8

25N =⨯的位数是________________．

2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________． 4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0,

]2

x π

∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．

6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．

7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．

8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________． 10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等

差数列的概率为_________________． 二、选择题（本题共32分，每小题4分）

11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝

( )

A ．

2

π

B ．

3

π C ．

4

π D ．

6

π

12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，公里，则x 是

( )

A B ．C ．3

D ．不能确定

13．1111132

16

8

4

2

(12

)(12

)(12)(12)(12)-

-

-

--+++++=

( ) A ．11

321(12)2

---

B ．1

1

32(12

)--- C ．132

12

-

-

D ．1321

(12)2

--

14．设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则

( ) A ．对于任何t ，点(0,0)不属于S B ．S 的面积介于0和π之间 C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限 D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上

15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不

交迭区域的最大个数是 ( ) A ．2n +2 B ．3n -1 C ．3n D ．3n +1 16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝

( )

A

B

．

2

C

．

20)2

i - D

．

(2120)2

i + 17．若对于正实数x 和y 定义xy

x y x y

*=

+，则 ( )

A ．”*”是可以交换的，但不可以结合

B ．”*”是可以结合的，但不可以交换

C ．”*”既不可以交换，也不可以结合

D ．”*”是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N(N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数

学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N 是同余的，则对于同样的N ，81同余于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 三、计算题（本题共78分） 19．(本题10分)已知函数f (x )＝x 2+2x +2，x ∈[t ,t +1]的最小值是g (t )．试写出g (t )的解析表达式．

20．(本题12分)设对于x >0，66333

11

()()2

()11()x x x x f x x x x x

+-+-=+++，求f (x )的最小值．

21．(本题16分)已知函数121

()1

x f x x -=

+，对于n ＝1,2,3,…定义f n +1(x )＝f 1[f n (x )]．若f 35(x)＝f 5(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么？

22．(本题20分)已知抛物线族2y ＝x 2-6x cos t -9sin 2t +8sin t +9，其中参数t ∈R ．

(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；

(2) 求在直线y ＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．

23．(本题20分)设{x n}为递增数列，x1＝1，x2＝4

，在曲线y=上与之对应的点列为

P1(1,1),P2

(4,2),

33

(

P x,…

,

(

n n

P x…，且以O为原点，由OP n、

OP n+1与曲线P n P n+1所围成部分的面积为

S n，若{S n}(n∈N)是公比为

4

5

的等比数列，

图形X n X n+1P n+1P n的面积为

33

22

1

2

()

3n n

x x

+

-，

试求S1+S2+…+S n+…和lim n

n

x

→∞

．

P n

O Xn+1

Xn

P n+1