2001上海交通大学自主招生冬令营数学试卷
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）
1．方程 x2
−
px −
1 2 p2
= 0 的两根 x1, x2 满
2 ，则 p=_________（p∈R）．
2． sin8 x + cos8 x = 41 , x ∈ (0, π ) ，则 x=________________．
128
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
任意正整数 n 都有 an = r [ n + s ] + t 恒成立（[x]表示不超过 x 的最大整数）．
60
又
3
2 3
3
=9
3
>8
=2
= 3log32 , 所以 b
>
c , a > b > c. 所以输出的数为 a.
例 6 (2001 年上海市高考题) 对任意函
数 f ( x ) , x ∈D 可按图所示构造一个数列发
3．f(x)=ax4+x3+(5−8a)x2+6x−9a，证明：（1）总有 f(x)=0；（2）总有 f(x)≠0．
4．
f1
(x)
=
1− x x +1
，对于一切自然数
n，都有
f n+1 (x) =
2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案
2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数≤的反函数．2．若复数z满足方程（是虚数单位），则z= ．3．函数的最小正周期为4．二项式的展开式中常数项的值为5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为6．圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为7．计算：8．若非零向量、满足||=||，则与所成角的大小为9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是（结果用分数表示）10．若记号“*” 表示求两个实数与的算术平均数的运算，即*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数、、都能成立的一个等式可以是11．关于的函数有以下命题：（1）对任意的都是非奇非偶函数；（2）不存在使既是奇函数，又是偶函数；（3）存在使是奇函数；（4）对任意的都不是偶函数．其中一个假命题的序号是．因为当= 时，该命题的结论不成立．12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．若、为实数，则>>0是的（）(A) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(B) 充要条件(D) 既非充分条件也非必要条件14．若直线=1的倾斜角为，则（）(A) 等于0 (B) 等于(C) 等于(D) 不存在15．若有平面与，且，则下列命题中的假命题（）(A) 过点P且垂直于的直线平行于(B) 过点P且垂直于的平面垂直于(C) 过点P且垂直于的直线在内(D) 过点P且垂直于的直线在内16．若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（）(A) (B) (C) (D)三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知R为全集，A=≥，B=≥，求．18．（本题满分12分）已知，试用表示的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．（1）求关于的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在B B1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小．（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分．已知椭圆C的方程为，点的坐标满足≤1．过点P的直线与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点．求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和．（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立．2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答一、填空题1．≥．2．1-3．2．4．20．5．．6．．7．．8．．9．．10．等．≤411．（1），；（1），；（4），等．（两个空格全填对时才能得分．其中也可以写成任何整数）12．219.01．二、选择题13．A ． 14．C ． 15．D ． 16．B ．三、解答题17．[解]由已知≥．由解得-1≤＜3．所以≤．由≥1，解得-2＜≤3．所以＜≤．于是≥，故．18．[解]因为 ，所以．因而．又，于是．因此．19．[解]（1）设为正四棱锥的斜高．由已知解得 ．（2）．易得．因为≥，所以≤．等式当且仅当，即时取得．故当米时，有最大值，的最大值为立方米．20．[证]（1）因为，所以在平面上的射影为．由，，得．同理可证．因为，，所以．[解]（2）过作的垂线交．因为，所以．设所成的角为，则即为平面与平面所成的角．由已知，计算得．如图建立直角坐标系，则得点．所以，．由定理知，平面与平面所成角的大小为．21．[解]（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为．当时，设直线的斜率为，则的方程为．由已知，①，②由①得，③由②得，④由③、④及，得点的坐标满足方程．⑤当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为（）．显然点的坐标满足方程⑤．综上所述，的坐标满足方程．设方程⑤所表示的曲线为，则由得．因为，由已知≤1，所以当=1时，，曲线与椭圆有且只有一个交点．当＜1时，，曲线与椭圆没有交点．因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内．故点的轨迹方程为．（2）由解得曲线与轴交于点、．由解得曲线与轴交于点、．当，即点为原点时，、与重合，曲线与坐标轴只有一个交点．当，且≤，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点与重合，曲线与坐标轴有两个交点与．同理，当，且≤1，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点与．当<1,且，即点在椭圆内且不在坐标轴上，曲线与坐标轴有三个交点、与．22．[解]（1）由，得N．（2）要使，只要＜0．因为＜4，所以，故只要．①因为（），所以≥，又，故要使①成立，只能取2或3．当时，因为Ｓ１＝２，所以当k＝１时，不成立，从而①不成立．因为，由,得，所以当≥２时，，从而①不成立．当时，因为，，所以当时，不成立，从而①不成立．因为，又，所以当≥3时，，从而①不成立．故不存在自然数、，使成立．。
上海四校自招-数学交附卷解析
a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。
历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答
√1 42
.
则|zk| = x2k + yk2 |xk| + |yk|.
n
∴ |xk| + |yk| 1.
k=1
∴ | xk| + | xk| + | yk| + | yk| 1.
xk 0
xk <0
yk 0
yk <0
其中必有一项不小于
1 4
,不妨设为第一项,则
|
xk |
1 4
.
xk 0
∴|
zk| = |
1 4
.
√
2xk .
∴
xk
zk√∈A
而4 2 < 6,
√1 42
.∴
∴|
|
zk| =
zk ∈A
zk |
1 6
.
|
xk
zk ∈A
+
i
yk |
zk ∈A
zk ∈A
即A中复数之和的模不小于
1 6
.证毕.
另证:设zk = xk + yki(xk, yk ∈ R, k = 1, 2 . . . , n)
xk
zk ∈A
最后一步是由于x2, x3, . . . , xn > 0, (x2 + · · · + xn)2 = x22 + · · · + x2n +
xixj
2 i<j n
逆命题的证明:对于任意的1
i<j
n,令xi
=
xj
=
1 2
,其余xk均等于0.则
1 2
(ai
+
aj )
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
2001考研数学一试题及答案解析.doc
2001考研数学一试题及答案解析2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y= e x (C1 sin x + C2 cos x) ( C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设 r= x 2 + y 2 + z 2 ,则 div(gradr)(1, ?2 , 2 )=_____________.(3)交换二次积分的积分次序: (4)设矩阵 A 满足 A (5) 设随机变量2∫0 ?1dy ∫1? y 2f ( x, y )dx ＝_____________.+ A ? 4 E = 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A ? E ) ?1 =_____________.X 的方差是 2 ,则根据切比雪夫不等式有估计yP{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤_____________. 二、选择题(本题共 5 小题每小题 3 分,满分 15 分.) 本题共小题,每小题满分 (1)设函数则yf ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图形如右图所示,Ox= f ′( x) 的图形为(2)设 (A)f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x′ (0,0) = 3, f y′ (0,0) = 1 ,则d z |(0,0) = 3dx + dy .(B) 曲面 z= f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线 ?? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{1,0,3}. ? y=0 ? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{3,0,1}. ? y=0(D) 曲线 ?(3)设 (A)f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为1 f (1 ? cosh) 存在. h →0 h2 1 (C) lim 2 f ( h ? sinh) 存在. h →0 h lim1 f (1 ? eh ) 存在. h →0 h 1 (D) lim [ f (2h) ? f (h)] 存在. h →0 h(B)lim?1 ?1 (4)设 A = ? ?1 ? ?11 1 1? ?4 ? ?0 1 1 1? ,B = ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?00 0 0? 0 0 0? ?,则 A与 B 0 0 0? ? 0 0 0?(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C)1 . 2(D) 1.三、(本题满分 6 分) 求arctan e x ∫ e 2 x dx .四、(本题满分 6 分) 设函数 z= f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) = 1 ,.?f ?f |(1,1) = 2 , |(1,1) = 3 , ? ( x) = f ( x, ?x ?y f ( x, x)) .求d 3 ? ( x) dxx =1五、(本题满分 8 分)∞ ? 1+ x arctan x, x ≠ 0, (?1) n 设 f (x ) = ? x 将 f (x ) 展开成 x 的幂级数,并求级数∑的和. 2 x = 0, 1, n =1 1 ? 4 n ?2六、(本题满分 7 分) 计算 I 面= ∫ ( y 2 ? z 2 )dx + (2 z 2 ? x 2 )dy + (3x 2 ? y 2 )dz ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱Lx + y = 1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向.七、(本题满分 7 分) 设f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ′′( x) ≠ 0 ,试证:(1)对于 (?1,1) 内的任一 x ≠ 0 ,存在惟一的θ ( x ) ∈ (0,1) ,使 f (x ) = f (0) + xf ′(θ ( x ) x ) 成立; (2) lim θ ( x ) =x →01 . 2八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t ) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z= h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) (设 h(t )长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分6 分) 设α 1 , α 2 , ? , α s 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, β1= t1α1 + t2α 2 , β 2 = t1α 2 + t2α 3 ,? ,β s = t1α s + t2α1 ,其中 t1 ,t 2 为实常数.试问 t1 ,t 2 满足什么条件时, β 1 , β 2 ,?, β s 也为 Ax = 0 的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组x, Ax, A (1)记 P =（ x, Ax, A (2)计算行列式22x 线性无关,且满足 A3 x = 3 Ax ? 2 A 2 x .x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A = PBP ?1 ; A+ E .十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ ( λ > 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p ( 0 < p < 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.十二、(本题满分 7 分) 设总体X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ( σ > 0 ), 从该总体中抽取简单随机样本n 1 2n ∑ X i ,求统计量 Y = ∑ ( X i + X n+i ? 2 X ) 2 的 2n i =1 i =1X 1 , X 2 , ? , X 2n ( n ≥ 2 ),其样本均值为 X =数学期望 E (Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1 , r2= 1 ± i ,从而得知特征方程为(r ? r1 )(r ? r2 ) = r 2 ? (r1 + r2 )r + r1r2 = r 2 ? 2r + 2 = 0 .由此,所求微分方程为y '' ? 2 y ' + 2 y = 0 .(2)【分析】先求 grad gradr. gradr= grad ?? ?r ?r ?r ? ? x y z ? , , ? = ? , , ?. ? ?x ?y ?z ? ? r r r ?? x ? y ? z ( )+ ( )+ ( ) ?x r ?y r ?z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 + y 2 + z 2 2 ? 3 )+( ? 3 )+( ? 3) = ? = . r r r r r r r r3 r再求divgrad gradr= grad=(于是divgrad (1, ?2,2) = gradr| grad2 2 |(1,?2,2) = . r 3y ≤0时(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 ?1 ≤1 ? y ≤2 .由此看出二次积分∫ dy ∫?121? yf ( x, y )dx 是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为∫0 ?1dy ∫21? yf ( x, y )dx = ∫∫ f ( x, y )dxdy .D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D :?1 ≤ y ≤ 0,1 ? y ≤ x ≤ 2 .见图.现可交换积分次序原式= ?0 ?1 2 2 0 2 1? x∫dy ∫1? yf ( x, y )dx = ? ∫ dx ∫11? xf ( x, y )dy = ∫ dx ∫1f ( x, y )dy .(4)【分析】矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为故按定义知( A ? E )( A + 2 E ) ? 2 E = A2 + A ? 4 E = 0 , ( A ? E )( A + 2 E ) = 2 E ,即 ( A ? E ) ?1 = 1 ( A + 2E) . 2 ( A ? E) ? A + 2E = E. 2(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{ X ? E ( X ) ≥ε } ≤于是D( x)ε 2,P{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤D( x) 1 = . 22 2二、选择题 (1)【分析】当 x < 0 时, f ( x ) 单调增 ? f ( x) ≥ 0 ,(A),(C)不对;'当 x > 0 时, f ( x ) :增——减——增 ? f ( x ) :正——负——正,(B)不对,(D)对.'应选(D). (2)【分析】我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设 Bf ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 ? f ( x, y ) 在(0,0)处可f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数?f (0, 0) ?f (0, 0) , ,不保证曲面 z = f ( x, y ) 在 ?x ?y? ? ?f (0, 0) ?f (0, 0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ± ? ，， 1? = ± {3,1,-1}与{3,1,1}不 ? 与 ?y ? ?x ?共线,因而(B)不成立.? x = t, ? 关于(C),该曲线的参数方程为 ? y = 0, ? z = f (t , 0), ?{t ', 0,因此,(C)成立.它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为d f (t , 0)} |t = 0 = {1, 0, f x' (0, 0)} = {1, 0,3} . dt(3)【分析】当f ( x) f ( x) f ( x) ? ? lim = lim ?. x →0 x →0+ x →0 ? x x x 1 f (1 ? cos h) 1 ? cos h 1 f (t ) 关于(A): lim 2 f (1 ? cos h) = lim ? t = 1 ? cos h lim , 2 h →0 h h → 0 1 ? cos h h 2 t →0 + t 1 由此可知 lim 2 f (1 ? cos h) ? ? f +' (0) ? . h →0 h f (0) = 0 时, f ' (0) = lim 若f ( x) 在 x = 0 可导 ? (A)成立,反之若(A)成立 ? f +' (0)'? ? f ' (0)? .如 f ( x) =| x | 满足(A),但 f (0) 不 ? . 关于(D):若 f ( x ) 在 x = 0 可导, ?1 f (2h) f (h) lim [ f (2h) ? f (h)] = lim[2 ? ] = 2 f ' (0) ? f '(0) . h →0 h h →0 2h h? (D)成立.反之(D)成立 ? lim( f (2h) ? f (h)) = 0 ? f ( x) 在 x = 0 连续, ? f ( x) 在 x = 0 可h →0导.如 f ( x ) = ? 再看(C):? 2 x + 1, x ≠ 0 x=0 ? 0,满足(D),但 f ( x ) 在 x = 0 处不连续,因而 f (0) 也不 ? .'lim1 h ? sin h f (h ? sin h) h ? sin h f (t ) f (h ? sin h) = lim ? = lim ? (当它们都 ? 时).2 2 h →0 h h →0 h →0 h h ? sin h h2 t注意,易求得 limh ? sin h f (t ) = 0 .因而,若 f ' (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim (即 2 h →0 t →0 h t f (t ) ' f ' (0) ? ).因为只要有界,任有(C)成立,如 f ( x ) =| x | 满足(C),但 f (0) 不 ? . t因此,只能选(B).(4)【分析】由| λ E ? A |= λ 4 ? 4λ 3 = 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A ?B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与 xT Bx 有相同的正负惯性指数,因此 A 与 B 合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如?1 0 ? ?1 0 ? A=? ? 与 B = ?0 3 ? , ?0 2? ? ?它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X+ Y = n ,即 Y = n ? X ,在此基础上利用性质:相关系数ρ XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y = aX + b (其中 a, b 是常数),且当 a > 0 时, ρ XY = 1 ;当 a < 0 时, ρ XY = ?1 ,由此便知ρ XY = ?1 ,应选(A). 事实上, Cov ( X , Y ) = Cov ( X , n ? X ) = ? DX , DY = D ( n ? X ) = DX ,由此由相关系数的定义式有ρ XY =Cov( X , Y ) = DX DY? DX = ?1 . DX DY三、【解】1 1 ?2 x de x x ?2 x x ] 原式= ? ∫ arctan e d (e ) = ? [e arctan e ? ∫2 x 2 2 e (1 + e 2 x )1 ?2 x de x de x x = ? (e arctan e ? ∫ 2 x + ∫ ) 2 e 1 + e2 x=?1 ?2 x (e arctan e x + e ? x + arctan e x ) + C . 2四、【解】求先求 ? (1) =f (1, f (1,1)) = f (1,1) = 1 .d 3 ? ( x) |x =1 = 3? 2 (1)? ' (1) = 3? ' (1) ,归结为求 ? '(1) .由复合函数求导法 dx d ? ' ( x) = f1' ( x, f ( x, x)) + f 2' ( x, f ( x, x)) f ( x, x) , dx? ' (1) = f1' (1,1) + f 2' (1,1)[ f1' (1,1) + f 2' (1,1)] .注意f1' (1,1) =?f (1,1) ?f (1,1) = 2 , f 2' (1,1) = =3. ?x ?y,因此? ' (1) = 2 + 3(2 + 3) = 17d 3 ? ( x) |x =1 = 3 ×17 = 51 . dx2五、【分析与求解】关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 x ,再乘上 1 + x 并化简即可. '直接将 arctan x 展开办不到,但 (arctan x ) 易展开,即(arctan x)' =x∞ 1 = ∑ (?1) n x 2 n , | x |< 1 , 1 + x 2 n =0①积分得arctan x = ∫ (arctan t )' dt = ∑ (?1) n ∫ t 2 n dt = ∑x 0 n =0 0∞(?1) n 2 n +1 x , x ∈ [?1,1] . ② n = 0 2n + 1∞因为右端积分在 x = ±1 时均收敛,又 arctan x 在 x = ±1 连续,所以展开式在收敛区间端点x = ±1 成立. 1 + x2 现将②式两边同乘以得 x∞ 1 + x2 (?1) n 2 n ∞ (?1)n 2 n ∞ (?1) n x 2 n + 2 arctan x = (1 + x 2 )∑ x =∑ x +∑ x 2n + 1 n = 0 2n + 1 n = 0 2n + 1 n =0(?1) n 2 n ∞ (?1)n ?1 2 n x +∑ x =∑ n = 0 2n + 1 n = 0 2n ? 1∞=1 +∑ (?1) ( 2n + 1 ? 2n ? 1) xn n =1∞112n= 1+ ∑(?1) n 2 2 n x 2 n =1 1 ? 4n∞,x ∈ [?1,1] , x ≠ 0上式右端当 x = 0 时取值为 1,于是f ( x) = 1 + ∑∞(?1) n 2 2 n x , x ∈ [?1,1] . 2 n =1 1 ? 4n∞上式中令 x = 1 ?(?1) n 1 1 ππ 1 ∑ 1 ? 4n2 = 2 [ f (1) ? 1] = 2 (2 × 4 ? 1) = 4 ? 2 . n =1y+ z = 2上L所六、【解】用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x +为围部分.由 L 的定向,按右手法则 S 取上侧, S 的单位法向量n = (cos α , cos β , cos γ ) =于是由斯托克斯公式得1 (1,1,1) . 3cos γ ? ?z 3x 2 ? y 2 dScos α I = ∫∫Scos β ? ?y 2 z 2 ? x2? ?x y2 ? z2=∫∫ [(?2 y ? 4 z )S1 1 1 + ( ?2 z ? 6 x ) + (?2 x ? 2 y ) ]dS3 3 3=?2 2 ∫∫ (4 x + 2 y + 3z )dS (利用x + y + z = 2) ?3 ∫∫ (6 + x ? y)dS .3 S S于是'2 '2 1+ Zx + Z y = 1+1+1 = 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得I =?2 ∫∫ (6 + x ? y ) 3dxdy = ?2∫∫ (6 + x ? y)dxdy ,3 D D | x | + | y |≤ 1 (图）.由 D 关于 x, y 轴的对称性及被积函数的奇其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域偶性得∫∫ ( x ? y)dxdy = 0D?I = ?12∫∫ dxdy = ?12( 2) 2 = ?24 .D七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, ? x ∈ (1, ?1) ,x ≠ 0 , ? θ∈ (0,1) ,使f ( x) = f (0) + xf ' (θ x)(θ与x 有关);又由 f '' ( x) 连续而 f '' ( x) ≠ 0 , f'' ( x) 在 (1, ?1) 不变号, f ' ( x) 在 (1, ?1) 严格单调, θ唯一. (2)对f ' (θ x) 使用 f '' (0) 的定义.由题(1)中的式子先解出 f ' (θ x) ,则有f ' (θ x) =再改写成f ( x) ? f (0) . x f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) . xf ' (θ x)? f ' (0) =f ' (θ x) ? f ' (0) f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) , ?θ = x2 θx解出θ ,令 x → 0 取极限得1 '' f (0) 1 f ( x) ? f (0) ? xf (0) f (θ x) ? f (0)2 lim θ= lim / lim = '' = . 2 x →0 x →0 x→0 2 x f (0) θx' ' '八、【解】先求(1)设 t 时刻雪堆的体积为 V (t ) ,侧面积为S (t ) . t 时刻雪堆形状如图所示S (t ) 与 V (t ) .侧面方程是z = h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) h 2 (t ) (( x, y ) ∈ Dxy : x 2 + y 2 ≤ ). 2 h(t ) ??z 4 x ?z 4y =? , =? . ?x h(t ) ?y h(t )?S (t ) = ∫∫Dxy?z 2 ?z 2 h 2 (t ) + 16( x 2 + y 2 ) 1 + ( ) + ( ) dxdy = ∫∫ dxdy . ?x ?y h(t ) Dxy作极坐标变换: x = r cos θ , y = r sin θ ,则Dxy : 0 ≤θ≤ 2π , 0 ≤ r ≤1 h(t ) . 2S (t ) =?1 h (t ) 1 2π dθ∫2 h 2 (t ) + 16r 2 rdr ∫0 0 h(t )3 h (t ) 2π 12 13π 2 ? [h (t ) + 16r 2 ] 2 |0 2 = h (t ). h(t ) 48 12 1=用先二后一的积分顺序求三重积分V (t ) = ∫h(t )dz∫∫ dxdy ,D( x)其中 D ( z ):2( x 2 + y 2 ) 1 ≤ h(t ) ? z (t ) ,即 x 2 + y 2 ≤ [h 2 (t ) ? h(t ) z ] . h(t ) 2V (t ) = ∫h (t )?π2[h 2 (t ) ? h(t ) z ]dz =π1 π [h3 (t ) ? h(t )3 ] = h3 (t ) .2 2 4 dV = ?0.9 S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件.dV ,它与侧面积成正比(比例系数 0.9),即 dt π 2 dh 13π 2 将 V (t ) 与 S(t ) 的表达式代入得 3h (t ) = ?0.9 h (t ) ,即 4 dt 12 dh 13 =? . dt 10 体积减少的速度是 ?①②h(0) = 130 .(3)解①得 h(t ) = ? 令 h(t ) = 0 ,得 t13 t +C . 10由②得C = 130 ,即 h(t ) = ?13 t + 130 . 10= 100 .因此,高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时.九、【解】由于β i (i= 1, 2? s ) 是α1 , α 2 ,?α s 线性组合,又α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知β i (i = 1, 2? s ) 均为 Ax = 0 的解. 从α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的基础解系,知 s = n ? r ( A) . 下面来分析β1 , β 2 ,? β s 线性无关的条件.设 k1β1 + k 2 β 2 + ?? k s β s = 0 ,即(t1k1 + t2 ks )α1 + (t2 k1 + t1k2 )α 2 + (t2 k2 + t1k3 )α 3 + ? + (t2 ks ?1 + t1k s )α s = 0 .由于α1 , α 2 ,?α s 线性无关,因此有?t1k1 + t2 k s = 0, ?t k + t k = 0, ?2 1 1 2 ? ?t2 k2 + t1k3 = 0, ? ? ? ?t2 ks ?1 + t1k s = 0. ?因为系数行列式(*)t1 0 0? 0 t2 t2 t1 0 ? 0 0s 0 t2 t1 ? 0 0 = t1s + (?1) s +1 t2 ,? ? ? ?? 0 0 0? t2 t1所以当 t1s s + (?1) s +1 t2 ≠ 0 时,方程组(*)只有零解 k1 = k2 = ? = ks = 0 . 从而β1 , β 2 ,? β s 线性无关.十、【解】(1)由于 AP= PB ,即A( x, Ax, A2 x) = ( Ax, A2 x, A3 x) = ( Ax, A2 x,3 Ax ? 2 A2 x)?0 0 0 ? = ( x, Ax, A x) ?1 0 3 ? , ? ? ?0 1 ? 2 ? ? ?2?0 0 0 ? ? ? . 所以 B = 1 0 3 ? ? ? ?0 1 ? 2 ? ?(2)由(1)知 A ?B ,那么 A + E ? B + E ,从而1 0 0 | A + E |=| B + E |= 1 1 3 = ?4 . 0 1 ?1m = m | X = n} = Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,? . 十一、【解】 (1) P{Y (2) P{ X= n, Y = m} = P{ X = n}P{Y = m | X = n}=λnn!m e ? λ ? Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,?.十二、【解】易见随机变量 ( X 1 +X n +1 ) , ( X 2 + X n + 2 ) , ? , ( X n + X 2 n ) 相互独立都服从正态分布N (2 ? , 2σ 2 ) .因此可以将它们看作是取自总体 N (2 ? , 2σ 2 ) 的一个容量为 n 的简单随机样本.其样本均值为1 n 1 2n ( X i + X n +i ) = ∑ X i =2 X , ∑ n i =1 n i =1 1 n 1 ∑ ( Xi + X n +i ? 2 X ) 2 = n ? 1 Y . n ? 1 i =11 Y ) = 2σ2 ,即 E (Y ) = 2(n ? 1)σ 2 . n ?1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故 E (。
自主招生 2001复旦基地班数学试题
自主招生 2001复旦基地班数学试题1. 设函数x y x a=+的反函数是它自身，则常数a =_______________。
2. 不等式()2222log log x x -≥⎡⎤⎣⎦的解集是_______________。
3. 直线2780x y -+=与2760x y --=间的距离是_______________。
4. 如果()3n x +的展开式的系数和是()1my +的展开式的系数和的512倍，那么自然数n 与m 的关系为_______________。
5. 椭圆342cos ρθ=-的焦距是_______________。
6. 己知4350x y --=，那么()()2213x y -+-的最小值为_______________。
7. 与正实轴夹角为()arcsin sin 3的直线的斜率记为k ，则arctan k =_______________。
（结果用数值表示）8. 从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有_______________种选法()m n <。
9. 正方体1111ABCD A B C D -中，1BC 与截面11BB D D 所成的角为_______________。
10. 1sec50cot10+= _______________。
（结果用数值表示） 11. 函数()3cos cos 2g x x x πππ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2 D ．112. 设函数()f x =()1f x -，则对于[]0,1内的所有x 值，一定成立的是（ ）A ．()()1f x f x -≥B ．()()1f x f x -≤C ．()()1f x f x -=D ．()()1f x f x -≠ 13. 138除以9所得的余数是（ ）A ．6B ．1-C ．8D ．114. 抛物线()241y x =--的准线方程为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =15. 由参数方程11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所表示的曲线是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16. 己知抛物线252y x x =-+与2y ax bx c =++关于点()3,2对称，则a b c ++的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417. 作坐标平移，使原坐标下的点(),0a ，在新坐标下为()0,b ，则()y f x =在新坐标下的方程为（ ）A ．()''y f x a b =++B ．()''y f x a b =+-C ．()''y f x a b =++D ．()''y f x a b =++18. 设有四个命题：①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件； ③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( )A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x xx++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)pppp n np n+→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=+)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1nnx y+=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
2001年交大联读班数学试卷
2001年交大联读班数学试卷1. 数12825N =⨯的位数是_______________。
2. ()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦求x y z ++=_______________。
3.8log 3p =，3log 5q =，则用,p q 表示lg 5=_______________。
4. 2sin sin cos αθθ=+，2sin sin cos βθθ=，求cos 2cos 2αβ=_______________。
5. 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()cos sin f x x x x =+的最小值为_______________。
6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。
7. 数列1,3,2, 中，21n n n a a a ++=-，求1001i i a ==∑_______________。
8.()4212x x +-展开式中7x 系数为_______________。
9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60 ，角的两边一边长x ，一边长9cm ，排版时把长x 的那边错排成1x +长，但发现角和对边长度没变，则x =_______________。
10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列()1d =的概率为_______________。
11. ()()112a b ++=，则arctan arctan a b +=（ ） 12. A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π13. 某人向正东走xkm ，再左转150 朝新方向走了3km，则x =（ ）A． B． C ．3 D ．不确定14. 11132162121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （ ）A ．11321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．113212-⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．13212- D ．1321122⎛⎫- ⎪⎝⎭15. 0t ≥，()(){}222,S x y x t y t =-+≤，则（ ）A ．t ∀，()0,0S ∉B ．S 的面积[)0,π∈C ．对5t ∀≥，S ⊆第一象限D ．t ∀，S 的圆心在y x =上 16. 一个圆盘被2n 条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个A ．22n +B ．31n -C ．3nD ．31n +17.()40cos 4590kk ik =+=∑（）A．2BC)2120i - D．)2120i +18. 对,x y R +∈，定义*xy x y x y=+，则()*满足（ ）A ．交换律B ．结合律C ．都不D ．都可 19. ()6090125mod N ≡≡，则81≡（ ）()mod NA ．3B ．4C ．5D ．620. ()222f x x x =++，在[],1x t t ∈+上最小值为()g t ，求()g t 。
2019年上海交通大学自主招生考试试题卷(含答案和解析)
，则
又
，所以
而 此时 由三元均值不等式可知
当且仅当
时，等号成立
11.对定义域内任意的 ，若满足 数是凸函数的是（ ）
解：易知选
，则称
为凸函数，下列函
12.已知复数 所对应的点为 ，若
，且满足
，求
的面积 解：设
，因为
，则
情形一：当 而 情形二：当
，则 时，同理可得
综上所述：
的面积为
13.实数 满足
，求
年上海交通大学自主招生试题
1.已知 解：因为
，且 ，则
，求
2程
各个实根为
直线 同侧，求 的取值范围
解：因为
，则
，若点
而函数 与
相交于
和
两点，则易知
或
，试 均在
4.已知复数 满足 解：设
，且 ，因为
，求负实数 的值 ，则
情形一：当
时，则
解得
情形二：当
，则折线距离之和
由绝对值的几何意义可知
此时
，则 点坐标为
18.已知
，
（）
解：由题意可知当抛物线与圆相切时
整理可得 而
，解得
故选
，则
的充要条件是
时，则
因为 ，所以此时 无解 综上所述： 5.若方程 解：因为
或
的三个根可以作为三角形的三边长，求 的范围
，则
，令
且 情形一：当
，解得 ，满足题意，则此时
情形二：当
，则只需满足
即
解得
，综上所述：
6.对于 解：因为
，若
又 则 所以
，求 ，所以
时，
的最小值
时，
自招 上海自主招生数学试题
B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年 上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39
2001上海交通大学自主招生冬令营数学试卷
2001年度上海交通大学冬令营数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12825N =⨯的位数是________________．2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________． 4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0,]2x π∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________． 10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_________________． 二、选择题（本题共32分，每小题4分）11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝( )A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，公里，则x 是( )A B ．C ．3D ．不能确定13．111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=( ) A ．11321(12)2---B ．1132(12)--- C ．13212--D ．1321(12)2--14．设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则( ) A ．对于任何t ，点(0,0)不属于S B ．S 的面积介于0和π之间 C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限 D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 ( ) A ．2n +2 B ．3n -1 C ．3n D ．3n +1 16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝( )AB．2C．20)2i - D．(2120)2i + 17．若对于正实数x 和y 定义xyx y x y*=+，则 ( )A ．”*”是可以交换的，但不可以结合B ．”*”是可以结合的，但不可以交换C ．”*”既不可以交换，也不可以结合D ．”*”是可以交换和结合的18．两个或两个以上的整数除以N(N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N 是同余的，则对于同样的N ，81同余于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 三、计算题（本题共78分） 19．(本题10分)已知函数f (x )＝x 2+2x +2，x ∈[t ,t +1]的最小值是g (t )．试写出g (t )的解析表达式．20．(本题12分)设对于x >0，6633311()()2()11()x x x x f x x x x x+-+-=+++，求f (x )的最小值．21．(本题16分)已知函数121()1x f x x -=+，对于n ＝1,2,3,…定义f n +1(x )＝f 1[f n (x )]．若f 35(x)＝f 5(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么？22．(本题20分)已知抛物线族2y ＝x 2-6x cos t -9sin 2t +8sin t +9，其中参数t ∈R ．(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y ＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．23．(本题20分)设{x n}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线y=上与之对应的点列为P1(1,1),P2(4,2),33(P x,…,(n nP x…，且以O为原点，由OP n、OP n+1与曲线P n P n+1所围成部分的面积为S n，若{S n}(n∈N)是公比为45的等比数列，图形X n X n+1P n+1P n的面积为332212()3n nx x+-，试求S1+S2+…+S n+…和lim nnx→∞．P nO Xn+1XnP n+1。
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2001年度上海交通大学冬令营数学试题
一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12
8
25N =⨯的位数是________________．
2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________． 4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0,
]2
x π
∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．
6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．
7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．
8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________． 10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等
差数列的概率为_________________． 二、选择题（本题共32分，每小题4分）
11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝
( )
A ．
2
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π
12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3公里，公里，则x 是
( )
A B ．C ．3
D ．不能确定
13．1111132
16
8
4
2
(12
)(12
)(12)(12)(12)-
-
-
--+++++=
( ) A ．11
321(12)2
---
B ．1
1
32(12
)--- C ．132
12
-
-
D ．1321
(12)2
--
14．设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则
( ) A ．对于任何t ，点(0,0)不属于S B ．S 的面积介于0和π之间 C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限 D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上
15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不
交迭区域的最大个数是 ( ) A ．2n +2 B ．3n -1 C ．3n D ．3n +1 16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝
( )
A
B
．
2
C
．
20)2
i - D
．
(2120)2
i + 17．若对于正实数x 和y 定义xy
x y x y
*=
+，则 ( )
A ．”*”是可以交换的，但不可以结合
B ．”*”是可以结合的，但不可以交换
C ．”*”既不可以交换，也不可以结合
D ．”*”是可以交换和结合的
18．两个或两个以上的整数除以N(N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数
学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N 是同余的，则对于同样的N ，81同余于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 三、计算题（本题共78分） 19．(本题10分)已知函数f (x )＝x 2+2x +2，x ∈[t ,t +1]的最小值是g (t )．试写出g (t )的解析表达式．
20．(本题12分)设对于x >0，66333
11
()()2
()11()x x x x f x x x x x
+-+-=+++，求f (x )的最小值．
21．(本题16分)已知函数121
()1
x f x x -=
+，对于n ＝1,2,3,…定义f n +1(x )＝f 1[f n (x )]．若f 35(x)＝f 5(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么？
22．(本题20分)已知抛物线族2y ＝x 2-6x cos t -9sin 2t +8sin t +9，其中参数t ∈R ．
(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；
(2) 求在直线y ＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．
23．(本题20分)设{x n}为递增数列，x1＝1，x2＝4
，在曲线y=上与之对应的点列为
P1(1,1),P2
(4,2),
33
(
P x,…
,
(
n n
P x…，且以O为原点，由OP n、
OP n+1与曲线P n P n+1所围成部分的面积为
S n，若{S n}(n∈N)是公比为
4
5
的等比数列，
图形X n X n+1P n+1P n的面积为
33
22
1
2
()
3n n
x x
+
-，
试求S1+S2+…+S n+…和lim n
n
x
→∞
．
P n
O Xn+1
Xn
P n+1。