人教八年级数学下册 第18章 平行四边形 章节知识点和常考易错点归纳
2021-2022人教版数学八年级下册《平行四边形》单元总结
第十八章平行四边形单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示:用符号“▱”表示,平行四边形ABCD记作“▱ABCD”,读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质:1、平行四边形对边平行且相等;几何描述:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补;几何描述:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠1+∠4=180°…(还有那组角互补?)3、平行四边形对角线互相平分;几何描述:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD4、平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行线的性质:1、平行线间的距离都相等;2、两条平行线间的任何平行线段都相等;3、等底等高的平行四边形面积相等。
平行四边形的判定定理(基础):1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的面积公式:面积=底×高知识点二 中位线三角形中位概念:连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
几何描述:∵DE 是△ABC 的中位线∴DE ∥BC,DE=12BC知识点三 矩形矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质:1、菱形具有平行四边形的所有性质;2、菱形的四条边都相等;几何描述:∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD3、菱形的两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角。
几何描述:∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD,BD平分∠CBA,DB平分∠ADC3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,菱形的对称中心是菱形对角线的交点,菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线,菱形的对称轴过菱形的对称中心。
人教版八年级数学下册-第18章-平行四边形-章节知识点和常考易错点归纳
平行四边形章节知识梳理一.知识点:1、定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定义中的“两组对边平行”是它的特征,抓住了这一特征,记忆理解也就不困难了.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.同学们要在理解的基础上熟记定义.2、性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的.(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;(2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等;(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分;(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;(5)面积:①=底×高=ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.3.平行四边形的判别方法①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形4、.几种特殊四边形的有关概念(1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:1.平行四边形;2.一个角是直角,两者缺一不可.(2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:1.平行四边形;2.一组邻边相等,两者缺一不可.(3)正方形:一组邻边相等的矩形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.(4)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,对于这个定义,要注意把握:1.一组对边平行;2.一组对边不平行,同时要注意和平行四边形定义的区别,还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题.5.几种特殊四边形的有关性质(1)矩形:1.边:对边平行且相等;2.角:对角相等、邻角互补;3.对角线:对角线互相平分且相等;4.对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)菱形:1.边:四条边都相等;2.角:对角相等、邻角互补;3.对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;4.对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.(3)正方形:1.边:四条边都相等;2.角:四角相等;3.对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450;4.对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.6、几种特殊四边形的判定方法(1)矩形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③四个角都相等(2)菱形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形;②对角线互相垂直的平行四边形;③四条边都相等.(3)正方形的判定:满足下列条件之一的四边形是正方形.①有一个角是直角的菱形;②有一组邻边相等的矩形;③对角线相等的菱形;④对角线互相垂直的矩形.7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析(1)识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等.③说明四边形ABCD的三个角是直角.(2)识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.②先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直.③说明四边形ABCD 的四条边相等.(3)识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等.②先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等. ③先说明四边形ABCD 为矩形,再说明矩形的一组邻边相等.④先说明四边形ABCD 为菱形,再说明菱形ABCD 的一个角为直角.二、几种特殊四边形的面积问题(1)设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ,则 S 矩形=ab .(2)设菱形ABCD 的一边长为a ,高为h ,则 S 菱形=ah ;若菱形的两对角线的长分别为a,b ,则 S 菱形=2ab 。
人教版八年级下册第十八章平行四边形小结与复习课件
解:(1)由题意得AF=AD=10cm,在Rt△ABF中,∵AB=8,∴BF=6cm,∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).(2)由题意可得EF=DE,可设DE的长为x,在Rt△EFC中,(8-x)2+42=x2,解得x=5,即EF的长为5cm.
例10 如图,平行四边形ABCD中,AC、BD为对角线,其交点为O,若BC=6,BC边上的高为4,试求阴影部分的面积.
3.直角三角形斜边上的中线:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
例1 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AG∥CD交BC于点G,点E、F分别为AG、CD的中点,连接DE、FG.(1)求证:四边形DEGF是平行四边形;(2)如果点G是BC的中点,且BC=12,DC=10,求 四边形AGCD的面积.
例3 如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)求证:∠DHF=∠DEF.
例3 如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)求证:∠DHF=∠DEF.
∴EC=AE,∴BE=AE.∵CF=AE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形.(2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形.证明如下:∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠CBA=45°,∴∠EBF=2∠CBA=90°,∴菱形BECF是正方形.
正方形的判定方法:①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角;③还可以先判定四边形是平行四边形,再用①或②进行判定.
例4 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF= BC.若AB=12,求EF的长.
八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记(带答案)
八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记单选题1、如图,将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠,使CB ,AD 恰好落在对角线AC 上,B ′,D ′分别是B ,D 的对应点,折痕分别为CF ,AE .若AB =4,BC =3,则线段B ′D ′的长是( )A .52B .2C .32D .1答案:D分析:先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′,从而可得答案.解:∵ 矩形纸片ABCD ,∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得:∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理:CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选:D.小提示:本题考查的是勾股定理的应用,轴对称的性质,矩形的性质,掌握以上知识是解题的关键.2、如图,▱ ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 是AB 中点,且AE +EO =4,则▱ABCD 的周长为( )A .20B .16C .12D .8答案:BBC,由AE+EO=4,推出AB+BC=8即可解决问题;分析:首先证明:OE=12解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE=EB,∴OE=1BC,2∵AE+EO=4,∴2AE+2EO=8,∴AB+BC=8,∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16,故选B.小提示:本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识,解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理,属于中考常考题型.3、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交CD于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为()D.2A.√2B.2√2C.32答案:A分析:过D作AE的垂线交AE于F,交AC于D′,再过D′作AP′⊥AD,由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点,进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值.作D关于AE的对称点D′,再过D′作D′P′⊥AD于P′,∵DD′⊥AE,∴∠AFD=∠AFD′,∵AF=AF,∠DAE=∠CAE,∴△DAF≌△D′AF,∴D′是D关于AE的对称点,AD′=AD=2,∴D′P′即为DQ+PQ的最小值,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAD′=45°,∴AP′=P′D′,∴在Rt△AP′D′中,P′D′2+AP′2=AD′2,AD′2=4,∵AP′=P′D’,2P′D′2=AD′2,即2P′D′2=4,∴P′D′=√2,即DQ+PQ的最小值为√2,故A正确.故选:A.小提示:本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.4、如图,菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=6,BD=8,点P是BC边上的一动点,则AP的最小值为()A .4B .4.8C .5D .5.5答案:B分析:由垂线段最短,可得AP ⊥BC 时,AP 有最小值,由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长,由菱形的面积公式可求解.如图,设AC 与BD 的交点为O ,∵点P 是BC 边上的一动点,∴AP ⊥BC 时,AP 有最小值,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO =CO =12AC =3,BO =DO =12BD =4, ∴BC =√BO 2+CO 2=√9+16=5, ∵S 菱形ABCD =12×AC×BD =BC×AP ,∴AP =245=4.8,故选:B .小提示:本题考查了菱形的性质,勾股定理,确定当AP ⊥BC 时,AP 有最小值是本题关键.5、如图,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(2,3),则AC 长为( )A.√13B.√7C.5D.4答案:A分析:首先连接OB,根据两点间距离公式即可求得OB,再根据矩形的性质可得OB=AC,即可求得AC的长.解:如图:连接OB∵点B的坐标为(2,3),∴OB=√22+32=√13,又∵四边形OABC是矩形,∴AC=OB=√13,故选:A.小提示:本题考查了两点间距离公式,矩形的性质,作出辅助线是解决本题的关键.6、如图,已知菱形ABCD的边长为6,点M是对角线AC上的一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是()A.√27B.3+√27C.6+√3D.6√3答案:D分析:过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,根据垂线段最短,此时DE最短,即MA+MB+MD最小,根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长,进而可得结论.解:过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,如图所示:∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=DC=BC,AD∥BC,∵∠ABC=120°,∴∠DAB=60°,∴△ADB是等边三角形,∴∠MAE=30°,∴AM=2ME,∵MD=MB,∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,根据垂线段最短,此时DE最短,即MA+MB+MD最小,∵菱形ABCD的边长为6,∴DE=√AD2−AE2=√62−32=3√3,∴2DE=6√3,∴MA+MB+MD的最小值是6√3,故D正确.故选:D.小提示:本题主要考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,解决本题的关键是掌握菱形的性质,等边三角形的判定与性质.7、一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上,若∠1=28°,则∠2的度数为()A.28°B.56°C.36°D.62°答案:D分析:根据矩形的性质得出EF∥GH,过点C作CA∥EF,利用平行线的性质得出∠2=∠MCA,∠1=CAN,然后代入求解即可.解:如图所示标注字母,∵四边形EGHF为矩形,∴EF∥GH,过点C作CA∥EF,∴CA∥EF∥GH,∴∠2=∠MCA,∠1=∠NCA,∵∠1=28°,∠MCN=90°,∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°,故选:D.小提示:题目主要考查矩形的性质,平行线的性质,角度的计算等,理解题意,作出相应辅助线是解题关键.8、如图,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是()A.5B.10C.6D.8答案:A分析:作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出CP、BP,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.解:作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,则P是AC中点,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即Q在AB上,∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ,∵M为BC中点,∴Q为AB中点,∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴PQ∥AD,而点Q是AB的中点,故PQ是△ABD的中位线,即点P是BD的中点,同理可得,PM是△ABC的中位线,故点P是AC的中点,即点P是菱形ABCD对角线的交点,∵四边形ABCD是菱形,则△BPC为直角三角形,CP=12AC=3,BP=12BD=4,在Rt△BPC中,由勾股定理得:BC=5,即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5,故选:A.小提示:本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.9、如图,在▱ABCD中,AC平分∠DAB,AB=2,则▱ABCD的周长为()A.4B.6C.8D.12答案:C分析:在平行四边形ABCD中,AC平分∠DAB,则四边形ABCD为菱形,根据菱形的性质求周长.解:∵在▱ABCD中,AC平分∠DAB,∴四边形ABCD为菱形,∴四边形ABCD的周长=4×2=8.故选C.小提示:本题考查了菱形的判定定理,注意:菱形的判定定理有:①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②四条边都相等的四边形是菱形,③对角线互相垂直的平行四边形是菱形,④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.10、如图,点P是矩形ABCD的对角线上一点,过点P作EF//BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD,若AE= 1,PF=3,则图中阴影部分的面积为()A.3B.6C.9D.12答案:A分析:先根据矩形的性质证得S△DFP=S△PBE,然后求解即可.解:作PM⊥AD于M,交BC于N,∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形,∵S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,∴S矩形DFPM=S矩形BEPN,∵PM=AE=1,PF=NC=3,∴S△DFP=S△PBE=12×1×3=32,∴S阴=32+32=3,故选:A.小提示:本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识,证得S△DFP=S△PBE是解答本题的关键.填空题11、若正方形的边长为a,则它的对角线长为__________.答案:√2a分析:根据题意,可得正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形,对角线是斜边,结合勾股定理计算可得答案.解:∵正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形,对角线是斜边;∵正方形的边长为a,∴对角线长是√a2+a2=√2a.所以答案是:√2a小提示:本题考查了正方形的性质和勾股定理,熟知正方形的两邻边与对角线构成一个等腰直角三角形是解题的关键.12、如图,在等腰Rt△ABC中,CA=BA,∠CAB=90°,点M是AB上一点,点P为射线CA(除点C外)上一个动点,直线PM交射线CB于点D,若AM=1,BM=3,ΔCPD的面积的最小值为________.答案:6分析:设点M是PD的中点,过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′,得到当点M是PD的中点时,△CPD的面积最小,再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可.设点M是PD的中点,过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′,则点M不是P′D′的中点当MD′>MP′时,在MD′上截取ME=MP′,连接DE∵∠PMP′=∠DME∴△PMP′≅△DME(SAS)=S△PCD∴S△P′CD′>S四边形P′CDE当MD′<MP′时,同理可得S△P′CD′>S△PCD∴当点M是PD的中点时,△CPD的面积最小如图,作DH⊥AB于H则△DHM≌△PAM∴AM=MH,∠DHM=∠PAM=90°,AP=DH∴∠BHD=90°∵AM=1,BM=3∴AM=1=MH∴BH=2在等腰Rt△ABC中,CA=BA=3+1=4∴∠B=45°=∠C∴∠B=∠BDH=45°∴BH=DH=2=AP∴CP=AC+AP=4+2=6过点D作DK⊥PC交于K∴四边形AKDH是矩形∴DK=AH=AM+HM=2∴S△CDP=12CP⋅DK=12×6×2=6所以答案是:6小提示:本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.13、如图,在▱ABCD中,DB=CD,∠C=70°,AE⊥BD于E,则∠DAE=_______.答案:20°分析:要求∠DAE,就要先求出∠ADE,要求出∠ADE,就要先求出∠DBC.利用DB=DC,∠C=70°即可求出.解:∵DB=DC,∠C=70°,∴∠DBC=∠C=70°,又∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DBC=70°,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴∠DAE=90°−∠ADE=20°.故答案是:20°.小提示:此题考查平行四边形的性质,解决本题的关键是利用三角形内角和定理,等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数.14、如图,将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠,使C点与A点重合,若AB=2,AD=4,则线段DF的长是_________.答案:32分析:根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF.解:∵长方形纸片ABCD,∴CD=AB=2,∠C=90°,根据折叠的性质可得AD′=CD=AB=2,∠AD′F=∠C=90°,D′F=DF,设D′F=DF=x,AF=AD−DF=4−x,根据勾股定理D′F+AD′=AF,即x2+2=(4−x)2,,解得x=32.所以答案是:32小提示:本题考查折叠与勾股定理.能正确表示直角三角形的三边是解题关键.15、如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为___________.答案:2分析:连接AP,根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),可得PF=PD,设PF=PD=x,则CP=CD−PD=6−x,EP=EF+FP=3+x,然后根据勾股定理即可解决问题.解:连接AP,如图所示,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°,∵点E是BC的中点,∴BE=CE=1AB=3,2由翻折可知:AF=AB,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°,∴AD=AF,∠AFP=∠D=90°,在Rt△AFP和Rt△ADP中,{AP=AP,AF=AD∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),∴PF=PD,设PF=PD=x,则CP=CD−PD=6−x,EP=EF+FP=3+x,在Rt△PEC中,根据勾股定理得:EP2=EC2+CP2,∴(3+x)2=32+(6−x)2,解得x=2,则DP的长度为2,所以答案是:2.小提示:本题考查了翻折变换,正方形的性质,勾股定理,解决本题的关键是掌握翻折的性质.解答题16、如图,二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B.且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求点B的坐标;(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),且S△ABD=S△ABC,求点D的坐标;(4)若点P在直线AC上,点Q是平面内一点,是否存在点Q,使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)m=3;(2)B(-1,0);(3)点D的坐标为(2,3);(4)点Q的坐标为(3,4)或(1,-2).分析:(1)直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值,写出二次函数的解析式;(2)分别计算当x=0和y=0时的值,写出B、C两点的坐标;(3)因为S△ABD=S△ABC,则根据同底等高的两个三角形的面积相等,所以只要高与OC的长相等即可,因此要计算y=3时对应的点即可;(4)分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况,通过画图,利用数形结合即可求解.解:(1)把A(3,0)代入二次函数y=-x2+2x+m得:-9+6+m=0,∴m=3;(2)由(1)可知,二次函数的解析式为:y=-x2+2x+3;当x=0时,y=3,∴C(0,3),当y=0时,-x2+2x+3=0,x2-2x-3=0,(x+1)(x-3)=0,∴x=-1或3,∴B(-1,0);(3)∵S△ABD=S△ABC,当y=3时,-x2+2x+3=3,-x2+2x=0,x2-2x=0,x(x-2)=0,x=0或2,∴只有(2,3)符合题意.综上所述,点D的坐标为(2,3);(4)存在,理由:①当AB是矩形的边时,此时,对应的矩形为ABP′Q′,∵AO=OC=3,故∠PAB=45°,∴矩形ABP′Q′为正方形,故点Q′的坐标为(3,4);②当AB是矩形的对角线时,此时,对应的矩形为APBQ,同理可得,矩形APBQ为正方形,故点Q的坐标为(1,-2),故点Q的坐标为(3,4)或(1,-2).小提示:本题是二次函数综合题,主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质,面积的计算等,其中(4),要注意分类求解,避免遗漏.17、如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.(1)求证:AC⊥BD;(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=3,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.2答案:(1)见解析(2)BD=6,四边形ABCD的周长为4√13分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证;(2)根据三角形中位线的性质可得OD=2EF=3,进而可得BD的长,Rt△AOD中,勾股定理求得AD,根据菱形的性质即可求解.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD;(2)解:∵点E,F分别为AD,AO的中点,∴EF是△AOD的中位线,OD,∴EF=12,∵EF=32∴OD=3,∵四边形ABCD是菱形,∴BD=2OD=6,∵AC⊥BD,在Rt△AOD中,AO=2,OD=3,∴AD=√AO2+OD2=√22+32=√13,∴菱形形ABCD的周长为4√13.小提示:本题考查了菱形的性质与判定,三角形中位线的性质,勾股定理,掌握菱形的性质与判定是解题的关键.18、如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F.⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.(1)求证△AFG∽△DFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.答案:(1)证明见解析;(2)52.分析:分析:(1)先根据∠ADC=90∘,AF⊥DE证出∠DAF=∠CDF,再根据四边形GFCD是⊙O的内接四边形,得到∠FGA=∠FCD,从而证出结论;(2) 连接CG,根据△EDA∽△ADF得到EADA =AFDF,根据△AFG∽△DFC得AGDC=AFDF,从而AGDC=EADA,再根据DA=DC得AG=EA=1,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出⊙O的半径. (1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90∘.∴∠CDF+∠ADF=90∘.∵AF⊥DE.∴∠AFD=90∘.∴∠DAF+∠ADF=90∘.∴∠DAF=∠CDF.∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形,∴∠FCD+∠DGF=180∘.又∠FGA+∠DGF=180∘,∴∠FGA=∠FCD.∴△AFG∽△DFC.(2)解:如图,连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90∘,∠EDA=∠ADF,∴△EDA∽△ADF.∴EAAF =DADF,即EADA=AFDF.∵△AFG∽△DFC,∴AGDC =AFDF.∴AGDC =EADA.在正方形ABCD中,DA=DC,∴AG=EA=1,DG=DA−AG=4−1=3.∴CG=√DG2+DC2=√32+42=5.∵∠CDG=90∘,∴CG是⊙O的直径.∴⊙O的半径为52.小提示:本题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理的推论,正方形的性质.关键是利用正方形的性质证明相似三角形,利用线段,角的关系解题.。
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号:年级:课时数:学员姓名:辅导科目:学科老师:授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1:平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.表示:平行四边形用符号“”来表示.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,那么四边形ABCD是平行四边形.平行四边形ABCD,记作ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.留意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.学问点2:平行四边形的性质:(1)边:平行四边形的对边平行且相等.(2)角:平行四边形的对角相等.邻角互补(3)对角线:平行四边形的对角线相互平分对称性:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;二、同步题型分析题型1:平行四边形的边、角例1:已知,如图1,四边形ABCD为平行四边形,∠A+∠C=80°,平行四边形ABCD的周长为46 cm,且AB-BC=3 cm,求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数.分析:由平行四边形的对角相等,邻角互补可求得各内角的度数;由平行四边形的对边相等,得AB+BC=23 cm,解方程组即可求出各边的长.解:由平行四边形的对角相等,∠A+∠C=80°,得∠A=∠C=40°又DC∥AB,∠D及∠A为同旁内角互补,∴∠D=180°-∠A=180°-40°=140°.∴∠B=140°.由平行四边形对边相等,得AB=CD,AD=BC.因周长为46 am,因此AB+BC=23 cm,而AB-BC=3 cm,得AB=13 cm,BC=10 cm,∴CD=13 am.AD=10 cm.题后反思:留意充分利用性质解题.例2:如图2,在平行四边形ABCD中,E、F是直线BD上的两点,且DE=BF,你认为AE=CF吗?试说明理由.分析:本题主要考察平行四边形的性质.要证明AE=CF,可以把两线段分别放在两个三角形里,然后证明两三角形全等.解:AE=CF.理由:在平行四边形ABCD中,∵AB=CD且AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.∵DE=BF,∴ DE+BD=BF+BD,即BE=DF:∴△ABE≌△CDF ∴ AE=CF题后反思:利用平行四边形的性质解题时,一般要用到三角形全等学问,此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等.题型2:平行四边形的周长例1:如图3,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,作OE⊥BD于O,交CD于E,连接BE,若△BCE的周长为6,则平行四边形ABCD的周长为( B )图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析:本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示:平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用,不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨:1)在用“□”表示平行四边形时, 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。
如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AD ∥BC ,那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图,在□ABCD 中,邻边:AD 和AB ,AD 和DC ,DC 和BC ,BC 和AB对边:AB 和DC ,AD 和BC邻角:∠BAD 和∠ADC ,∠ADC 和∠DCB ,∠DCB 和∠ABC ,∠ABC 和∠BAD 对角:∠BAD 和∠BCD ,∠ABC 和∠ADC对角线:AC 和BD【平行四边形的性质】性质1:平行四边形的对边相等几何语言:如图1,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD ,AD=BC性质2:平行四边形的对角相等几何语言:如图1,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,∠B=∠D下面证明性质1和2证明:如图2,连接AC。
∵AD∥BC,AB∥CD∴∠1=∠2,∠3=∠4.又∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠4=∠2+∠3,即∠BAD=∠BCD性质3:平行四边形的对角线互相平分几何语言:如图3,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=0C=1/2AC,OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中,下列结论一定正确的是()A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析:平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直,所以选项A错误;@简单初中生平行四边形的邻角互补,所以选项B正确;平行四边形的对边相等但邻边不一定相等,所以选项C错误;平行四边形的对角相等,所以∠A=∠C,所以选项D错误。
八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳(带答案)
八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳单选题1、如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A.AB+BC=AC B.AB= AD C.OA= OD D.∠ABC+∠ADC=180°答案:B分析:由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A;根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B;根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D.解:A.∵AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形,故本选项不符合题意;B.∵AB=AD,∴▱ABCD为菱形,故本选项符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,故本选项不符合题意;D.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴▱ABCD为矩形,故本选项不符合题意;故选:B.小提示:本题考查了矩形的判定定理,勾股定理的逆定理,平行四边形的性质,熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键.2、如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,点E是DA中点,F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF:FC的值是()A.3B.√5+1C.2√2+1D.2+√3答案:D分析:取AC的中点M,连接EM设CD=2x,由中位线性质可得EM//CD,EM=12CD,EM=x,再根据∠DAB= 60°,∠DEF=45°可得出FM=EM=x,从而得到FC的长,即可得到AF:FC的结果.解:如图所示:取AC的中点M,连接EM,DM,设CD=2x,∵点E是DA中点,∴EM是△ACD的中位线,∴EM//CD,EM=12 CD,∴EM=x,∵∠DAB=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠DAC=∠DCA=∠EMA=30°,∠AMD=90°,∵∠DEF=45°∴∠EFM=45°−30°=15°,∠FEM=30°−15°=15°,∴∠EFM=∠FEM=15°,∴FM=EM=x,∵CD=DA=2x,∠CAD=∠ACD=30°,∴DM=12AD=x,∴AM=√AD2−AM2=√3x∴AC=2√3x,∴AM=√3x,∴FC=2√3x−√3x−x=√3x−x,∴AFFC=√3x√3x−x=√3√3−1=2+√3,故选:D.小提示:本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质,熟练掌握这些性质是解此题的关键.3、如图,菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点,已知∠A=134°,则∠BEC的大小为( )A.23°B.28°C.62°D.67°答案:D分析:先说明ABD=∠ADC=∠CBD,然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数,最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.解:∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∠A =134°∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴∠BEC =90°-23°=67°故答案为D.小提示:本题主要考查了菱形的性质,解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.4、如图所示,在矩形纸片ABCD 中,AB =3,BC =6,点E 、F 分别是矩形的边AD 、BC 上的动点,将该纸片沿直线EF 折叠.使点B 落在矩形边AD 上,对应点记为点G ,点A 落在M 处,连接EF 、BG 、BE,EF 与BG 交于点N .则下列结论成立的是( )①BN =AB ;②当点G 与点D 重合时EF =3√52; ③△GNF 的面积S 的取值范围是94≤S ≤72; ④当CF =52时,S △MEG =3√134.A .①③B .③④C .②③D .②④答案:D分析:①根据题意可知四边形BFGE 为菱形,所以EF ⊥BG 且BN=GN ,若BN=AB ,则BG=2AB=6,又因为点E 是AD 边上的动点,所以3<BG<3√5.从而判断①不正确;②如图,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,再利用勾股定理求解即可;③当点E 与点A 重合时,△GNF 的面积S 有最小值94,当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值4516.故94<S <4516. ④因为CF =52,则EG=BF=6-52=72.根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ,从而可求出△MEG 的面积.解:①根据题意可知四边形BFGE 为菱形,∴EF ⊥BG 且BN=GN ,若BN=AB ,则BG=2AB=6,又∵点E 是AD 边上的动点,∴3<BG<3√5.故①错误;②如图,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,则EH=AB=3,在Rt △ABE 中AE 2+AB 2=(AD −AE )2即AE 2+32=(6−AE )2解得:AE=94,∴BF=DE=6-94=154. ∴HF=154-94=32. 在Rt △EFH 中EF =√EH 2+FH 2 =3√52; 故②正确;③当点E 与点A 重合时,如图所示,△GNF 的面积S 有最小值=14S 正方形ABFG =14×3×3 =94, 当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值=14S 菱形EBFG =14×154×3=4516. 故94<S <4516.故③错误.④因为CF =52,则EG=BF=6-52=72.根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 , ∴S △MEG =12×√132×3=3√134. 故④正确.故选D .小提示:本题考查了矩形的性质和判定,菱形的判定与性质,勾股定理,翻折的性质等知识,掌握相关知识找到临界点是解题的关键.5、如图,平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O .点E 为BC 的中点,连接EO 并延长交AD 于点F ,∠ABC =60°,BC =2AB .下列结论:①AB ⊥AC ;②AD =4OE ;③四边形AECF 是菱形;④S △BOE =14S △ABC.其中正确结论的个数是( )A.4B.3C.2D.1答案:A分析:通过判定ΔABE为等边三角形求得∠BAE=60°,利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°,从而判断①;利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③,然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②;根据三角形中线的性质判断④.解:∵点E为BC的中点,∴BC=2BE=2CE,又∵BC=2AB,∴AB=BE,∵∠ABC=60°,∴ΔABE是等边三角形,∴∠BAE=∠BEA=60°,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,即AB⊥AC,故①正确;在平行四边形ABCD中,AD//BC,AD=BC,AO=CO,∴∠CAD=∠ACB,在ΔAOF和ΔCOE中,{∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE,∴ΔAOF≅ΔCOE(ASA),∴AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形,又∵AB⊥AC,点E为BC的中点,∴AE=CE,∴平行四边形AECF是菱形,故③正确;∴AC⊥EF,在RtΔCOE中,∠ACE=30°,∴OE=12CE=14BC=14AD,故②正确;在平行四边形ABCD中,OA=OC,又∵点E为BC的中点,∴SΔBOE=12SΔBOC=14SΔABC,故④正确;综上所述:正确的结论有4个,故选:A.小提示:本题考查平行四边形的性质,等边三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,含30°的直角三角形的性质,掌握菱形的判定是解题关键.6、如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E、F分别为边AD、DC的中点,则PE + PF的最小值是()A.2B.√3C.1.5D.√5答案:A分析:取AB中点G点,根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称,即有PE=PG,则当G、P、F三点共线时,PE+PF=PG+PF最小,再证明四边形AGFD是平行四边形,即可求得FG=AD.解:取AB中点G点,连接PG,如图,∵四边形ABCD是菱形,且边长为2,∴AD=DC=AB=BC=2,∵E点、G点分别为AD、AB的中点,∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称,∴PE=PG,∴PE+PF=PG+PF,即可知当G、P、F三点共线时,PE+PF=PG+PF最小,且为线段FG,如下图,G、P、F三点共线,连接FG,∵F点是DC中点,G点为AB中点,∴DF=12DC=12AB=AG,∵在菱形ABCD中,DC∥AB,∴DF∥AG,∴四边形AGFD是平行四边形,∴FG=AD=2,故PE+PF的最小值为2,故选:A.小提示:本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识,找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键.7、如图,将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠,使CB ,AD 恰好落在对角线AC 上,B ′,D ′分别是B ,D 的对应点,折痕分别为CF ,AE .若AB =4,BC =3,则线段B ′D ′的长是( )A .52B .2C .32D .1答案:D分析:先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′,从而可得答案.解:∵ 矩形纸片ABCD ,∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得:∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理:CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选:D.小提示:本题考查的是勾股定理的应用,轴对称的性质,矩形的性质,掌握以上知识是解题的关键.8、如图,菱形ABCD ,点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上,∠ABC =120°,点A (−3,0),点E 是CD 的中点,点P 是OC 上的一动点,则PD +PE 的最小值是( )A.3B.5C.2√2D.3√32答案:A分析:直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型,由D关于直线AC的对称点B,连接BE,则线段BE的长即是PD+PE的最小值.如图:连接BE,,∵菱形ABCD,∴B、D关于直线AC对称,∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值.,∵菱形ABCD,∠ABC=120°,点A(−3,0),∴∠CDB=60°,∠DAO=30°,OA=3,∴OD=√3,AD=DC=CB=2√3∴△CDB是等边三角形∴BD=2√3∵点E是CD的中点,∴DE=1CD=√3,且BE⊥CD,2∴BE=√BD2−DE2=3故选:A.小提示:本题考查菱形性质及动点问题,解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长.9、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交CD于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为()D.2A.√2B.2√2C.32答案:A分析:过D作AE的垂线交AE于F,交AC于D′,再过D′作AP′⊥AD,由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点,进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值.作D关于AE的对称点D′,再过D′作D′P′⊥AD于P′,∵DD′⊥AE,∴∠AFD=∠AFD′,∵AF=AF,∠DAE=∠CAE,∴△DAF≌△D′AF,∴D′是D关于AE的对称点,AD′=AD=2,∴D′P′即为DQ+PQ的最小值,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAD′=45°,∴AP′=P′D′,∴在Rt△AP′D′中,P′D′2+AP′2=AD′2,AD′2=4,∵AP ′=P ′D ’,2P ′D ′2=AD ′2,即2P ′D ′2=4,∴P ′D ′=√2,即DQ +PQ 的最小值为√2,故A 正确.故选:A .小提示:本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.10、如图,菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC =6,BD =8,点P 是BC 边上的一动点,则AP 的最小值为( )A .4B .4.8C .5D .5.5答案:B分析:由垂线段最短,可得AP ⊥BC 时,AP 有最小值,由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长,由菱形的面积公式可求解.如图,设AC 与BD 的交点为O ,∵点P 是BC 边上的一动点,∴AP ⊥BC 时,AP 有最小值,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO =CO =12AC =3,BO =DO =12BD =4,∴BC=√BO2+CO2=√9+16=5,∵S菱形ABCD=1×AC×BD=BC×AP,2∴AP=24=4.8,5故选:B.小提示:本题考查了菱形的性质,勾股定理,确定当AP⊥BC时,AP有最小值是本题关键.填空题11、如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD、CB为边作平行四边形CDEB,当AD=_____,平行四边形CDEB为菱形.答案:75分析:首先根据勾股定理求得AB=5;然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB,CD=CB;最后Rt△BOC中,根据勾股定理得,OB的值,则AD=AB−2OB.解:如图,连接CE交AB于点O.∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3∴AB=√AC2+BC2=5 (勾股定理)若平行四边形CDEB为菱形时,CE⊥BD,且OD=OB,CD=CB.∵12AB ⋅OC =12AC ⋅BC , ∴OC =125.∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得,OB =√BC 2−OC 2=32−(125)2=95,∴AD =AB −2OB =75 故答案是:75. 小提示:本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法.12、如图所示,六边ABCDEF 中,AB 平行且等于ED ,AF 平行且等于CD ,BC 平行且等于FE ,对角线FD ⊥BD .已知FD =24cm ,BD =18cm .则六边形ABCDEF 的面积是______.答案:432分析:连接AC 交BD 于G ,AE 交DF 于H .根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得平行四边形AEDB 和AFDC .易得AC=FD ,EH=BG .计算该六边形的面积可以分成3部分计算,即平行四边形AFDC 的面积+三角形ABC 的面积+三角形EFD 的面积.解:连接AC 交BD 于G ,AE 交DF 于H .∵AB 平行且等于ED ,AF 平行且等于CD ,∴四边形AEDB 是平行四边形,四边形AFDC 是平行四边形,∴AE=BD ,AC=FD ,∴EH=BG .平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432,故答案为432.小提示:此题要熟悉平行四边形的判定和性质.注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形,根据面积公式进行计算.13、如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0),顶点B的横坐标为−1,点E是AD的中点,则侧OE=_________.答案:52分析:作BF⊥AF交于点F,交y轴于点G,作DH⊥AH交于点H,连接AE,首先根据题意证明出ΔDHA≌ΔAFB(AAS),然后利用勾股定理求出AD的长度,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.解:如图所示,作BF⊥AF交于点F,交y轴于点G,作DH⊥AH交于点H,连接AE,∵BF⊥AF,∴∠HDA+∠DAH=90°,∵∠DAB=90°,∴∠FAB+∠DAH=90°,∴∠HDA=∠FAB,又∵∠H=∠F=90°,AD=AB,∴ΔDHA≌ΔAFB(AAS),∴AH=BF,由题意可得,四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形,∵正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0),∴DH=GF=OA=3,∵顶点B的横坐标为−1,∴BG=1,∴BF=BG+GF=4,∴AH=BF=4,∵∠H=90°,∴AD=√DH2+AH2=5,∵点E是AD的中点,∠DOA=90°,∴OE=12AD=52.所以答案是:52.小提示:此题考查了正方形的性质,勾股定理,全等三角形的性质和判定,解题的关键是熟练掌握正方形的性质,勾股定理,全等三角形的性质和判定定理.14、如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG=________.答案:1分析:连接AG,EG,根据线段垂直平分线性质可得AG=EG,由点E是CD的中点,得CE=4,设BG=x,则CG=8-x,由勾股定理,可得出(8-x)2+42=82+x2,求解即可.解:连接AG,EG,如图,∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,∵正方形ABCD的边长为8,∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD=8,∵点E是CD的中点,∴CE=4,设BG=x,则CG=8-x,由勾股定理,得EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+x2,∴(8-x)2+42=82+x2,解得:x=1,所以答案是:1.小提示:本题考查正方形的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键.15、如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,若△DEF的周长为18,则△ABC的周长为________.答案:36分析:根据中位线定义得DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,再表示出三角形ABC 的周长即可求解. 解:∵D ,E ,F 分别是△ABC 各边的中点,∴DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,(中位线性质), ∵△DEF 的周长为18,即DE+DE+EF=18,∴△ABC 的周长=2(DE+DE+EF )=36.小提示:本题考查了中位线的应用,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.解答题16、在平行四边形ACBO 中,AO =5,点B 的坐标为(﹣2,4).(1)写出点A 、C 的坐标;(2)求出平行四边形ACBO 的面积.答案:(1)点A 坐标(﹣5,0),点C 坐标(﹣7,4);(2)20分析:(1)首先过点C 作CE ⊥x 轴于E ,过点B 作BD ⊥x 轴于D ,根据平行四边形的性质,可得OA =BC =5,OA ∥BC ,AC =OB ,易得CE =BD =4,AE =OD =2,则点A 坐标,点C 坐标即可求出;(2)利用平行四边形的面积公式直接计算即可.解:(1)∵四边形OACB 是平行四边形,∴OA =BC =5,OA ∥BC ,AC =OB ,过点C 作CE ⊥x 轴于E ,过点B 作BD ⊥x 轴于D ,∴CE =BD =4,∴AE =OD =2,∴点A坐标(﹣5,0),点C坐标(﹣7,4);(2)∵AO=5,BD=4,∴S▱AOBC=5×4=20.小提示:此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式的运用,解题的关键是利用数形结合思想解题.17、如图①,四边形ABCD是正方形,点E是BC上一点,连接AE,以AE为一边作正方形AEFG,连接DG.(1)求证:DG=BE;(2)如图②,连接AF交CD于点H,连接EH,求证:EH=BE+DH;(3)在(2)的条件下,若AB=4,点H恰为CD中点,求△CEH的面积.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析(3)S△CEH=83分析:(1)由正方形的性质得AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°,AE=AG,再证∠BAE=∠DAG,然后证△ADG≌△ABE(SAS即可得出结论;(2)证△AEH≌△AGH(SAS),得EH=GH,再证C、D、G三点共线,然后由GH=DG+DH=BE+DH,即可得出结论;(3)设BE=x,则CE=4−x,DG=BE=x,EH=BE+DH=x+2,再由勾股定理得出方程,求出x=43,则CE=4−x=83,然后由三角形面积公式即可得出答案.(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°,AB=AD∴∠BAE+∠EAD=90°∵四边形AEFG是正方形∴∠EAG=90°,AE=AG∴∠EAD+∠DAG=90°∴∠BAE=∠DAG在△BAE和△DAG中{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG∴△BAE≌△DAG∴DG=BE.(2)由(1)知△BAE≌△DAG∴∠ADG=∠B−90°,BE=DG∵∠ADC=90°∴∠CDG=∠ADC+∠ADG=90°+90°=180°∴H,D,G三点共线∵四边形AEFG是正方形∴AE=AG,∠EAF=∠GAF=45°在△BAE和△DAG中{AE=AG∠EAF=∠GAFAH=AH,∴△EAH≌△GAH∴EH=HG∵HG=DG+DH∴EH=BE+DH(3)∵四边形ABCD是正方形,AB=4∴CD=AB=4∵H恰CD中点∴DH=HC=12CD=2∵△BAE≌△DAG∴BE=DG设BE=x,则DG=x,EC=4−x由(2)知EH=BE+DH=2+x在Rt△ECH中,由勾股定理知EC2+CH2=EH2∴(4−x)2+22=(2+x)2解得,x=43∴EC=83∴S△CEH=12EC⋅CH=12×83×2=83.小提示:本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.18、(1)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45°.直接写出BE、DF、EF之间的数量关系;(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=1∠BAD,求证:EF=BE+DF;2(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠BAD,则结论EF=BE+DF是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明.答案:(1)EF=BE+DF,理由见详解;(2)见详解;(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE−FD.理由见详解.分析:(1)在CD的延长线上截取DM=BE,连接AM,证出△ABE≌△ADM,根据全等三角形的性质得出BE=DM,再证明△AEF≌△AMF,得EF=FM,进而即可得出答案;(2)在CD的延长线上截取DG=BE,连接AG,证出△ABE≌△ADG,根据全等三角形的性质得出BE=DG,再证明△AEF≌△AGF,得EF=FG,即可得出答案;(3)按照(2)的思路,我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.根据(2)的证法,我们可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE−BG=BE−DF.所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的.(1)解:EF=BE+DF,理由如下:延长CD,使DM=BE,连接AM,∵在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADM=90°,∴△ABE≌△ADM,∴∠BAE=∠DAM,AE=AM,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°,∴∠EAF=∠MAF=45°,又∵AF=AF,AE=AM,∴△AEF≌△AMF,∴EF=MF=MD+DF=BE+DF;(2)在CD的延长线上截取DG=BE,连接AG,如图,∵∠ADF=90°,∠ADF+∠ADG=180°,∴∠ADG=90°,∵∠B=90°,∴∠B=∠ADG=90°,∵BE=DG,AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AG=AE,∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠ABE=∠BAD,∵∠EAF=1∠BAD,2∠EAG,∴∠EAF=12∴∠EAF=∠FAG,又∵AF=AF,AE=AG,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG=DF+DG=EB+DF;(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BE−FD.理由如下:如图,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF.∵在△ABG与△ADF中,{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF,∴△ABG ≌△ADF (SAS ).∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF .∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD =12∠GAF .∴∠GAE =12∠BAD =∠EAF .∵AE =AE ,AG =AF .∴△AEG ≌△AEF .∴EG =EF ,∵EG =BE −BG∴EF =BE −FD .小提示:本题考查了三角形综合题,三角形全等的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线,构造全等三角形解决问题,解题时注意一些题目虽然图形发生变化,但是证明思路和方法是类似的,属于中考压轴题.。
(人教版)南京八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点总结
一、选择题1.如图,ABC 中,//DE BC ,//EF AB ,要判定四边形DBFE 是菱形,可添加的条件是( )A .BD EF =B .AD BD =C .BE AC ⊥D .BE 平分ABC ∠D解析:D【分析】 当BE 平分∠ABC 时,四边形DBFE 是菱形,可知先证明四边形BDEF 是平行四边形,再证明BD=DE 即可解决问题.【详解】解:当BE 平分∠ABC 时,四边形DBFE 是菱形,理由:∵DE ∥BC ,∴∠DEB=∠EBC ,∵∠EBC=∠EBD ,∴∠EBD=∠DEB ,∴BD=DE ,∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴四边形DBFE 是平行四边形,∵BD=DE ,∴四边形DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形,故选:D .【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2.如图,在等腰直角ABC 中,AB BC =,点D 是ABC 内部一点, DE BC ⊥,DF AB ⊥,垂足分别为E ,F ,若3CE DE =, 53DF AF =, 2.5DE =,则AF =( )A .8B .10C .12.5D .15C解析:C【分析】 根据比例关系设DF=x ,可判断四边形DEBF 为矩形,根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ,再根据AB BC =,列出方程,求解即可得出x ,从而得出AF .【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥,90DEB DFB ∴∠=∠=︒,∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠ABC=90°,∴四边形DEBF 为矩形,∴BF=DE=2.5,DF=EB ,设DF=3x ,则EB=3x ,∵53DF AF =,∴AF=5x ,AB=5x+2.5,∵3CE DE =,∴CE=7.5,∴CB=7.5+3x ,∵AB=CB ,∴5x+2.5=7.5+3x ,解得x=2.5,∴512.5AF x ==,故选:C .【点睛】本题考查矩形的性质和判定,等腰三角形的定义,一元一次方程的应用.能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键.本题主要用到方程思想.3.如图,正方形ABCD 中,6AB =,点E 在边CD 上,且2CE DE =.将ADE 沿AE 对折至AFE △,延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .下列结论:①ABG AFG △≌△;②BG GC =;③//AG CF ;④3FGC S =.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4C解析:C【分析】 由正方形和折叠的性质得出AF =AB ,∠B =∠AFG =90°,由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ,得出①正确;设BG =x ,则CG =BC−BG =6−x ,GE =GF +EF =BG +DE =x +2,由勾股定理求出x =3,得出②正确;由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB =∠FCG ,证出平行线,得出③正确; 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD =DC =6,∠B =D =90°,∵CD =3DE ,∴DE =2,∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ,∴DE =EF =2,AD =AF ,∠D =∠AFE =∠AFG =90°,∴AF =AB ,∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中,AG AG AB AF =⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG (HL ),∴①正确;∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ,∴BG =FG ,∠AGB =∠AGF ,设BG =x ,则CG =BC−BG =6−x ,GE =GF +EF =BG +DE =x +2,在Rt △ECG 中,由勾股定理得:CG 2+CE 2=EG 2,∵CG =6−x ,CE =4,EG =x +2∴(6−x )2+42=(x +2)2解得:x =3,∴BG =GF =CG =3,∴②正确;∵CG =GF ,∴∠CFG =∠FCG ,∵∠BGF=∠CFG+∠FCG,又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF,∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF,∵∠AGB=∠AGF,∠CFG=∠FCG,∴∠AGB=∠FCG,∴AG∥CF,∴③正确;∵△CFG和△CEG中,分别把FG和GE看作底边,则这两个三角形的高相同.∴35CFGCEGS FGS GE==,∵S△GCE=12×3×4=6,∴S△CFG=35×6=185,∴④不正确;正确的结论有3个,故选:C.【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用;主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力,有一定难度.4.下列命题是真命题的是()A.三角形的三条高线相交于三角形内一点B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形C.对于所有自然数n,237n n-+的值都是质数D.三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等D解析:D【分析】根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A进行判断;根据平行四边形的判定对B进行判断;取n=6可对C进行判断;根据三角形全等的知识可对D进行判断.【详解】解:A、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点,所以A选项错误;B、一组对边平行,另一组对边也平行的四边形是平行四边形,所以B选项错误;C、当n=6时,n2-3n+7=25,25不是质数,所以C选项错误;D、通过证明三角形全等,可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等,所以D选项准确.故选:D.【点睛】本题考查了命题:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题.也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质.5.如图,在ABC 中,点D 在边BC 上,过点D 作//DE AC ,//DF AB ,分别交AB ,AC 于E ,F 两点.则下列命题是假命题的是( )A .四边形AEDF 是平行四边形B .若90BC ∠+∠=︒,则四边形AEDF 是矩形C .若BD CD =,则四边形AEDF 是菱形D .若AD BD =,则四边形AEDF 是矩形C解析:C【分析】根据平行四边形判定定理,矩形的判定定理,菱形的判定定理判断即可.【详解】//,//DE AC DF AB∴四边形AEDF 是平行四边形,故A 选项正确;四边形AEDF 是平行四边形,90B C ∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒∴四边形AEDF 是矩形,故B 选项正确;//DE AC12DE BD AC BC ∴== 12DE AC ∴= 同理12DF AB =要想四边形AEDF 是菱形,只需DE DF =,则需AC AB =显然没有这个条件,故C 选项错误;AD BD =,则B DAB ∠=∠,DAC C ∠=∠,180B C BAC ∠+∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒∴∴四边形AEDF 是矩形,故D 选项正确;故选:C .【点睛】本题考查了平行四边形的判定,矩形的判定,菱形的判定,熟练掌握平行四边形判定定理,矩形的判定定理,菱形的判定定理是解题关键.6.下列命题中,错误的是 ( )A .有一个角是直角的平行四边形是正方形;B .对角线相等的菱形是正方形;C .对角线互相垂直的矩形是正方形;D .一组邻边相等的矩形是正方形.A解析:A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解.【详解】解:A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形,判断错误,应该是矩形,符合题意;B. 对角线相等的菱形是正方形,判断正确,不合题意;C. 对角线互相垂直的矩形是正方形,判断正确,不合题意;D. 一组邻边相等的矩形是正方形,判断正确,不合题意.故选:A【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定方法是解题关键.7.如图,在123A A A △中,160A ∠=︒,230A ∠=︒,131A A =,3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点,则202120222023A A A △中最短边的长为( )A .100912 B .101012 C .101112 D .102112B解析:B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度,进而可得结论.【详解】解:在△A 1A 2A 3中,∠A 1A 3A 2=90°,∠A 2=30°,A 1A 3=1,A n+3是A n A n+1(n=1、2、3…)的中点,可知:A 4A 5//A 1A 3,A 3A 4=A 2A 4,∴∠A 3A 5A 4=90°,∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°,∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形,同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形.△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012, △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112,△A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=, …, 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -,则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012. 故选:B .【点睛】 本题考查了规律型:图形的变化类,解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.也考查了直角三角形斜边的中线,三角形的中位线,平行线的性质,含30°角的直角三角形的性质,以及等腰三角形的性质等知识.8.如图,以AB 为斜边的Rt ABC 和Rt ABD △位于直线AB 的同侧,连接CD .若135,6BAC ABD AB ∠+∠=︒=,则CD 的长为( )A .3B .4C .32D .33C解析:C【分析】 取AB 的中点O ,连结OD ,OC ,根据直角三角形的性质可得OA OD OB OC ===,可得BAC OCA ∠=∠,ABD ODB ∠=∠,OCD ODC ∠=∠,在四边形ABCD 中,根据四边形的内角和为360︒,135BAC ABD ∠+∠=︒,可得出90OCD ODC ∠+∠=︒,由OC OD =,可证得COD ∆是等腰直角三角形,由6AB =,根据勾股定理,即可得出CD 的长.【详解】取AB 的中点O ,连结OD ,OC ,∵Rt ABD ∆和Rt ABC ∆的斜边为AB ,∴12OD AB =,12OC AB =, ∴OA OD OB OC ===,∴BAC OCA ∠=∠,ABD ODB ∠=∠,OCD ODC ∠=∠,在四边形ABCD 中,360BAC OCA ABD ODB OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒, ∵135BAC ABD ∠+∠=︒,∴90OCD ODC ∠+∠=︒,∵OC OD =,∴45OCD ODC ∠=∠=︒,∴COD ∆是等腰直角三角形,∵6AB =,∴3OC OD ==, ∴22223332CD OC OD =+=+=,故选:C.【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的性质和以及勾股定理,解题的关键是正确做出辅助线.9.如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,30ACD ∠=︒,若ABC 的周长比AOB 的周长大10,则AB 的长为( ).A .103B .53C .10D .20A解析:A【分析】 由矩形的性质和已知条件求出3,BC=10,即可得出答案.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AO=CO=DO=BO ,AD=BC ,∠ABC=90°,AB ∥CD ,∴∠BAC=∠ACD=30°,∴3,∵△ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC ,△AOB 的周长=AB +AO +BO ,又∵ABC 的周长比△AOB 的周长长10,∴AB+AC+BC-(AB +AO +BO )=BC=10,∴3103故选:A .【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识,熟练掌握矩形的性质,求出BC 的长是解题的关键.10.如图,将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠,点A 落在BC 边上的点F 处,下列结论中,一定正确的个数是( )①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC =③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠A .1B .2C .3D .4C解析:C【分析】 根据菱形的判定和等腰三角形的判定,采用排除法,逐条分析判断.【详解】解:①∵DE ∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠EDF =∠BFD ,又∵△ADE ≌△FDE ,∴∠ADE =∠EDF ,AD =FD ,AE =CE ,∴∠B =∠BFD ,∴△BDF 是等腰三角形,故①正确;同理可证,△CEF 是等腰三角形,∴BD =FD =AD ,CE =FE =AE ,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE =12BC ,故②正确; ∵∠B =∠BFD ,∠C =∠CFE ,又∵∠A +∠B +∠C =180°,∠B +∠BFD +∠BDF =180°,∠C +∠CFE +∠CEF =180°, ∴∠BDF +∠FEC =2∠A ,故④正确.而无法证明四边形ADFE 是菱形,故③错误.所以一定正确的结论个数有3个,故选:C .【点睛】本题考查了菱形的判定,中位线定理,等腰三角形的判定和性质,菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定.二、填空题11.菱形的周长为20cm ,一条对角线长为8cm ,则菱形的面积为______cm 2.24【分析】画出符合题意的图形利用菱形的对角线互相垂直平分求解另一条对角线的长再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案【详解】解:如图菱形的周长为20cm 一条对角线的长为8cm 故答案解析:24【分析】画出符合题意的图形,利用菱形的对角线互相垂直平分,求解另一条对角线的长,再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案.【详解】解:如图,菱形ABCD 的周长为20cm ,一条对角线AC 的长为8cm ,5,4,,,AD AB BC CD cm OA OC cm OB OD AC BD ∴=======⊥ 2222543OD AD AO ∴=-=-=,26,BD OD cm ∴==2116824.22ABCD S AC BD cm ∴==⨯⨯=菱形 故答案为:24.【点睛】本题考查的是菱形的性质,菱形的面积,掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键.12.如图,点O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE //AC ,CE //BD ,连接OE ,设AC =12,BD =16,则OE 的长为_____.10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD=20证出平行四边形OCED 为矩形得OE =CD =10即可【详解】解:∵DEACCEBD ∴四边形OCED 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA =O解析:10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD =20,证出平行四边形OCED 为矩形,得OE =CD =10即可.【详解】解:∵DE //AC ,CE //BD ,∴四边形OCED 为平行四边形,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,OA =OC =12AC =6,OB =OD =12BD =8, ∴∠DOC =90︒,CD =22OC OD +=2268+=10,∴平行四边形OCED 为矩形,∴OE =CD =10,故答案为:10.【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识;熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键.13.如图,在平面直角坐标系中,点A 、点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上运动,且AB =4,若AC =BC =5,△ABC 的形状始终保持不变,则在运动的过程中,点C 到原点O 的最小距离为____________.【分析】如图过作于证明求解结合三角形的三边的关系可得:>当三点共线时可得从而可得答案【详解】解:如图过作于由三角形三边的关系可得:>当三点共线时的最小值是:点C 到原点O 的最小距离为故答案为:【点睛】 212【分析】如图,过C 作CG AB ⊥于,G 4AB =,证明2,GB GA ==求解21,2,CG OG == 结合三角形的三边的关系可得:OC >,CG OG - 当,,C O G 三点共线时,,OC CG OG =- 可得212,CO CG OG ≥-=从而可得答案.【详解】解:如图,过C 作CG AB ⊥于,G 4AB =, 5,CB CA ==2,GB GA ∴==22225221CG CA GA ∴=-=-=,90AOB ∠=︒,122OG AB ∴==, 由三角形三边的关系可得:OC >,CG OG -当,,C O G 三点共线时,,OC CG OG =-212,CO CG OG ∴≥-=-∴ CO 的最小值是:21 2.-∴ 点C 到原点O 的最小距离为21 2.-21 2.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质,勾股定理的应用,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,三角形三边之间的关系,掌握以上知识是解题的关键.14.如图,在四边形ABCD 中,AC a =,BD b =,且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点,得到四边形1111D C B A ,再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点,得到四边形2222A B C D …如此进行下去,得到四边形n n n n A B C D ,下列结论正确的有__________.①四边形2222A B C D 是矩形;②四边形4444A B C D 是菱形;③四边形5555A B C D 的周长是4a b +.②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析:②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形,四边形2222A B C D 是菱形,四边形3333A B C D 是矩形,四边形4444A B C D 是菱形,从而可得到规律,序号n 是奇数时四边形是矩形,当序号n 是偶数时四边形是菱形,再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题.【详解】解: 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点,1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形,,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形,1111,AC B D ∴=如图,2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点,∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形, 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形,故①不符合题意,2222,A C B D ∴⊥同理可得:四边形3333A B C D 是矩形,四边形4444A B C D 是菱形,故②符合题意,······总结规律:四边形n n n n A B C D , 当序号n 是奇数时四边形是矩形,当序号n 是偶数时四边形是菱形,111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +如图, 四边形1111D C B A 是矩形,四边形2222A B C D 是菱形,2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点,222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得:33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得:四边形5555A B C D 是矩形, 同理可得:四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意. 故答案为②③.【点睛】本题考查三角形的中位线的性质,中点四边形,菱形的判定与性质,矩形的判定与性质,解题的关键是学会从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题.15.如图,在ABC ∆中,点,D E 分别在边,AB AC 上,且BD CE =,连接,CD DE ,点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点,34PMN ∠=,则MPN ∠的度数是_______.【分析】根据点MNP分别是DEBCCD的中点可以证明MP是ΔDEC的中位线NP是ΔDBC的中位线根据中位线定理可得到MP=NP再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM最后根据三角形的内角和定理可解析:112【分析】根据点 M,N,P 分别是 DE,BC,CD 的中点,可以证明MP是ΔDEC的中位线,NP是ΔDBC的中位线,根据中位线定理可得到MP=NP,再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM,最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN.【详解】解:如图∵点 M,N,P 分别是 DE,BC,CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线,∴MP=1EC,2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD,2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位:112°【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理,等腰三角形的性质和判定,以及三角形的内角和定理,解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度.16.如图,将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折,点C 落在点C '处,BC '与AD 交于点E .若20AD cm =,5AB cm =,则DE =_______cm .【分析】根据题意得到BE =DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解:设ED =x 则AE =20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB =∠DBC ;由题意得:∠EBD 解析:858【分析】根据题意得到BE =DE ,然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程,解方程即可.【详解】解:设ED =x ,则AE =20﹣x ,∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ∥BC ,∴∠EDB =∠DBC ;由题意得:∠EBD =∠DBC ,∴∠EDB =∠EBD ,∴EB =ED =x ;由勾股定理得:BE 2=AB 2+AE 2,即x 2=52+(20﹣x )2,解得:x =858, ∴ED =858. 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题;解题的关键是根据翻折变换的性质,结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识,灵活进行判断、分析、推理或解答.17.如图,在Rt ABC △中,90A ︒∠=,2AB =,点D 是BC 边的中点,点E 在AC 边上,若45DEC ︒∠=,那么DE 的长是__________.【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF =CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB =1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解:过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC =∠A =90°∴AB ∥DF 解析:2 【分析】 过D 作DF ⊥AC 于F ,得到AB ∥DF ,求得AF =CF ,根据三角形中位线定理得到DF =12AB =1,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解:过D 作DF ⊥AC 于F ,∴∠DFC =∠A =90°,∴AB ∥DF ,∵点D 是BC 边的中点,∴BD =DC ,∴AF =CF ,∴DF =12AB =1, ∵∠DEC =45°,∴△DEF 是等腰直角三角形,∴DE =2DF =2,故答案为:2.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,平行线的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键.18.如图在矩形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ,若30,2ACB AB ︒∠==,则BD 的长为_______.4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为:4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是 解析:4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4,利用矩形的性质得到BD=AC=4即可.【详解】在矩形ABCD 中,90ABC ︒∠=,30,2ACB AB ︒∠==,2224AC AB ∴==⨯=,∵四边形ABCD 是矩形,4BD AC ∴==.故答案为:4.【点睛】此题考查矩形的性质,直角三角形30度角的性质,熟记各性质是解题的关键. 19.如图,矩形ABCD 中,2AB =,4=AD ,点E 是边AD 上的一个动点;把BAE △沿BE 折叠,点A 落在A '处,如果A '恰在矩形的对称轴上,则AE 的长为______.2或【分析】分两种情况:①过A′作MN ∥CD 交AD 于M交BC 于N 则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E 即可;②过A′作PQ ∥AD 交解析:223 【分析】分两种情况:①过A′作MN ∥CD 交AD 于M ,交BC 于N ,则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴,得出AM=BN=12AD=2,由勾股定理得到A′N=0,求得A′M=2,再得到A′E 即可;②过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ,交CD 于Q ;求出∠EBA′=30°,再利用勾股定理求出A′E ,即可得出结果.【详解】解:分两种情况:①如图1,过A′作MN ∥CD 交AD 于M ,交BC 于N ,则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴,∴AM=BN=12AD=2, ∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE ,∴A′E=AE ,A′B=AB=2,∴A′N=22A B BN '-=0,即A′与N 重合,∴A′M=2= A′E ,∴AE=2;②如图2,过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ,交CD 于Q ,则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴,∴PQ ⊥AB ,AP=PB ,AD ∥PQ ∥BC ,∴A′B=2PB ,∴∠PA′B=30°,∴∠A′BC=30°,∴∠EBA′=30°,设A′E=x ,则BE=2x ,在△A′EB 中,()22222x x =+,解得:x=233, ∴AE=A′E=233;综上所述:AE 的长为223, 故答案为:223. 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题,矩形的性质,勾股定理;正确理解折叠的性质是解题的关键.20.如图,长方形ABCD 中,4=AD ,3AB =,点P 是AB 上一点,1AP =,点E 是BC上一动点,连接PE ,将BPE 沿PE 折叠,使点B 落在B ',连接DB ',则PB DB ''+的最小值是________.【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为:【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 解析:17 【分析】 根据题意可知PB DB ''+最小时,B '落在线段PD 上,利用勾股定理求出PD 即可.【详解】如图,连接PD ,根据题意可知当B '落在线段PD 上时,PB DB ''+最小,且最小值为PD 长.在Rt APD 中,2211617PD AP AD =+=+=.综上可知PB DB ''+最小值为17.17【点睛】本题考查翻折的性质,结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时,PB DB ''+最小是解答本题的关键.三、解答题21.如图,在四边形ABCD 中,//AB CD ,90A ∠=︒,16cm AB =,13cm BC =,21cm CD =,动点N 从点D 出发,以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回,动点M 从点A 出发,在线段AB 上,以每秒1cm 的速度向点B 运动,点M ,N 分别从点A ,D 同时出发.当点M 运动到点B 时,点N 随之停止运动,设运动时间为t (秒). (1)当t 为何值时,四边形MNCB 是平行四边形.(2)是否存在点N,使NMB△是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由.解析:(1)5秒或373秒;(2)存在,163秒或72秒或685秒【分析】(1)由题意已知,AB∥CD,要使四边形MNBC是平行四边形,则只需要让BM=CN即可,因为M、N点的速度已知,AB、CD的长度已知,要求时间,用时间=路程÷速度,即可求出时间;(2)使△BMN是等腰三角形,可分三种情况,即BM=BN、NM=NB、MN=MB;可利用等腰三角形及直角梯形的性质,分别用t表达等腰三角形的两腰长,再利用两腰相等即可求得时间t.【详解】解:(1)设运动时间为t秒.∵四边形MNCB是平行四边形,∴MB=NC,当N从D运动到C时,∵BC=13cm,CD=21cm,∴BM=AB-AM=16-t,CN=21-2t,∴16-t=21-2t,解得t=5,当N从C运动到D时,∵BM=AB-AM=16-t,CN=2t-21∴16-t=2t-21,解得t=373,∴当t=5秒或373秒时,四边形MNCB是平行四边形;(2)△NMB是等腰三角形有三种情况,Ⅰ.当NM=NB时,作NH⊥AB于H,则HM=HB,当N从D运动到C时,∵MH=HB=12BM=12(16-t),由AH=DN得2t=12(16−t)+t,解得t=163秒;当点N从C向D运动时,观察图象可知,只有由题意:42-2t=12(16-t)+t,解得t=685秒.Ⅱ.当MN=MB,当N从D运动到C时,MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t,BM=16-t,∵MN2=t2+122,∴(16-t)2=122+t2,解得t=72(秒);Ⅲ.当BM=BN,当N从C运动到D时,则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t,∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+(16-2t)2,∴(16-t)2=122+(16-2t)2,即3t2-32t+144=0,∵△<0,∴方程无实根,综上可知,当t=163秒或72秒或685秒时,△BMN 是等腰三角形. 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质,特别应该注意要全面考虑各种情况,不要遗漏.22.如图,矩形ABCD 中,4AB =,6AD =,E ,F 分别是AD 和AB 上的点,2AE =,F 是AB 的中点,请使用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.(1)在图1中,作一个以EF 为直角边的直角三角形;(2)在图2中,作一个以EF 为边的平行四边形.解析:(1)答案见解析;(2)答案见解析.【分析】(1)连接CE ,CF ,先利用勾股定理计算EF ,EC ,CF 的长,再利用勾股定理的逆定理,判定三角形的形状即可;(2)过点E 作BC 的垂线E 1G ,连接1G D ,取CD ,C 1G 的中点即可,过点E 作E 1H ⊥1G D ,垂足为1H ,也可以得到符合题意的平行四边形.【详解】解:(1)在图1中,连接CE ,CF ,则EFC 即为所作;理由如下:∵4AB =,6AD =,2AE =,F 是AB 的中点,∴AF=BF=2,ED=4,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠B=∠D=90°,∴2EF =22AE AF +=8,2EC =22DE DC +=32,2CF =22BC BF +=40,∵2EF +2EC =2CF ,∴EFC 是直角三角形.(2)如图2,四边形EFGH 即为所作.【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理,平行四边形的判定,矩形的性质,正方形的性质,熟练掌握勾股定理及其逆定理,平行四边形的判定定理是解题的关键.23.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.已知:四边形ABCD 是平行四边形,且,AB BC <求作:菱形ABEF ,使点E 在BC 上,点F 在AD 上.作法:①作BAD ∠的角平分线,交BC 于点E ;②以A 为圆心,AB 长为半径作弧,交AD 于点F ;③连接EF .则四边形ABEF 为所求作的菱形.根据小明设计的尺规作图过程(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)求证四边形ABEF 为菱形.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)根据要求画出图形即可.(2)利用平行四边形的判定,菱形的判定解决问题即可.解:解:()1如图所示.()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中,//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形.,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形.【点睛】本题考查作图-复杂作图,平行四边形的判定和性质,菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.24.如图,在▱ABCD 中,AB =12cm ,BC =6cm ,∠A =60°,点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动,同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动,用t 表示移动的时间(0≤t ≤6).(1)当t 为何值时,△PAQ 是等边三角形?(2)当t 为何值时,△PAQ 为直角三角形?解析:(1)t =2;(2)t =3或65t =. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质,列出关于t 的方程,进而即可求解.(2)根据△PAQ 是直角三角形,分两类讨论,分别列出方程,进而即可求解.解:(1)由题意得:AP =2t (米),AQ =6-t (米).∵∠A =60°,∴当△PAQ 是等边三角形时,AQ =AP ,即2t =6-t ,解得:t =2,∴当t =2时,△PAQ 是等边三角形.(2)∵△PAQ 是直角三角形,∴当∠AQP =90°时,有∠APQ =30°,即AP =2AQ ,∴2t =2(6-t ),解得:t =3(秒),当∠APQ =90°时,有∠AQP =30°,即AQ =2AP ,∴6-t =2·2t ,解得65t =(秒), ∴当t =3或65t =时,△PAQ 是直角三角形. 【定睛】本题主要考查等边三角形的性质,直角三角形的定义以及平行四边形的定义,熟练掌握等边三角形的性质,直角三角形的定义,列出方程,是解题的关键.25.已知点()0,6B ,点C 为x 轴正半轴上一动点,连接BC ,分别以OC 和BC 为边长作等边ODC △和EBC ,连接DE .(1)如图(a ),当D 点在OBC 内部时,求证:BO DE =;(2)如图(b ),当D 点在OBC 外部时,上述结论是否还成立?请说明理由.(3)当D 点恰好落在EBC 的边上时,利用图(c )探究分析后,直接写出ODC △的高的长度为______.解析:(1)证明见解析;(2)还成立,理由见解析;(3)3或9.【分析】(1)利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答;(2)同(1)利用“SAS”证明BCO ECD ≅△△即可解答;(3)分当D 点恰好落在EBC 的边BC 上或边BE 上两种情况讨论,利用全等三角形的性质以及三角形中位线或含30度角的直角三角形的性质求解即可.【详解】证明:(1)在等边ODC △与等边EBC 中,CO CD =,CB CE =,60OCD BCE ∠=∠=︒,∴OCD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠,即OCB DCE ∠=∠,在BCO 与ECD 中,CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()BCO ECD SAS ≅△△,∴BO DE =;(2)还成立.理由:连接DE ,与(1)同理,CO CD =,CB CE =,60OCD BCE ∠=∠=︒,∴OCD DCB BCE DCB ∠-∠=∠-∠,即OCB DCE ∠=∠,在BCO 与ECD 中,CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()BCO ECD SAS ≌△△, ∴BO DE =;(3)当D 点恰好落在EBC 的边BC 上时,如图,作DG ⊥OC 于G ,由(2)知BCO ECD ≌△△,∴∠EDC=∠BOC=90︒,∵△EBC 是等边三角形,∴D 点恰好是边BC 的中点,∵DG ⊥OC ,∴DG 是△BOC 的中位线,∴DG=12BO=3; 当D 点恰好落在EBC 的边BE 上时,如图,作DF ⊥OC 于F ,由(2)知BCO ECD ≌△△,∴∠EDC=∠BOC=90︒,∠ECD=∠BCO ,∵△EBC 是等边三角形,∴D 点恰好是边BE 的中点,∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30︒,∴BC=2BO=12,∴2263BC BO -=∵△DOC 是等边三角形,∴DC=OC=3,FC=OF=33∴229DC CF -=,综上,ODC △的高的长度为3或9.故答案为:3或9.【点睛】本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 26.如图,点B 、E 分别在AC 、DF 上,AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ,A F ∠=∠,12∠=∠.(1)求证:BC DE =.(2)已知2DE =,连接BN ,若N 平分DBC ∠,求CN 的长.解析:(1)见解析;(2)2【分析】(1)由已知角相等,利用对顶角相等,等量代换得到同位角相等,进而得出DB 与EC 平行,再由内错角相等两直线平行得到DE 与BC 平行,即可得证;(2)由角平分线得到一对角相等,再由两直线平行内错角相等,等量代换得到一对角相等,再利用等角对等边得到CN=BC ,再由平行四边形对边相等即可确定出所求.【详解】解:(1)证明:∵∠A=∠F ,∴DE ∥BC ,∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF ,∴∠DMF=∠2,∴DB ∥EC ,则四边形BCED 为平行四边形;(2)解:∵BN 平分∠DBC ,∴∠DBN=∠CBN ,∵EC ∥DB ,∴∠CNB=∠DBN ,∴∠CNB=∠CBN ,∴CN=BC=DE=2.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.27.如图1,在四边形ABCD 中,若,A C ∠∠均为直角,则称这样的四边形为“美妙四边形”.。
最新人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行四边形的概念和性质1.平行四边形的概念(1)平行四边形是四边形,具有四边形的性质,它的内角和等于360°.(2)平行四边形是特殊的四边形,它的特征表现在:两组对边分别平行.正因为如此,它还具有许多特殊的性质.(3)平行四边形的定义有两个方面的用途,其一是作为判定定理使用,即用来判定一个四边形是不是平行四边形;其二是作为性质定理使用,即已知一个四边形是平行四边形,可以得出它的两组对边分别平行.(4)平行四边形的画法.如图19-1-2,先画∠ABC,再用平行推动三角板的方法,分别画AB、BC的平行线,它们相交于点D,则四边形ABCD是平行四边形.图19-1-2辨析比较1.四边形和平行四边形联系:平行四边形是特殊的四边形,它具有四边形的一切性质,如内角和、外角和都是360°;都有两条对角线等等.区别:平行四边形是四边形,但四边形并不都是平行四边形;平行四边形具有四边形的一切性质,但四边形不一定具有平行四边形的一切性质.2.平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.2.平行四边形的性质四边形的性质,通常从三个方面加以探究,即边、角、对角线.画一个平行四边形(画图要准确),通过度量,可以得出它的三条性质:(1)平行四边形的对边相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分.连结一条对角线,很容易证得全等三角形,再由全等三角形的性质即得.联想发散第三条性质“平行四边形的对角线互相平分”,是把平行四边形加以旋转得出的.这种方法有如下的几个用处:①认识到平行四边形是中心对称图形;②平行四边形绕中心旋转180°后与自身重合,可以得到相等的线段(如图19-1-3):OA=OC,OB=OD,也得到两组对称点A与C,B与D;19-13 19-14③平行四边形绕中心旋转30°(如图19-1-4),也可以得到OA=OC,也得到A与C是对称点,这启示我们平行四边形中对称点的画法.二、平行四边形的判定及三角形中位线定理1.平行四边形的判定除了根据平行四边形的定义判定外,还有四个判定定理:(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形;(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.每个定理都包含两个条件.如“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”包含:AB ∥DC ;②AB=DC ,简写成AB DC.深化升华 根据上述定理的条件,我们也可以通过添加辅助线来构造平行四边形,从而把有关三角形的问题转化为平行四边形的问题加以解决,三角形中位线定理的证明就是一个很好的例子.我们再看一例:如图19-1-5,已知AD 是△ABC 的一条中线,AB=8,AC=5,求AD 的取值范围. 由已知条件,得BD=CD ,延长AD 到E ,使AD=ED ,连结BE 、CE ,得到ABEC.图19-1-5∵AB=8,BE=AC=5,AE=2AD ,∴8-5<2AD <8+5,即1.5<AD <6.5.2.利用平行四边形的判定定理和性质定理证明三角形的中位线定理定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.如图19-1-6,点D 、E 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点,求证:DE ∥BC 且DE=21BC. 思路分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.解:方法1:如图19-1-6(1),延长DE 到F ,使EF=DE ,连结CF ,由△ADE ≌△CFE ,可得AD ∥FC ,且AD=FC ,因此有BD ∥FC ,BD=FC ,四边形BCFD 是平行四边形.DF ∥BC ,DF=BC ,因为DE=21DF ,所以DE ∥BC 且DE=21BC.(也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点,证明方法与上面大体相同)图19-1-6方法2:如图19-1-6(2),延长DE 到F ,使EF=DE ,连结CF 、CD 和AF ,又AE=EC ,有四边形ADCF 是平行四边形.所以AD ∥FC ,且AD=FC.因为AD=BD ,所以BD ∥FC ,且BD=FC.因此四边形ADCF 是平行四边形.DF ∥BC ,且DF=BC.因为DE=21DF ,所以DE ∥BC 且DE=21BC. 深化升华 (1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别?(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?答:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.(2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.联想发散 在平面几何证题中,由中点联想到中位线,再构造中位线解题,是一种很常用的方法.如图19-1-7,在△ABC 中,AD 是∠A 的平分线,CD ⊥AD ,垂足是D ,G 是BC 的中点,求证∠DGC=∠B.图19-1-7思路分析:由点G 为BC 的中点,很容易想到,若能证明点D 是CE 的中点,那么DG 就是△CEB 的中位线,就可以证明∠DGC=∠B.点D 是CE 的中点,可以由证明△AED 和△ACD 全等得到.我们可以按照图中的辅助线完成证明.辨析比较 三角形的中位线与三角形的中线的区别和联系.(1)三角形的中位线和三角形的中线都是线段,这是它们的共同点;(2)三角形的中位线连结的是三角形两边的中点,中线是顶点与对边中点的连线.如图19-1-8中的线段DE 、EF 、DF ;三角形的中线连结的是一个顶点与它对边的中点,如图19-1-8中的线段AE 、BF 、CD.图19-1-8(3)一个三角形有三条中线,也有三条中位线.(4)三角形的三条中线相交于一点,这点叫做三角形的重心(以后要学到);三条中位线构成一个三角形,叫做三角形的中点三角形.典题·热题知识点一 平行四边形的概念和性质例1如图19-1-9,在平行四边形ABCD 中,AE=CF ,求证:AF=CE.图19-1-9思路分析:要证AF=CE ,需证△ADF ≌△CBE ,由于四边形ABCD 是平行四边形,有∠D=∠B ,AD=BC ,AB=CD ,又AE=CF ,根据等式的性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出所需要的结论.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B ,AD=BC ,AB=CD ,又∵AE=CF ,∴BE=DF.在△ADF 和△CBE 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,,BE DF B D CB AD ∴△ADF ≌△CBE ,∴AF=CE.巧解提示 本题也可以通过证明四边形AECF 是平行四边形,从而证明AF=CE.例2已知:如图19-1-10(a),ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F.求证:OE=OF ,AE=CF ,BE=DF.思路分析:只要证明线段所在的三角形全等即可. 证明:在ABCD 中,AB ∥CD ,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),∴△AOE ≌△COF (ASA ).∴OE=OF ,AE=CF (全等三角形对应边相等). ∵ABCD ,∴AB=CD (平行四边形对边相等).∴AB-AE=CD-CF ,即BE=FD.巧妙变式 若例2中的条件都不变,将EF 转动到图b 的位置,那么例2的结论是否成立?若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c 和图d ),例2的结论是否成立,说明你的理由.图19-1-10解略.知识点二 平行四边形的性质和判定的综合运用例3不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A.AB=CD ,AD=BCB.AB ∥CD ,AB=CDC.AB=CD ,AD ∥BCD.AB ∥CD ,AD ∥BC思路分析:画出草图,根据平行四边形的判定定理进行判定.A.是,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B.是,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.C.不能判定.梯形是一个反例.D.是,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.方法归纳 熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键.例4在给定的条件下,能画出平行四边形的是( )A.以60 cm 为对角线,20 cm 、34 cm 为两条邻边B.以20 cm 、36 cm 为对角线,22 cm 为一边C.以6 cm 为一条对角线,3 cm 与10 cm 为两条邻边D.以6 cm 、10 cm 为对角线,8 cm 为一边思路分析:画出草图,根据平行四边形的性质定理以及三条线段组成三角形的条件进行判断. 如图19-1-11,图19-1-11A.不能.如AC=60 cm ,AB=20 cm ,BC=34 cm ,∵AB+BC=20+34=54<60=AC ,∴△ABC 不存在,平行四边形不能画出.B.能.如AC=20 cm ,BD=36 cm ,AB=22 cm.∵OA=21AC=21×20=10,OB=21BD=21×36=18,10+18>22, ∴△OAB 存在,平行四边形ABCD 能画出.C.不能,如AC=6 cm ,AB=3 cm ,BC=10 cm ,∵AB+AC=3+6=9<10=BC ,∴△ABC 不存在,平行四边形ABCD 不能画出.D.不能,如AC=6 cm ,BD=10 cm ,AB=8 cm.∵OA=21AC=21×6=3,OB=21BD=21×10=5, OA+OB=3+5=8=AB ,∴△OAB 不存在,平行四边形ABCD 不能画出.答案:B方法归纳 能不能画出平行四边形,关键看所给出的线段长是否能构成三角形. 例5已知:如图19-1-12,A′B′∥BA ,B′C′∥CB , C′A′∥AC.图19-1-12求证:(1)∠ABC=∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′;(2)△ABC 的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.思路分析:利用平行四边形的判定定理:两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定. 证明:(1)∵A′B′∥BA ,C′B′∥BC ,∴四边形ABCB′是平行四边形.∴∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).同理∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′.(2)由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形.同理,四边形ABA′C 是平行四边形.∴AB=B′C , AB=A′C(平行四边形的对边相等).同理B′A=C′A , A′B=C′B.∴△ABC 的顶点A 、B 、C 分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.方法归纳 平行四边形的性质和判定的综合运用在今后的学习过程中经常用到,学习时要注意.例6小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形.你能在图19-1-13中找出所有的平行四边形吗?并说说你的理由.图19-1-13思路分析:因为正△ABO ≌正△AOF ,所以AB=BO ,OF=FA.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可知四边形ABCD 是平行四边形.其他五个同理.解:有6个平行四边形,分别是ABOF ,ABCO ,BCDO ,CDEO ,DEFO ,EFAO. 例7如图19-1-14,平行四边形 ABCD 的周长为60 cm ,对角线相交于点O ,△AOB 的周长比与△BOC 的周长少8 cm ,求AB 与AD 的长.图19-1-14思路分析:利用平行四边形的对角线互相平分,将△AOB 的周长,△BOC 的周长之间的关系转化为平行四边形ABCD 的边长之间的关系:C △BOC -C △AOB =8.即(OB+OC+BC )-(OA+OB+AB )=8.又∵OA=OC,∴BC-AB=8.解:设AB=x cm ,AD=y cm ,根据题意和平行四边形的性质,得⎩⎨⎧=-=+,8,60)(2x y y x 解得⎩⎨⎧==.19,11y x 即AB 与AD 的长分别为11 cm 和19 cm.巧解提示 数形结合是一种重要的数学思想方法.把几何量之间的关系巧妙地通过方程组求解,是几何计算中经常用到的方法.例8如图19-1-15,在平行四边形 ABCD 中,BE ⊥CD ,BF ⊥AD ,垂足分别为E 、F ,CE=2,DF=1,∠EBF=60°,则平行四边形 ABCD 的面积为多少?图19-1-15思路分析:根据平行四边形的性质定理和∠EBF=60°,可求出∠CBE=30°,在Rt △BCE 中,可求出BC ,进而求AF ,再在△ABF 中求解.解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC.又∵BF ⊥AD ,∴∠CBF=∠AFB=90°,∴∠CBE=90°-∠EBF=90°-60°=30°.在Rt △BCE 中,BC=2CE=2×2=4, BE=32242222=-=-CE BC .∵AD=BC=4,DF=1,∴AF=3.在Rt △ABF 中,∵∠ABF=30°,∴AB=2AF=2×3=6,S ABCD =AB·BE=6×31232=.方法归纳 在直角三角形中,已知一边一锐角,可以求出其他的边和角.在本题中,我们通过解直角三角形,达到了求平行四边形面积的目的.知识点三 三角形的中位线定理例9已知:如图19-1-16,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图19-1-16求证:四边形EFGH 是平行四边形.思路分析:因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连结AC 或BD ,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证. 证明:连结AC (图19-1-16),△DAG 中,∵AH=HD ,CG=GD ,∴HG ∥AC ,HG=21AC (三角形中位线性质). 同理EF ∥AC ,EF=21AC. ∴HG ∥EF ,且HG=EF.∴四边形EFGH 是平行四边形.此题可得结论:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.方法归纳 连结四边形的对角线是解题过程中经常添作的辅助线.问题·探究思维发散探究问题 如果连结一个三角形的各边中点得到的一个新的三角形,这个三角形叫做原三角形的中点三角形,那么中点三角形与原三角形有什么关系?你能找到多少呢?探究过程:为了研究问题的方便,可以建立如图19-1-17的图形,点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点.要知道中点三角形与原三角形的关系,可以从位置关系、周长、面积等这些方面来研究.1图19-1-17(1)∵D 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴DF ∥BC ,同理得DE ∥AC ,EF ∥AB(2)由三角形中位线定理,得 DE=21AC,EF=21AB,DF=21BC, ∴DE+EF+DF=21(AB+BC+AC ). (3)△DEF 的面积是△ABC 的面积的41. 在ADEF 中,∵△ADF ≌△EFD ,∴S △ADF =S △EFD .同理S △BED =S △EFD ,S △CEF =S △EFD ,故S △DEF =41S △ABC . 探究结论:(1)△DEF 的三边与△ABC 的三边分别平行,即DE ∥AC ,EF ∥AB ,DF ∥BC.(2)△DEF 的周长是△ABC 的周长的一半.(3)△DEF 的面积是△ABC 的面积的四分之一.。
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形全章考点例析(一)
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形全章考点例析(一)知识框架考点例析知识点一:平行四边形的定义及性质【例1】:如图,在平行四边形ABCD中,AB>BC,按以下步骤作图:以A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、CD于E、F;再分别以E、F为圆心,大于EF的长半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H.则下列结论:①AG平分∠DAB,②CH=DH,③△ADH是等腰三角形,④S△ADH =S四边形ABCH.其中正确的有()A.①②③B.①③④C.②④D.①③【例2】:如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3cm,则AE的长度为()A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm【例3】:如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为.【例4】:如图,△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形,点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是(7,﹣3),则D点的坐标是.【例5】:如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC 的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.变式训练1.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,则图中全等三角形的对数为()A.2 B.3 C.4 D.52.下面平行四边形不具有的性质是()A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等C.对角线相等 D.相邻两角互补3.平行四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比有可能是()A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶24.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为()A.8 B.10 C.12 D.145.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为()A.13 B.17 C.20 D.26BD F6.如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°,则∠B为()A.66° B.104° C.114°D.124°7.在四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠D=1∶2∶4,∠C=108°,则∠A= . 8.如图,平行四边形ABCD中,AC=4cm,BC=5cm,CD=3cm,则▱ABCD的面积.9.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为.10.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD= .11.如图,在▱ABCD中,P是CD边上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA,若AD=5,AP=8,则△APB的周长是.12.□ABCD 中,∠A 的平分线分 BC 为长是4cm 和5cm的两条线段,则□ABCD的周长是________________.13.在平面直角坐标系中,□ OBCD 的顶点 O,B,D 的坐标分别为(0,0),(5,0),(2,3),则顶点 C 的坐标为_____________.14.若平行四边形的周长为 54 cm ,两邻边之差为 5 cm ,则这两边的长度分别为______.15.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O分别交AD,BC于点E,F求证:OE=OF.16.已知:如图,在□ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,且BF DE=.求证:AE CF=.17.如图,E是▱ABCD的边CD的中点,延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE.(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.18.如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.19.已知平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于点E,AF∥CE,且交BC于点F.(1)求证:△ABF≌△CDE;(2)如图,若∠1=65°,求∠B的大小.知识点二:平行四边形的判定【例1】:四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,给出下列四个条件: ①AD ∥BC ;②AD=BC ;③OA=OC ;④OB=OD从中任选两个条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( ) A .3种 B .4种 C .5种D .6种【例2】:已知直角坐标系内有四个点O (0,0),A (3,0),B (1,1),C (x ,1),若以O ,A ,B ,C 为顶点的四边形是平行四边形,则x= .【例3】:如图,四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别在OA ,OC 上 (1)给出以下条件;①OB=OD ,②∠1=∠2,③OE=OF ,请你从中选取两个条件证明△BEO ≌△DFO ;(2)在(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF ,求证:四边形ABCD 是平行四边形.变式训练1.下列说法错误的是( )A .对角线互相平分的四边形是平行四边形B .两组对边分别相等的四边形是平行四边形C .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D .一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形2.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是()A.①,② B.①,④ C.③,④ D.②,③3.如图,在□ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,则图中共有个平行四边形. 4.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,若AB∥CD,请添加一个条件__________________(写一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.5.如图,▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长AE、CF分别交CD、AB于M、N.(1)求证:四边形CMAN是平行四边形.(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.6.如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:(1)DE=BF;(2)四边形DEBF是平行四边形.7.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.8.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.9.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.知识点二:三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.【例1】:如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有三角形的个数为.【例2】:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= .【例3】:如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为________.【例4】:如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.变式训练1.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是()A.5 B.7 C.8 D.102.如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()A.EF=CF B.EF=DE C.CF<BD D.EF>DE3.如图,在△ABC中,∠A BC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A.7 B.8 C.9 D.104.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为()A.4 B.8 C.2 D.45.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于___________cm.6.如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接CD和EF.(1)求证:DE=CF;(2)求EF的长.7.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.8.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;。
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元复习课件
第5题图
6.(人教8下P62改编)如图,在△ABC中,中线BD,CE相交
于O,F,G分别为BO,CO的中点,则四边形EFGD的形状
是 平行四边形
.
第6题图
7.【例1】(全国视野)(2022丹东模拟)如图,在▱ABCD中,点
O是AD的中点,连接CO并延长交BA的延长线于点E,连接
AC,DE.求证:四边形ACDE是平行四边形.
AF于点G.
(1)求证:四边形ABCF是矩形;
(2)若EA=EG,求证:ED=EC.
或对角线相等.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE,DF是△ABC
的中位线,连接EF,CD.求证:EF=CD.
证明:∵DE,DF是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DF∥AC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵∠ACB=90°,∴四边形DECF
是矩形,
∴EF=CD.
知识点三:菱形
(1)菱形的特殊性质:菱形的四条边相等、对角线互相垂直
=
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
,
=
∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解:∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG,
设BG=FG=x,则GC=6-x,
∵E为CD的中点,∴CE=EF=DE=3,
∴EG=3+x,∴在Rt△CEG中,32+(6-x)2=(3+x)2,
解得x=2,∴BG=2.
的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点
G,连接AG.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长.
(1)证明:在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,
∠D=∠B=∠BCD=90°,
∵将△ADE沿AE对折至△AFE,
2022年人教版八下数学第十八章《平行四边形》核心归纳《附答案
人教版八下数学第十八章单元核心考点归纳一、选择题1.在四边形ABCD中, AD=BC, 要使四边形ABCD是平行四边形, 那么还应满足( )A.∠A+∠C=180∘B.∠B+∠D=180∘C.∠A+∠B=180∘D.∠A+∠D=180∘2.在平行四边形ABCD中, AB=3, BC=4, 连接AC, BD, 当平行四边形ABCD的面积最大时,以下结论正确的有( )① AC=5;② ∠BAD+∠BCD=180∘;③ AC⊥BD;④ AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④3.对于四边形ABCD, 给出以下6组条件:① ∠A=90∘, ∠B=∠C=∠D;② ∠A=∠B=90∘, ∠C=∠D;③ ∠A=∠B=∠C=∠D;④ ∠A=∠B=∠C=90∘;⑤ AC=BD;⑥ AB∥CD, AD∥BC.其中能得到“四边形ABCD是矩形〞的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组4.在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 以下结论:① AC⊥BD;② OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④ △ABC是等边三角形, 其中一定成立的是( ).A.①②B.③④C.②③D.①③5.四边形ABCD的对角线AC, BD互相垂直, 那么以下条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A.BA=BC B.AC, BD互相平分C.AC=BD D.AB∥CD6.四边形ABCD中, AC=BD, AC⊥BD, E, F, G, H分别是AD, AB, BC, CD的中点, 那么四边形EFGH是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形二、填空题7.在平行四边形ABCD中, BM是∠ABC的平分线, 交边AD于点M, 且MD=2, 平行四边形ABCD的周长是16, 那么AM等于.8.平行四边形ABCD中, ∠A+∠C=200∘, 那么∠B的度数是.9.如图, 平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB⊥AC.假设AB=4, AC=6,那么BD的长是.10.如图, 在四边形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点E, ∠CBD=90∘, BC=4, BE=ED=3,AC=10, 那么四边形ABCD的面积为.11.在矩形ABCD中, AC, BD交于点O, ∠BOC=120∘, AB=5, 那么BD=, BC=.12.菱形的周长为40cm, 一条对角线长为16cm, 那么这个菱形的面积是.13.如图, 延长正方形ABCD的边BC至点E, 使CE=AC, 那么∠AFC=度.14.如图, 在正方形ABCD外侧, 作等边三角形ADE, AC, BE相交于点F, 那么∠BFC为度.15.如图, 正方形ABCD中, E是AD上一点, F是AB延长线上点, DE=BF.点G, H分别在边AB, CD上, 且GH=3√5, GH交EF于点M, 假设∠EMH=45∘, 那么EF的长为.16.如图, 平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O, 点E, F分别是线段AO, BO的中点,假设AC+BD=24cm, △OAB的周长是18cm, 那么EF=cm.17.矩形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, AE⊥BD于点E, 假设OE:ED=1:3, AE=√3, 那么BD的长是.18.正方形ABCD的边长为4, E为平面内任意一点, 连接DE, 过点D作DE的垂线, 在垂线上取DG=DE, 当点B, D, G在一条直线上时, 假设DG=√2, 那么CE的长为.三、解答题19.如图, 平行四边形ABCD中, BD是它的一条对角线, 过A, C两点作AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E, F, 延长AE, CF分别交CD, AB于M, N.(1) 求证:四边形CMAN是平行四边形.(2) DE=4, FN=3, 求BN的长.20.如图, 在平行四边形ABCD中, E, F分别是AB, CD的中点, 连接AF, CE.(1) 求证:△BEC≌△DFA;(2) 连接AC, 当CA=CB时, 判断四边形AECF是什么特殊四边形, 并说明理由.21.如图, 在矩形ABCD中, 对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M, 与BD相交于点O, 与BC相交于点N, 连接BM, DN.(1) 求证:四边形BMDN是菱形;(2) 假设AB=8, AD=16, 求MD的长.22.如图, 在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC于点D, 点P是AD的中点, 延长BP交AC于点AC.N.求证:AN=1323.如图, 在△ABC中, 点D, E, F分别是AB, BC, CA的中点, AH是边BC上的高.(1) 求证:四边形ADEF是平行四边形;(2) 求证:∠DHF=∠DEF.答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B【解析】根据题意得, 当平行四边形ABCD的面积最大时, 四边形ABCD为矩形, ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90∘, AC=BD.∴AC=√32+42=5.①正确, ②正确, ③不正确, ④正确.应选B.3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】B6. 【答案】D二、填空题7. 【答案】38. 【答案】80°9. 【答案】1010. 【答案】2411. 【答案】10;5√312. 【答案】96cm2【解析】∵周长是40cm,∴边长是10cm.如下列图:AB=10cm, AC=16cm.根据菱形的性质, AC⊥BD, AO=8cm,∴BO=6cm, BD=12cm.∴面积S=12×16×12=96〔cm2〕.13. 【答案】112.514. 【答案】6015. 【答案】3√1016. 【答案】3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=12AC, OB=12BD,∵AC+BD=24cm,∴OA+OB=12cm,∵△OAB的周长是18cm, ∴AB=6cm,∵点E, F分别是线段AO, BO的中点,∴EF=12AB=3cm.17. 【答案】4或8√5518. 【答案】√10或√26三、解答题19. 【答案】(1) ∵AE⊥BD, CF⊥BD,∴AE∥CF.又四边形ABCD是平行四边形,∴CM∥AN.∴四边形CMAN是平行四边形.(2) ∵四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB.∴BN=DM.∵∠FBN=∠EDM, ∠BFN=∠DEM=90∘,∴△BFN≌△DEM.∴BF=DE.∵DE=4, FN=3,∴BF=4.∴BN=5.20. 【答案】(1) ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD, ∠B=∠D, BC=AD.∵E, F分别是AB, CD的中点,∴BE=DF.∴△BEC≌△DFA(SAS).(2) 四边形AECF是矩形.理由如下:∵AE=12AB, CF=12CD, AB=CD,∴AE=CF.∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.当CA=CB时, CE⊥AB,∴∠AEC=90∘.∴四边形AECF是矩形.21. 【答案】(1) 证△MOD≌△NOB, OM=ON即可.(2) 设BM=DM=x, 那么AM=16−x,∴82+(16−x)2=x2,∴x=10,∴MD=10.22. 【答案】取CN的中点E, 取BN的中点F,证平行四边形ENFD,△APN≌△DPF即可.23. 【答案】(1) ∵点D, E, F分别是中点,∴DE∥AC, DE=12AC, EF∥AB, EF=12AB,∴四边形ADEF为平行四边形.(2) 连接DF.∵AH是边BC上的高,∴∠AHB=90∘, ∠AHC=90∘.∵点D, F是AB, CA的中点,∴DH=12AB, FH=12AC.∵DE=12AC, EF=12AB.∴DH=EF, FH=DE.∵DF=FD,∴△DHF≌△FED.∴∠DHF=∠FED.附第16章二次根式第一卷〔选择题〕评卷人得分一.选择题〔共10小题, 总分值20分, 每题2分〕1.〔2分〕〔2021秋•黄石期末〕以下运算正确的选项是〔〕A.+=B.2×3=6C.〔x2〕5=x10D.x5•x6=x30 2.〔2分〕〔2021秋•沈北新区校级期末〕a<0, b≠0, 化简二次根式的结果是〔〕A.a B.﹣a C.a D.﹣a3.〔2分〕〔2021秋•乐亭县期末〕+2=b+8, 那么的值是〔〕A.±3B.3C.5D.±54.〔2分〕〔2021秋•东莞市校级期中〕以下计算正确的选项是〔〕A.2a+3a=6a B.〔﹣3a〕2=6a2C.3﹣=2D.〔x﹣y〕2=x2﹣y25.〔2分〕〔2021•呼伦贝尔〕实数a在数轴上的对应点位置如下列图, 那么化简|a﹣1|﹣的结果是〔〕A.3﹣2a B.﹣1C.1D.2a﹣36.〔2分〕〔2021春•福州期末〕a=2021×2021﹣2021×2021, b=, c=, 那么a, b, c的大小关系是〔〕A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a7.〔2分〕〔2021•浙江自主招生〕假设x2+y2=1, 那么的值为〔〕A.0B.1C.2D.38.〔2分〕〔2021春•兴县期末〕以下计算正确的选项是〔〕A.=2B.+=C.×=D.÷=29.〔2分〕〔2021春•同安区期中〕如图, 在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片, 那么图中空白局部的面积为〔〕A.〔8﹣4〕cm2B.〔4﹣2〕cm2C.〔16﹣8〕cm2D.〔﹣12+8〕cm210.〔2分〕〔2021秋•永嘉县期中〕把四张形状大小完全相同的小长方形卡片〔如图①〕不重叠地放在一个底面为长方形〔长为cm, 宽为4cm〕的盒子底部〔如图②〕, 盒子底面未被卡片覆盖的局部用阴影表示.那么图②中两块阴影局部的周长和是〔〕A.4cm B.16cm C.2〔+4〕cm D.4〔﹣4〕cm第二卷〔非选择题〕评卷人得分二.填空题〔共9小题, 总分值18分, 每题2分〕11.〔2分〕〔2021•建湖县三模〕使二次根式有意义的x的取值范围是.12.〔2分〕〔2021秋•炎陵县期末〕计算:=, =.13.〔2分〕〔2021秋•江北区校级期末〕, 且0<x<1, 那么=.14.〔2分〕〔2021春•石城县期中〕假设x为整数, 且满足|x|<π, 那么当也为整数时, x的值可以是.15.〔2分〕〔2021春•太湖县期末〕假设最简二次根式与是同类二次根式, 那么a+b =.16.〔2分〕〔2021春•灵宝市校级月考〕已化简的和是同类二次根式, 那么a+b =.17.〔2分〕〔2021秋•宜兴市期中〕假设m=, 那么m5﹣2m4﹣2021m3=.18.〔2分〕a为实数, 且与都是整数, 那么a的值是.19.〔2分〕计算〔﹣2〕2﹣2﹣1+〔1﹣〕0+=.x=+1, 那么=.评卷人得分三.解答题〔共9小题, 总分值62分〕20.〔4分〕〔2021秋•南海区校级期末〕化简:﹣×﹣〔〕〔2﹣〕.21.〔8分〕〔2021秋•成都期末〕〔1〕计算:〔﹣2〕×﹣6;〔2〕解方程组:.22.〔6分〕〔2021秋•金川区校级期末〕:x=+1, y=﹣1, 求代数式x2+2xy+y2的值.23.〔6分〕〔2021秋•沿河县期末〕在进行二次根式化简时, 我们有时会碰上如, , 一样的式子, 其实我们还可以将其进一步化简:以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简:〔1〕请用不同的方法化简;〔2〕化简:.24.〔6分〕〔2021秋•梁平区期末〕张亮同学在作业本上做了这么一道题:“当a=■时, 试求a+的值〞, 其中■是被墨水弄污的, 张亮同学所求得的答案为.〔1〕请你计算当a=5时, 代数式a+的值;〔2〕是否存在数a, 使得a+的值为;〔3〕请直接判断张亮同学的答案是否正确.25.〔6分〕〔2021春•德城区校级月考〕x=+, y=﹣, 求:〔1〕+的值;〔2〕2x2+6xy+2y2的值.26.〔8分〕〔2021春•兴县期末〕阅读材料:小明在学习二次根式后, 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方, 如:3+2=〔1+〕2, 善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=〔m+n〕2〔其中a、b、m、n均为整数〕, 那么有a+b=m2+2n2+2mn.∴a=m2+2n2, b=2mn.这样小明就找到了一种把局部a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决以下问题:〔1〕当a、b、m、n均为正整数时, 假设a+b=〔m+n〕2, 用含m、n的式子分别表示a、b, 得a=, b=;〔2〕试着把7+4化成一个完全平方式.〔3〕假设a是216的立方根, b是16的平方根, 试计算:.27.〔9分〕〔2021春•商州区期中〕阅读理解材料:把分母中的根号化掉叫做分母有理化, 例如:①==;②===+1等运算都是分母有理化.根据上述材料,〔1〕化简:〔2〕计算:+++…+.28.〔9分〕〔2021春•邗江区校级月考〕阅读理解题:学习了二次根式后, 你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方, 如3+2=〔1+〕2, 我们来进行以下的探索:设a+b=〔m+n〕2〔其中a, b, m, n都是正整数〕, 那么有a+b=m2+2n2+2mn, ∴a=m+2n2, b=2mn, 这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法.请仿照上述方法探索并解决以下问题:〔1〕当a, b, m, n都为正整数时, 假设a﹣b=〔m﹣n〕2, 用含m, n的式子分别表示a, b, 得a=, b=;〔2〕利用上述方法, 找一组正整数a, b, m, n填空:﹣=〔﹣〕2〔3〕a﹣4=〔m﹣n〕2且a, m, n都为正整数, 求a的值.。
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形【知识梳理素材】
第十八章平行四边形【知识梳理】第18章平行四边形18.1 平行四边形三角形中位线定理(1)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言:如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点平行四边形的性质(1)平行四边形的概念:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(2)平行四边形的性质:①边:平行四边形的对边相等.②角:平行四边形的对角相等.③对角线:平行四边形的对角线互相平分.(3)平行线间的距离处处相等.(4)平行四边形的面积:①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等,对应角相等,对角线互相平分及它的判定,是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.运用定义,也可以判定某个图形是平行四边形,这是常用的方法,不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定定理还简单.凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.平行线之间的距离(1)平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.(2)平行线间的距离处处相等.18.2 特殊的平行四边形直角三角形斜边上的中线(1)性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点)(2)定理:一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.该定理可以用来判定直角三角形.菱形的性质(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.(3)菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式.菱形的判定①菱形定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形);②四条边都相等的四边形是菱形.几何语言:∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”).几何语言:∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形菱形的判定与性质(1)依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形.(2)菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形.)(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.(4)正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图形不只是正方形.矩形的性质(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角:矩形的四个角都是直角;③边:邻边垂直;④对角线:矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的判定(1)矩形的判定:①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)(2)①证明一个四边形是矩形,若题设条件与这个四边形的对角线有关,通常证这个四边形的对角线相等.②题设中出现多个直角或垂直时,常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.矩形的判定与性质(1)关于矩形,应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性:一个内角是直角的平行四边形,进一步研究其特有的性质:是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.在处理许多几何问题中,若能灵活运用矩形的这些性质,则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.(2)下面的结论对于证题也是有用的:①△OAB、△OBC都是等腰三角形;②∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC;③点O到三个顶点的距离都相等.正方形的性质(1)正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.(2)正方形的性质①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.正方形的判定方法:①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角.③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定.正方形的判定与性质(1)正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.正方形的判定没有固定的方法,只要判定既是矩形又是。
八年级数学下册第十八章平行四边形知识汇总笔记(带答案)
八年级数学下册第十八章平行四边形知识汇总笔记单选题1、如图,在▱ABCD 中,AC 平分∠DAB ,AB =2,则▱ABCD 的周长为( )A .4B .6C .8D .12答案:C分析:在平行四边形ABCD 中,AC 平分∠DAB ,则四边形ABCD 为菱形,根据菱形的性质求周长. 解:∵在▱ABCD 中,AC 平分∠DAB ,∴四边形ABCD 为菱形,∴四边形ABCD 的周长=4×2=8.故选C .小提示:本题考查了菱形的判定定理,注意:菱形的判定定理有:①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②四条边都相等的四边形是菱形,③对角线互相垂直的平行四边形是菱形,④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.2、如图,点A ,B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C 为坐标平面内一点,BC =1,点M 为线段AC 的中点,连接OM ,则OM 的最大值为( )A .√2+1B .√2+12C .2√2+1D .2√2−12答案:B分析:如图所示,取AB 的中点N ,连接ON ,MN ,根据三角形的三边关系可知OM <ON+MN ,则当ON 与MN共线时,OM= ON+MN最大,再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答.解:如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知OM<ON+MN,则当ON与MN共线时,OM= ON+MN最大,∵A(2,0),B(0,2),则△ABO为等腰直角三角形,∴AB=√OA2+OB2=2√2,N为AB的中点,∴ON=12AB=√2,又∵M为AC的中点,∴MN为△ABC的中位线,BC=1,则MN=12BC=12,∴OM=ON+MN=√2+12,∴OM的最大值为√2+12故答案选:B.小提示:本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质,解题的关键是确定当ON与MN共线时,OM= ON+MN最大.3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为CB上一动点(不与点C重合),将△CDE沿DE所在直线折叠,点C的对应点C'恰好落在AE上,则CE的长是()A.√2B.1C.2D.√3答案:B分析:由矩形的性质得出∠B=∠C=90°,AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得C'D=CD=3,C'E=CE,由勾股定理得出AC',在Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得:C'D=CD=3,C'E=CE,∠DC'E=∠C=90°,∴∠AC'D=90°,∴AC'=√AD2−C′D2=4,设CE=C'E=x,在Rt△ABE中,BE=5-x,AE=x+4,由勾股定理得:(5-x)2+32=(x+4)2,解得:x=1,故选:B.小提示:本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换和矩形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.4、如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE= 5,BE=13,则EF2的值是()A .128B .64C .32D .144答案:A分析:13和5为两条直角边长时,求出小正方形的边长8,即可利用勾股定理得出EF 2的长.解:根据题题得:小正方形的边长等于BE -AE ,∵AE =5,BE =13,∴小正方形的边长=13-5=8,∴EF 2=82+82=128.故选:A小提示:本题考查了勾股定理、正方形的性质;熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.5、如图,在矩形ABCD 中,AB =4cm ,对角线AC 与BD 相交于点O ,DE ⊥AC ,垂足为E ,AE =3CE ,则DE 的长为( )A .√3cmB .2cmC .2√2cmD .2√3cm答案:D分析:由矩形的性质得出OA =OD =OC ,再根据线段垂直平分线的性质得出OD =CD ,最后根据勾股定理计算,即可得到答案.∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =12AC ,OD =12BD ,AC =BD ,CD =AB =4cm ,∴OA =OD =OC ,∵DE⊥AC,AE=3CE,AE+CE=2OC∴OE=CE=1OC,∠DEA=90°,2∴OD=CD=4cm,∴OC=OD=CD=4cm,∴OE=CE=1OC=2cm2∴DE=√OD2−OE2=2√3cm故选:D.小提示:本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识;解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线的性质,从而完成求解.6、某街区街道如图所示,其中CE垂直平分AF,AB//CD,BC//DF.从B站到E站有两条公交线路;线路1是B→D→A→E,线路2是B→C→F→E,则两条线路的长度关系为()A.路线1较短B.路线2较短C.两条路线长度相等D.两条线路长度不确定答案:C分析:由于路线1的路程为BD+DA+AE,路线2的路程为BC+CF+FE,将问题变为比较它们的大小这一数学问题.解:这两条路线路程的长度一样.理由如下:延长FD交AB于点G.∵BC∥DF,AB∥DC,∴四边形BCDG是平行四边形,∴DG=CB.∵CE垂直平分AF,∴FE=AE,DE∥AG,∴FD=DG,∴CB=FD.又∵BC∥DF,∴四边形BCFD是平行四边形.∴CF=BD.①∵CE垂直平分AF,∴AE=FE,FD=DA.②∴BC=DA.③路线1的长度为:BD+DA+AE,路线2的长度为:BC+CF+FE,综合①②③,可知路线1路程长度与路线2路程长度相等.故选C.小提示:本题是一个图形在交通方面的应用题,解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型,并利用图形知识来解决这一模型,从而解决实际问题.考查线段的垂直平分线的性质,平行四边形判定与性质,中位线等知识.7、如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A.AB+BC=AC B.AB= AD C.OA= OD D.∠ABC+∠ADC=180°答案:B分析:由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A;根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B;根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D.解:A.∵AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形,故本选项不符合题意;B.∵AB=AD,∴▱ABCD为菱形,故本选项符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,故本选项不符合题意;D.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴▱ABCD为矩形,故本选项不符合题意;故选:B.小提示:本题考查了矩形的判定定理,勾股定理的逆定理,平行四边形的性质,熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键.8、如图,在平行四边形ABCD中,AD=3,CD=2.连接AC,过点B作BE//AC,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若∠AFC=2∠D,则四边形ABEC的面积为()A.√5B.2√5C.6D.2√13答案:B分析:先证明四边形ABEC为矩形,再求出AC,即可求出四边形ABEC的面积.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD=2,BC=AD=3,∠D=∠ABC,∵BE//AC,∴四边形ABEC为平行四边形,∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC,∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF,∴AF=BF,∴2AF=2BF,即BC=AE,∴平行四边形ABEC是矩形,∴∠BAC=90°,∴AC =√BC 2−AB 2=√32−22=√5,∴矩形ABEC 的面积为AB ·AC =2√5.故选:B小提示:本题考查了平行四边形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理等知识,熟知相关定理,证明四边形ABEC 为矩形是解题关键.9、在▱ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,要使四边形ABCD 是菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是( )A .AO =COB .AO =BOC .AO ⊥BOD .AB ⊥BC答案:C分析:根据菱形的判定分析即可;∵四边形ABCD 时平行四边形,AO ⊥BO ,∴▱ABCD 是菱形;故选C .小提示:本题主要考查了菱形的判定,准确分析判断是解题的关键.10、如图所示,在矩形纸片ABCD 中,AB =3,BC =6,点E 、F 分别是矩形的边AD 、BC 上的动点,将该纸片沿直线EF 折叠.使点B 落在矩形边AD 上,对应点记为点G ,点A 落在M 处,连接EF 、BG 、BE,EF 与BG 交于点N .则下列结论成立的是( )①BN =AB ;②当点G 与点D 重合时EF =3√52; ③△GNF 的面积S 的取值范围是94≤S ≤72;④当CF =52时,S △MEG =3√134.A .①③B .③④C .②③D .②④答案:D分析:①根据题意可知四边形BFGE 为菱形,所以EF ⊥BG 且BN=GN ,若BN=AB ,则BG=2AB=6,又因为点E 是AD 边上的动点,所以3<BG<3√5.从而判断①不正确;②如图,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,再利用勾股定理求解即可;③当点E 与点A 重合时,△GNF 的面积S 有最小值94,当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值4516.故94<S <4516. ④因为CF =52,则EG=BF=6-52=72.根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132,从而可求出△MEG 的面积. 解:①根据题意可知四边形BFGE 为菱形,∴EF ⊥BG 且BN=GN ,若BN=AB ,则BG=2AB=6,又∵点E 是AD 边上的动点,∴3<BG<3√5.故①错误;②如图,过点E 作EH ⊥BC 于点H ,则EH=AB=3,在Rt △ABE 中AE 2+AB 2=(AD −AE )2即AE 2+32=(6−AE )2解得:AE=94,∴BF=DE=6-94=154.∴HF=154-94=32.在Rt △EFH 中EF =√EH 2+FH 2 =3√52; 故②正确;③当点E 与点A 重合时,如图所示,△GNF 的面积S 有最小值=14S 正方形ABFG =14×3×3 =94, 当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值=14S 菱形EBFG =14×154×3=4516. 故94<S <4516.故③错误.④因为CF =52,则EG=BF=6-52=72.根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 , ∴S △MEG =12×√132×3=3√134. 故④正确.故选D .小提示:本题考查了矩形的性质和判定,菱形的判定与性质,勾股定理,翻折的性质等知识,掌握相关知识找到临界点是解题的关键.填空题11、如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 的交点为O ,矩形的长、宽分别为7cm 、4cm ,EF 过点O 分别交AB 、CD 于E 、F ,那么图中阴影部分面积为___cm 2.答案:7分析:先根据矩形的性质可得OA=OC,AB∥CD,S▭ABCD=28cm2,再根据平行线的性质可得∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,然后根据三角形全等的判定定理证出△AOE≅△COF,根据全等三角形的性质可得S△AOE=S△COF,由此即可得.解:∵四边形ABCD是矩形,且长、宽分别为7cm、4cm,∴OA=OC,AB∥CD,S▭ABCD=7×4=28(cm2),∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,在△AOE和△COF中,{∠OAE=∠OCF∠OEA=∠OFCOA=OC,∴△AOE≅△COF(AAS),∴S△AOE=S△COF,则图中阴影部分面积为S△AOE+S△DOF=S△COF+S△DOF=S△COD=14S▭ABCD=7cm2,所以答案是:7.小提示:本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点,熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键.12、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=4,CD=2,那么∠A=____度.答案:30分析:过点D作DE⊥AB于E,取A、D的中点F,连接EF,根据角平分线性质求出DE=CD=2,然后通过证明△EFD是等边三角形得出∠EDF=60°,由三角形内角和定理即可求解.证明:过点D作DE⊥AB于E,取A、D的中点F,连接EF,则∠DEA=90°,∵AD=4,∴DF=1AD=2,2∵EF是R t△AED的中线,∴EF=1AD=2,2∵∠C=90°,BD平分∠ABC,CD=2,∴DE=CD=2,∴DF=EF=DE,∴△EFD是等边三角形,∴∠EDF=60°,∴∠A=180°−90°−∠EDF=90°−60°=30°所以答案是:30.小提示:本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质的应用及直角三角形斜边上的中线,解题的关键是做辅助线证明△EFD是等边三角形,注意:角平分线上的点到角的两边的距离相等.13、如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2时,则菱形的边长为____cm.答案:13分析:连接BD、AC、EF,BD与AC交于点O,由题意易得B、E、F、D在同一条直线上,则有AC⊥BD,EF⊥AC,OA=OC,OB=OD,AC=EF,然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解.解:连接BD、AC、EF,BD与AC交于点O,如图所示:∵四边形ABCD是菱形、四边形AECF是正方形,∴点B、E、F、D在同一条直线上,∴AC⊥BD,EF⊥AC,OA=OC,OB=OD,AC=EF,∵菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,∴S菱形ABCD =12BD⋅AC=120,S正方形AECF=12AC2=50,∴AC=10cm,BD=24cm,∴OA=5cm,OB=12cm,在Rt△AOB中,由勾股定理可得AB=√AO2+OB2=13cm,故答案为13.小提示:本题主要考查菱形与正方形的性质,熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键.14、如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A 作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为________.答案:154解:如图所示,连接EG,由旋转可知△ABF≌△ADE,∴DE=BF,AE=AF,∵AG⊥EF,∴H为EF的中点,∴AG垂直平分EF,∴EG=FG,设CE=x,则DE=5-x=BF,FG=EG=BF+BG=8-x,∵∠C=90°,∴CE2+CG2=EG2即x2+22=(8−x)2解得x=15,4∴CE的长为15,4.所以答案是:154小提示:本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质,解决该题的关键是根据勾股定理列方程.15、在正方形ABCD中,AB=5,点E、F分别为AD、AB上一点,且AE=AF,连接BE、CF,则BE+CF的最小值是______.答案:5√5分析:如图所示,作D关于直线AB的对称点D′,连接D′F,DF,先证明△ABE≌△ADF得到BE=DF,则BE= D′F,从而推出当C、F、D′三点共线时,CF+D′F有最小值,即BE+CF有最小值,最小值为CD′,由此求解即可.解:如图所示,作D关于直线AB的对称点D′,连接D′F,DF,∴D′F=DF,AD′=AD,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=CD,∠ADC=90°,又∵∠FAD=∠EAB,AF=AE,∴△ABE≌△ADF(SAS),∴BE=DF,∴BE=D′F,∴BE+CF=CF+D′F,∴当C、F、D′三点共线时,CF+D′F有最小值,即BE+CF有最小值,最小值为CD′,在Rt△D′DC中,CD′=√DD′2+CD2=5√5,所以答案是:5√5.小提示:本题主要考查了正方形的性质,轴对称最短路径问题,勾股定理,全等三角形的性质与判定,正确作出辅助线是解题的关键.解答题16、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠BDE=15°,求∠DOE;(3)在(2)的条件下,若AB=2,求△BOE的面积.答案:(1)见解析;(2)135°;(3)√3−1分析:(1)根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可;(2)首先根据矩形的性质得出OD=OC,然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形,进而得出△OCD是等边三角形,然后可得∠OCE=30°,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°,最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解;(3)作OF⊥BC于F,首先根据三角形中位线的性质得出OF=1,然后利用勾股定理求出BC的长度,进而得出BE的长度,最后利用面积公式求解即可.解:(1)∵AD//BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∵∠ABC=90°,∴∠BAD=90°,∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形.(2)由(1)可得:AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴OD=OC,∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=45°,∴△DCE是等腰直角三角形,∴∠DEC=45°,CD=CE,∵∠BDE=15°,∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°,∴∠BDC=60°,又OD=OC,∴△OCD是等边三角形,∴OC=CD=CE,∠DCO=∠COD=60°,∴∠OCE=30°,∴∠COE=∠CEO=(180°-30°)÷2=75°,∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°;(3)作OF⊥BC于F.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴AO=BO=CO=DO,∴BF=FC,∴OF=12CD=1,∵EC=CD=AB=2,∴AC=BD=4,∴BC=√42−22=2√3,∴BE=BC-CE=2√3-2,∴△BOE的面积=12BE⋅OF=12×(2√3−2)×1=√3−1.小提示:本题主要考查四边形综合,掌握矩形的判定及性质,等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键.17、已知四边形ABCD中,BC=CD.连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形;(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.(ⅰ)求∠CED的大小;(ⅱ)若AF=AE,求证:BE=CF.答案:(1)见解析(2)(ⅰ)∠CED=60°;(ⅱ)见解析分析:(1)先根据DC=BC,CE⊥BD,得出DO=BO,再根据“AAS”证明ΔODE≌ΔOBC,得出DE=BC,得出四边形BCDE为平行四边形,再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形,得出四边形BCDE为菱形;(2)(ⅰ)根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一,证明∠BEG=∠DEO=∠BEO,再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°,即可得出∠CED=180°=60°;3(ⅱ)连接EF,根据已知条件和等腰三角形的性质,算出∠GEF=15°,得出∠OEF=45°,证明OE=OF,再证明ΔBOE≌ΔCOF,即可证明结论.(1)证明:∵DC=BC,CE⊥BD,∴DO=BO,∵DE∥BC,∴∠ODE=∠OBC,∠OED=∠OCB,∴ΔODE≌ΔOBC(AAS),∴DE=BC,∴四边形BCDE为平行四边形,∵CE⊥BD,∴四边形BCDE为菱形.(2)(ⅰ)根据解析(1)可知,BO=DO,∴CE垂直平分BD,∴BE=DE,∵BO=DO,∴∠BEO=∠DEO,∵DE垂直平分AC,∴AE=CE,∵EG⊥AC,∴∠AEG=∠DEO,∴∠AEG=∠DEO=∠BEO,∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°,∴∠CED=180°=60°.3(ⅱ)连接EF,∵EG⊥AC,∴∠EGF=90°,∴∠EFA=90°−∠GEF,∵∠AEF=180°−∠BEF=180°−∠BEC−∠CEF=180°−∠BEC−(∠CEG−∠GEF)=180°−60°−60°+∠GEF=60°+∠GEF∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴90°−∠GEF=60°+∠GEF,∴∠GEF=15°,∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°,∵CE⊥BD,∴∠EOF=∠EOB=90°,∴∠OFE=90°−∠OEF=45°,∴∠OEF=∠OFE,∴OE=OF,∵AE=CE,∴∠EAC=∠ECA,∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°,∴∠ECA=30°,∵∠EBO=90°−∠OEB=30°,∴∠OCF=∠OBE=30°,∵∠BOE=∠COF=90°,∴ΔBOE≌ΔCOF(AAS),∴BE=CF.小提示:本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,菱形的判定,直角三角形的性质,作出辅助线,得出∠GEF=15°,得出OE=OF,是解题的关键.18、如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,且AB=AC,CF是∠ACB的角平分线交AB于点F,在AD上取一点E,使AB=AE,连接BE交CF于点P.(1)求证:BP=CP;(2)若BC=4,∠ABC=45°,求平行四边形ABCD的面积.答案:(1)见解析;(2)8分析:(1)设AP与BC交于H,根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBE,根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB,推出BE平分∠ABC,求得AP平分∠BAC,根据线段垂直平分线的性质即可得到结论;(2)根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论.解:(1)如图,设AP与BC交于H,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,∴∠ABE=∠CBE,∴BE平分∠ABC,∵CF是∠ACB的角平分线,BE交CF于点P,∴AP平分∠BAC,∵AB=AC,∴AH垂直平分BC,∴PB=PC;(2)∵AH垂直平分BC,∴AH⊥BC,BH=CH=1BC=2,2∵∠ABH=45°,∴AH=BH=2,∴平行四边形ABCD的面积=4×2=8.小提示:本题考查了平行四边形的性质,线段垂直平分线的判定和性质,角平分线的定义,利用数形结合的思想是解题的关键.。
《易错题》初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点总结(专题培优)
一、选择题1.如图,菱形ABCD 中,50A ∠=︒,则ADB ∠的度数为( )A .65︒B .55︒C .45︒D .25︒A解析:A【分析】 由菱形得到AB=AD ,进而得到∠ADB=∠ABD ,再由三角形内角和定理即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 为菱形,∴AD=AB ,∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°,故选:A .【点睛】本题考查了菱形的性质,菱形的邻边相等,属于基础题,熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键.2.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,点D 在AC 边上且AD BD =,M 是BD 的中点.若16AC =,8BC =,则CM 等于( )A .5B .6C .8D .10A解析:A【分析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,得出12CM BD =,设CM x =,则2BD AD x ==,再根据勾股定理列方程求解即可得出答案.【详解】 解:90ACB ∠=︒,M 是BD 的中点,12CM BD ∴= 设CM x =,则2BD AD x ==16AC =162CD AC AD x ∴=-=-在Rt BCD △中,根据勾股定理得222BC CD BD +=即()()22281622x x +-=解得:5x =,故选A .【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理,熟练掌握性质定理是解题的关键. 3.如图,将菱形纸片ABCD 折叠,使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处,折痕为EF .若菱形ABCD 的边长为4,120B ∠=︒,则EF 的值是( )A .3B .2C .23D .4B解析:B【分析】 根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形,求得BD=4,再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论.【详解】解:连接AC ,BD∵四边形ABCD 是菱形,∴AC BD ⊥,BD 平分∠ABC ,4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形, ∴ 4.BD =由折叠的性质得:EF AO ⊥,EF 平分AO ,又∵BD AC ⊥,∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线, ∴122EF BD == 故选:B .【点睛】 本题考查了折叠性质,菱形性质,主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力. 4.如图,ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形,如果添加下列四个条件中的一个条件:①AC BD ⊥;②ΔΔABO CBO C C =;③DAO CBO ∠=∠;④DAO BAO ∠=∠,可以使这个新的四边形成为矩形,那么这样的条件个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个C解析:C【分析】 根据顺次连接四边形的中点,得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关,利用三角形中位线性质可得:当对角线垂直时,所得新四边形是矩形.逐一对四个条件进行判断.【详解】解:顺次连接四边形的中点,得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关,利用三角形中位线性质可得:当对角线垂直时,所得新四边形是矩形.①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形,符合条件; ②四边形ABCD 是平行四边形,,AO OC BO DO ∴==.ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=.根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥.所以新的四边形成为矩形,符合条件;③四边形ABCD 是平行四边形,CBO ADO ∠∠∴=.,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=.AO OD ∴=.,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形,连接各边中点得到的新四边形是菱形,不符合条件;④,DAO BAO BO DO ∠∠==,AO BD ∴⊥,即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直,∴新四边形是矩形.符合条件.所以①②④符合条件.故选:C .【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质,掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键. 5.如图,已知正方形1234A A A A 的边长为1,延长12A A 到1B ,使得1212B A A A =,延长23A A 到2B ,使得2323B A A A =,以同样的方式得到34,B B ,连接1234,,,B B B B ,得到第2个正方形1234B B B B ,再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ,……,则第2020个正方形的边长为( )A .2020B .2019(5)C .2020(5)D .20205B解析:B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长,从而发现数字的规律求解【详解】解:由题意可得:第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意,以此类推,215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选:B .【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索,题目难度不大,正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键.6.下列命题中,错误的是( )A .一组对边平行的四边形是梯形;B .两组对边分别相等的四边形是平行四边形;C .对角线相等的平行四边形是矩形;D .一组邻边相等的平行四边形是菱形.A解析:A【分析】根据梯形,平行四边形,矩形,菱形的判定进行判断即可.【详解】解:A 、一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形,故错误,符合题意; B 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形,正确,不符合题意;C 、对角线相等的平行四边形是矩形,正确,不符合题意;D 、一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确,不符合题意;故选:A .【点睛】主要考查梯形,平行四边形,矩形,菱形的判定,注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑.7.如图,以AB 为斜边的Rt ABC 和Rt ABD △位于直线AB 的同侧,连接CD .若135,6BAC ABD AB ∠+∠=︒=,则CD 的长为( )A .3B .4C .32D .33C解析:C【分析】 取AB 的中点O ,连结OD ,OC ,根据直角三角形的性质可得OA OD OB OC ===,可得BAC OCA ∠=∠,ABD ODB ∠=∠,OCD ODC ∠=∠,在四边形ABCD 中,根据四边形的内角和为360︒,135BAC ABD ∠+∠=︒,可得出90OCD ODC ∠+∠=︒,由OC OD =,可证得COD ∆是等腰直角三角形,由6AB =,根据勾股定理,即可得出CD 的长.【详解】取AB 的中点O ,连结OD ,OC ,∵Rt ABD ∆和Rt ABC ∆的斜边为AB ,∴12OD AB =,12OC AB =, ∴OA OD OB OC ===, ∴BAC OCA ∠=∠,ABD ODB ∠=∠,OCD ODC ∠=∠,在四边形ABCD 中,360BAC OCA ABD ODB OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒, ∵135BAC ABD ∠+∠=︒,∴90OCD ODC ∠+∠=︒,∵OC OD =,∴45OCD ODC ∠=∠=︒,∴COD ∆是等腰直角三角形,∵6AB =,∴3OC OD ==,∴22223332CD OC OD =+=+=,故选:C.【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的性质和以及勾股定理,解题的关键是正确做出辅助线.8.如图,已知在正方形ABCD 中,E 是BC 上一点,将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ,延长EF 交AB 于点G ,连接DG .现有如下4个结论:①AG =GF ;②AG 与EC 一定不相等;③45GDE ∠=︒;④BGE △的周长是一个定值.其中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4C解析:C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ,根据角的平分线的意义求∠GDE ,根据GE=GF+EF=EC+AG ,确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义,得△DEC ≌△DEF ,∴EF=EC ,DF=DC ,∠CDE=∠FDE ,∵DA=DF ,DG=DG ,∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ,∴AG=FG ,∠ADG=∠FDG ,∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=12(∠ADF+∠CDF)=45°,∵△BGE的周长=BG+BE+GE,GE=GF+EF=EC+AG,∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC,是定值,∴正确的结论有①③④,故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化,直角三角形的全等及其性质,角的平分线,三角形的周长,熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9.如图,在矩形纸片ABCD中,BC a,将矩形纸片翻折,使点C恰好落在对角线交点O处,折痕为BE,点E在边CD上,则CE的长为()A.12a B.25a C3D3D解析:D【分析】首先证明△OBC是等边三角形,在Rt△EBC中求出CE即可解决问题;【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∠BCD=90°,由翻折不变性可知:BC=BO,∴BC=OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°,∴∠EBC=∠EBO=30°,∴BE=2CE根据勾股定理得:333a,故选:D.【点睛】本题考查翻折变换,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是证明△OBC 是等边三角形.10.矩形不一定具有的性质是( )A .对角线互相平分B .是轴对称图形C .对角线相等D .对角线互相垂直参考答案D解析:D【分析】根据矩形的性质即可判断.【详解】解:∵矩形的对角线线段,四个角是直角,对角线互相平分,∴选项A 、B 、C 正确,故选:D .【点睛】本题考查矩形的性质,解题的关键是记住矩形的性质.二、填空题11.如图,在长方形纸片ABCD 中,12AB =,5BC =,点E 在AB 上,将DAE △沿DE 折叠,使点A 落在对角线BD 上的点A '处,则AE 的长为______.【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】 解析:103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长,再根据折叠可得AD=A′D=5,进而得到A′B 的长,再设AE=x ,则A′E=x ,BE=12-x ,再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程,解出x 的值,可得答案.【详解】解:∵AB=12,BC=5,∴AD=5,∴22125+=13,根据折叠可得:AD=A′D=5,∴A′B=13-5=8,设AE=x ,则A′E=x ,BE=12-x ,在Rt △A′EB 中:(12-x )2=x 2+82,解得:x=103. 故答案为:103. 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点,能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键.12.如图:在ABC ∆中,13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点,连接DE CD 、,如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___.30【分析】根据三角形的中位线性质求出AC的长再求出ΔABC 的周长【详解】∵点DE 分别是ABBC 的中点∴DE 是ΔABC 的中位线∴DE=AC ∵DE=25∴AC=5∵AB=13BC=12∴C △ABC=A解析:30【分析】根据三角形的中位线性质,求出AC 的长,再求出ΔABC 的周长.【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点,∴DE 是ΔABC 的中位线,∴ DE=12AC , ∵ DE=2.5 ,∴ AC=5 , ∵ AB=13 , BC=12 ,∴ C △ABC =AB+BC+AC=13+12+5=30.故答案为:30.【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理,解题的关键是掌握,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.13.己知菱形ABCD 的边长是3,点E 在直线AD 上,DE =1,联结BE 与对角线AC 相交于点M ,则AM MC的值是______.或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解:∵菱形ABCD 的边长是 解析:23或43 【分析】 首先根据题意作图,注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上,然后由菱形的性质可得AD ∥BC ,则可证得△MAE ∽△MCB ,根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案.【详解】解:∵菱形ABCD 的边长是3,∴AD=BC=3,AD ∥BC ,如图①:当E 在线段AD 上时,∴AE=AD -DE=3-1=2,∴△MAE ∽△MCB ,∴23MA AE MC BC ==; 如图②,当E 在AD 的延长线上时,∴AE=AD+DE=3+1=4,∴△MAE ∽△MCB ,∴43MA AE MC BC ==. ∴MA MC的值是23或43. 故答案为23或43.【点睛】此题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质等知识.解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况,小心不要漏解.14.已知:如图,把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,使D C 、分别落在D C ''、的位置,若65EFB ︒∠=,则AED '∠的度数为_________.【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解:长方形纸片由折叠可得:故答案为:【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质 解析:50︒【分析】由长方形纸片ABCD ,65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案.【详解】 解: 长方形纸片ABCD ,65EFB ∠=︒,//,AD BC ∴65DEF EFB ∴∠=∠=︒,由折叠可得:65D EF DEF '∠=∠=︒,180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为:50.︒【点睛】本题考查的是矩形与折叠,平行线的性质,简单题,解题的关键是理解折叠的性质. 15.在ABCD 中,BE AD ⊥于E ,BF CD ⊥于F ,若60EBF ︒∠=,且3AE =,2DF =,则EC =_______.【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解:∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC 91【分析】由▱ABCD 中,BE ⊥AD ,BF ⊥CD ,可得∠D=120°,继而求得∠A 与∠BCD 的度数,然后由勾股定理求得AB ,BE ,BC 的长,继而求得答案.【详解】解:∵BE ⊥AD ,BF ⊥CD ,∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°,∵∠EBF=60°,∴∠D=120°,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠BCD=∠A=60°,∵在△ABE 中,∠ABE=30°,∴AB=2AE=2×3=6,∴CD=AB=6,BE=2233AB AE -=,∴CF=CD-DF=6-2=4,∵在△BFC 中,∠CBF=30°,∴BC=2CF=2×4=8,∴CE=2291BE BC +=,故答案为:91.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质.此题难度适合,注意掌握数形结合思想的应用.16.如图,A B 、两点分别位于山脚的两端,小明想测量A B 、两点间的距离,于是想了个主意,先在地上取一个可以直接达到A B 、两点的点C ,找到AC BC 、的中点D 、E ,并且测出DE 的长为15m ,则A B 、两点间的距离为_________m .30【分析】由DE 分别是边ACAB 的中点首先判定DE 是三角形的中位线然后根据三角形的中位线定理求得AB 的长即可【详解】解:∵DE 分别是ACBC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线根据三角形的中位线定理得: 解析:30【分析】由D ,E 分别是边AC ,AB 的中点,首先判定DE 是三角形的中位线,然后根据三角形的中位线定理求得AB 的长即可.【详解】解:∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,根据三角形的中位线定理,得:AB=2DE=30m .故答案为:30.【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用;熟记三角形中位线定理是解决问题的关键. 17.如图在矩形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ,若30,2ACB AB ︒∠==,则BD 的长为_______.4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为:4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是 解析:4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4,利用矩形的性质得到BD=AC=4即可.【详解】在矩形ABCD 中,90ABC ︒∠=,30,2ACB AB ︒∠==,2224AC AB ∴==⨯=,∵四边形ABCD 是矩形,4BD AC ∴==.故答案为:4.【点睛】此题考查矩形的性质,直角三角形30度角的性质,熟记各性质是解题的关键. 18.如图,在平行四边形ABCD 中,∠ABC =135°,AD =42,AB =8,作对角线AC 的垂直平分线EF ,分别交对边AB 、CD 于点E 和点F ,则AE 的长为_____.【分析】连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H设AE=x 则BE=8-xCE=AE=x 在根据勾股定理即可得到x 的值【详解】如图:连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H 平行四边形ABCD 中设AE=x 则BE= 解析:203【分析】连接CE ,过点C 作CH AB ⊥,交AB 的延长线于点H ,设AE=x ,则BE=8-x ,CE=AE=x ,在根据勾股定理,即可得到x 的值.【详解】如图:连接CE ,过点C 作CH AB ⊥,交AB 的延长线于点H ,平行四边形ABCD 中,135,42ABC AD ∠=︒=,45,42CBH BC ∴∠=︒=,90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ,则BE=8-x ,EF 垂直平分AC ,CE AE x ∴==,在Rt CEH 中,222CH EH EC +=,()222484x x ∴+-+=,解得:203x =, AE ∴的长为203, 故答案为:203. 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质,勾股定理以及线段垂直平分线的性质,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理求解.19.如图,以Rt ABC 的斜边BC 为边,向外作正方形BCDE ,设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ,连接AO ,若3AC =,6AO =,则AB 的值是__________.【分析】如详解图:作垂足为F 的延长线垂足为G 可证可得四边形AFOG 为正方形BF=CGAF=AG=进而可求得答案【详解】如图所示:作垂足为F 的延长线垂足为G 则四边形AFOG 为矩形四边形BCDE 是正方形 解析:623【分析】如详解图:作OF AB ⊥垂足为F ,OG AG ⊥的延长线,垂足为G ,可证OFB OGC △≌△,可得四边形AFOG 为正方形,BF=CG ,AF=AG=32,进而可求得答案.【详解】如图所示:作OF AB ⊥垂足为F ,OG AG ⊥的延长线,垂足为G ,则四边形AFOG 为矩形,四边形BCDE 是正方形,∴OB=OC ,90BOC ∠=°,9090COG COF BOF COF BOF COG∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠,,OFB OGC OB OC OFB OGCOF OG∠=∠=∴∴=△≌△ S ∴四边形AFDG 为正方形63233233233223AO AF AG AC CG AG AC BF CGAB AF BF AG CG =∴===∴=-==∴=+=+=+=故答案为:623.【点睛】本题考查了正方形的性质和判定,全等三角形的性质,关键是构造全等三角形证明. 20.如图,长方形ABCD 中,4=AD ,3AB =,点P 是AB 上一点,1AP =,点E 是BC 上一动点,连接PE ,将BPE 沿PE 折叠,使点B 落在B ',连接DB ',则PB DB ''+的最小值是________.【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为:【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 解析:17 【分析】 根据题意可知PB DB ''+最小时,B '落在线段PD 上,利用勾股定理求出PD 即可.【详解】如图,连接PD ,根据题意可知当B '落在线段PD 上时,PB DB ''+最小,且最小值为PD 长.在Rt APD 中,2211617PD AP AD =+=+=.综上可知PB DB ''+最小值为17.17【点睛】本题考查翻折的性质,结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时,PB DB ''+最小是解答本题的关键.三、解答题21.如图,在ABC 中,D 是AB 的中点,AC =2,BC =2,AB =3,延长AC 到E ,使得CE =CD ,连接BE .(1)求证:∠ACB =90°;(2)求线段BE 的长度.解析:(1)见解析;(2)11 【分析】 (1)利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ;(2)在直角△BCE 中,利用勾股定理来求BE 的长度.【详解】证明:(1)∵在△ABC 中,AC =2,BC =22,AB =23,∴AC 2=4,BC 2=8,AB 2=12,∴AC 2+BC 2=AB 2.∴∠ACB =90°;(2)由(1)知,∠ACB =90°,则∠BCE =90°.∵D 是AB 的中点,AB =23,CE =CD ,∴CE =CD =12AB =3. ∴在直角△BCE 中,由勾股定理得:BE =22BC EC +=22(22)(3)+=11.【点睛】本题主要考查了勾股定理,勾股定理的逆定理,直角三角形斜边上的中线.注意:勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.22.如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC 与BD 相交于点O ,∠AOD =60°,AD =2,求AC 的长度.解析:4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质,可以得到OA 的长,从而可以求得AC 的长.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =OC =OB =OD ,∵∠AOD =60°,AD =2,∴△AOD 是等边三角形,∴OA =OD =2,∴AC =2OA =4,即AC 的长度为4.【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,熟记性质并判断出△AOB 是等边三角形是解题的关键.23.已知:如图,在四边形ABCD 中,点G 在边BC 的延长线上,CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠,//EF BC 交CD 于点O .(1)求证:OE OF =;(2)若点O 为CD 的中点,求证:四边形DECF 是矩形.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)由角平分线的定义及平行线的性质可证得DCE FEC ∠=∠,EFC DCF ∠=∠,得OE OC =,OF OC =,即可得出结论;(2)先证得四边形DECF 是平行四边形,再利用角平分线的定义可求得90ECF ∠=︒,则可证得四边形DECF 为矩形.【详解】证明:(1)∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠∴BCE DCE ∠=∠,DCF GCF ∠=∠∵EF ∥BC ,∴BCE FEC ∠=∠,EFC GCF ∠=∠∴DCE FEC ∠=∠,EFC DCF ∠=∠∴OE OC =,OF OC =,∴OE OF =.(2)∵点O 为CD 的中点,∴OD OC =,又OE OF =,∴四边形DECF 是平行四边形∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠, ∴12DCE BCD ∠=∠,12DCF DCG ∠=∠ ∴()11=9022DCE DCF BCD DCG BCG ∠+∠=∠+∠∠=︒ ∵DCE DCF ECF ∠+∠=∠, ∴90ECF ∠=︒∵四边形DECF 是平行四边形,∴平行四边形DECF 是矩形.【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识,掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键.24.(1)如图,已知线段a ,c ,求作Rt ABC ,使得90C ∠=︒,BC a =,AB c =;(2)在Rt ABC 中,斜边AB 边上的中线长为5,7BC =,试比较AC ,BC 的大小. 解析:(1)见解析;(2)BC <AC【分析】(1)画射线BD ,以B 为端点取BC=a ,过点C 作BD 的垂线,再以点B 为圆心,c 为半径画弧,与该垂线交于点A 即可;(2)根据直角三角形的性质得到AB ,利用勾股定理求出AC ,再比较大小即可.【详解】解:(1)如图,△ABC 即为所作;(2)如图,直角三角形ABC 中,∠C=90°,D 为AB 中点,则CD=5,BC=7,∴AB=10,∴22107-51∵7=49<51,∴BC <AC .【点睛】本题考查了尺规作图,直角三角形的性质,勾股定理,实数的大小比较,解题的关键是依据题意作出图形.25.如图,在正方形ABCD 中,点P 是对角线AC 上的一点,点E 在BA 的延长线上,且PB PE =,连结DE .(1)求证:PD PE =.(2)试判断DE 和BP 的数量关系,并说明理由.解析:(1)见解析;(2)2DE BP =,见解析 【分析】(1)根据SAS 证明APD APB ≌△△可得PD=PB ,再结合PD=PE 即可得出结论; (2)证明DPE 是等腰直角三角形即可得出结论.【详解】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD =,∵AC 是正方形ABCD 的对角线,∴=45CAD CAB ∠=∠︒∵AP AP =,∴()APD APB SAS ≌, ∴PD PB =, ∵PB PE =,∴PD PE =. (2)2DE BP =.理由如下:∵由(1)知,APD APB ≌△△,PD PB PE ==,∴设PEB PBE PDA x ∠=∠=∠=︒,∴1802EPB x ∠=︒-︒,∵45DAP ∠=︒,∴18045135DPA BPA x x ∠=∠=︒-︒-=︒-︒,∴1802(135)45APE EPB BPA x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒,∴135(45)90DPE DPA APE x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒.∴DPE 是等腰直角三角形,∴22DE DP BP ==. 【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.26.如图,在AOB 和COD △中,OA OB =, OC OD =,90AOB COD ∠=∠=︒,点C 在边AB 上,点 G 是线段AD 的中点.(1)求ABD ∠的度数;(2)求证:OG 平分AOB ∠.解析:(1)∠ABD=90°;(2)证明见解析.【分析】(1)只需要证明△BOD ≌△AOC ,再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°,从而求得ABD ∠的度数;(2)延长BD 与AO 的延长线交于E ,可证明△OBE ≌△OBA ,得出OA=OE ,从而得出OG 为△ADE 的中位线,根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°,继而证明结论.【详解】解:(1)∵∠AOB=∠COD=90°,OA OB =,∴∠OBA=∠OAB=45°,∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ,即∠AOC=∠BOD ,又∵OA OB =,OC OD =,∴△BOD ≌△AOC (SAS ),∴∠OBD=∠OAB=45°,∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°;(2)延长BD 与AO 的延长线交于E ,∵∠AOB=90°,∴∠BOE=90°,又∵OB=OB ,∠OBD=∠OBA=45°,∴△OBE ≌△OBA (SAS ),∴∠E=∠OAB=45°,EO=OA ,又∵G 为AD 的中点,∴OG 为△ADE 的中位线,即OG//ED ,∴∠AOG=∠E=45°,即12AOG AOB ∠=∠ , ∴OG 平分AOB ∠.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定,三角形中位线定理,等腰直角三角形的性质.(1)中掌握全等三角形的判定定理,并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键;(2)中正确作出辅助线是解题关键.27.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,D 为AB 的中点,AE //CD ,CE //AB ,连接DE 交AC 于点O .(1)证明:四边形ADCE 为菱形;(2)若∠B =60°,BC =6,求菱形ADCE 的高.解析:(1)见解析;(2)3√3【分析】(1)先证明四边形ADCE 是平行四边形,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=AD ,即可得出四边形ADCE 为菱形; (2)过点D 作DF ⊥CE ,垂足为点F ;先证明△BCD 是等边三角形,得出∠BDC=∠BCD=60°,CD=BC=6,再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°,在Rt △CDF 中,求出DF 即可.【详解】解:(1)证明:∵AE ∥CD ,CE ∥AB ,∴四边形ADCE 是平行四边形,∵∠ACB=90°,D 为AB 的中点,∴CD=12AB=AD , ∴四边形ADCE 为菱形;(2)过点D 作DF ⊥CE ,垂足为点F ,如图所示:DF 即为菱形ADCE 的高,∵∠B=60°,CD=BD ,∴△BCD 是等边三角形,∴∠BDC=∠BCD=60°,CD=BC=6,∵CE ∥AB ,∴∠DCE=∠BDC=60°,∴∠CDF=30°,又∵CD=BC=6,∴CF=3,∴在Rt △CDF 中,DF=√CD 2−CF 2=3√3.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质,熟练掌握直角三角形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.28.已知:如图,在ABCD 中,延长DC 至点E ,使得DC CE =,连接AE ,交边BC 于点F .连接AC ,BE .(1)求证:四边形ABEC 是平行四边形.(2)若2AFC D ∠=∠,求证:四边形ABEC 是矩形.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)根据题意可得到//AB CE ,从而再证明AB CE =即可得出结论;(2)结合(1)的结论可以得到//BC AD ,BCE D ∠=∠,再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠,从而得到FC FE =即可得出结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴//AB CD ,AB CD =,即//AB CE ,∵DC CE =,∴AB CE =,∴四边形ABEC 是平行四边形;(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴//BC AD ,BCE D ∠=∠,∵四边形ABEC 是平行四边形,又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠,∴当2AFC D ∠=∠时,则有FEC FCE ∠=∠,∴FC FE =,AE BC =,∴四边形ABEC 是矩形.【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定,矩形的判定,熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键.。
整理八年级数学下册第十八章平行四边形带答案重点归纳笔记
(名师选题)整理八年级数学下册第十八章平行四边形带答案重点归纳笔记单选题1、如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.42、菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为()A.4:1B.5:1C.6:1D.7:13、如图,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值是()A.5B.10C.6D.84、如图,四边形ABCD是矩形纸片,AB=6,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,折痕为EF.展平后再过点B折叠矩形纸片,使点A落在EF上的点N,折痕为BM,再次展平,连接BN,MN,延长MN交BC于点G.有如下结论:①∠ABN=60°;②AM=3;③△BMG是等边三角形;④EN=3√3;⑤P为线段BM上一动点,H是线段BN上的动点,则PN+PH的最小值是3√3.其中正确结论有()A .①②③⑤B .①②③④C .①③④⑤D .①②③④⑤5、如图,点A ,B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C 为坐标平面内一点,BC =1,点M 为线段AC 的中点,连接OM ,则OM 的最大值为( )A .√2+1B .√2+12C .2√2+1D .2√2−126、如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =5,点E 为CB 上一动点(不与点C 重合),将△CDE 沿DE 所在直线折叠,点C 的对应点C '恰好落在AE 上,则CE 的长是( )A .√2B .1C .2D .√37、图,在△ABC 中,AB =AC ,四边形ADEF 为菱形,O 为AE ,DF 的交点,S △ABC =8√3 ,则S 菱形ADEF =( )A .4B .4√6C .4√3D .4√28、如图,在矩形ABCD 中,AB =4cm ,对角线AC 与BD 相交于点O ,DE ⊥AC ,垂足为E ,AE =3CE ,则DE 的长为( )A.√3cm B.2cmC.2√2cm D.2√3cm9、某街区街道如图所示,其中CE垂直平分AF,AB//CD,BC//DF.从B站到E站有两条公交线路;线路1是B→D→A→E,线路2是B→C→F→E,则两条线路的长度关系为()A.路线1较短B.路线2较短C.两条路线长度相等D.两条线路长度不确定10、如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A.AB+BC=AC B.AB= AD C.OA= OD D.∠ABC+∠ADC=180°解答题11、如图,四边形ABCD是一个正方形花园,E、F是它的两个门,且DE=CF,要修建两条路BE和AF,这两条路等长吗?它们有什么位置关系?请证明你的猜想.12、如图,在矩形ABCD中,AB=15,E是BC上的一点,将△ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;BE,点F在DG上,将△ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,且CE=45(1)求AD的长;(2)求FG的长13、如图,已知以△ABC的三边为边,在BC的同侧分别作等边三角形ABD、BCE和ACF.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?并说明理由;(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在?请说明理由.整理八年级数学下册第十八章平行四边形带答案(二十三)参考答案1、答案:C分析:根据题意作出合适的辅助线,然后逐一分析即可.如图,连接AC、与BD交于点O,连接ME,MF,NF,EN,MN,∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OB=OD∵BE=DF∴OE=OF∵点E、F时BD上的点,∴只要M,N过点O,那么四边形MENF就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF,故①正确;只要MN=EF,MN过点O,则四边形MENF是矩形,∵点E、F是BD上的动点,∴存在无数个矩形MENF,故②正确;只要MN⊥EF,MN过点O,则四边形MENF是菱形;∵点E、F是BD上的动点,∴存在无数个菱形MENF,故③正确;只要MN=EF,MN⊥EF,MN过点O,则四边形MENF是正方形,而符合要求的正方形只有一个,故④错误;故选:C小提示:本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意,作出合适的辅助线.2、答案:B分析:先根据菱形的性质求出边长AB=2,再根据直角三角形的性质求出∠B=30°,得出∠DAB=150°,即可得出结论.如图所示:∵四边形ABCD是菱形,菱形的周长为8,∴AB=BC=CD=DA=2,∠DAB+∠B=180°,∵AE=1,AE⊥BC,∴AE=1AB,2∴∠B=30°,∴∠DAB=150°,∴∠DAB:∠B=5:1;故选B.小提示:本题考查菱形的性质.3、答案:A分析:作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出CP、BP,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.解:作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,则P是AC中点,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即Q在AB上,∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ,∵M为BC中点,∴Q为AB中点,∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴PQ∥AD,而点Q是AB的中点,故PQ是△ABD的中位线,即点P是BD的中点,同理可得,PM是△ABC的中位线,故点P是AC的中点,即点P是菱形ABCD对角线的交点,∵四边形ABCD是菱形,则△BPC为直角三角形,CP=12AC=3,BP=12BD=4,在Rt△BPC中,由勾股定理得:BC=5,即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5,故选:A.小提示:本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.4、答案:C分析:①首先根据EF垂直平分AB,可得AN=BN,然后根据折叠的性质,可得AB=BN,据此判断出△ABN为等边三角形,即可判断出∠ABN=60°;②首先根据∠ABN=60°,∠ABM= ∠NBM,求出∠ABM=∠NBM=30°,然后在Rt△ABM中,根据AB=6,求出AM的大小即可;③求出∠AMB=60°,得到∠BMG=60°,根据AD∥BC,求出∠BGM=60°即可;④根据勾股定理求出EN即可;⑤根据轴对称图形的性质得到AP=PN,PN+PH=AH,且当AH⊥BN时,PN+PH最小,应用勾股定理,求出AH的值即可.解:如图,连接AN,∵EF垂直平分AB,∴AN=BN,根据折叠的性质,可得AB=BN,∴AN=AB=BN,∴△ABN为等边三角形,∴∠ABN=60°,∠PBN=1×60°=30°,即结论①正确;2∵∠ABN=60°,∠ABM=∠NBM,∴∠ABM=∠NBM=1×60°=30°,2∴BM=2AM,∵AB=6,AB2+AM2=BM2,∴62+AM2=(2AM)2,解得AM=2√3,即结论②不正确;∵∠AMB=90°-∠ABM=60°,∴∠BMG=∠AMB=60°,∵AD∥BC,∴∠MBG=∠AMB=60°,∴∠BGM=60°,△BMG是等边三角形;即结论③正确;∵BN=AB=6,BN=3,∴EN=√BN2−BE2=√62−32=3√3,即结论④正确;连接AN,∵△ABM与△NBM关于BM轴对称,∴AP=NP,∴PN+PH=AP+PH,∴当点A、P、H三点共线时,AP+PH=AH,且当AH⊥BN时AH有最小值,∵AB=6,∠ABH=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=3,∴AH=√AB2−BH2=√62−32=3√3,∴PN+PH的最小值是3√3,即结论⑤正确;故选:C.小提示:此题考查了矩形的性质,轴对称的性质,全等三角形的判定及性质,等边三角形的判定及性质,直角三角形30度角的性质,熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键.5、答案:B分析:如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,根据三角形的三边关系可知OM<ON+MN,则当ON与MN共线时,OM= ON+MN最大,再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答.解:如图所示,取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知OM<ON+MN,则当ON与MN共线时,OM= ON+MN最大,∵A(2,0),B(0,2),则△ABO为等腰直角三角形,∴AB=√OA2+OB2=2√2,N为AB的中点,∴ON=12AB=√2,又∵M为AC的中点,∴MN为△ABC的中位线,BC=1,则MN=12BC=12,∴OM=ON+MN=√2+12,∴OM的最大值为√2+12故答案选:B.小提示:本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质,解题的关键是确定当ON与MN共线时,OM= ON+MN最大.6、答案:B分析:由矩形的性质得出∠B=∠C=90°,AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得C'D=CD=3,C'E=CE,由勾股定理得出AC',在Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AD=BC=5,CD=AB=3,由折叠的性质得:C'D=CD=3,C'E=CE,∠DC'E=∠C=90°,∴∠AC'D=90°,∴AC'=√AD2−C′D2=4,设CE=C'E=x,在Rt△ABE中,BE=5-x,AE=x+4,由勾股定理得:(5-x)2+32=(x+4)2,解得:x=1,故选:B.小提示:本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换和矩形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.7、答案:CBC,从而得出AE为△ABC 分析:根据菱形的性质,结合AB=AC,得出DF为△ABC的中位线,DF∥BC,DF=12的高,得出BC×AE=16√3,再根据菱形的面积公式,即可得出菱形的面积.解:∵四边形ADEF为菱形,∴EF∥AB,DE∥AC,AF=EF=DE=AD,AE⊥DF,∴∠CEF=∠B,∠DEB=∠C,∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠CEF=∠B=∠C=∠DEB,∴CF=EF,DE=DB,∴CF=AF,AD=DB,∴DF∥BC,DF=1BC,2∵∠AOD=90°,∴∠AEB=∠AOD=90°,∴AE⊥BC,∵S△ABC=8√3,BC×AE=8√3,∴12即BC ×AE =16√3,∴S 菱形ADEF =12DF ×AE =12×12BC ×AE =14×16√3=4√3,故C 正确. 故选:C .小提示:本题主要考查了菱形的性质,中位线的性质,等腰三角形的性质和判断,平行线的性质,菱形的面积,三角形面积的计算,根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF 为△ABC 的中位线,是解题的关键.8、答案:D分析:由矩形的性质得出OA =OD =OC ,再根据线段垂直平分线的性质得出OD =CD ,最后根据勾股定理计算,即可得到答案.∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =12AC ,OD =12BD ,AC =BD ,CD =AB =4cm ,∴OA =OD =OC ,∵DE ⊥AC ,AE =3CE ,AE +CE =2OC∴OE =CE =12OC ,∠DEA =90°, ∴OD =CD =4cm ,∴OC =OD =CD =4cm ,∴OE =CE =12OC =2cm∴DE =√OD 2−OE 2=2√3cm故选:D .小提示:本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识;解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线的性质,从而完成求解.9、答案:C分析:由于路线1的路程为BD +DA +AE ,路线2的路程为BC +CF +FE ,将问题变为比较它们的大小这一数学问题.解:这两条路线路程的长度一样.理由如下:延长FD交AB于点G.∵BC∥DF,AB∥DC,∴四边形BCDG是平行四边形,∴DG=CB.∵CE垂直平分AF,∴FE=AE,DE∥AG,∴FD=DG,∴CB=FD.又∵BC∥DF,∴四边形BCFD是平行四边形.∴CF=BD.①∵CE垂直平分AF,∴AE=FE,FD=DA.②∴BC=DA.③路线1的长度为:BD+DA+AE,路线2的长度为:BC+CF+FE,综合①②③,可知路线1路程长度与路线2路程长度相等.故选C.小提示:本题是一个图形在交通方面的应用题,解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型,并利用图形知识来解决这一模型,从而解决实际问题.考查线段的垂直平分线的性质,平行四边形判定与性质,中位线等知识.10、答案:B分析:由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A;根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B;根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D.解:A.∵AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形,故本选项不符合题意;B.∵AB=AD,∴▱ABCD为菱形,故本选项符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,故本选项不符合题意;D.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴▱ABCD为矩形,故本选项不符合题意;故选:B.小提示:本题考查了矩形的判定定理,勾股定理的逆定理,平行四边形的性质,熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键.11、答案:BE=AF,BE⊥AF,证明见解析分析:根据正方形性质可得,AB=AD=CD,又有DE=CF,因此可以得到AE=DF,因此可以证明得到△BAE≌ADF,从而证明得到BE=AF,∠AEB=∠DFA,根据三角形内角和定理可以得到∠EAO+∠DFA=90°,等量代换即可得到∠EAO+∠AEB=90°,因此证明得到∠AOE =90°,从而证明得到结论.解:猜想BE=AF,BE⊥AF,理由如下:∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD=CD,∠D=∠BAD=90°∵DE=CF,∴AD-DE=CD-CF,即AE=DF在△BAE和△ADF中,{AE=DF ∠BAE=∠D AB=AD∴△BAE≌ADF(SAS)∴BE=AF,∠AEB=∠DFA,∵∠D=90°∴∠EAO+∠DFA=90°∴∠EAO+∠AEB=90°∴∠AOE=90°∴BE⊥AF小提示:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,综合运用知识分析推导结论是本题的关键.12、答案:(1)AD= 9;(2)FG=7.5分析:(1)设CE=4x,则BE=5x,在Rt△CEG和Rt△AGD中,分别求得CG=3x,GD=√152−(9x)2,再利用CG+GD=CD=15,构造方程求得x的值,即可求解;(1)设HF=y,利用S△ADG=S△AFG+S△ADF,构造方程求得y的值,即可求解.(1)∵CE=45BE,∴设CE=4x,则BE=5x,∴BC=AD=CE+ BE=9x,∵△AGE是由△ABE翻折得到的,∴GE= BE=5x,AG=AB=15,在Rt△CEG中,由勾股定理可知:CG=√EG2−EC2=√(5x)2−(4x)2=3x,在Rt△AGD中,由勾股定理可知:GD=√AG2−AD2=√152−(9x)2,∵CG+GD=CD=15,∴3x+√152−(9x)2=15,解得:x=1,AD=9;(2)由(1)知:CG=3,GD=12,设HF=y,∵△AHF是由△ADF翻折得到的,∴HF=DF=y,∵S△ADG=S△AFG+S△ADF,即12DG×AD=12AG×FH+12DF×AD,∴12×9=15y+9y,解得:y=4.5,即DF=4.5,∴FG=CD−CG−DF=15−3−4.5=7.5.小提示:本题考查了矩形的性质,翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.13、答案:(1)证明见解析;(2)当AB=AC时,四边形ADEF是菱形,当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.理由见解析;(3)不总是存在,理由见解析分析:(1)根据等边三角形的性质得出AC=AF,AB=BD,BC=BE,∠EBC=∠ABD=60°,求出∠DBE=∠ABC,根据SAS推出△DBE≌△ABC,根据全等得出DE=AC,求出DE=AF,同理AD=EF,根据平行四边形的判定推出即可;(2)当AB=AC时,四边形ADEF是菱形,根据菱形的判定推出即可;当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形,求出∠DAF=90°,根据矩形的判定推出即可;(3)这样的平行四边形ADEF不总是存在,当∠BAC=60°时,此时四边形ADEF就不存在.(1)证明:∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形,∴AC=AF,AB=BD,BC=BE,∠EBC=∠ABD=60°,∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA,在△DBE和△ABC中{BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC,∴△DBE≌△ABC(SAS),∴DE=AC,∵AC=AF,∴DE=AF,同理AD=EF,∴四边形ADEF是平行四边形;(2)解:当AB=AC时,四边形ADEF是菱形,理由是:∵△ABD和△AFC是等边三角形,∴AB=AD,AC=AF,∵AB=AC,∴AD=AF,∵四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF是菱形;当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形,理由是:∵△ABD和△ACF是等边三角形,∴∠DAB=∠FAC=60°,∵∠BAC=150°,∴∠DAF=90°,∵四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF是矩形;(3)解:这样的平行四边形ADEF不总是存在,理由是:当∠BAC=60°时,∠DAF=180°,此时点D、A、F在同一条直线上,此时四边形ADEF就不存在.小提示:本题考查了菱形的判定,矩形的判定,平行四边形的判定,等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
平行四边形章节知识梳理
一.知识点:
1、定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定义中的“两组对边平行”是它的特征,抓住了这一特征,记忆理解也就不困难了.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个判定方法.同学们要在理解的基础上熟记定义.
2、性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的.
(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;
(2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等;
(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分;
(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;(5)面积:①=底×高=ah;②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
3.平行四边形的判别方法
①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形
4、.几种特殊四边形的有关概念
(1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:1.平行四边形;2.一个角是直角,两者缺一不可.
(2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:1.平行四边形;2.一组邻边相等,两者缺一不可.
(3)正方形:一组邻边相等的矩形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.
(4)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,对于这个定义,要注意把握:1.一组对边平行;2.一组对边不平行,同时要注意和平行四边形定义的区别,还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题.
5.几种特殊四边形的有关性质
(1)矩形:1.边:对边平行且相等;2.角:对角相等、邻角互补;3.对角线:对角线互相平分且相等;4.对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)菱形:1.边:四条边都相等;2.角:对角相等、邻角互补;3.对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;4.对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.
(3)正方形:1.边:四条边都相等;2.角:四角相等;3.对角线:对角线
互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450;4.对称性:既是轴对称图形又是中心对称图形.
6、几种特殊四边形的判定方法
(1)矩形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③四个角都相等
(2)菱形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形;②对角线互相垂直的平行四边形;③四条边都相等.
(3)正方形的判定:满足下列条件之一的四边形是正方形.
①有一个角是直角的菱形;②有一组邻边相等的矩形;③对角线相等的菱形;④对角线互相垂直的矩形.
7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
(1)识别矩形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.
②先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等.
③说明四边形ABCD的三个角是直角.
(2)识别菱形的常用方法
①先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任一组
邻边相等.
②先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直. ③说明四边形ABCD 的四条边相等.
(3)识别正方形的常用方法
①先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等.
②先说明四边形ABCD 为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等. ③先说明四边形ABCD 为矩形,再说明矩形的一组邻边相等.
④先说明四边形ABCD 为菱形,再说明菱形ABCD 的一个角为直角.
二、几种特殊四边形的面积问题
(1)设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ,则 S 矩形=ab .
(2)设菱形ABCD 的一边长为a ,高为h ,则 S 菱形=ah ;若菱形的两对角线的长分别为a,b ,则 S 菱形=2
ab 。
(3)设正方形ABCD 的一边长为a ,则 S 正方形=2a ;若正方形的对角线的
长为a ,则 S 正方形=2
2
a 。
三、多边形:
1.多边形的定义
在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形,叫
做多边形.
2.正多边形的定义
在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形.
3.探索多边形内角和公式n边形内角和公式:
⨯
︒
-n
n
180
)3
(
)2
(≥
(任意多边形的外角和都等于360°.)
4.密铺的定义:何谓密铺呢课本上介绍:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片,叫作平面图形的密铺.
5.密铺的特征:(1)边长都相等;(2)顶点公用;(3)在一个顶点处各正多边形的内角和为360.
四、中心对称图形
1、如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个中心点叫做对称中心。
2、图形上对称点的连线被对称中心平分;
五、重点和难点:
重点:1.平行四边形的性质和判定方法。
2.各种特殊四边形的性质和判断。
难点:1、用综合法证明命题时,究竟从哪个条件入手开始证明,并且要做到条理清楚是普遍的一大难点。
2、定理的选择,即是针对题目选择恰当的定理。
3、如何添加辅助线。
常见考法
(1)利用平行四边形的性质,求角度、线段长、周长;
(2)求平行四边形某边的取值范围;
(3)考查一些综合计算问题;
(4)利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒
(1)平行四边形的性质较多,易把对角线互相平分,错记成对角线相等;
(2)“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理,它只是个等腰梯形。