相量法基础知识_齐文斌
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1 1 1 1 ZC j 90 ， X C （容抗 0 ） jC C C C
二、导纳 1．定义：
def
（关联参考方向下）
阻抗Z的倒数定义为导纳Y。
Y
I 1 I i | Y | Y Z U U u
－－导纳模 －－导纳角
导纳三角形
1．定义：
（关联参考方向下）
+
I
N0
端口的电压相量与电流相量的 比值定义为一端口的阻抗Z。
U _
Z
def
U U u | Z | Z I I i
－－阻抗模 －－阻抗角
U | Z | I Z u i
+
I
Z
U _
单位：欧姆（Ω）
2．阻抗的代数形式：
i 2Icos( t Ψ ) F (t ) 2Ie
F(t) 还可以写成
复常数
j
jt F (t ) 2 Ie e 2 Ie F(t) 包含了三要素：I、 、， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
jt
i(t ) 2I cos( t Ψ ) I IΨ
I |Y | U Y i u
单位：西门子（S）
2．导纳的代数形式：
Y G jB
G Re〔Y〕 | Y | cosY B Im〔Y〕 | Y | sinY －－电导 －－电纳
|Y|
Y
B
G
4.阻抗和导纳的关系：
R X G B Y 2 j 2 ，Z 2 j 2 2 2 2 R X R X G B G B2
C相
120º 120º 120º
A相
B相
iu 1, i
角频率 有效值 初相位
I1 o
i1
i2
i 2 I2
i1+i2 i3
I t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
相量法与电力系统状态量
齐文斌 北京四方继保自动化股份有限公司
20012年4月26日
复数
1. 复数的表示形式 b 代数式
)
Im F |F|
F a jb
(j 1
j
指数式 o a 三角函数式 Re
F | F | e
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb
I RI jLI 用相量运算： U jC 相量法的优点
①把时域问题变为复数问题；
di 1 u (t ) Ri L idt dt C
②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
注意 ① 正弦量
时域 正弦波形图
相量 频域
有功与相位的关系
1
VAVB P sin( A B ) ZL
XL
P
A B
XL
电压角度 滞后
电压角度 领先
有功P
无功与电压幅值关系
VB VA cos( A B ) VB Q ZL
用标么值标示，高压电网电压角度差小， 电压幅值接近1，线路电阻很小
VA VB Q XL
相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变 线性电路。 不 适 1 用 非 线 线 2 线性 性 性 ③相量法用来分析正弦稳态电路。
波形图及相量图 pR uR
R U
URI
o 瞬时功率
I
u=i
同 相 位
i
t
pR uR i 2U R 2I cos (ω t Ψ i )
2．R、L、C单个元件的无功功率：
R： 0 QR 0
2 U QL UI LI 2 I2XL L 2 I QC - UI CU 2 I 2 XC C
L： 2 C： 2
电阻不消耗无功功率。
四、视在功率 为描述额定电压和额定电流的乘积。
无功Q 电压幅值大 电压幅值小
角度误差对功率误差的影响
在特定φ0处，由于φ的误差，导致的有功P0、无功 Q0相对误差如下： ⊿P/P0 = ⊿φ sinφ0/ cosφ0 ⊿Q/Q0 = ⊿φ cosφ0/ sinφ0 在电力系统正常运行状下，电压电流相位差φ0小， sinφ0趋于0，cosφ0趋近于1，sinφ0/ cosφ0趋于0， cosφ0/ sinφ0是一较大的数，在误差⊿φ一定的条件 下，⊿P/P0趋近于0 ，⊿Q/Q0是一不小的数，这就 是PMU的角度误差对无功量测影响大、对有功量测 影响小的原因了。
j t
jt
2 U 2 e ) Re( 2(U 1 U 2 )e jt )
jt
相量关系为：
U 1 U 2 U
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
例
i( t) + R L u ( t) C -
i(t ) 2 I cos( t i )
2
U R I [1 cos 2(ω t Ψ i )]
瞬时功率以2交变，始终大于零，表 明电阻始终吸收功率
阻抗和导纳
一、阻抗
对于一个含线性电阻、电感和电容等元件，但不含有独立源的一 端口网络N0，当它在角频率为ω 的正弦电压（或正弦电流）激励下处 于稳定状态时，端口的电流（或电压）将是同频率的正弦量。
模相除 角相减
相量的定义
电力系统常见的正弦电压和电流均可以表示为相量 瞬时值 相量
v(t)
Im
2V
f-f0
0
t (sec)
Re
1/f
v
2V cos2ft
j V Ve
相位Phase—>相量Phasor
同步相量测量原理
相量：幅值Leabharlann Baidu相角
x(t ) 2 X cos(t )
潮流方向约定
流出母线或节点为正，流 入母线或节点为负. 机组出力与上述相反. 负荷与支路一致.
o
试用相量表示i, u . 解
I 100 30 A,
o
U 220 60 o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos(314t 15 ) A
相量图
在复平面上用向量表示相量的图
IΨ i(t ) 2Icos(ω t Ψ ) I Uθ u(t ) 2Ucos( t θ ) U
相量相角与时间参考点(t=0)的选取有关，同一个 信号在不同的时间参考系下，对应的相角值是不 同的
频率变化时的同步相量
y’
f 50 Hz f 50 Hz
3 2
f 50 Hz f 50 Hz f 50 Hz
t
f 50 Hz
1
0
2 3
x’ 0
1
三相相量关系
S UI
五、相互关系
单位：伏安（VA）
P UIcos , Q UIsin , S UI P 2 Q2 S 2 , S P 2 Q2 , Q Ssin Q P arctan（ ） ， cos P S P Scos
复功率
1.定义：
j
F | F | e | F |
j
极坐标式
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
2 2
b |F|
F
o a Re
| F | a b b 或 a | F | cos θ arctan a b | F | sin
注意
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u (t ) 2U cos( t θ ) U Uθ o i 141 . 4 cos( 314 t 30 )A 例1 已知
u 311.1cos(3 14t 60 )V
正弦稳态电路的功率 §9-5 正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
定义：
p ui
u i
+
i
N0
单位：瓦特（W）
2Ucos（t u ） 2 Icos（t ） i
u
_
在正弦稳态情况下，设：
p ui UIcos（ u ） 2t u ） i UIcos（ i
+j
U
I
+1
4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1 (t ) 2 U1 cos( t Ψ 1) Re( 2 U 1 e j t ) u2 (t ) 2 U 2 cos( t Ψ 2) Re( 2 U 2 e )
j t
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jt ) Re( 2 U 1 e
cos －－单口网络的功率因 数 u - i －－功率因数角（对于 不含源的
单口网络，它就是阻抗 角）
P UIcos UI
有功功率就是一端口网络实际消耗的功率。
2．R、L、C单个元件的有功功率：
R： u i 0 L： u i / 2 C： u i / 2
PR UI U 2 / R I 2 R PL 0 PC 0
电路中只有电阻消耗有功功率，而电感和电容不消耗 有功功率。所以求电路中有功功率，可以根据定义求，也 可以直接求所有电阻上消耗的有功功率相加得到。
三、无功功率 1．定义： 为描述能量交换的大小规模。
Q UIsin
单位：乏（var）
令 u i 则 p UIcos UIcos（2t u ） i
UIsinsin（2t 2 u） UIcos 1 cos（2t u）
二、有功功率（平均功率） 1．定义： 瞬时功率在一个周期内的平均值。
1 T P pdt T 0 1 T UI〔cos cos（2t u ）〕 dt i T 0 UIcos 单位：瓦特（W）
+
I
N0
S
def
I * UI U u i
U _
UIcos jUI sin P jQ （单位：VA）
复功率将P、Q、S和λ融于一身。只要计算出电 压相量和电流相量，则各种功率均可得到。
2.应用：
I * ZI I * I 2 Z 阻抗Z： S U * I * U （YU ） U *Y * U 2Y * 导纳Y： S U U
F1 F2 F1 e F2 e
j1
j 2
F1 F2 e
jθ1
j (1 2 )
F1 F2 1 2
1
模相乘 角相加
2
F1 | F1 | θ1 | F1 | e | F1 | j( θ θ ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
若 则 Im F2
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
F2 F1-F2
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
无物理意义
j( t Ψ )
F (t ) 2Ie
2Icos(t Ψ ) j 2Isin(t Ψ )
对 F(t) 取实部 Re[F (t )]
2Icos( t Ψ ) i(t )
是一个正弦量 有物理意义
j( t Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。
Z R jX
R Re〔Z〕 | Z | cos Z X Im〔Z〕 | Z | sin Z －－电阻 －－电抗
阻抗三角形
|Z|
Z
X R
3．R、L、C元件的阻抗：
根据定义
U Z I
，得：
Z R R R0
Z L jL L90 , X L L （感抗 0 ）
二、导纳 1．定义：
def
（关联参考方向下）
阻抗Z的倒数定义为导纳Y。
Y
I 1 I i | Y | Y Z U U u
－－导纳模 －－导纳角
导纳三角形
1．定义：
（关联参考方向下）
+
I
N0
端口的电压相量与电流相量的 比值定义为一端口的阻抗Z。
U _
Z
def
U U u | Z | Z I I i
－－阻抗模 －－阻抗角
U | Z | I Z u i
+
I
Z
U _
单位：欧姆（Ω）
2．阻抗的代数形式：
i 2Icos( t Ψ ) F (t ) 2Ie
F(t) 还可以写成
复常数
j
jt F (t ) 2 Ie e 2 Ie F(t) 包含了三要素：I、 、， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
jt
i(t ) 2I cos( t Ψ ) I IΨ
I |Y | U Y i u
单位：西门子（S）
2．导纳的代数形式：
Y G jB
G Re〔Y〕 | Y | cosY B Im〔Y〕 | Y | sinY －－电导 －－电纳
|Y|
Y
B
G
4.阻抗和导纳的关系：
R X G B Y 2 j 2 ，Z 2 j 2 2 2 2 R X R X G B G B2
C相
120º 120º 120º
A相
B相
iu 1, i
角频率 有效值 初相位
I1 o
i1
i2
i 2 I2
i1+i2 i3
I t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想
3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
相量法与电力系统状态量
齐文斌 北京四方继保自动化股份有限公司
20012年4月26日
复数
1. 复数的表示形式 b 代数式
)
Im F |F|
F a jb
(j 1
j
指数式 o a 三角函数式 Re
F | F | e
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb
I RI jLI 用相量运算： U jC 相量法的优点
①把时域问题变为复数问题；
di 1 u (t ) Ri L idt dt C
②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
注意 ① 正弦量
时域 正弦波形图
相量 频域
有功与相位的关系
1
VAVB P sin( A B ) ZL
XL
P
A B
XL
电压角度 滞后
电压角度 领先
有功P
无功与电压幅值关系
VB VA cos( A B ) VB Q ZL
用标么值标示，高压电网电压角度差小， 电压幅值接近1，线路电阻很小
VA VB Q XL
相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变 线性电路。 不 适 1 用 非 线 线 2 线性 性 性 ③相量法用来分析正弦稳态电路。
波形图及相量图 pR uR
R U
URI
o 瞬时功率
I
u=i
同 相 位
i
t
pR uR i 2U R 2I cos (ω t Ψ i )
2．R、L、C单个元件的无功功率：
R： 0 QR 0
2 U QL UI LI 2 I2XL L 2 I QC - UI CU 2 I 2 XC C
L： 2 C： 2
电阻不消耗无功功率。
四、视在功率 为描述额定电压和额定电流的乘积。
无功Q 电压幅值大 电压幅值小
角度误差对功率误差的影响
在特定φ0处，由于φ的误差，导致的有功P0、无功 Q0相对误差如下： ⊿P/P0 = ⊿φ sinφ0/ cosφ0 ⊿Q/Q0 = ⊿φ cosφ0/ sinφ0 在电力系统正常运行状下，电压电流相位差φ0小， sinφ0趋于0，cosφ0趋近于1，sinφ0/ cosφ0趋于0， cosφ0/ sinφ0是一较大的数，在误差⊿φ一定的条件 下，⊿P/P0趋近于0 ，⊿Q/Q0是一不小的数，这就 是PMU的角度误差对无功量测影响大、对有功量测 影响小的原因了。
j t
jt
2 U 2 e ) Re( 2(U 1 U 2 )e jt )
jt
相量关系为：
U 1 U 2 U
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
例
i( t) + R L u ( t) C -
i(t ) 2 I cos( t i )
2
U R I [1 cos 2(ω t Ψ i )]
瞬时功率以2交变，始终大于零，表 明电阻始终吸收功率
阻抗和导纳
一、阻抗
对于一个含线性电阻、电感和电容等元件，但不含有独立源的一 端口网络N0，当它在角频率为ω 的正弦电压（或正弦电流）激励下处 于稳定状态时，端口的电流（或电压）将是同频率的正弦量。
模相除 角相减
相量的定义
电力系统常见的正弦电压和电流均可以表示为相量 瞬时值 相量
v(t)
Im
2V
f-f0
0
t (sec)
Re
1/f
v
2V cos2ft
j V Ve
相位Phase—>相量Phasor
同步相量测量原理
相量：幅值Leabharlann Baidu相角
x(t ) 2 X cos(t )
潮流方向约定
流出母线或节点为正，流 入母线或节点为负. 机组出力与上述相反. 负荷与支路一致.
o
试用相量表示i, u . 解
I 100 30 A,
o
U 220 60 o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos(314t 15 ) A
相量图
在复平面上用向量表示相量的图
IΨ i(t ) 2Icos(ω t Ψ ) I Uθ u(t ) 2Ucos( t θ ) U
相量相角与时间参考点(t=0)的选取有关，同一个 信号在不同的时间参考系下，对应的相角值是不 同的
频率变化时的同步相量
y’
f 50 Hz f 50 Hz
3 2
f 50 Hz f 50 Hz f 50 Hz
t
f 50 Hz
1
0
2 3
x’ 0
1
三相相量关系
S UI
五、相互关系
单位：伏安（VA）
P UIcos , Q UIsin , S UI P 2 Q2 S 2 , S P 2 Q2 , Q Ssin Q P arctan（ ） ， cos P S P Scos
复功率
1.定义：
j
F | F | e | F |
j
极坐标式
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
2 2
b |F|
F
o a Re
| F | a b b 或 a | F | cos θ arctan a b | F | sin
注意
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u (t ) 2U cos( t θ ) U Uθ o i 141 . 4 cos( 314 t 30 )A 例1 已知
u 311.1cos(3 14t 60 )V
正弦稳态电路的功率 §9-5 正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
定义：
p ui
u i
+
i
N0
单位：瓦特（W）
2Ucos（t u ） 2 Icos（t ） i
u
_
在正弦稳态情况下，设：
p ui UIcos（ u ） 2t u ） i UIcos（ i
+j
U
I
+1
4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1 (t ) 2 U1 cos( t Ψ 1) Re( 2 U 1 e j t ) u2 (t ) 2 U 2 cos( t Ψ 2) Re( 2 U 2 e )
j t
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jt ) Re( 2 U 1 e
cos －－单口网络的功率因 数 u - i －－功率因数角（对于 不含源的
单口网络，它就是阻抗 角）
P UIcos UI
有功功率就是一端口网络实际消耗的功率。
2．R、L、C单个元件的有功功率：
R： u i 0 L： u i / 2 C： u i / 2
PR UI U 2 / R I 2 R PL 0 PC 0
电路中只有电阻消耗有功功率，而电感和电容不消耗 有功功率。所以求电路中有功功率，可以根据定义求，也 可以直接求所有电阻上消耗的有功功率相加得到。
三、无功功率 1．定义： 为描述能量交换的大小规模。
Q UIsin
单位：乏（var）
令 u i 则 p UIcos UIcos（2t u ） i
UIsinsin（2t 2 u） UIcos 1 cos（2t u）
二、有功功率（平均功率） 1．定义： 瞬时功率在一个周期内的平均值。
1 T P pdt T 0 1 T UI〔cos cos（2t u ）〕 dt i T 0 UIcos 单位：瓦特（W）
+
I
N0
S
def
I * UI U u i
U _
UIcos jUI sin P jQ （单位：VA）
复功率将P、Q、S和λ融于一身。只要计算出电 压相量和电流相量，则各种功率均可得到。
2.应用：
I * ZI I * I 2 Z 阻抗Z： S U * I * U （YU ） U *Y * U 2Y * 导纳Y： S U U
F1 F2 F1 e F2 e
j1
j 2
F1 F2 e
jθ1
j (1 2 )
F1 F2 1 2
1
模相乘 角相加
2
F1 | F1 | θ1 | F1 | e | F1 | j( θ θ ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
若 则 Im F2
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
F2 F1-F2
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
无物理意义
j( t Ψ )
F (t ) 2Ie
2Icos(t Ψ ) j 2Isin(t Ψ )
对 F(t) 取实部 Re[F (t )]
2Icos( t Ψ ) i(t )
是一个正弦量 有物理意义
j( t Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。
Z R jX
R Re〔Z〕 | Z | cos Z X Im〔Z〕 | Z | sin Z －－电阻 －－电抗
阻抗三角形
|Z|
Z
X R
3．R、L、C元件的阻抗：
根据定义
U Z I
，得：
Z R R R0
Z L jL L90 , X L L （感抗 0 ）