晶面和晶向PPT教学课件
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固体物理1-3晶向、晶面
② 求截距：求出晶面与三个晶轴的截距; ③ 取倒数：取以上截距的倒数;
④ 化整并加圆括号：将以上三数值简化为互质的整 数比，将所得指数括以圆括号，即 (hkl)。如果 截距为负值，则将负号标注在相应指数的上方。
晶面指数确定了晶面的位向和间距。
晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它 的方向余弦来表示。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{111} (111), (1- 1--1) (1- 11), (111- )
(11-1), (1-11- )
(1-1-1), (11-1- )
c
(11-1) (111) (1-11)
b a
面间距相同的晶面族, 其面上的格点的分布相同, 称为同族晶面族 { h k l }
说明
若晶面和某一坐标轴平行，截距为 ，相应
c
b a
(3). 截矩系数可正可负,当晶面在基矢标轴的正方向 时,截矩系数为正,反之为负
c b a
(4). 晶面族(h1 h2 h3) 将基矢 a1 a2 a3 分别截成 |h1| |h2| |h3| 等份 (5). 晶面族(h1 h2 h3) 中距离原点最近的晶面在基
矢 a1 a2 a3 的截矩系数分a3 别为1/h1 1/h2 1/h3
E A
c
b
Oa
C
D B
例1：如图在立方体中， a i,b j,c k D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。
解： OB i , OE i j k,
E
晶体生长原理与技术第三讲_晶面和晶向
r a1cos a1 ,n d
A3
Nn
s a2cos a2 ,n d
t a3cos a3 ,n d a 3 d a 2
A2
取a1,a2,a3为天然长度单位，则得： O a 1
A1
111
ca o 1 ,n s : ca o 2 ,n s : ca o 3 ,n s :: rst
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的
2倍。
1.4.2 倒格与正格的关系
1. ai bj 2πij 2π (ij)
0 ij
a1b1a12πa2a3 Ω
2π
a1b2a12πa3a1 0 Ω
2. Rl Kh 2π (为整数)
解： OB i , OEijk,
BE OE O Bjk
晶列BE的晶列指数为：[011]
c
b
Oa
C
D B
求AD的晶列指数。
E
OA k , OD i 1 j,
A
2
AD O D O Ai1jk c
2
b
AD的晶列指数为: [ 21 2 ] 注意:
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。
可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；
(2)以 a1,a2,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
1.3晶面和晶向
n
N A2 A1
a3
O
d
a2
n表
a1
X n d
设OA1 r a 1 , OA 2 sa 2 , OA 3 t a 3
r a1 n d sa 2 n d ta3 n d
X n d
A3 N
s a cosa , n d t a cosa , n d a
注意:
(2)晶列指数用方括号表示[
1 OD i j , 2
C D
a
O
B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
如[121]表示
l1 1, l2 2, l3 1
[ l1 , l2 , l3]晶列上格点的周期= ?
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R m a nb p c
a , b , c 为布拉维原胞基矢
E A
c
b
其中 m , n , p 为有理数,将 m , n , p化为互质的整数 m,n,p, 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
1 1 1 : : r s t
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。 可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
第三讲晶面和晶向PPT课件
a1,a 2 ,a 3 为固体物理学原胞基矢
其中 l1, l2, l3 为整数，将 l1, l2, l3 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ，
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。
可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；
(2)以 a1 ,a2 ,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
又
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n
1 r
:
1 s
:
1 t
111 h1 : h2 : h3 r : s : t
111 h1 : h2 : h3 r : s : t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的 距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1a1 l2 a2 l3 a3
A
c
b
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
其中 l1, l2, l3 为整数，将 l1, l2, l3 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ，
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。
可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；
(2)以 a1 ,a2 ,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
又
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n
1 r
:
1 s
:
1 t
111 h1 : h2 : h3 r : s : t
111 h1 : h2 : h3 r : s : t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的 距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1a1 l2 a2 l3 a3
A
c
b
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
-晶面与晶向
设某一族晶面面间距为d ，该晶面法线方向的单位
矢量为 n 。则这族晶面中，离开原点的距离等于 d
的晶面的方程式为：
X n d 式（1-5）
为整数； X 是晶面上任意点的位矢。
设此晶面在三个坐标轴上
的截距分别为 r 、s 和 t，即交
点A、B和C的位矢就分别 是：ra 、sb 和 tc 。
1、画出立方晶系的如下晶向：
100,110,111,211, 121
二、晶面
（一）定义： 通过布喇菲格子的任意三个不共线的格点
可以作一个平面，该平面将包含无限多个周期 性分布的格点，称之晶面。
（二） 特性
1、 对于某已知晶面，通过不在该晶面的任一格点可以做全同 的晶面与该晶面平行； 依次类推，会有许多全同的晶面与该晶面平行，它们构成一族 平行晶面族。 因此，所有格点都在该平行晶面族上。 2、对于某一特定的晶面族，该晶面族中的所有晶面不仅平行， 而且等距。
确定晶向指数的步骤：
1、确定坐标系 取任一格点为坐标原点O，以轴矢 a、b、c为轴建立坐标系； 2、求坐标值 在通过原点的晶列上，求出沿晶向方向上任一格点的位置矢 量 u'a v'b w'c 。u'、v'、w'为坐标值。
3、化整数 将 u'、v'、w' 化为互质整数 u、v、w ，并使 u'：v'：w' u：v：w 。 4、列括号 将上述各整数依次列入方括号内，即得晶向指数 [uvw]。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
这些等效的晶面同一用{hkl}表示。
(110) 面等效的晶面数分别为：2个
(111) 面等效的晶面数分别为：8个
矢量为 n 。则这族晶面中，离开原点的距离等于 d
的晶面的方程式为：
X n d 式（1-5）
为整数； X 是晶面上任意点的位矢。
设此晶面在三个坐标轴上
的截距分别为 r 、s 和 t，即交
点A、B和C的位矢就分别 是：ra 、sb 和 tc 。
1、画出立方晶系的如下晶向：
100,110,111,211, 121
二、晶面
（一）定义： 通过布喇菲格子的任意三个不共线的格点
可以作一个平面，该平面将包含无限多个周期 性分布的格点，称之晶面。
（二） 特性
1、 对于某已知晶面，通过不在该晶面的任一格点可以做全同 的晶面与该晶面平行； 依次类推，会有许多全同的晶面与该晶面平行，它们构成一族 平行晶面族。 因此，所有格点都在该平行晶面族上。 2、对于某一特定的晶面族，该晶面族中的所有晶面不仅平行， 而且等距。
确定晶向指数的步骤：
1、确定坐标系 取任一格点为坐标原点O，以轴矢 a、b、c为轴建立坐标系； 2、求坐标值 在通过原点的晶列上，求出沿晶向方向上任一格点的位置矢 量 u'a v'b w'c 。u'、v'、w'为坐标值。
3、化整数 将 u'、v'、w' 化为互质整数 u、v、w ，并使 u'：v'：w' u：v：w 。 4、列括号 将上述各整数依次列入方括号内，即得晶向指数 [uvw]。若某一 坐标值为负数，则在相应的指数上加“—”号表示。
这些等效的晶面同一用{hkl}表示。
(110) 面等效的晶面数分别为：2个
(111) 面等效的晶面数分别为：8个
第2章-材料的结构--第2节-晶面晶向指数PPT课件
设坐标： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时 相同；原点设在待求晶面以外。
2021/7/23
17
求截距系数：
顺序求待标晶面在三个轴上的截 距系数(p、q、r)，即由该晶面 在三个晶轴上的截距用相应的 轴单位去度量而求得。
因为截距的具体值不便应用， 且轴单位相同用具体值也不必 要，所以取截距系数。
3a
2
1 2
1
1.16
3a a
3a
2
1 2
0.58
3a a
32
三.六方晶系的晶向和晶面指数
为何用四轴坐标?
该系统的独特对称性决定的。.
2021/7/23
33
六方晶系的晶向指数和
晶面指数同样可以应用
c
上述三轴方法标定，这
时取a1，a2（b），c为 (1 1 0)
晶轴，而a1轴与a2轴的 夹角为120度，c轴与
族。
2021/7/23
26
晶面族表示方法：用花括号{hkl}表示。它代表 由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 如{100}包括(100)、(010)、(001)、(T00)、 (0T0)、(00T)。
{110}＝？
{111｝＝？
2021/7/23
27
{h k l} 晶面族：等价晶面
立方 {110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)
截距系数相同的晶面，由于晶
系的不同，其在各晶轴上所截的真
正长短也并不一定相等。
2021/7/23
18
取倒数：取各截距系数的倒数； 1/x, 1/y, 1/z
2021/7/23
17
求截距系数：
顺序求待标晶面在三个轴上的截 距系数(p、q、r)，即由该晶面 在三个晶轴上的截距用相应的 轴单位去度量而求得。
因为截距的具体值不便应用， 且轴单位相同用具体值也不必 要，所以取截距系数。
3a
2
1 2
1
1.16
3a a
3a
2
1 2
0.58
3a a
32
三.六方晶系的晶向和晶面指数
为何用四轴坐标?
该系统的独特对称性决定的。.
2021/7/23
33
六方晶系的晶向指数和
晶面指数同样可以应用
c
上述三轴方法标定，这
时取a1，a2（b），c为 (1 1 0)
晶轴，而a1轴与a2轴的 夹角为120度，c轴与
族。
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26
晶面族表示方法：用花括号{hkl}表示。它代表 由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 如{100}包括(100)、(010)、(001)、(T00)、 (0T0)、(00T)。
{110}＝？
{111｝＝？
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27
{h k l} 晶面族：等价晶面
立方 {110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)
截距系数相同的晶面，由于晶
系的不同，其在各晶轴上所截的真
正长短也并不一定相等。
2021/7/23
18
取倒数：取各截距系数的倒数； 1/x, 1/y, 1/z
固体物理1-3晶向、晶面
立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
简单立方晶格 立方边共有6 个不同的晶向：
[001]
av3 av2
av1
[100]
[100],[010],[001]
[100],[0 10][00 1]
由于立方晶格的对称 性,6个晶向是等效 的,<100 >晶向族
立方边[100] 垂直的晶面（100） 面对角线[110] 垂直的晶面（110） 体对角线[111] 垂直的晶面（111）
av3
(
v k)
av2
(
v j)
av1
v (i )
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{110}: (110), (011), (101)
(1 10), (01 1),10 1
立方晶格中与(111)面 等效的晶面：4 个
{111}: (111),(111),(111),111
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外 表面时才有意义，在晶体内部这些面都是 等效的。
简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。
E A
c
b
Oa
C
D B
1.3晶面和晶向
第三节 晶向、晶面和它们的标志
本节主要内容: 1.3.1 晶向及晶向指数 1.3.2 晶面及密勒指数
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向 通过晶格中任意两个格点 连一条直线称 晶列，晶列的 取向称 晶向， 写晶向的一 组数称 晶向指数(或晶列指数 ) 过一格点可以有无数晶列
X ⋅n = µd
ra1 ⋅ n = µ d sa2 ⋅ n = µ d ta3 ⋅ n = µ d
( ) r a1cos a 1 , n = µ d ( ) s a2cos a 2 , n = µ d ( ) t a3cos a 3 , n = µ d
A 3
a3 µd
N
a2
n
A 2
取a1 ,a2 ,a3取天然长度单位，则得 O a1
(2)晶面 格点分布 有周期性
(3)同一晶面 中的 一晶面 ， 格点分布(情况)相同 (4)同一晶面 中相邻晶面间距相等
2.晶面指数 晶面方位
晶面的法线方向(法线方向 晶面在 个坐标轴 的截距
个坐标轴夹角)
(1)以固体物理学原胞基矢表示
如图取一格点为顶点，原胞的
个基矢a1 ,a2 ,a3 坐标系的 个轴，
A3
n
设某一晶面 个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面
a 3 µd
N
A1A2A3于N，ON长度 µd，d 该晶
a2
A2
面 相邻晶面间的距离，µ 整数， O
a1
A1
该晶面法线方向的单位矢 用 n 表
示，则晶面A1A2A3的方程
X⋅n= µd
设OA1 = ra1 ,OA2 = sa 2 ,OA3 = ta3
本节主要内容: 1.3.1 晶向及晶向指数 1.3.2 晶面及密勒指数
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向 通过晶格中任意两个格点 连一条直线称 晶列，晶列的 取向称 晶向， 写晶向的一 组数称 晶向指数(或晶列指数 ) 过一格点可以有无数晶列
X ⋅n = µd
ra1 ⋅ n = µ d sa2 ⋅ n = µ d ta3 ⋅ n = µ d
( ) r a1cos a 1 , n = µ d ( ) s a2cos a 2 , n = µ d ( ) t a3cos a 3 , n = µ d
A 3
a3 µd
N
a2
n
A 2
取a1 ,a2 ,a3取天然长度单位，则得 O a1
(2)晶面 格点分布 有周期性
(3)同一晶面 中的 一晶面 ， 格点分布(情况)相同 (4)同一晶面 中相邻晶面间距相等
2.晶面指数 晶面方位
晶面的法线方向(法线方向 晶面在 个坐标轴 的截距
个坐标轴夹角)
(1)以固体物理学原胞基矢表示
如图取一格点为顶点，原胞的
个基矢a1 ,a2 ,a3 坐标系的 个轴，
A3
n
设某一晶面 个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面
a 3 µd
N
A1A2A3于N，ON长度 µd，d 该晶
a2
A2
面 相邻晶面间的距离，µ 整数， O
a1
A1
该晶面法线方向的单位矢 用 n 表
示，则晶面A1A2A3的方程
X⋅n= µd
设OA1 = ra1 ,OA2 = sa 2 ,OA3 = ta3
晶面与晶向
2、晶面指数
➢ 确定晶面指数的步骤
(1)确定坐标系:任取一格点为原点，以轴矢a、b、c为轴建立 坐标系x、y、z
(2)求截距:选取不经过原点的晶面，确定该晶面在各坐标轴上 交点的位矢ra、sb、tc，其中r、s、t就是截距。
(3)取倒数后化整数:将r、s、t的倒数连比,并化为互质整数h、 k、l，即1/r:1/s:1/t=h:k:l
二、晶面及其标志
1、晶面 ➢ 晶面:通过布喇菲格子中任意三个不共线的
格点所作的平面。 ➢ 无数个互相平行且等距离分布的全同晶面
组成晶面族,所有格点都处于该晶面族上。 ➢采用面间距和法线方向来表征晶面族。
面间距是一族晶面中相邻两个晶面间的距离ห้องสมุดไป่ตู้可用几何方法求出. 如正交晶系。
法线方向可由晶面在三个坐标轴上截距的倒数来表示，并用晶面 指数标志出来。
=u : v : w
(4)列括号：将所得互质整数依次列入方括号内,得晶向指数 [u v w].若某一指数为负,则在相应指数上加“-”号.如[ī00]
➢ 晶向指数实质上是晶向在三个坐标轴上投影的互质整数,它代表
了一族晶列的取向.同一族晶列可以有两个相反的晶向,因而对应
有两个晶向指数,如
[u v w]和 [u v w]
(1)A点的坐标值为½、½、-1、0 (2)化整数½:½:(-1):0=1:1:(-2):0 (3)晶向指数[1120] ➢ 求阴影晶面的晶面指数 (1)在四轴上的截距分别为、1、-1 、 (2)化整数:0、1、-1、0 (3)晶面指数(0110)
5、在六方晶系中,指数相同的晶向和晶面相互垂直,如 [0001](0001)。
(4)列括号:将所得各整数列入圆括号内,得到晶面指数(h k l)。 若晶面的某一截距为负值，则在相应的指数上加“-”号，若晶面 与某一坐标轴平行，则截距为，其倒数为0。例如(ī10)
1.3晶面和晶向
的晶列指数。 求AD的晶列指数。 的晶列指数
OA = k ,
E
1 j, 2
OD = i +
A
c
b
1 AD = OD − OA = i + j − k 2 AD的晶列指数为: [212] 的晶列指数为: 的晶列指数为 注意:
(2)晶列指数用方括号表示[ (2)晶列指数用方括号表示[ 晶列指数用方括号表示
2.晶面指数 晶面方位 晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面在三个坐标轴上的截距 (1)以固体物理学原胞基矢表示 (1)以固体物理学原胞基矢表示
晶面的标志——密勒指数 密勒指数 晶面的标志
1.建立坐标系， 建立坐标系， 建立坐标系 原点不在所求晶面上； 原点不在所求晶面上； 2.求A、B、C截距 截距: 求 、 、 截距 X＝a/2， ＝ ， Y＝b/3， ＝ ， Z＝c， ＝ ， 3.取截距的倒数 取截距的倒数 1/X＝2/a， ＝ ， 1/Y＝3/b， ＝ ， 1/Z＝1/c， ＝ ， 4.化整并用（）括起来 (h1h2 h3 ) 化整并用（） 化整并用（）括起来 立方晶体： 立方晶体：ABC的晶面指数 的晶面指数 X （231） ） Z C
记为[ 晶列的 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数. ] ]即为该晶列 晶列指数.
立方边OA的晶向 的晶向 立方边 立方边共有6个不同的晶向 立方边共有 个不同的晶向
在立方体中有， 在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向， 晶列一共有 个不同的晶向，由于 个不同的晶向 晶格的对称性， 晶格的对称性，这6个晶向并没有 个晶向并没有 什么区别， 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的， 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成< 向为等效晶向，写成<100>。 等效晶向 >
晶相和晶面PPT课件
• “•”表示共价键上的电子.
.
16
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17
.
10
在晶体结构上本来是等价的晶面却不具有 类似的指数，给研究带来不方便。
解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标 轴：a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不变，
a3＝－( a1+a2) 引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有 类似的指数。
例如：{1010}=(1010),(1100),(0110)
.
6
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7
.
8Leabharlann .9说明六角晶系的四指数表示
以上三指数表示晶向、晶面原则上适用 于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：
晶体具有等效的晶面、晶向不具有
类似的指数。
例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学 上应是等价的，但其密勒指数却分别为 (100)和(110)。夹角为600的密排方向是等 价的，但其方向指数却为[100]和[110].
[100],[010],[001]三个等效晶向。
.
5
例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以 不化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距
为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。
又有： a1 + a2 =－ a3
(2)
又由等价性条件： u + v = － t
(3)
解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
.
15
金刚石、闪锌矿结构的图示法
• 该图为金刚石惯用元胞 在{100}面上的投影,图 中“0”,“1/2”表示一个 fcc的原子.
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在晶体结构上本来是等价的晶面却不具有 类似的指数，给研究带来不方便。
解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标 轴：a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不变，
a3＝－( a1+a2) 引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有 类似的指数。
例如：{1010}=(1010),(1100),(0110)
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8Leabharlann .9说明六角晶系的四指数表示
以上三指数表示晶向、晶面原则上适用 于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：
晶体具有等效的晶面、晶向不具有
类似的指数。
例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学 上应是等价的，但其密勒指数却分别为 (100)和(110)。夹角为600的密排方向是等 价的，但其方向指数却为[100]和[110].
[100],[010],[001]三个等效晶向。
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例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以 不化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距
为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。
又有： a1 + a2 =－ a3
(2)
又由等价性条件： u + v = － t
(3)
解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
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15
金刚石、闪锌矿结构的图示法
• 该图为金刚石惯用元胞 在{100}面上的投影,图 中“0”,“1/2”表示一个 fcc的原子.
《讲晶面和晶向》课件
晶面的符号表示和表达方法
晶面可以用米勒索引、穆勒索引或汉索式表示。米勒索引是使用方向余弦表示，穆勒索引是使用坐标轴上的直 线截距表示，而汉索式是使用晶体的理想晶面来表示。
晶向的表示和计算方法
晶向可以用布拉维指数法或符号法表示。布拉维指数法使用整数序列来表示 晶向，而符号法使用希腊字母和方向余弦来表示。
《讲晶面和晶向》PPT课 件
欢迎大家来到本次关于晶面和晶向的课程。本课程将带您深入了解晶面和晶 向的定义、符号表示、计算方法，以及它们在晶体结构分析中的应用。让我 们一起开始探索晶体世界的奥秘吧！
晶面和晶向的定义
晶面是晶体中原子排列相对规则的表面，具有特定的晶面间距和晶面角度。 晶向是晶面的延长线方向，用来描述晶体中原子间的相对位置和排列方向。
3
案例三
使用扫描电镜观察晶胞参数和晶面形貌，研究矿物颗粒的晶体生长机制。
总结和要点
晶面和晶向是晶体结构 分析的重要概念。
它们可以用来描述晶体中原 子的相对位置和排列方向。
晶面的符号表示和计算 方法
可以使用米勒索引、穆勒索 引或汉索式。
晶向的表示和计算方法
可以用布拉维指数法或符号 法表示。
晶面和晶向的关系
晶面是晶向的延长线经过相邻原子所形成的表 面。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
可用于确定晶体的晶系、解析晶格常数、预测 物理性质等。
晶面和晶向的关系
晶面和晶向之间存在一种对应关系，晶面是晶向的延长线经过晶体中的相邻 原子后所形成的表面。 通过研究晶面和晶向之间的关系，我们可以更好地理解晶体的结构和性质。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
1 确定晶体的晶系和结 2 解析晶格常数和晶胞 3 预测晶体的物理性质
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(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的 距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1a1 l2 a2 l3 a3 a1,a 2 ,a 3 为固体物理学原胞基矢
A
c
b
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
(2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。 晶列(111)
(4)等效晶向。
晶列[111]
在立方体中有，沿立方边的
晶列一共有6个不同的晶向，由于
晶格的对称性，这6个晶向并没有[100]
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R ma nb p c a ,b ,c 为布拉维原胞基矢
其中 m,n, p 为有理数,将 m,n, p化为互质的整数 m,n,p,
记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
例1：如图在立方体中，a i,b j,c k
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3
等份；
(2)以 a1 ,a2 ,a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
以布拉维原胞基矢 a,b,c 为坐标轴来表示 的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。
其中 l1, l2, l3 为整数，将 l1, l2, l3 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ，
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 l1 1, l2 2, l3 1
[l1,l2,l3]晶列上格点的周期= ?
E
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 A
解： OB i , OE i j k,
BE OE OB j k
晶列BE的晶列指数为：[011]
c
b
Oa
C
D B
求AD的晶列指数。
E
OA k , OD i 1 j , 2
AD OD OA i 1 j k 2
AD的晶列指数为: [212] 注意:
2.晶面指数
晶面方位
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面在三个坐标轴上的截距
(1)以固体物理学原胞基矢表示
பைடு நூலகம்
如图取一格点为顶点，原胞的三
个基矢
a1
,
a
2
,
a
为坐标系的三个轴，
3
A3
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
n
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面
a 3 d
N
A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶
1 r
:
1 s
:
1 t
h1
: h2
: h3
1 r
:
1 s
:1 t
h1
: h2
: h3
1 : 1 :1 r st
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。
任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。
可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
什么区别，晶体在这些方向上的
[001] [010] [100]
性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成<100>。
[010] [001]
1.3.2 晶面及密勒指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，
称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
第三节 晶向、晶面和它们的标志
本节主要内容: 1.3.1 晶向及晶向指数 1.3.2 晶面及密勒指数
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向 通过晶格中任意两个格点 连一条直线称为晶列，晶列的 取向称为晶向，描写晶向的一 组数称为晶向指数(或晶列指数 )。 过一格点可以有无数晶列。
a2
A2
面族相邻晶面间的距离，为整数， O
a1
A1
该晶面法线方向的单位矢量用 n 表
示，则晶面A1A2A3的方程为：
X n d
设OA1 ra1 ,OA2 sa2 ,OA3 ta3
X n d
ra1 n d sa2 n d ta3 n d
r a1cos a1 ,n d s a2cos a2 ,n d
cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n 1 : 1 : 1 r st
可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设a1,a2 ,a3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
A3
Nn
t a3cos a3 ,n d a 3 d a2
A2
取a1 ,a2 ,a3为天然长度单位，则得： O a1
A1
cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n 1 : 1 : 1 r st
晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，
等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
X n d
A3
Nn
a3 n h3d
a3 cos a3,n h3d a 3 d
a2
A2
取a1 ,a2 ,a3为天然长度单位得：
O a1
A1
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
又
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1,a2,a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上；
(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原
点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
a1 n h1d a2 n h2d
a1 cos a1,n h1d a2 cos a2,n h2d