2021年中考数学热点专题复习：例谈“等腰三角形”的分割问题

2021年中考数学热点专题复习：例谈“等腰三角形”的分割问题近几年各地中考试卷中经常出现一些有特色的图形分割题，这类问题趣味性强，想象空间广阔，一般没有复杂的计算，但需要较强的空间想象和分析问题的能力，其中就包括等腰三角形的分割问题．现例说如下．
例1 如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（注：如果两个图中分割出的3个三角形分别全等而只是分割线的具体位置不同，认为是同一种分割方法．）
分析与解本题的背景是数学中“黄金三角形”（顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形）的分割问题．除了题中给出的分割方法，还有如下的分割方法：
(1)如图2，线段BD＝BC＝BE，AE＝AD，这种分割方法其实借鉴了题中给出的分割方法，第一次分割方法(分割线BD)与原图相同，第二次改为把△ABD分割成两个等腰三角形．
(2)如图3，分别作△ABC任意两边垂直平分线交于点O，连结OA、OB、OC．由垂直平分线的性质，可知OA＝OB＝OC，所以分割符合题意，进一步看，其实点O就是△ABC的外心，从圆的角度来说OA、OB、OC都是⊙O半径．
(3)更一般的结论：对于任意锐角三角形，外心O与三角形顶点的连线都可以把原三角形分割成三个等腰三角形，如图4所示．
例2 经过等腰三角形的一个顶点的直线，把等腰三角形分成的两个较小的三角形，都是等腰三角形，求原三角形各角的度数．
分析与解易知上题中的“黄金三角形”就是符合题意的一个答案．那么，还有哪些
等腰三角形符合题意呢？可以根据顶角的大小分类考虑：
(1)如果顶角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，尝试画图不难发现只要作顶角的平分线即可，如图5，易证AD＝BD＝CD．如果从底角画分割线，如图6，△ABD中，∠A＝90°，AB>AD，所以△ABD不可能是等腰三角形（因为在直角三角形或钝角三角形中直角、钝角只能作为顶角）；
(2)如果顶角是钝角，同理也只能从顶角画分割线，并且可以说明分割方法是唯一的，如图7，△ABC中，AD是分割线．过点A作AG⊥BC于点G，由“垂线段最短”原理可知AG最短，并且线段AB＝AC>AD，图中∠ADB为钝角，若△ABD是等腰三角形，只可能AD＝BD，∠B＝∠BAD．
在△ADC中，由于AD<AC，所以只要考虑AD＝DC和AC＝DC两种情况，若AD ＝DC，由AD＝BD，可得AD＝BD＝DC，此时能进一步证明∠BAC＝90°，这与已知∠BAC为钝角矛盾．所以只能AB＝AC＝CD，AD＝BD．设∠B＝∠BAD＝∠C＝x，则∠ADC＝∠DAC＝2x．
由三角形内角和为180°，可得方程
x＋x＋x＋2x＝180°，解得算＝36°，
所以∠BAC＝108°，∠ABC＝∠ACB＝36°．
(3)如果顶角是锐角，若从顶角画分割线，如图8，△ABC中，AD是分割线，过点A 作AC⊥BC于点G，同理可以说明若AD＝DC，则∠BAC＝90°；若AC＝DC，则∠BAC ＝108°，这两种情况都与顶角是锐角相矛盾，所以，当顶角是锐角时只能从底角画分割线．
如图9，△ABC中，点D在AC边上，对于△ABD，AB>AD．若AB＝BD，则∠A ＝∠ADB<90°，所以∠BDC是钝角，所以ABDC中只能BD＝DC，所以∠DBC＝∠C，这与已知∠ABC＝∠C矛盾，所以△ABD中只能AD＝DC．
在△BDC中，若BD＝DC，图形就是问题1中的黄金三角形，此时∠A＝36°，∠ABC ＝∠C＝72°．
若BD＝DC，显然不成立；
若CB＝CD，如图10，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠DBC＝2x，所以∠ABC＝∠C＝3x．
由三角形内角和为180°，可得方程
x＋3x＋3x＝180，解得x＝180
7
，
所以∠A＝180
7
︒
，∠ABC＝∠C＝
540
7
︒
．
综上所述，符合条件的等腰三角形有四种情况，三个角分别为：90°、45°、45°；108°、36°、36°；
36°、72°、72°；180
7
︒
、
540
7
︒
、
540
7
︒
．
例3 (1)已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．
(2)已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
分析与解(1)如图11，共有2种不同的分割法．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图12，
则∠ADB>90°．
∠CBD＝∠CDB
＝1
2
（180°－x）
＝90°－x，
∠A＝180°－x－y．
此时只能有∠A＝∠ABD．
即180°－x－y＝y－（90°－1
2 x），
∴3x＋4y＝540°，
即∠ABC＝135°－3
4
∠C；
②若∠C是底角，则有两种情况：第一种情况，如图13，
当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，
∠ABD＝y－x．
(i)由AB＝AD，得2x＝y－x，
此时有y＝3x，
即∠ABC＝3∠C．
(ii)由AB＝BD，得
180°－x－y＝2x，
此时3x＋y＝180°，
即∠ABC＝180°－3∠C．
(iii)由AD＝BD，得
180°－x－y＝y－x，
此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角，
第二种情况，如图14，
当BD＝BC时，
∠BDC＝x．
∠ADB＝180°－x>90°，
此时只能有AD＝BD．
从而∠A＝∠ABD＝1
2
∠C<∠C，
这与题设∠C是最小角矛盾，
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立，
通过上述三个问题的研究可见，等腰三角形的分割问题，无论是对动手操作能力还是分析推理能力，都有较高的要求，笔者认为，解决这一类问题的一般策略是，先尝试画图操作，一方面设法找出一部分结论，同时也对分割可能的情况有一个初步的了解；在此基础上确定一个严密的分类标准（如问题2中，先对原等腰三角形的顶角按照直角、钝角、锐角分类，再对每种情况按从顶角顶点，或从底角顶点画分割线作分类讨论）；最后通过推理，确定每一种情况是否成立，从而得出所有正确的结论．。