《函数模型及应用》PPT课件

当a＝12时，有f(f(x))＝1x，－xx≤，12x，>12.
所以f(f(x))＝x有解{x|x≤
1 2
}，又当x≤
1 2
时，f(x)＝x，故
{x|x≤12}中的所有点都不是二阶周期点．
当a>12时，有f(f(x))＝
4a2x，x≤41a， 2a－4a2x，41a<x≤12， 2a1－2a＋4a2x，12<x≤4a4－a 1， 4a2－4a2x，x>4a4－a 1.
2．(2013临川一中月考)某产品的总成本y(万元)与产量
x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈
N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收
入不小于总成本)的最低产量是( )
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
C 设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)
• 2．函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口 学、气象学等方面都有广泛的应用．解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待 定系数法，即根据题意确定相关的系数．
题型建构 母题变式
• 题型1 一次函数、二次函数模型应用题
• 【例1】某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问 ：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(尺寸如图所示，单位：m)
＝0.1x2＋5x－3000≥0，∴x≥150.
• 3．(2013陕西卷理.9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内 接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位m)的取值范围是 ( )
• A．[15,20] • C．[10,30]
B．[12,25] D．[20,30]
C
• (1)将y表示为x的函数；
• (2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
• 【解析】(1)先由辅助未知数，即设矩形的另一边长为am， 可以建立y，x，a的关系，再根据条件用x表示a即可；(2) 利用基本不等式求解函数的最值．
(1)如图所示，设矩形的另一边长为am， 则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360. 由已知xa＝360，得a＝36x0. 所以y＝225x＋36x02－360(x>0)．
第二章
基本初等函数与导数
第10讲 函数模型及应用
真题体验 命题解读
真 题 体验
• 1．(2012江西理.8)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过5 4万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
• 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植
x＋y≤50， 1.2x＋0.9y≤54， x≥0， y≥0.
x＋y≤50， 即4x≥x＋03，y≤180，
y≥0.
作出不等式组
x＋y≤50， 4x＋3y≤180， x≥0， y≥0
B(30,20)，C(45,0)．
表示的可行域，易求得点A(0,50)，
平移直线z＝x＋0.9y，可知当直线 z＝x＋0.9y经过点B(30,20)，即x＝30， y＝20时，z取得最大值，且zmax＝48(万元)．故选B.
(0<x<20)．
∴MP＝PQ－MQ＝80－x.
又∵OA＝20，OB＝30且OOAB＝MQBQ，
∴23＝QxB，
∴QB＝32x，
∴MN＝QC＝QB＋BC＝32x＋70.
∴S矩形MNDP＝S3＝MN·MP＝(70＋
3 2
x)·(80－x)＝－
3 2
(x－
50 3
)2
＋180350.
比较S1，S2，S3，得S3最大，
(3)由(2)得x1＝1＋2a4a2，x2＝1＋4a42a2.
因为x3为函数f(f(x))的最大值点，所以x3＝
1 4a
，或x3＝
4a－1 4a
当x3＝
1 4a
时，S(a)＝
2a－1 41＋4a2
，求导得：S′(a)＝－
2a－1＋2
2a－1－2
2
1＋4a22
所以当a∈(
1 2
，
1＋ 2
2
)时．S(a)单调递增：当a∈(
所以f(f(x))＝x有四个解，分别为0，
2a 1＋4a2
，
2a 1＋2a
，
1＋4a42a2，又f(0)＝0，f(1＋2a2a)＝1＋2a2a，
f(
Baidu Nhomakorabea
2a 1＋4a2
)≠
2a 1＋4a2
，f(
4a2 1＋4a2
)≠
4a2 1＋4a2
，故只有
2a 1＋4a2
，
1＋4a42a2是f(x)的二阶周期点．
综上所述，所求a的取值范围是a>12.
(2)∵x>0， ∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10440. 当且仅当225x＝36x02时，等号成立． 故当x＝24m时，维修围墙的总费用最小，最小总费用是 10440元．
• 【变式训练2】(2014上海十二校联考)某企业生产某种商品x吨，此时所需生产费用为(x2 －100x＋10 000)万元，当出售这种商品时，每吨价格为p万元，这里p＝ax＋b(a，b为常 数，x>0)．
(自变量的系数大于0)或_________ (自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次
函数的图象与
求解．
直线上升
直线下降
单调性
• 2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等，构建
模型，利用二次函数的图象与
解决问题．
• 注意：在解决二次函数的应用问题时，一定要注二意定次义函域，数是区间型的还是整点型的．
设矩形高为y,
由三角形相似得：4x0＝
40－y 40
，且x>0，
y>0，x<40，y<40，xy≥300，利用线性规划知识解得x∈
[10,30]，选C.
4．(2013江西卷理.21)已知函数f(x)＝a(1－2|x－
1 2
|)，a为常
数且a>0.
(1)证明：函数f(x)的图象关于直线x＝12对称；
此时MQ＝530
m，BM＝25
13 3
m.
故当长方形一端落在AB边上且离B点
25 13 3
m处时，公寓
占地面积最大．
• 【变式训练1】(2014湖北教学合作校联考)某校内有一块以O为圆心，R(R为常数，单位为 米)为半径的半圆形(如图)荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB区域(阴影 部分)用于种植学校观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售 ．已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植 草皮的利润是每平方米30元．
1＋ 2
2，
＋∞)时，S(a)单调递减，当x3＝
4a－1 4a
时，S(a)＝
8a2－6a＋1 41＋4a2
，
求导得：S′(a)＝122a12＋＋44aa－22 3
因为a>12，从而有S′(a)＝122a12＋＋44aa－223>0
所以当a∈(12，＋∞)时，S(a)单调递增．
命 题 解读
高频考点
1.指数函数、对数函数以及幂函 数的增长特征，知道直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义.
2.了解函数模型(如一次函数、二 次函数、分式函数、指数函数、 对数函数、幂函数、分段函数等 在生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用.
重要度 ★★★ ★★★★★
近5年高考 命题分值
8分
思维导图 考点梳理
思 维 导图
考 点 梳理
• 考点1 一次函数、二次函数模型应用题
• 1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间是一次函数关系，增长特点是
• 【解析】当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BB1DC的面积最大， • ∴S1＝S矩形BB1DC＝5600 m2， • 当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大， • ∴S2＝S矩形AA1DE＝6000 m2. • 当一端点在AB边上时，设该点为M，如上图构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE，设MQ＝x
(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二 阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值 范围；
(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点， A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3,0)，记△ABC的面积为 S(a)，讨论S(a)的单调性．
• 考点2 分式函数模型应用题
• 现实生活中的工单程调、投性资、销售、环境保护等热点问题往往用构建
模
型来表示，一般利用基本不等式或____求最值．
分式函数
导数
• 考点3 分段函数模型应用题
• 1．现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段 函数是刻画现实问题的重要模型．
• 面A．积50(,单0位：亩B．)分30,别年2为0 产( 量C．)/2亩0,30 D年．0种,50植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
B 本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了 数学建模的思想方法以及实践能力．设黄瓜和韭菜的种植面积 分别为x，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－ 1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.线性约束条件为
(1)设∠BOD＝θ(单位：弧度)，用θ表示弓形BCDB的面积S
弓＝f(θ)；
(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计∠
BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
(参考公式：扇形面积公式S＝
1 2
R2θ＝
1 2
Rl，l表示扇形的弧
长)
【解析】(1)S扇＝
1 2
R2θ，S△OCD＝
1 2
(1)证明：因为f(12＋x)＝a(1－2|x|)，f(12－x)＝a(1－2|x|) 有f(12＋x)＝f(12－x)． 所以函数f(x)的图象关于直线x＝12对称． (2)解：当0<a<12时，有f(f(x))＝44aa22x1，－xx≤，12 x>12.
所以f(f(x))＝x只有一个解x＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶 周期点，
• 2．由于分段函数每一段
所遵循的规律不同，可以先将其当做几
个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的
，特别是________.
• 3．构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．
自变量变化
范围
端点值
• 考点4 指数函数模型应用题
• 1．在实际问题中的人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题一般用指数函数模型来表 示，可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式，利用指 数运算与对数函数图象性质求解．
R2θ)＋
1 2
R2sinθ·80－
1 2
R2(θ－
sinθ)·20.
＝5R2[3π－(5θ－10sinθ)]
设g(θ)＝5θ－10sinθ θ∈(0，π)．
g＇(θ)＝5－10cosθ
g＇(θ)<0，cosθ>12，g(θ)在θ∈(0，π3)上为减函数；
g＇(θ)>0，cosθ<12，g(θ)在θ∈(π3，π)上为增函数．
当θ＝π3时，g(θ)取到最小值，
此时总利润最大：y＝5R2[3π－(5θ－10sinθ)]＝5R2(
4π 3
＋
5 3)．
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成
π 3
时，总利润
取最大值5R2(43π＋5 3)．
• 题型2 分式函数模型应用题
• 【例2】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墒(利用的旧墙需 维修)．其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所 示．已知旧墙的维修费用为45元/m.新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m )，维修此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
R2sinθ，S弓＝f(θ)＝
1 2
R2(θ
－sinθ)．
(2)设总利润为y元，种植草皮利润为y1元，种植花卉利润 为y2，种植学校观赏植物成本为y3
y1＝30(12πR2－12R2θ)，y2＝12R2sinθ·80，y3＝12R2(θ－sinθ)·20
∴y＝y1＋y2－y3＝30(
1 2
πR2－
1 2
• (1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
• (2)如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每 吨160万元，求a，b的值．
【解析】(1)设生产平均费用为y元，由题意可知y＝
x2－100x＋10 x
000＝x＋10