例说二项式定理的常见题型及解法
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例说二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的问题相对较独立,题型繁多,解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式
1.“n
b a )(+”型的展开式 例1.求4)13(x
x +的展开式;
解:原式=4
)1
3(
x
x +=2
4)13(x x + =
])3()3()3()3([144342
243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12
342++++x x x x x
=54112848122
++++x
x x x
小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2. “n
b a )(-”型的展开式 例2.求4)13(x
x -
的展开式;
分析:解决此题,只需要把4)13(x
x -
改写成4)]1(3[x
x -
+的形式然后按照二项展开式的格式
展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3.二项式展开式的“逆用” 例3.计算c C C C n
n n
n n
n n 3)1( (279313)
2
1
-++-+-; 解:原式=
n
n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3
3322110
-=-=-++-+-+-+
小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。 二、通项公式的应用
1.确定二项式中的有关元素 例4.已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4
9,常数a 的值为 解:92
3
92999
12)1()2
()(----+⋅⋅⋅-=-=r r r
r r r r r r x a C x x a C T
令
392
3
=-r ,即8=r 依题意,得
4
9
2)1(894889=
⋅⋅---a C ,解得1-=a 2.确定二项展开式的常数项 例5.103
)1
(x
x -
展开式中的常数项是
解:r r r
r r
r r x
C x
x C T 6
5510
3
1010
1)1()1()
(--+⋅-=-=
令06
5
5=-
r ,即6=r 。 所以常数项是210)1(6
106=-C
3.求单一二项式指定幂的系数
例6. 9
2
)21(x
x -
展开式中9x 的系数是 ; 解:r r
r r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)2
1(--
令,9318=-x 则3=r ,从而可以得到9
x 的系数为:
221)21(33
9-=-C ,∴填2
21-
三、求几个二项式的和(积)的展开式中的条件项的系数
例7.5
4
3
2
)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中,2
x 的系数等于
解:2x 的系数是四个二项展开式中4个含2
x 的,则有
20)()1()1()1()1(3
5241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C
例8.
7
2)2)(1-+x x (的展开式中,3x 项的系数是 ; 解:在展开式中,3
x 的来源有:
① 第一个因式中取出2x ,则第二个因式必出x ,其系数为6
6
7)2(-C ;
② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出3
x
,其系数为4
4
7
)2(-C
3x ∴的系数应为:∴=-+-,1008)2()2(44
766
7C C 填1008。
四、利用二项式定理的性质解题 1. 求中间项 例9.求(103
)1
x
x -的展开式的中间项;
解:,)1()(310101r r
r
r x
x T C -=
-+Θ∴展开式的中间项为53
55
10)1()(x
x C -
即:6
5252x -。
当n 为奇数时,n
b a )(+的展开式的中间项是
2
12
121-+-n n n n b
a
C
和
2
12
121+-+n n n n
b
a
C
;
当n 为偶数时,n b a )(+的展开式的中间项是2
22n n n n
b a C
。
2. 求有理项 例10.求103
)1
(x
x -的展开式中有理项共有 项;
解:3
410103
1010
1)1()1()(r r r
r r r
r x
x
r T C C
-
-+-=-=
Θ
∴当9,6,3,0=r 时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式;
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无
理式。
3. 求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题
例11.在二项式11
)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 ; 解:r r r
r x T C
)1(1111
1-=
-+Θ