第8章_矩阵特征值问题计算
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定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
Hale Waihona Puke Baidun2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
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例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
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定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
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注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
j 1
或
( akk )xk akj x j ,
jk
于是 即
akk xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
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这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
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下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
解 矩阵A的3个圆盘为
D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
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特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
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定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
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解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
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定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.
定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
Hale Waihona Puke Baidun2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
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例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
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定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
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注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
j 1
或
( akk )xk akj x j ,
jk
于是 即
akk xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
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这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
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下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
解 矩阵A的3个圆盘为
D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
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特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
上页 下页
定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
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解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
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定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.