【最新精选】第二章伪球面、常高斯曲率曲面

第二章曲面论

伪球面

一、曳物线(tractrix)

从曲线C上某一动点P的切线

与某一定直线l的交点Q

到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。

直线l为其渐近线。

我们首先定义O x z平面上的曳物线如下：

定义如果曲线C上任意一点P 的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值a,则称曲线C为曳物线。

z轴称为曳物线的渐近线。

下面我们来推导曳物线的方程，设它的方程为

()z z x = 。

曲线上一点(,)P x z 处的切线方程为 ()()Z z z x X x '-=-，

切线z 轴的交点为(0,())Q z z x x '-， 因为||PQ a =，

所以 222

(())x z x x a '+=，

由此得出()z x x

'=±，

dz dx x =± ， 令sin x a t =， 则2cos 1sin cos sin sin a t t dz a tdt a dt a t t -=±⋅=±

1(sin )sin a t dt t =±-2

1(sin )2tan cos 22a t dt t t =±-，

于是

(ln tan cos )2t z a t =±+ 。

因此，Oxz 平面上以z 轴为渐近线的曳物线方程是

sin (ln tan cos )2x a t t z a t =⎧⎪⎨=±+⎪⎩ 。

二、 伪球面

由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。这种曲 面的全曲率在每一点都是常数且是负的。位于此曲面上的直线与平行公设不一致。因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。

曳物线绕其渐近线旋转一周而得到的曲面。1868年意大利数学家贝尔特拉米首先提出伪球面可作为实现双曲几何的模型，从而促使非欧几何得到普遍承认。

如果把上述曳物线z 轴旋转， 所得的旋转曲面称为伪球面，

它的参数表示是

sin cos ,sin sin ,(ln tan cos ).2

x a t y a t t z a t θθ=⎧⎪⎪=⎨⎪=±+⎪⎩

对旋转曲面

(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=， 第一基本形式是

22222()()[(())(())]()x t d x t z t dt θ''I =++， 高斯曲率是

222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+。

将伪球面的参数代入计算， 所以伪球面 的第一基本形式是 222222sin ()cot ()a t d a t dt θI =+， 伪球面的高斯曲率是

222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+

21a

=- ，

21K a =-， 伪球面的高斯曲率是负常数。

伪球面及其测地线

1.伪球面的参数方程及其高斯曲率伪球面是由拽物线:

绕z轴旋转而来.

所谓拽物线是满足如下"拽物方程"的曲线:

于是得到伪球面的参数方程:

作图得到:

由对于旋转曲面

{x Cos(u), x Sin(u), f(x)}

的高斯曲率公式:

得到伪球面的高斯曲率为常数

-1.

2.伪球面的测地线方程

直接计算伪球面的法向n(非单位)为:

这样, 若伪球面上的曲线

r[t]=X(x(t),u(t)); 则由测地线应满足的条件

得到测地线方程为:

特别地, 令 x(t)=t, 则可解

得:u(t)=

于是, 我们可以具体的求出这条测地线. 作图如下:

图中红线表示这条测地线.

注意由测地线方程可知:伪球面上的经线和纬线都不是测地线.

贝特拉米

目录

1简介

2主要成就

3研究成果对后世…

4非欧几何的其他…

简介

贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899），意大利数学家。主要成就

证明了罗巴切夫斯基的非欧几何。1868年，贝特拉

米利用当时微分几何的最新研

究成果，发表了一篇著名论文

《非欧几何解释的尝试》，证明

了非欧几何可以在欧几里德空

间中的“伪球面

(pseudo-sphere)”，即“曵物线

(tractrix)”的“回转曲面”上

一一对应的实现，从而奠定了罗

巴切夫斯基思想得到普遍承认！

伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，其高斯曲率为负常数的特殊曲面。具体而又是在，伪球面的内蕴几何与罗氏几何是一致的，一个伪球面可以解释成为罗氏几何中一个平面的一部分。这就为罗氏几何提供了一个模型。

这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。

研究成果对后世的影响

因为贝特拉米《非欧几何解释的尝试》的出现，才将罗巴切夫斯基从非议中解救出来，他所创立的非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。

长期无人问津的非欧几何开始获得学术界的普遍注意和深入

研究，罗巴切夫斯基的独创性研

究也就由此得到学术界的高度

评价和一致赞美，他被人们赞誉

为“几何学中的哥白尼”。从

贝特拉米的证明开始，非欧几何

终于从一个无聊的“牛角尖”，

变成了公认的理论。这些钻牛角

尖的人，终于可以扬眉吐气，证

明他们的牛角尖钻得是有意义

的，而且是有很重大的意义的。

非欧几何的其他证明

稍后，彭加勒和克莱因在欧氏系统也分别构造了罗氏几何的

模型。彭加勒的模型是：在

欧氏平面上划一条直线而使之

分为上、下两个半平面，把不包

括这条直线在内的上半平面作

为罗氏平面，其上的欧氏点当做

罗氏几何的点，把以该直线上任

一点为中心，任意长为半径所作

出之半圆周算做是罗氏几何的