【最新精选】第二章伪球面、常高斯曲率曲面
微分几何课件
3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 r r ( x), x G, 例如 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、 开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有
微分几何第二章曲面论第三节复习
例3 求 曲 面z x2 2 y2在 点(0,0)沿 方 向dx : dy的 法 曲 率.
解： p z 2x，q z 4 y，
x
y
r
2z x 2
2，s
2z xy
0，t
2z y 2
4.
I (1 p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2
(1 4x2 )dx2 16xydxdy (1 16 y2 )dy2 .
求法：FF21
( (
x, x,
y) y)
a11 a12
x x
a12 a22
y y
a13 a23
0 0
中心方程组
(1)中心曲线 曲线的分类：
I2
a11 a12
a12 0， a22
(2)非中心曲线
I2
a11 a12
a12 0， a22
(i)无心曲线 a11 a12 a13 .
a12 a22 a23
叫 做 曲 面(S)在 点P的 渐 近 方 向.
杜邦指标线的方程为L：x2 2Mxy Ny2 1 曲面(S )在点P的方向du : dv是渐近方向
Ldu2 2Mdudv Ndv2 0. 渐近方向方程 注 (1) 渐近方向的个数
若LN M 2 0，即椭圆点，有两个虚渐近方向.
若LN M 2 0，即双曲点， 有两个实渐近方向. 若LN M 2 0，即抛物点， 有一个实渐近方向. 若L N M 0，即平点，任何方向都是渐近方向.
II
r
dx2
2s
dxdy
t
dy 2
1 p2 q2
1 p2 q2
1 p2 q2
2
dx2
4
dy 2
微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面资料
偏微分方程 ()的通解为： G A(v ) cos( K u) B(v ) sin( K u)
G A(v ) cos( K u) B(v ) sin( K u) 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为
E u v E u G v 2 1 G 1 G uu 2 G u G 现设曲面S的高斯曲率 K 常数， 则得二阶常系数偏微分 方程： 1 K EG
K G 0 2 u 根据初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0. 按以下三种情形求出这 个偏微分方程的解 . (1).正常数高斯曲率的曲面 ( K 0)
I a 2du2 a 2 cos2 udv2 球面的第一基本形式为 ： 2 2 u 作参数变换：u au, v av, 则有： I du cos dv 2 a 1 而具有正常数高斯曲率 2 的曲面的第一基本形式 为： a 2 2 u 2 2 2 I du cos ( K u)dv du cos dv2 a 它们等距等价.
Ku
齐次微分方程 ()的通解为： (u, v0 ) Ach( K u) Bsh( K u)
其中常数A, B依赖于v0，
偏微分方程 ()的通解为：
G A(v )ch( K u) B(v ) sh( K u) 由初始条件： G(0, v ) 1, Gu (0, v ) 0得： A(v ) 1, B(v ) 0. 曲面的第一基本形式为
称为伪球面 . 定义 上述曳物线绕z轴旋转所得的旋转曲面 z 伪球面的参数方程
高斯曲率的计算公式解析
第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=r r r r r ，(,,)uv r r r M n r =⋅=r r ，(,,)vv r r r N n r =⋅=r r 。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uuv v uv uvE F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r r r r rr r r r r r r r r r r r r ru vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv uuv v E F r r E F r r FGr r F Gr r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
伪球面Snv上的常(负)曲率极小曲面
伪球面Snv上的常(负)曲率极小曲面
陈文财;黎镇琦
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2001(025)003
【摘要】运用作用在伪欧氏向量值Able形式上的微分算子与 ,证明了伪球面Snv 上不存在高斯曲率K<0的常曲率极小曲面.
【总页数】4页(P224-227)
【作者】陈文财;黎镇琦
【作者单位】南昌大学数学系,;南昌大学数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O186.1
【相关文献】
1.常曲率黎曼流形中具有平行中曲率向量的紧致伪脐子流形 [J], 毛井;李光汉
2.单连通负曲率流形上指数调和映照的常边值问题 [J], 左莉芳
3.关于负常曲率的伪黎曼流形的2-调和子流形的注记 [J], 孙弘安;钟定兴
4.伪球面中的常曲率类空极小球面 [J], 陈文财; 黎镇琦
5.三维拟常曲率流形中极小曲面的稳定性 [J], 王文涛
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
3.4 常高斯曲率曲面
曳物线. 而把曳物线绕 z -轴旋转后所得的曲面称为伪球面.
【注 1】
我们之所以称曲线(4)为曳物线的原因如下: 过这条曲线上每点 P , 作切线与
轴交于 Q, 可以验证: 线段 P Q 的长度为 a. 这就相当于人 Q 用一根长为 a 的直绳拖曳着物 体沿 z -轴走动时, 物体 P 所走出的轨迹, 它正好就是曲线(4), 因而我们就称曲线(4)为曳物 线. 【注 2】
I ∗ = (du∗ )2 + (1 + u∗2 )(dv ∗ )2 . 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程) 1 K = −√ EG √ ( E )v √ G √ ( G)u √ + E v ,
u
经过计算得出曲面 S 和 S ∗ 的高斯曲率分别为 K=− 1 , (1 + u2 )2 K∗ = − 1 . (1 + u∗2 )2
为高斯曲率为零的代表; 球面作为高斯曲率为正常数的代表. 换句话说, 高斯曲率为零的曲 面都可以与平面建立等距对应, 高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应. 那
1 么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表? 设 K = − a 2 , 我们可以在旋转曲
面中找出这个代表. 设旋转曲面的待定母线为 yOz 平面中的曲线 z = f (y ). 把它绕 z -轴旋转后形成了旋转 面 r (u, v ) = {v cos u, v sin u, f (v )}, 其高斯曲率 K= ff LN − M 2 LN = = , 2 EG − F EG v (1 + (f )2 )2
1 为了使这个曲面的高斯曲率 K = − a 2 , 所以待定函数 f 就必须满足下列方程:
1 ff = − 2, v (1 + (f )2 )2 a 将其改写成 f d(f ) 1 = − 2 v dv (1 + (f )2 )2 a 1 1 = 2 v 2 + C1 , 1 + (f )2 a √ f =± 再积分, 就得出 f =± 如令 v = a cos φ 后 f = ±a sin2 φ dφ = ±a[ln(sec φ + tan φ) − sin φ] + C2 cos φ √ a2 − v 2 , v
【精品】第二章高斯曲率的计算公式
曲面论高斯曲率的计算公式高斯定理2122LN MK k k EG F-==-。
注意(,,)u uu r r r L n r =⋅=，(,,)u uv r r r M n r =⋅=，(,,)u vv r r r N n r =⋅=。
所以22LN M K EG F-=- 2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--，利用行列式的性质和矩阵乘法，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v uv v v uv uu uuu vuu vvuv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vv v uv uu uuu vuu vvuv uuv vuv uvE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vvv uv uu uuu vuu vv uv uvuv uuv vE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，由于()(())()uv u v u v u v uu v v vu vF F r r r r r r ==⋅=⋅+⋅uu vv uuv v u uvv uv uv r r r r r r r r =⋅+⋅+⋅+⋅，11()()22vv v v u uv v u uvv uv uv E E r r r r r r ==⋅=⋅+⋅，11()()22uu u u v vu u v vuu vu vu G G r r r r r r ==⋅=⋅+⋅，所以1122uv vv uu uu vv uv uv F E G r r r r --=⋅-⋅，于是得到221122111[]()22111111222222u v v v u u v uuv vv uu vu EF F E EF E K FG G F G G EG F E F G F E G E G -=-----对于曲面上的正交坐标网来说， 0F =， 此时1[K u v ∂∂=+∂∂，1]u v K =+。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
常高斯曲率的曲面
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：
（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程
2 G u2 K G 0.
的通解为 G A(v) cos K u B(v) sin K u 这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件
G(0, v) 1,Gu (0, v) 0. 可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为
这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与 球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距。
4、把命它题经：过若保通角过变伪换球映面射的到第平一面基上本，形则式伪球 面 d的s2测地ay22线(d对x2应 d于y2 )
园心在 x 轴上的园。
要证明这个命题，先作保角变换：x
7、3 罗氏几何
1、罗氏平面上的距离
设 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 是罗氏平面上的两点，通过保角变换，
它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把
v,
y
eu a
,
ady
dx dv, du
y
ds2
du2
a
2
e
2u a
dv
2
a2
(dx2
dy2 )
y2
与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上
的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：
现在
d 2uk
ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds
0
, k 1,2
y
y
K=2时， y 1 (xx yy) 0 y x2 y 2 0
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
第二章曲面上的高斯映照、第三基本形高斯曲率几何意义
第二章 曲面论第十三节 曲面上的高斯映射 高斯曲率的几何意义曲面的第三基本形式Gauss 映射曲面的Gauss 映射ϕ（或称为球面表示） 是曲面∑上的点到单位球面S 上点的映射 ，具体叙述如下。
定义 在曲面:(,)r r u v ∑=,的的任一点(,)P u v 处, 作出单位法向量(,)n u v ，并平行移动。
(,)n u v，使它的始点与原点O 重合，那么, n的终点就落到以O 为球心的单位球面S 上, 从而得到一点P ' , 我们称从∑到S 的这一映射:P P ϕ'→为曲面的高斯映射。
ϕ是把整个曲面映射到单位球面上的，曲面∑在球面上的象是S 上的一个点集σ。
若已知曲面∑的方程为(,)r r u v = ，那么, ∑在高斯映射下的球面象σ的方程为(,)n u v，即||||u vuv r r r r n r r ⨯⨯==⨯。
上式即为高斯映射的向量表示式。
例1 、求球面(sin cos ,sin sin ,cos )r a a a θϕθϕθ=的高斯映射下的球面象。
解(,,)(s in c o s ,s in s in ,c o s )x y zn a a aθϕθϕθ== 。
例2、 求正螺面(cos ,sin ,)r u v u v av =的高斯映射下的球面象。
解 (co s ,sin ,0)u r v v =， (sin ,cos ,)v r u v u v a =-， (sin ,cos ,)u v r r a v a v u ⨯=-，1(sin ,cos ,)||||u vu v r r n a v a v u r r ⨯==-⨯ 。
曲面与球面象的关系曲面∑的高斯映射不一定是∑上的点到单位球面S 上的点的一一映射。
例如 设∑是一柱面，其方程是0()r a s vb =+，()s r a s '=，0v r b = ，∑的球面象的方程为0()||||||()||s v s v r r a s b n r r a s b '⨯⨯==⨯'⨯，这是单位球面S 上一条曲线。
【最新精选】第二章伪球面、常高斯曲率曲面
第二章曲面论伪球面一、曳物线(tractrix)从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。
直线l为其渐近线。
我们首先定义O x z平面上的曳物线如下：定义如果曲线C上任意一点P 的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值a,则称曲线C为曳物线。
z轴称为曳物线的渐近线。
下面我们来推导曳物线的方程，设它的方程为()z z x = 。
曲线上一点(,)P x z 处的切线方程为 ()()Z z z x X x '-=-，切线z 轴的交点为(0,())Q z z x x '-， 因为||PQ a =，所以 222(())x z x x a '+=，由此得出()z x x'=±，dz dx x =± ， 令sin x a t =， 则2cos 1sin cos sin sin a t t dz a tdt a dt a t t -=±⋅=±1(sin )sin a t dt t =±-21(sin )2tan cos 22a t dt t t =±-，于是(ln tan cos )2t z a t =±+ 。
因此，Oxz 平面上以z 轴为渐近线的曳物线方程是sin (ln tan cos )2x a t t z a t =⎧⎪⎨=±+⎪⎩ 。
二、 伪球面由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。
这种曲 面的全曲率在每一点都是常数且是负的。
位于此曲面上的直线与平行公设不一致。
因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。
曳物线绕其渐近线旋转一周而得到的曲面。
1868年意大利数学家贝尔特拉米首先提出伪球面可作为实现双曲几何的模型，从而促使非欧几何得到普遍承认。
如果把上述曳物线z 轴旋转， 所得的旋转曲面称为伪球面，它的参数表示是sin cos ,sin sin ,(ln tan cos ).2x a t y a t t z a t θθ=⎧⎪⎪=⎨⎪=±+⎪⎩对旋转曲面(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=， 第一基本形式是22222()()[(())(())]()x t d x t z t dt θ''I =++， 高斯曲率是222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+。
高斯曲率的计算公式
第二章 曲面论高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理2122LN MK k k EG F-==- 。
注意(,,)uu r r r L n r =⋅=，(,,)uv r r r M n r =⋅=，(,,)vv r r r N n r =⋅=。
所以22LN M K EG F -=-2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =-- ，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -(,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v u v v v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vv v uv uu uuu vuu vv uv uuv vuv uvE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vv v uv uu uuu vuu vv uv uv uv uuv vE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ ，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。
）利用 u u r r E ⋅= ，u v r r F ⋅=，v v r r G ⋅=，可得12u uu u r r E ⋅= ，12u uv v r r E ⋅=，12v vu u r r G ⋅= ，12v vvv r r G ⋅= ， 12v uu u v r r F E ⋅=-，12u vv v u r r F G ⋅=-。
新疆大学微分几何课程教学大纲.
新疆大学《微分几何》课程教学大纲英文名称：Differential Geometry课程编号：E052744，E052844，E052943 课程类型：跨专业选修课程总学时：64 学分：4适用对象：数学与系统科学学院各专业本科生（汉）先修课程：《解析几何》、《高等代数》、《数学分析》、《微分方程》使用教材：《微分几何》，北京师范大学梅向明、黄敬之编，高等教育出版社，1988年第二版。
参考书：《微分几何讲义》，陈省身、陈维桓，北京大学出版社，1983。
《微分几何》，苏步表、胡和生等，高等教育出版社，1983。
《整体微分几何初步》，沈一兵，杭州大学出版社，1998。
《微分几何讲义》，吴大任，人民教育出版社，1982。
一、课程性质、目的和任务微分几何是大学数学本科专业的一门跨专业选修课程。
该课程是通过数学分析中的运算理论去研究几何的有关问题，它是线性代数，数学分析、微分方程，高等几何等学科知识的综合运用。
微分几何课程的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理方法，培养学生的几何直观和图形想象的能力、从具体到抽象的能力。
二、教学基本要求通过教学应使学生对空间的曲线和曲面，特别是特殊的曲线与曲面有明晰的空间位置、形状、曲率、挠率的概念，向量分析方法能运用自如，从而达到数与形的统一，统一的数量与空间的唯物辨证观念；能具备空间想象能力，娴熟的分析计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。
三、教学内容及要求第一章曲线论教学内容：向量代数复习、向量函数、曲线的概念、空间曲线、特殊曲线教学要求：1．正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。
2．正确理解向量函数、向量函数的极限、连续性、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。
3．正确理解曲线、光滑曲线、曲线的正常点、切线和法平面、弧长、自然参数的概念，熟练掌握曲线的切线和法平面、曲线的弧长、曲线的自然参数的运算。
4．正确理解空间曲线、空间曲线的密切平面、基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的概念，熟练掌握空间曲线的切平面、基本三棱形、曲率、挠率的运算，熟记伏雷内公式并能灵活运用。
(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。
因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。
二 欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。
证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率2222n Ldu Ndv Edu Gdv κII +==I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1LEκ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N Gκ=. 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以cos θ=,所以2222cos Edu Edu Gdv θ=+,2222sin Gdv Edu Gdvθ=+,所以 22222212222222cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdvκκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。
证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知：22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥,所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。
四 主曲率的计算公式结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v =在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是0N N N N L E M F M FN Gκκκκ--=-- 即222()(2)()0NN EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。
13 特殊曲面
微分几何Differential Geometry 第13 讲特殊曲面直纹面由直线的轨迹所成的曲面称为定义1直纹面.直线称为直母线.与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线.2222221x y z αβγ+-=单叶双曲面例的参数表示.(cos sin ),(sin cos ),x u v u y u v u z v αβγ=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩(,){(cos sin ),(sin cos ),},r u v u v u u v u v αβγ=-+{cos ,sin ,0}{sin ,cos ,}.u u v u u αβαβγ=+-()().a u vb u =+直纹面方程:(),a a u Γ=设导线为Γ导线直母线(),b u Q 是曲面过点的直母线上的单位向量),(v u r )(u a O P ,(,)()(1(),)P r u v a u vb u =+则对于直母线上的任意一点()v P Q a u =其中是直纹面上有点到的向距离.坐标曲线.)()(00直母线曲线：u b v u a r v +=-.),()(0与导线平行的曲线曲线：u b v u a r u +=-.)1(的参数方程称为直纹面S )(u b Q,Q Γ是上任意点解例子例2.222就是一个直纹面马鞍面z y x =-⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=uv z v u y v u x 2,,记即：}2,,{),(uv v u v u v u r -+-= }2,1,1{}0,,{u v u u --=例3的参数表示为莫比乌斯带Band) bius o M (}2sin ),2cos 1(cos ),2cos 1({sin ),(u v u v u u v u v u r ++= }.2sin ,2cos cos ,2cos {sin )(},0,cos ,{sin )(u u u u u u b u u u a == 令(,)()().r u v a u vb u =+直纹面的高斯曲率),(,)()(u b r u b v u a r v u ='+'=则,0),(,)()( ='=''+''=vv uv uu r u b r u b v u a r .0,),,()(22=⋅=-''=-'⋅⨯'=⋅=n r N F EG b b a F EG b b a n r M vv uv 2222222)(),,(F EG b b a F EG M F EG M LN K -''-=--=--= .0,0),,()1(==''K b b a 时因此当 .0,0),,()2(<≠''K b b a 时 .0≤(,)()(),(,,)0,r u v a u vb u a b b ''=+=直纹面:如果满足则称直定义2可展曲面为.纹面0(,)()()K r u v a u vb u =+⇔=可展曲面的直纹面:称为.),()(u b v u a r +=直纹面参数方程为,2F EG b b v b a n -⨯'+⨯'= 单位法向量可展曲面的分类,,().,.每一个可展曲面或是柱面或是锥面或是一条曲线的指一条曲线的所以切线构成的直纹面反之这三类曲面均为定理1切线曲面可展曲面O a rb Oa r bO a r b,,,.S S 直纹面是可展曲面的充要条件是沿着直母线的单位法向量固定不变或者等价地说沿直母线只有命2一个切平面题.S 曲面为可展曲面的充要条件是它的高定3斯曲率为零理4.S S 曲面可展的充要条件是可与平面建立定等距变换理H 平均曲率处处等于零的曲面称定义3极为小曲面.,,,给定一条闭曲线以这条闭曲线为边界的所有曲面中有一个面积最小者这个具有最小面积的曲面就是极几何意义:小曲面.(Plateau),普拉托问题也称为肥皂物理学中:泡问题.,?ΓΓ给定了空间中一条可求长的闭约当曲线是否存在一个以为边界的极小曲面平面是唯一可展极小曲面除平面外唯一旋转极小曲面悬链面正螺面存在.直纹面极小曲面,新设计学派提出极小曲面理念开创可现代张拉膜结构设计的先河.主要理论是对于特定边界条件得到的膜结构表面积最小从而耗能最少.----东京街头景观极小曲面厅纽约科学馆中的极小曲面华盖厦门园博园中的极小曲面建筑慕尼黑奥运会场馆----极小曲面常高斯曲率曲面,两个曲面之间如果存在等距变换,则在对应点处有相等的高斯曲率,K 当时曲面局部间可以建立等为常数距变换..即:高斯曲率是等距不变量.但反之不然因此常高斯曲率曲面可分为三类：(1)0,K >当时2222I d d cos d .s u K u v ==+1.K 代表元:球心在原点,半径为的球面(2)=0,K 当时222I d d d .s u v ==+,.代表元:平面此时曲面与平面等距(3)<0,K 当时2222I d d cosh d .s u K u v ==+-高斯曲率为负常数的曲面我们统称为伪球面.全脐点曲面,,,S S 如果曲面上一点沿任意方向的法曲率都相等则这点称为曲面的如果曲面上每一点都是脐点定义则称曲面为4脐点全脐一点曲面.I II S 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面的第一基本形式和第二基本形式定理4满足II Ik .k S 其中是曲面上的函数.S 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是定5平面或球面理小结1.,0.K ≤直线的运动轨迹所称的曲面直纹面:0.;;2K ⎧⎪=⎨⎪⎩柱面高斯曲率的曲面锥面切线曲面.可展曲面:3.0H =平均曲极小曲面:率的曲面.22222222,0,I d d .;0,I d cos d ;0,I 4d c s .o h d K u v K u K u v u K u v =⎧==+⎪>=+⎨⎪<=+-⎩常高斯曲率曲面:高斯曲率常数的曲面.5.0,;,n n n k k k ≡⎧⎨⎩全脐点平面法曲率为常数的曲面非零常数球面.曲面:感谢大家的聆听！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章曲面论伪球面一、曳物线(tractrix)从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值,则称曲线C为曳物线(tractrix)。
直线l为其渐近线。
我们首先定义O x z平面上的曳物线如下：定义如果曲线C上任意一点P 的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值a,则称曲线C为曳物线。
z轴称为曳物线的渐近线。
下面我们来推导曳物线的方程，设它的方程为()z z x = 。
曲线上一点(,)P x z 处的切线方程为 ()()Z z z x X x '-=-，切线z 轴的交点为(0,())Q z z x x '-， 因为||PQ a =，所以 222(())x z x x a '+=，由此得出()z x x'=±，dz dx x =± ， 令sin x a t =， 则2cos 1sin cos sin sin a t t dz a tdt a dt a t t -=±⋅=±1(sin )sin a t dt t =±-21(sin )2tan cos 22a t dt t t =±-，于是(ln tan cos )2t z a t =±+ 。
因此，Oxz 平面上以z 轴为渐近线的曳物线方程是sin (ln tan cos )2x a t t z a t =⎧⎪⎨=±+⎪⎩ 。
二、 伪球面由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做伪球面。
这种曲 面的全曲率在每一点都是常数且是负的。
位于此曲面上的直线与平行公设不一致。
因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。
曳物线绕其渐近线旋转一周而得到的曲面。
1868年意大利数学家贝尔特拉米首先提出伪球面可作为实现双曲几何的模型，从而促使非欧几何得到普遍承认。
如果把上述曳物线z 轴旋转， 所得的旋转曲面称为伪球面，它的参数表示是sin cos ,sin sin ,(ln tan cos ).2x a t y a t t z a t θθ=⎧⎪⎪=⎨⎪=±+⎪⎩对旋转曲面(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=， 第一基本形式是22222()()[(())(())]()x t d x t z t dt θ''I =++， 高斯曲率是222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+。
将伪球面的参数代入计算， 所以伪球面 的第一基本形式是 222222sin ()cot ()a t d a t dt θI =+， 伪球面的高斯曲率是222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+21a=- ，21K a =-， 伪球面的高斯曲率是负常数。
伪球面及其测地线1.伪球面的参数方程及其高斯曲率伪球面是由拽物线:绕z轴旋转而来.所谓拽物线是满足如下"拽物方程"的曲线:于是得到伪球面的参数方程:作图得到:由对于旋转曲面{x Cos(u), x Sin(u), f(x)}的高斯曲率公式:得到伪球面的高斯曲率为常数-1.2.伪球面的测地线方程直接计算伪球面的法向n(非单位)为:这样, 若伪球面上的曲线r[t]=X(x(t),u(t)); 则由测地线应满足的条件得到测地线方程为:特别地, 令 x(t)=t, 则可解得:u(t)=于是, 我们可以具体的求出这条测地线. 作图如下:图中红线表示这条测地线.注意由测地线方程可知:伪球面上的经线和纬线都不是测地线.贝特拉米目录1简介2主要成就3研究成果对后世…4非欧几何的其他…简介贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899），意大利数学家。
主要成就证明了罗巴切夫斯基的非欧几何。
1868年，贝特拉米利用当时微分几何的最新研究成果，发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明了非欧几何可以在欧几里德空间中的“伪球面(pseudo-sphere)”，即“曵物线(tractrix)”的“回转曲面”上一一对应的实现，从而奠定了罗巴切夫斯基思想得到普遍承认！伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，其高斯曲率为负常数的特殊曲面。
具体而又是在，伪球面的内蕴几何与罗氏几何是一致的，一个伪球面可以解释成为罗氏几何中一个平面的一部分。
这就为罗氏几何提供了一个模型。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。
研究成果对后世的影响因为贝特拉米《非欧几何解释的尝试》的出现，才将罗巴切夫斯基从非议中解救出来，他所创立的非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。
长期无人问津的非欧几何开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
从贝特拉米的证明开始，非欧几何终于从一个无聊的“牛角尖”，变成了公认的理论。
这些钻牛角尖的人，终于可以扬眉吐气，证明他们的牛角尖钻得是有意义的，而且是有很重大的意义的。
非欧几何的其他证明稍后，彭加勒和克莱因在欧氏系统也分别构造了罗氏几何的模型。
彭加勒的模型是：在欧氏平面上划一条直线而使之分为上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当做罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所作出之半圆周算做是罗氏几何的直线。
然后，对如此规定了的罗氏几何元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立。
借助彭加勒模型可以证明罗氏几何的相对相容性。
这种解释性模型是数理逻辑和数学基础中的理论研究的重要方法。
而描述性数学模型是解决实际应用问题的重要手段。
至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。
【注1】我们之所以称曲线(4)为曳物线的原因如下: 过这条曲线上每点P, 作切线与轴交于Q, 可以验证:线段PQ的长度为a.这就相当于人Q用一根长为a的直绳拖曳着物体沿z -轴走动时, 物体P 所走出的轨迹, 它正好就是曲线(4), 因而我们就称曲线(4)为曳物线.原始更生动形象的解释主人拖曳着不情愿跟着走的狗，主人沿直线走，狗所走出的轨迹；或狗走前面，人走后面。
中国以前所扎的扫把形状，类似于曳物线一段所围的图形。
【注2】可以验证第一象限内曳物线与正半轴, 正半轴之间所夹部分的面积为214a π，这是半径为a 的圆面积的14. 该曳物线绕z -轴旋转所得的曲面的表面积是22a π, 这恰等于半径为a 的球面的表面积的12； 这曲面所围的体积是313a π 恰为半径为的球体积的14。
附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意见)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
总体要求:贫困村农村居民人均可支配收入年均增幅高于全县平均水平5个百分点以上，遏制收入差距扩大趋势和贫困代际传递；贫困村基本公共服务主要指标接近全县平均水平；实现扶贫对象“两不愁三保障”（即：不愁吃、不愁穿，保障其义务教育、基本医疗和住房）。
年度任务：2015－2017年全乡共减少农村贫困人口844人，贫困发生率降至3%以下。
二、精准识别（一）核准对象。
对已经建档立卡的贫困户，以收入为依据再一次进行核实，逐村逐户摸底排查和精确复核，核实后的名单要进行张榜公示，对不符合政策条件的坚决予以排除，确保扶贫对象的真实性、精准度。
建立精准识别责任承诺制，上报立卡的贫困户登记表必须经村小组长、挂组村干部、挂点乡干部、乡领导签字确认，并作出承诺，如扶贫对象不符合政策条件愿承担行政和法律责任，确保贫困户识别精准。
（二）分类扶持。
通过精准识别建档立卡的贫困户分为黄卡户、红卡户和蓝卡户三类，第一类为黄卡户，是指有劳动能力，家庭经济收入在贫困线边缘的贫困户；第二类为红卡户，是指有一定的劳动能力，家庭贫困程度比较深的贫困户；第三类为蓝卡户，是指年老体弱或因病因残丧失劳动能力的贫困户和五保户。
优先扶持黄卡户，集中攻坚扶持红卡户脱贫，对蓝卡户则通过保障扶贫来保障其基本生活。
（三）挂图作业。
根据贫困户的实际情况，分三年制定脱贫规划。
乡里将根据各村情况对每年精准脱贫任务落实到户到人，建立台账，并用图表标注清楚，挂图作业，脱贫一户销号一户，做到“贫困在库，脱贫出库”。
三、精准施策针对贫困村和建档立卡贫困户的实际情况，分清类别，分类施策，强化措施，扎实推进各项扶贫政策落实到实处。
在抓好贫困村公共设施和服务方面的建设同时要抓好对贫困户的帮扶，做到精准施策。
（一）推进基础设施扶贫1．对“十三五”扶持贫困村25户以上的所有自然村，由规划所牵头负责进行村庄建设规划。
2．重点解决“最后一公里”的问题。
着力解决贫困群众最需要、最期盼的交通、电力、水利、就医就学等方面“最后一公里”的问题，让贫困群众享受均等的基本公共服务。
到2015年完成2个贫困村25户以上自然村水泥路建设，确保到2016年底新一轮贫困村中25户以上自然村全部通水泥路；在调查摸底和充分征求意见的基础上，确保到2016底全面完成农村贫困户土坯房和危旧住房的改造任务；灌溉渠系建设和小山塘除险加固改造主要倾向贫困村，提高灌溉能力，到2017底基本解决贫困村农村居民饮水安全和生产用水困难问题；每年安排贫困村至少一个“一事一议”项目，以帮助解决路、桥、水等问题。
（二）推进产业扶贫1．培育壮大特色富民产业。
大力发展高产油茶、白莲、等特色种植业和特色养殖业，鼓励支持贫困户依据当地资源禀赋发展“一村一品”富民特色产业。
为贫困户发展种养业优先立项和优先提供苗木和种苗。
每年通过产业扶持贫困户50户以上，到2020年有劳动能力的贫困户每户都有一个长效增收的主业。
乡财政筹集资金，重点打造空坑——XX扶贫产业带，带动全乡贫困群众发展扶贫产业。
2．筹集精准扶贫到户资金。
县乡筹集精准帮扶到户资金，对贫困户发展产业给予奖补，或提供小额贷款担保、贴息、补助农业保险，以及提供信息、技术、服务等。