相似三角形与圆的综合应用

个性化辅导讲义

1在厶ABC 中,AB = AC, / A = 36° , / ABC 的平分线 BD 与AC 交于D,求证:

知识概括、方法总结与易错点分析 相似三

角形的概念与判定

（一） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。

（二） 判定：

① 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 相似。

② 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

③ 有两个角对应相等的两个三角形相似。

④ 三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤ 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

⑥ 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的性质

2.两个相似三角形对应中线之比是

3:7，周长之和为30cm,贝陀们的周长分别是

AB BC 3

•如图，已知AD = DE AC 求证：△ ABM A ACE

4. 在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CD! AB 于 D,贝U BD ： AD 等于(

(A ) a : b (B ) a 2 : b 2 (C ) a ： . b ( D )不能确定

5. 如图，在△ ABC 中，/ ACB= 90°, CD! AB 于 D, DEI AC 于 E , DE = 1

求BC 的值。

(1) BC = BD (2)

1. 相似比：相似三角形对应边的比值

2. 相似三角形各组对应角相等

3. 相似三角形各组对应边的比值相等

4. 相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

5. 相似三角形周长的比等于相似比

6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

7. 直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

针对性练习

1 .两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和20cm,若它们的周长的差是60cm,则较大的三角形的周长是--—--，若它们的面积之和为260cnf,则较小的三角形的面积为--—-- cm2

2. 如图，PLMh为矩形，AD丄BC于D, PL : LM=5： 9,且BC=36cm AD=12cm 求矩形PLMlN勺周长

A

3. 如图，在Rt△ ABD中，/ ADB=90 ,CD丄AB于C, AC=20cm,BC=9cm求AB及BD的长

B

5.如图，矩形ABCD中, AE L BD于E,若BE=4, DE=9,求矩形的面积

考点二：圆、相似与圆的综合应用

典型例题

1. 如图，AB是△ ABC的外接圆O O的直径，D是O O上的一点，DE L AB于点E,且DE的延长线分别交AC O O BC的延长线于F、M G.求证：AE- BE= EF • EG

2. 如图，AB是O O的直径，BC是O O的切线，D是O O上的一点，且AD// CQ

(1)求证：△ ADB^ A OBC

⑵若AB=2, BC= 2，求AD的长。(结果保留根号)

3. 已知：如图，AB 是O O 的直径， 点P 在BA 的延长线上，PD 切O O 于点C, BD 丄PD,垂足为 D, 连接BG

4. 如图，AB 是O O 的直径，BC 丄AB,弦AD// OC.求证：CD 是O O 的切线。

知识概括、方法总结与易错点分析

求证：(1) BC 平分/ PBD (

2) BC * 1 2 =AB BD

B

3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

4、与圆有关的角

⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

⑵圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

点与圆的位置关系

1. 点在圆外d > r

2. 点在圆上d=r

3. 点在圆内d v r

直线与圆的位置关系

判定方法有两种

(1 )根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；

(2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断

常用的辅助线是：圆心到直线的垂线段

圆与圆的位置关系

(1) 当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。相切的两个圆除了切点外, 一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切(如图1);,相切的两个圆，除了切

点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切(如图 2 )。

T

(2)

设两个圆的半径为 R 和r,(R >r)，圆心距为d ,则可得 两圆外切 二d=R+ r; 两圆内切 u d=R-r 。

(3) 相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们

得到相切两圆的连心线的性质：相切两圆的连心线必经过切点。

两圆的位置关系还有以下三种情况:

当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交(如图 1)；当两个圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离 的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离(如图

2)，如果一个圆 上点都在另一个圆的内部。我们就说这两个圆内含(如图

3)

设两个圆的半径为 R 和r,圆心距为d,则

图1

T —

⑶