决策理论与方法

2. 线性规划模型及其应用
自从 1947 年 G.B.Dantzig 提出一般线性规划（Linear programming）的单 纯性法后， 线性规划在理论上日趋成熟。 尤其是计算机能处理成千上万个约束条 件和决策变量的线性规划后，其应用领域就更广泛了，实用性也更强了。目前最 常见的三类线性规划问题是：资源分配（Resource-Allocation）问题、成本收 益平衡 （Cost-Benefit-Trade-off） 问题以及网络配送 （Distribution-Network） 问题。
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管理决策模型及其适应性分析
摘要： 管理决策是针对管理活动中存在的问题或进取愿望， 制定各种可行的 解决方案，选择并执行最佳方案的全部活动过程，决策者在决策过程中，离不开 各种方法。本文将对线性规划、非线性规划、动态规划、图论、排队论和存储论 等六个模型进行描述及适应性分析，并结合实际应用，以便让读者掌握。 关键字：管理决策 模型 适应性
3.2 非线性规划的应用及举例
和线性规划一样，非线性规划模型解决的也是经营管理、工程设计、科学研 究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。例如：
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(1)如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的 利润； (2)如何设计某种产品， 在满足规格、 性能要求的前提下， 达到最低的成本； (3)如何确定一个自动控制系统的某些参数，使系统的工作状态最佳； (4)如何分配一个动力系统中各电站的负荷， 在保证一定指标要求的前提下， 使总耗费最小； (5)如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存费用最低； (6)如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。 对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数， 且不便于线性化， 或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方 法去处理。 如例 2 为投资决策问题： 例 2： 某公司有 n(≥2)个项目可供选择投资， 并且至少要对其中一个项目投 资。 已知该公司拥有总资金 A 元， 投资于第 i(i=1， …， n)个项目需花资金 a i 元， 并预计可收益 bi 元，试选择最佳投资方案。 其数学模型可写为 设投资决策变量为： 1，决定投资第 i 项项目，
成 绩 评卷人
研究生 学 号
王康泰 2014112405
华 中 师 范 大 学 研 究 生 课 程 论 文
论文题目 完成时间 课程名称 任课教师 专 年 业 级
管理决策模型及其适应性分析 2015.6.27 决策理论与方法 段尧清 管理科学与工程 2014 级
目录
1. 引言 ................................................................................................................... 1 2. 线性规划模型及其应用 ................................................................................... 1 2.1 线性规划模型的描述 .............................................................................. 1 2.2 线性规划的应用及举例 .......................................................................... 2 3. 非线性规划模型及其应用 ............................................................................... 3 3.1 非线性规划模型的描述 .......................................................................... 3 3.2 非线性规划的应用及举例 ...................................................................... 3 4. 动态规划模型及其应用 ................................................................................... 4 4.1 动态规划模型的描述 .............................................................................. 5 4.2 动态规划的应用及举例 .......................................................................... 6 5. 图与网络分析及其应用 ................................................................................... 7 5.1 图与网络模型的描述 .............................................................................. 7 5.2 图与网络模型的应用及举例 .................................................................. 8 6. 排队论及其应用 ............................................................................................... 9 6.1 排队系统的描述 ...................................................................................... 9 6.2 排队系统的应用及举例 ........................................................................ 11 7. 存储论及其应用 ............................................................................................. 12 7.1 存储论的描述 ........................................................................................ 12 7.2 存储论的应用及举例 ............................................................................ 14 8. 结语 ................................................................................................................. 14 参考文献............................................................................................................... 15
3.1 非线性规划模型的描述
Minf(X) h i(X ) 0 g j(X） 0
i 1, 2, , m ；j 1, 2， ，n
目标函数 f(X)和约束函数 h（ 、 g j(X)至少有一个为 X 的非线性函数。 i X） 非线性规划的求解方法可分为无约束问题和约束问题来讨论， 前者实际上就 是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。无约束问题的求解方法有最速下降 法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。约束问题情况比较复杂，因为在 迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可能性。
1. 引言
决策理论的创始人西蒙说， “管理即决策” ，足以可见决策在管理中的核心地 位。尤其是在现代企业经营管理活动中，经常需要制定各种决策，因而决策分析 是帮助企业管理人员制定决策的一种科学分析技术。这种决策技术一般分为“硬 技术”和“软技术” 。决策的“硬技术”主要是指一些数学的方法和模型，特别 是运筹学的方法。 决策的 “软技术” 主要是指建立在心理学和行为科学基础亡的、 发挥人的创造性思维的方法。本文将对决策的六种基本“硬技术”，也即决策模 型进行简单地描述，以及模型的适应性进行分析。
b col（b1 ,b2 , ,bn） ， A (aij )m n
其中，C 为价值向量，X 为决策变量矩阵，b 为资源向量，A 为约束条件系 数矩阵，一般的有 m
n，n
0。
一般地，实际中的线性规划问题，都要转化成标准型来求解，可以通过如 下处理将一个一般形式的模型转化成标准型； (1) 若要求目标函数实现最小化，即 Min z ，这时只需要令 z' -z ，即可 将目标函数变为 Max z'。 (2) 若约束方程为“≤”不等式，可以在该不等式左端加入一个非负松弛 变量，就把原“≤”不等式变为等式。 (3) 若约束方程为“≥”不等式，可以在该不等式左端减去一个非负松弛 变量，就把原“≥”不等式变为等式。 (4) 对取值无约束的变量，可用两个非负的新变量相减来替换。转化为线 性规划的标准形式然后利用单纯形法求出对应该模型的最优解。
， （i 1, 2， ,n） . （j 1, 2， ,n）
3. 非线性规划模型及其应用
非线性规划（Nonlinear Programming）是具有非线性约束条件或目标函数的 数学规划，是运筹学的一个重要分支，直到 20 世纪 50 年代初才形成的一门学 科。 非线性规划研究的是一个 n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极 值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
2.1 线性规划模型的描述
建立一个线性规划模型，首先要提出和分析问题，收集相应数据，明确约束 条件。其一般形式为：
Max（Min）z CX s. t. AX b X 0
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,x n） C T col（c1 ,c 2 , ,c n） ， X col（x 1 ,x 2 , ，
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元，8 产品每公斤的利润是 1200 元。因客观条件所限，该厂只能得到煤 360 吨、电 2 万度、劳力 300 个劳动日。问该厂应生产 A，B 产品各多少，才能使获 得的总利润最大? 其数学模型可写为
n
max z
n
c x
j 1 ij j
j j，
s. t.
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j 1
x bi
xj 0
2.2 线性规划的应用及举例
线性规划问题广泛的应用在工业、农业、商业、交通运输以及军事指挥等 众多领域。综合起来可以归纳为以下几个方面的问题： (1) 投资问题—确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效最 快。 (2) 计划安排问题—确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资 源配制问题。 (3) 任务分配问题―分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量 最多、效率最高，如生产安排问题。 (4) 下料问题―如何下料，使得边角料损失最小。 (5) 运输问题―在物资调运过程中，确定最 经济的调运方案。 (6) 库存问题―如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。 如例 1 为资源利用问题： 例 1：某工厂生产 A，B 两种产品，已知生产 A 产品每公斤需耗煤 9 吨，耗 电 400 度，用工 3 个劳动日(一个劳动日指一个工人劳动一天)；生产 B 产品每 公斤需耗煤 4 吨，耗电 500 度，用工 10 个劳动日。A 产品每公斤的利润是 700