矩阵与变换练习二(含答案)

矩阵与变换练习二

一．填空题

1．用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2是_______⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x 2. 将变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252写成矩阵的乘法形式是_______.⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x 2152 3.对任意的二阶非零矩阵A 、B 、C ，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB ≠0; （3）若AB=AC ，则B=C;（4）A （BC ）=（AB ）C; （5）A 2≠0; （6）A A AA 11--=，其中真命题的序号 为 （4）（6）

4.已知3π

βα=+，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-αα

αα

cos sin sin cos N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ββββcos sin sin cos ,则 NM=_________⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-212

3

2321 5.设,,a b R ∈若M=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：2x+y+7=0变换为自身，则a = ，b = 1 ；-1 6. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ，则5A =_________⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-1001 7.若01010101A B ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则矩阵A=_________，B=_________。1120,0101A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

二、解答题

8.求关于直线y=3x 的反射变换对应的矩阵A ．

解：在平面上任取一点P （x ，y ），点P 关于y=3x 的对称点P （x ′，y ′） 则有：⎪⎩⎪⎨⎧'+⨯='+-=⨯'-'-23213x x y y x x y y 解得：⎪⎩

⎪⎨⎧+='+-='y x y y x x 54535354 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x 54535354 A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-54535354 9.已知矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110,0110N M .在平面直角坐标系中，设直线210x y -+=在矩

阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程.

解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1 00 －1． 设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y ) 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x '，y ')，

则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 'y '，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x 'y '，所以⎩⎨⎧x ＝x '，y ＝－y '． 因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2 x '－(－y ')＋1＝0，即2x '＋y '＋1＝0． 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0．

10.设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． 求逆

矩阵1

M -以及椭圆22

149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程． 解：． 1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

， 椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=12. 11.设T A 是旋转角为300的旋转变换，T B 是以直线l 为轴的反射变换，O x 轴到直线l 的角为

450。求复合变换T A T B 、T B T A 的矩阵。

解：0

0001cos30sin 302sin 30cos3012A ⎤-⎥⎡⎤-⎢==⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣000001cos90sin 9010sin 90cos90B ⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦ 复合变换T A T B 、T B T A 的矩阵分别是

12

2122AB ⎡-

⎢⎥=⎥⎥⎣

⎦122122BA ⎡⎢⎥=⎥-⎥⎣⎦

12.自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，并有关系式⎩⎨

⎧a n ＋1＝3a n ＋b n b n ＋1＝2a n ＋2b n ，其中a 1＝1，b 1＝1，

试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势. 解：由上题可知α1 =1-2⎡⎤⎢⎥⎣⎦

,α 2 =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M=3122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 分别对应特征值λ1=1，λ2=4的两

个特征向量，而α1与α2不共线.又α=

1

1

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

=3

1

1

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

+（－2）

1

-2

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

∴M20α= M20(3α2+（－2）α1)=3 M20α2+(－2) M20α 1

=3λ220α2+（－2）×λ120α1=3×420×

1

1

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

+(-2)×120×

1

-2

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

=

20

20

342

344

⎡⎤

⨯-

⎢⎥

⨯-

⎣⎦

≈

20

20

34

34

⎡⎤

⨯

⎢⎥

⨯

⎣⎦

答：20个时段后这两个种群的数量都趋向于3×420.