3.2点到平面的距离,平面的法式方程

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§3.2 点到平面的距离,平面的法式方程

本节重点:掌握平面划分空间的判别法

掌握点到平面的距离的求法。

掌握平面的法式方程。

1. 平面划分空间

由平面方程建立中,我们看到平面方程的左边

AX +BY +CZ +D =→→∙P P n 0

这里→n 为平面的法向量{A,B,C},0P 为平面上任一点,P (X,Y ,Z)为动点。若P 在已知平面上,则上式的值为 0。假设P 不在这个平面上,则上式不等于0,我们来研究它的符号。

把→n 的起点放在0P ,则它指向已知平面的某一侧。若P 点位于→n 所指的这一侧,则∠(→n ,→P P 0)小于直角,于是→n ·→P P 0>0。若P 位于与→n 所指相反的一侧,则∠(→n ,→P P 0)大于直角,于是→n ·→P P 0<0。由此我们得到

3.2.1 定理 对于平面

AX +BY +CZ +D =0

把法向量→n {A,B,C}的起点放在它上面,则→

n 所指一侧的点坐标满足不等式

AX +BY +CZ +D >0

而另一侧的点的坐标满足不等式

AX +BY +CZ +D <0

系:把位于已知平面同侧的点的坐标代入方程左边,所得的值必同号;异侧的点的坐标代入方程左边,其值异号。

由此,我们知道平面把空间上点分成三部分,一部分点在平面上,它的坐标代入方程左端使 AX +BY +CZ +D >0与AX +BY +CZ +D <0。

2. 点到平面的距离,平面的法式方程

从点P 向已知平面引垂直线段PM ,(如图2-5)是点P 到平面

图2-5

的距离。再由P 点向过0P 的平面法线→n 引垂直线段PN ,则易知四边形N PMP 0为一矩形,故N P 0=PM ,由于在含→n 的轴线上→N P 0是→P P 0的射影向量

∴ →→P P o n 0Pr =→N P 0→n =→P P 0→

n 故|→N P 0|=N P 0=

||||0→→→⋅n n P P 即

222|

|C B A D Cz By Ax d +++++= (1)

于是我们有

3.2.2定理 一点到已知平面距离公式由(1)表示

系:原点到已知平面AX +BY +CZ +D =0的距离为

222|

|C

B A D d ++= 由公式(1)可以看出,如果将已知平面方程的左边预先乘以一个因子 2221

C B A ++±=λ

得一仍代表原平面的新方程,那么去求距离时只要将已知点的坐标代入左边,并取绝对值就可得到。现在对于λ的符号,我们来现定一种确定的取法。

当方程左边乘以λ时,它变成

λAX +λBY +λCZ +λD =0 (2)

因此,由这方程的一项系数所确定的法向量就是λ→n 。今设平面不通过原点,我们从原点到这平面引垂直线段0OP 。

由于向量→0OP 与→n 平行,因此,可以取λ的符号使λ→n 与→0OP 同向。这时,若将λ→n 的起点移到这平面上,它就指向不含原点的一侧。现在我们将定理1用于方程(2)便得λD <0,这样,我们应取λ的符号与D 相反。如果平面通过原点(即D =0)则0P 合于原点O ,→

0OP 成为零向量,这时我们对于λ的符号可不予以限制。

在上述规定下,我们考察一下方程(3) 四个系数的几何意义。

由定理2的系看出│λD │=0OP 但λD ≤0故λD =-0OP ,如果记p =0OP ,则为λD =-P 。 由于(λA)2+(λB)2+(λC)2=1,因此法向量{λA ,λB ,λC}为单位向量,于是其三个坐标即为→0OP 的方向余弦,即

λA =COS α λB =COS β λC =COS γ

这样(2)可以写成

XCOS α+YCOS β+ZCOS γ-p =0

这个方程叫做平面的法式方程,一个给定一般方程的平面;AX +BY +CZ +D =0,当其左边乘以λ之后,就成为法式方程,因此,λ叫做法式化因子。

例1、 求下列平面的法式方程

(1) 2X -2Y +Z -3=0

(2) X -3Y +2Z +21=0

(3) X -3Y +2Z =0

(4) X -a=0 a>0

解:(1) 2

221

C B A ++=31

D =—3<0 故λ=3

1,法式方程为 32X -32Y +3

1z -1=0 (2) 2221C

B A ++=141 D =21>0故λ=—141,法式方程为 法式方程为

—141

(X -3Y +2Z +21)=0

(3) D =0 λ=±

141 法式方程为 ±141

(X -3Y +2Z)=0

例2、求以下各组距离

(1) 原点到平面2X +3Y +6Z -35=0

(2) 点(1,3,-2)到平面662-++Z Y X =0

解:(1) p =

5369435=++ (2) 13

3441|662|=-=++-++=

Z Y X d 习 题 3-2

1、将下列平面方程化为法式方程:

(1) 6X -3Y +6Z -7=0

(2) 2X -2Y -Z +12=0

(3) X -2Y +Z +8=0

(4) X -a=0 (a>0)

2、求原点到平面12X -4Y +3Z -39=0的距离。

3、求点(2,3,-5)与(3,4,7)到平面 X +2Y -2Z =9的距离,并问这两点是否在这平面同侧? 4、求两平行平面6X +2Y -3Z +63=0 ,6X +2Y -3Z +49=0间的距离。

5、一个动点到三个平面 X +Y +Z =0 ,X -Z =0,X -2Y +Z =0距离之平方和等于9,试求这个点的轨迹方程。

6、平面6X -3Y -6Z +7=0与 X +2Y +2Z -9=0相交组成两对对棱二面角,试求含有坐标原点的那个二面角及其对棱二面角的角平分面方程。

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