最优控制第五章习题答案
最优控制胡寿松版部分习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ，1c ，2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
(完整word版)最优控制理论与系统胡寿松版部分习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+,0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d Lx dt x ∂⋅=∂代入欧拉方程0L d Lx dt x ∂∂-⋅=∂∂,可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t 〉1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =,()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x ∂∂-=∂∂横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fT t L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为:()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ,1c ,2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下,使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件:()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fT t L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =,0b = 将f t ，a ,b 代入J 可得()1*2011J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
最优控制复习题
x = c1 t + c2
第二章习题
习题2-6
x(1) = 4，x(tf ) = 4，tf 自由且tf > 1。求x∗ (t)使
tf
J=
1
1 2 ˙ (t)] dt [2x(t) + x 2
取极小值 解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问 题，F = 2x(t) + 1 ˙ 2 (t)，x(tf ) = c(tf ) = 4。由欧拉方程 2x ∂L d ∂ d − =2− x ˙ (t) = 2 − x ¨(t) = 0 ∂x dt ∂ x ˙ dt x ˙ (t) = 2t + c1 , 由x(1) = 4得 1 + c1 + c2 = 4 ⇒ c1 + c2 = 3 由x(tf ) = 4得 t2 f + c1 tf + c2 = 4
图 A-1 : 天然气管道网络
课后习题解答 最优控制理论与系统 December 27, 2013 12 / 33
E 2
4 H
G 1 2 3 3 K J 4 L
第四章习题
解：首先由L开始逆向计算每一个压缩机站的最大流通能力，并标注在 站点编号右侧，为了便于区别，同时用加粗线条标注由该站点出发的最 优路径。首先，G，J，I，K四个站点只有一条路径（一种决策）通向下 一个站点，只须标注最大流通能力，无需给出最优路径。 B 3 A 4 C 2 2 2 3 D 3 5 2 1 4 2 F 5 I(5) E 2 H 2 3 3 K(3) 4 G(5) 1 J(4) 4 L
课后习题解答
最优控制理论与系统
December 27, 2013
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
自动控制原理第五章习题集与答案解析
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。
u rR1u cR2CR2R1u r u c(a) (b)题5-1图 R-C网络解（a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(RRCRRTCRRRRKsTsKsCRsCRRRsUsUrcττωωτωωωωω11121212121)1()()()(jTjKCRRjRRCRRjRjUjUjGrca++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=CRRTCRsTssCRRsCRsUsUrc)(1111)()(2122222212ττωωτωωωωω2221211)(11)()()(jTjCRRjCRjjUjUjGrcb++=+++==5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(tcs和稳态误差)(tes（1）ttr2sin)(=（2）)452cos(2)30sin()(︒--︒+=tttr题5-2图反馈控制系统结构图解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 频率特性: 2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e 则)2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时,2=ω，r m =1则,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2( -=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2( +=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2）当)452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ= )902cos(7.0)4.3sin(4.0 --+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0 --+=t t5-3若系统单位阶跃响应h t e e t t t()..=-+≥--11808049试求系统频率特性。
最优控制-5(最少燃料控制)
北京工商大学 刘载文
第5章 最少燃料控制
u * = − dez (−λ10t + λ20 ) − u*
+1 −1 −1 +1 − λ10t + λ20
5、再来分析在平凡区内的情况，此时
λ10 ≠ 0
− λ10t + λ20
北京工商大学 刘载文
第5章 最少燃料控制
得出9种可能的控制序列作为候选函数
T j T
由上节重要结论可知：该系统是奇异的。 （则最少燃料控制不一定是唯一的。） 3、最优控制表达式：
u *j = − dez{
q *j Cj
} = − dez{B T λ} = − dez{λ2 }
4、下面利用协态方程求解 λ2 (t )
H = u + λT f = u + λ1 x2 + λ2u
奇异（非平凡）最少燃料 控制系统。 并不意味着在该区间内最 优控制不存在，仅表明， 利用常规公式无法求解
北京工商大学 刘载文
第5章 最少燃料控制
5.2 线性时不变系统的最少燃料控制问题
1、线性时间最优调节器问题的提法： 设受控系统状态方程为
& x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
给定终端约束条件为
* T * u j ( t ) ≤1 m j =1 * T *
m
(5 − 6)
⇒ ∑ C j u j + λ Bu = min {∑ C j u j + λT Bu}
j =1 u j ( t ) ≤1 j =1
( j = 1,2,..., m)
qj
将（5-6）式中的矩阵表达式 展开成分量形式
λ Bu = ∑ u j {∑ bij λi }
最优控制第五章习题答案
1. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
最优控制理论_第五章
(t ) [ A(t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t )]x(t ) x x(t0 ) x0
几点说明：
1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制； 2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算 机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因 此应在过程开始之前就将K(t)解出，存入计算机以供过程使用； 3) 只要控制时间[t0,tf]是有限的， 是有限的 K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定 常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统； 4) ) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小 值为：
2:无限时间状态调节器
设线性定常系统状态方程为
(t ) Ax (t ) Bu (t ), x
x (t 0 ) x 0
[A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为
J
1 T T [ x ( t ) Qx ( t ) u (t ) Ru (t )]dt t 2 0
Q 0, Q Q T , R 0, R R T
其中Q，R为常数矩阵
要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。 与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 t f
当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的；
u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x(t )
其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解
(t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) Q (t ) K K (t f ) P
最优控制第五章用变分法求解连续最优控制问题—有约束条件的泛函极值
xT
H x
uT
H u
d
t
xT
tf t0
使J´取极小的必要条件是，对任意的δu和δx，
都有δJ´=0成立。
因此得
H 0
x H x
H 0 u
tf 0 t0
(5-9) (5-10) (5-11) (5-12)
(5-5)
或 J tf H x, x,u, ,td t t0
(5-6)
式中
Hx, x,u,,t Lxt,ut,t T tf xt,ut,t xt
(5-7)
对式(5-5)右边第二项作分部积分，得
t f T x d t t f T x d t T x t f
为此，构造增广泛函
J Φxt f ,t f T Nxt f ,t f
t f
t0
Lxt,ut,t T
t f
xt , ut , t
xt d t
(5-21)
写出哈密顿函数
Hxt,ut,t,t Lxt,ut,t T t f xt,ut,t
(5-25)
ut u*t ut
(5-26)
tf
t
* f
t f
(5-27)
x(t) δx (t* f)
x*(t)
x(t) x(t0)
x
t
f
t f
δx(tf)
0 t0
t*f t*f+ δtf
t
图4 可变终端各变分间的关系
从图4可知在端点处变分之间存在下列近似关系
考虑到式(5-24)右边第一项和第二项的一次
第五章_最优控制_10
Pontriagin极小值条件：
0 ( x ) x t f
T
H x H f ( x , u , t ), x (t 0 ) x0 x H x * (t ), u * (t ), * (t ) H x * (t ), u (t ), * (t )
tf t0
Mayer型指标：
min J
u
x(t ), t
f
f
求解方法： 利用算子将状态方程引入到泛函求极值算式中！
* J min x(t f ), t f u
tf
t0
T & x F x ( t ), u ( t ), t (t ) ） (t ) f ( x(t ), u (t ), t dt tf
minJ
u
s.t. x (t) f x(t),u(t),t, x(t ) x
f f t0 0
x(t ),t Fx(t),u(t),tdt
tf 0
式中：s.t. 为 subject to 的缩写
其它指标形式： Lagrange 型指标：
min J
u
F x(t ), u (t ), t dt
2
1
2 2 ( x x t ) dt
边界条件为x(1)=1, x(2)=2, 试求J为极值时的x*(t)。
5.3.3 向量时的情况 设目标函数为：
J(y , y y ) F ( x, y , y , , y , y , y , , y )dx
y1 , y 2 , , y n x1 x0
目标函数：(性能指标） 对于连续系统，性能指标一般表示为：
最优控制习题及参考答案
最优控制习题及参考答案6212最优控制习题及参考答案习题 1求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0=0 ， t f= 1d由欧拉方程得：(2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2求性能指标：J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解： 由上题得：x * (t ) = C t + Cx * (t )63x f由 x (0) = 0 得： C 2= 0∂L由 ∂xt =tf= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0t0 1于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x，x (1)自由。
6421∫ ⎩λ =有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3已知系统的状态方程为：x 1 (t ) = x 2 (t )， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1(0) = x 2(0) = 1 ， x 1(3)= x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解： 由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λTfH = 1u 2+ λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨12121 2 2⎧λ = C① 得： ⎨1 1⎩λ2 = −C 1t + C2 ② ∂H由控制方程：∂u= u + λ2 = 0 得： u = −λ2= C 1t − C 2③由状态方程：x2 = u = C1t −C2得：x (t) = 1 C t2 −C t + C ④2 2由状态方程：x1 = x21 2 3得：x (t) = 1 C t3 −1 C t 2 + C t + C ⑤1 6 12 23 465661⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将x (0) = ⎢ ⎢，x (3) = ⎢0⎢代入④，⑤, ⎣1⎦⎣ ⎦ 10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29，C 2 = 2 ， C3=C 4 =1 9x * (t ) = 5 t 3 −t 2+ t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L xx ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(5025.2*=-=+=⎰⎰∙t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
最优控制应用基础-第五章
离散最优控制问题的提法是：在容许控制的集 离散最优控制问题的提法是： 合中，求控制序列u (0)， (1)， (2)， (N合中，求控制序列u*(0)，u*(1)， u*(2)，…， u*(N-1) 使性能指标取极大(或极小) 使性能指标取极大(或极小)。 不难看出， 不难看出，一个离散系统的最优控制问题可以 看成一个多级决策过程问题，因此， 看成一个多级决策过程问题，因此，可以利用求解 多级决策过程问题的方法来求解。 多级决策过程问题的方法来求解。
P = αV [ x (0) − x ( N )] − β ∑ u ( k )
k =0 N −1
多级萃取过程的收益为
α：物质A的单价 物质A β：溶剂的单价 N −1 P = x (0) − x ( N ) − B ∑ u ( k ) 性能指标 J = k =0 αV
β (式中 B = ) αV
4
多级决策过程
2ห้องสมุดไป่ตู้
多级决策过程
一、多级决策过程
•N级萃取过程
一个N级萃取过程的流程图如图所示。这个过程由N 一个N级萃取过程的流程图如图所示。这个过程由N个萃 取装置组成。通过它们从混合物中提取某种物质A 取装置组成。通过它们从混合物中提取某种物质A。 V：混合物进入萃取装置0的流速 混合物进入萃取装置0 x(k－1)：进入萃取装置k－1 的混合物含物质A的浓度 1)：进入萃取装置k 的混合物含物质A x(k)：流出萃取装置k－1 的混合物含物质A的浓度 流出萃取装置k 的混合物含物质A u(k)：注入萃取装置k－1以便从混合物中带走物质A的 注入萃取装置k 以便从混合物中带走物质A 溶剂或洗液的流速 z(k－1)：单位溶剂从萃取装置k－1中带走的物质A的量 1)：单位溶剂从萃取装置k 中带走的物质A
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
2
x2
x2 1
1
（2 t）=- Ae2sint
3 t ，由所给状态方程及初始条件解得：
2
………………………………………………………………………
………………………………
3-7 已知二阶系统方程
x&1(t ) x2 (t ) 1 ， x1(0)
1
4
4
x&2(t) u(t ) ， x2(0)
1
4
式中控制约束为
欧拉方程： L d L 0
x dt x&
横截条件： x t0
x0 ，
L x& t f
0， L
x&T
L x&
tf
0
易得到 x& t a
其通解为： x t at b
代入边界条件 x& t f a ， x 0 0 ， t f 1，求出 a 0 ， b 0
将 t f ， a ， b 代入 J 可得 J*
1
1
0 ，即 x&& 0
故 x& c1 其通解为： x c1t c2
代入边界条件 x(0) 1 ， x(1) 2 ，求出 c1 1， c2 1
极值曲线为 x* (t) t 1
2-6 已知状态的初值和终值为
x(1) 4 ， x(t f ) 4
式中 t f 自由且 tf >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线
2
将 u* (t ) 代入状态方程，得
x 1, 0 t ln e
x&(t)
2
x 1, ln e t 1
2
解得 x(t)
c1e t
1, 0
t
最优控制 (5)1
线 x(t ) ，使性能指标取极小值。 ˆ
离散系统最优控制：
在离散时刻 0，1,…，N-1 上寻找 N 个最优控制向量
u (0) ，u (1) ，…，u ( N 1) 和相应的 N 个最优状态向量 (1) ， ˆ x ˆ ˆ ˆ
x(2) ，…, x(k ) 以使(2-90)式表示的性能指标取极小值。 ˆ ˆ
11
定理 2-4 设离散系统的状态方程是
x(k 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
k 0,1, N 1
(2-109) (2-110) (2-111)
则为把状态 x(k)自初态
x (0x( N ), N ] 0
的终态，并使性能指标
(k 1) A1 (k )
得
u ( k ) 10 BT ( k 1) 10 BT AT ( k )
代入状态方程可得
x(k 1) Ax (k ) 10 BBT AT (k )
16
由协态方程
(k ) AT (k 1)
和状态方程
由 x(2)可以求得 (1) ，随之确定 (0) 。
由于
0 1 A 0.1 1 1 0.1 0 0 0.01 T 10 ABB 10 0.10 0.1 0 0.10 0 1
2 T
1 0.2 A 0 1
x(k 1) f [ x(k ), u (k ), k ]
k 0,1,2 N 1
(2-96) (2-97)
其状态初值已知是
x (0) x0
则为使性能指标
J [ x( N ), N ]
N 1 k 0
L[ x(k ), u (k ), k ]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. ）4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得0,101,,,10,01A B Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦b ，b,a 显然Q 为半正定阵。
可控性阵为[]0,1,1,0B AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是非奇异的，系统可控。
考虑到()K t 是对称阵，设11121222(),K t k k =⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,001,[0,1],0,01,0,,1,,,k k k k k k k k k k b k k k k k k k k b a k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得2111212122211222221212k k k k k k b k k k a=-=--=--当111222f t →∞时，k 、k 、k 都趋于零，则黎卡提微分方程变为黎卡提代数方程2121222112221201002k k k k b k k a=-=--=--上面的方程组可得111222k 、k 、k 的稳态值111222 =1 b k k k 为保证K 正定，根据塞尔韦斯特判据，K 的各阶主子式应大于零，即 *211221122120,0,k k k k k >>>将求得的111222k k k 、、的值代入上面正定性条件，可得1+a >最优控制可计算如下1111211212222()()(),()[0,1]()(),()T u t R B K t X t k k x t x t t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于12()1()()x s G s u s s==拉氏反变换得1()x t ut =2()()1u t x t t=-+ 5. 22211210min (0.1),,J x u dt x x u x x ∞=+=-+=⎰求最优控制。
解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得1,010,0,,0.11,00A B Q R -⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0,1显然Q 为半正定阵。
可控性阵为[]1,1,0,1B AB -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是非奇异的，系统可控。
%考虑到()K t 是对称阵，设11121222(),K t k k =⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,1,01,110,010[1,0],1,00,0,,0,,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦0,1令上式等号左右端的对应元相等，得211111212121122122221210210101k k k k k k k k k k =-=-+=-当111222f t →∞时，k 、k 、k 都趋于零，则黎卡提微分方程变为黎卡提代数方程211121211221221201020100101k k k k k k k =-=-+=-上面的方程组可得111222k 、k 、k 的稳态值111222=1 1k k k为保证K 正定，根据塞尔韦斯特判据，K 的各阶主子式应大于零，即211221122120,0,k k k k k >>>将求得的111222k k k 、、的值代入上面正定性条件，满足。
最优控制可计算如下11112111112212222()()(),()10[1,0]10()10(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6. 线性系统的状态方程()(),(0)1x t u t x =-=性能泛函220(()())J x t u t dt ∞=+⎰试求最优控制函数。
解：0,1,2,2a b q r ==-==[因为()()x t u t =-，系统是可控的。
黎卡提代数方程10Ka aK Kb bK q r--+-=代入得1202KK -=解得20K => 最优控制1()()u t bKx t r =-代入得11()()*2()()2u t bKx t x t x t r =-==代入状态方程：()()x t x t =-所以tx ce -= 又因为(0)1x =所以1c =所以最优控制()tu t e -= 7. 22210min (),k k k k k k J xu x x u +==+=+∑试求最优控制函数。
解：本题为离散状态调节器问题。
由题意：1,1,0,1,1,3A B P Q R N ====== 黎卡提方程可写为111()()()[(1)()()()]()T T K k Q k A k K k B k R k B k A k ---=+++。
代入得11(1)()1[(1)1]1(1)1K k K k K k K k --+=+++=+++终端值(3)(3)0K P ==。
由3k =反向计算，求出(2)(1)(0)K K K 、、。
(3)(2)1=1(3)1K K K =++，(2)3(1)=1=(2)12K K K ++，(1)8(0)1=(1)15K K K =++最优控制1()()()()[()()]()T T u k R k B k A k K k Q k X k --=--代入得()[()1]()u k K k X k =--3(0)[(0)1](0)(0)5u K x x =--=-，2(1)(0)(0)(0)5x x u x =+=再计算(1)u11(1)(1)(0)25u x x =-=-，1(2)(1)(1)(0)5x x u x =+=再计算(2)u(2)[(2)1](2)0u K x =--=8. 给定一阶系统()(),(1)3,x t u t x ==性能泛函62201(5)()2J x u t dt =+⎰试求最优控制*,u 使J 取极小值。
(解：由题意得：0A =，1B =，2P =，0Q =，1R =黎卡提方程可写为1()()()()()()()()()()()TTK t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+- 代入得2()()K t K t =解得：1()K t t c =-+又因为()2f K t P ==所以132c =-则12()131322K t t t =-=-- 最优控制计算如下2()()()()132u t K t X t X t t=-=--代入状态方程2()()()132x t u t x t t ==--解得()(213)x t c t =-又因为(1)3x =所以311c =-639()11t x t -+=9. 对一维线性系统1220(1)()2(),0,1,..., 1.()4(),()N k x k x k u k k N J x N u k ββ-=+=+=-=+∑为正常数求使J 取最小值的最优控制。
解：由题意：()1,()2,2,0,8A k B k P Q R β=====黎卡提方程可写为111()()()[(1)()()()]()T T K k Q k A k K k B k R k B k A k ---=+++ 代入得111(1)()[(1)]212(1)K k K k K k K k ββ--+=++=++ *1()()()()[()()(1)()]()(1)()TTU k L k X k L k R k B k K k B k B k K k A k -=-=+++()L k 最优反馈增益阵代入11(1)()()()[84(1)]2(1)()*()22(1)K k U k L k X k K k K k X k X k K k ββ-+=-=-+++=-++10. 921(),..(1)()(),(0)1,(10)02J u k s t x k x k u k x x α=+=+==∑求最优控制*()u k 和 最优轨迹*()x k 。