最优控制第五章习题答案
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1. ·
2.
已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函
3
222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222
J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得
0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()
T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即
1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
令上式等号左右端的对应元相等，得2
111212111222222122222
21224
k k k k k k k k k =-=-+-=-+-
这是一组非线性微分方程。由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ 最优控制为
11112112122212222()()()
,()2*[0,1]2()2()
,()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤
=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3. ）
4.
能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为
12()1
()()x s G s u s s
==其性能泛函为22
211220
1[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞
=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得
0,101,,,10,01A B Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
b ，b,a 显然Q 为半正定阵。
可控性阵为[]0,1,1,0B AB ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
是非奇异的，系统可控。
考虑到()K t 是对称阵，设11121222(),K t k k =⎢
⎥
⎣⎦
代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()
T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即
1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,001,[0,1],0,01,0,,1,,,k k k k k k k k k k b k k k k k k k k b a k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
令上式等号左右端的对应元相等，得2
11121212221122222121
2k k k k k k b k k k a
=-=--=--
当111222f t →∞时，k 、k 、k 都趋于零，则黎卡提微分方程变为黎卡提代数方程
2
121222112221201
002k k k k b k k a
=-=--=--上面的方程组可得111222k 、k 、k 的稳态
值
111222 =1 b k k k 为保证K 正定，根据塞尔韦斯特判据，K 的各阶主子式应大于零，即 *
2
11221122120,0,k k k k k >>>将求得的111222k k k 、、的值代入上面正定性条件，可得
1+a >
最优控制可计算如下
1111211212222()()()
,()[0,1]()()
,()T u t R B K t X t k k x t x t t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤
=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
由于
12()1
()()x s G s u s s
==拉氏反变换得1()x t ut =
2()()1u t x t t
=-
+ 5. 2
2211210
min (0.1),,J x u dt x x u x x ∞
=+=-+=⎰
求最优控制。
解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得
1,010,0,,0.11,00A B Q R -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，0,1显然Q 为半正定阵。
可控性阵为[]1,1,0,1B AB -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
是非奇异的，系统可控。 %