第14章_参数模型功率谱估计_1讲解
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2 Makhoul J. Linear Prediction: a tutorial review. Proc. IEEE, 62(April):561-580,1975
3 Kay S M. Modern Spectrum Estimation: Theory and Application. 1988
第14章 参数模型功率谱估计
14.1 平稳随机信号的参数模型 14.2 AR模型的正则方程与参数计算 14.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择 14.4 AR模型的稳定性与信号建模 14.5 关于线性预测 14.6 AR模型系数的求解算法 14.7 MA模型 14.8 ARMA模型 14.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法
4 Marple S L. Digital Spectrum Analysis with Application. 1987
14.2 AR模型的正则方程与参数计算
目标：找到已知参数和未知参数的关系， 以便求解未知参数：
未知参数： a1, a2, , ap, 2 : p 1个
已知参数： rx (m), m 0,1, p
AR（Auto—Regressive，自回归）模型
若：
并假定：b0 1
则：
全 极 点 模 型源自文库
MA（Moving—Average,移动平均）模型 若： 则：
全 零 点 模 型
ARMA（Auto-Regressive MovingAverage,自回归－移动平均） 模型
如果：
ai : i 1 ~ p 不全 bi : i 1 ~ q 为零
LSI系统的输入、输出关系：
差分方程 卷积关系 以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确 定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、 输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。
转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。
谱分解 的Z域 表示
待辨识 的参数。
Px (z)
u2H (z)H (z1)
u2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
则：
极—零模型 ARMA模型
AR模型: 全极模型， 线性，用的最多， 被研究的也最多，性能很好；
MA模型：全零模型，看起来简单； 但是非线性；
ARMA模型：极－零模型，二者的综合。
具体选用那一个模型，一是取决于 信号的特点，二是取决于信号处理任务 的需要，需区别对待。
推荐如下参考文献：
1 Kay S M, Marple S L. Spectrum Analysis : a modern Perspective. Proc. IEEE, 69(Nov):1380-1419,1981
求解方法：由下面的差分方程入手：
两边同乘 x(n m) ，求均值
p
ak Ex(n m k)x(n) k 1
Eu(n m)x(n)
x(n) 和
u(n) 的
互相关
卷积 关系
因果 系统
结果1： 结果2：
结合 起来
正则方程 （Normal Eq.）
rx (0) rx (1) rx (2) rx (1) rx (0) rx (1) rx (2) rx (1) rx (0) rx ( p) rx ( p 1) rx ( p 2)
14.1 平稳随机信号的参数模型
经典谱估计： 分辨率低（受窗函数长度的限制）; 方差性能不好； 方差和分辨率之间的矛盾。
对平稳信号建模: 用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差； 也可用于信号的特征提取，预测，编码及 数据压缩 等。
从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：
步骤1
假定所研究的平稳过程 x(n) 是由一白噪声 序列 u(n) 激励一线性系统所产生的输出；
p
由于 e(n) x (n) xˆ(n) x(n) k x(n k)
p
k 1
u(n) x(n) ak x(n k)
线性预测的Wiener-Hopf Eq.
注意到：对同一信号 x(n) ，都使用其 rx (m)
得到了两组方程：
来自AR模型： Yule-Walk 方程
来自LP： Wiener-Hopf
方程
结论：对同一信号，二者是相同的，即
k ak k 1, 2, , p
min
2
一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：
为了深入了解AR模型的特点，现探 讨另外一个问题，即线性预测问题：
提法：设 x(n) 在 n 时刻之前的 p 个数据
x(n p), x(n p 1), , x(n 1) 已知
现在希望用它们预测 x(n)
x(n p) x(n p 1)
x(n 1) x(n)
p
xˆ(n) k x(n k) k 1
步骤2
由 x(n) 的先验知识，如 rx (m) ,估计 H (z)
的参数：
H (z) B(z) A(z)
b0 , b1, , bq a1, a2 , , ap
参 数
一旦上述系数被求出，则：H (z)
即是对 x(n) 建立的数学模型。
步骤3
功率谱估计：
随机信 号通过 LSI系 统的输 入输出 关系
e(n)
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, , p k 1
Wiener-Hopf Eq.
min E{x(n)[x(n) xˆ(n)]}
p
rx (0) krx (k) k 1
min ：最小
预测误差功率
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, , p k 1
rx ( p) 1 2
rx ( p 1)
a1
0
rx (
p
2)
a2
0
rx (0)
a
p
0
Toeplitz 自相关阵
2
R
a
O
p
又称 YuleWalker 方程
利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：
a1, a2, , ap, 2
于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。
线性预测
e(n) x(n) xˆ(n)
误差序列
E e2(n) E x(n)
p
k
x(n
k
)
2
k 1
均方误差
令：
0, k 1, 2, , p
k
可以得到使 最小的 1, , p 及 min 。
不求导，使用正交原理：
E{x(n m)[x(n) xˆ(n)]} 0, m 1, 2, , p
3 Kay S M. Modern Spectrum Estimation: Theory and Application. 1988
第14章 参数模型功率谱估计
14.1 平稳随机信号的参数模型 14.2 AR模型的正则方程与参数计算 14.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择 14.4 AR模型的稳定性与信号建模 14.5 关于线性预测 14.6 AR模型系数的求解算法 14.7 MA模型 14.8 ARMA模型 14.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法
4 Marple S L. Digital Spectrum Analysis with Application. 1987
14.2 AR模型的正则方程与参数计算
目标：找到已知参数和未知参数的关系， 以便求解未知参数：
未知参数： a1, a2, , ap, 2 : p 1个
已知参数： rx (m), m 0,1, p
AR（Auto—Regressive，自回归）模型
若：
并假定：b0 1
则：
全 极 点 模 型源自文库
MA（Moving—Average,移动平均）模型 若： 则：
全 零 点 模 型
ARMA（Auto-Regressive MovingAverage,自回归－移动平均） 模型
如果：
ai : i 1 ~ p 不全 bi : i 1 ~ q 为零
LSI系统的输入、输出关系：
差分方程 卷积关系 以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确 定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、 输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。
转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。
谱分解 的Z域 表示
待辨识 的参数。
Px (z)
u2H (z)H (z1)
u2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
则：
极—零模型 ARMA模型
AR模型: 全极模型， 线性，用的最多， 被研究的也最多，性能很好；
MA模型：全零模型，看起来简单； 但是非线性；
ARMA模型：极－零模型，二者的综合。
具体选用那一个模型，一是取决于 信号的特点，二是取决于信号处理任务 的需要，需区别对待。
推荐如下参考文献：
1 Kay S M, Marple S L. Spectrum Analysis : a modern Perspective. Proc. IEEE, 69(Nov):1380-1419,1981
求解方法：由下面的差分方程入手：
两边同乘 x(n m) ，求均值
p
ak Ex(n m k)x(n) k 1
Eu(n m)x(n)
x(n) 和
u(n) 的
互相关
卷积 关系
因果 系统
结果1： 结果2：
结合 起来
正则方程 （Normal Eq.）
rx (0) rx (1) rx (2) rx (1) rx (0) rx (1) rx (2) rx (1) rx (0) rx ( p) rx ( p 1) rx ( p 2)
14.1 平稳随机信号的参数模型
经典谱估计： 分辨率低（受窗函数长度的限制）; 方差性能不好； 方差和分辨率之间的矛盾。
对平稳信号建模: 用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差； 也可用于信号的特征提取，预测，编码及 数据压缩 等。
从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：
步骤1
假定所研究的平稳过程 x(n) 是由一白噪声 序列 u(n) 激励一线性系统所产生的输出；
p
由于 e(n) x (n) xˆ(n) x(n) k x(n k)
p
k 1
u(n) x(n) ak x(n k)
线性预测的Wiener-Hopf Eq.
注意到：对同一信号 x(n) ，都使用其 rx (m)
得到了两组方程：
来自AR模型： Yule-Walk 方程
来自LP： Wiener-Hopf
方程
结论：对同一信号，二者是相同的，即
k ak k 1, 2, , p
min
2
一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：
为了深入了解AR模型的特点，现探 讨另外一个问题，即线性预测问题：
提法：设 x(n) 在 n 时刻之前的 p 个数据
x(n p), x(n p 1), , x(n 1) 已知
现在希望用它们预测 x(n)
x(n p) x(n p 1)
x(n 1) x(n)
p
xˆ(n) k x(n k) k 1
步骤2
由 x(n) 的先验知识，如 rx (m) ,估计 H (z)
的参数：
H (z) B(z) A(z)
b0 , b1, , bq a1, a2 , , ap
参 数
一旦上述系数被求出，则：H (z)
即是对 x(n) 建立的数学模型。
步骤3
功率谱估计：
随机信 号通过 LSI系 统的输 入输出 关系
e(n)
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, , p k 1
Wiener-Hopf Eq.
min E{x(n)[x(n) xˆ(n)]}
p
rx (0) krx (k) k 1
min ：最小
预测误差功率
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, , p k 1
rx ( p) 1 2
rx ( p 1)
a1
0
rx (
p
2)
a2
0
rx (0)
a
p
0
Toeplitz 自相关阵
2
R
a
O
p
又称 YuleWalker 方程
利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：
a1, a2, , ap, 2
于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。
线性预测
e(n) x(n) xˆ(n)
误差序列
E e2(n) E x(n)
p
k
x(n
k
)
2
k 1
均方误差
令：
0, k 1, 2, , p
k
可以得到使 最小的 1, , p 及 min 。
不求导，使用正交原理：
E{x(n m)[x(n) xˆ(n)]} 0, m 1, 2, , p