第五章 线性参数最小二乘法处理(1)

第一节 最小二乘原理
“数据结合”(data combination)的问题
正态分布(高斯分布) 最小二乘法
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第一节 最小二乘原理
勒让德(Adrien-Marie Legendre )于 1805年首次公开发表了LS。
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第一节 最小二乘原理
二、最小二乘原理
Y
(1)d =
bxi - yi + a
o
Y1 a11 X 1 a12 X 2 a1t X t Y2 a21 X 1 a22 X 2 a2 t X t Yn a n1 X 1 a n 2 X 2 a nt X t y1 a11 x1 a12 x2 a1t xt y 2 a21 x1 a22 x2 a2 t xt y n an1 x1 an 2 x2 a nt xt
第五章 线性参数的最小二乘法处理
光电效应
1 E = hν = m υ0 2 + A 2
1 eU 0 = m υ0 2 2
h A U0 = ν e e
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光电效应
频率νi(×1014Hz) 8.214 7.408 6.879 5.490 5.196 截止电压U0i(V) 1.790 1.436 1.242 0.688 0.560
, Y n 的估计值为 y 1 , y 2 ,
, y n ，则有
1 l1 f1 ( x1 , x2 , , xt ) 2 l2 f 2 ( x1 , x2 , , xt ) n ln f n ( x1 , x2 , , xt )
, l n 的残余误差
1 2 2 2 1 2
2 2
n 2 最小 n
2
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第一节 最小二乘原理
等精度测量的LS原理：
( 1 = 2 = ... = n )
1 2
2 2
n Hale Waihona Puke Baidu
2 2 i 1
2 2 n
n
最小
1 1 1 : : ... : ) σ12 σ 2 2 σn2
1
i 2
e
i 2 ( 2 i 2 )
di
( i 1, 2,
, n)
由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率
为
P Pi
i 1
n
1

1 2 n
2
e n

i 1
n
i 2 (2 i 2 )
d 1d 2
d n
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第一节 最小二乘原理
X
b2 + 1 (2)d' = [ yi - (a + bxi )]2
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第一节 最小二乘原理
h A U0 ν e e
h 设 d e
A c e
h A e e
为确定t个未知量 X1, X 2 ,, X t 的估计量 x1, x2 ,, xt 分别直接测量 n个直接量 Y1 , Y2 ,, Yn，得测量数据 l1 , l2 ,, ln n t 。
残差方程式
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第一节 最小二乘原理
若 l 1 , l 2 , , l n不存在系统误差，相互独立并服从正态 分布，标准差分别为 1 , 2 , , n ，则 l 1 , l 2 , , l n 出现在 相应真值附近 d 1 , d 2 , , d n 区域内的概率为
Pi
测量值 l 1 , l 2 , , l n 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P应为最大。——待求量最可信赖 体温咽喉头疼咳嗽 胸痛咯血 CT 要使P最大，应有
12 2 2 2 2 1 2
n2 2 最小 n
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表 示为
U 0i
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第一节 最小二乘原理
u0 = c + dν
设直接测量量
Y1 , Y 2 ,
y1 f1 ( x1 , x2 ,
由此得测量数据 l 1 , l 2 ,
, xt ) y2 f 2 ( x1 , x2 , , xt ) yn f n ( x1 , x2 , , xt )
原理(线性参数) 等精度测量LS的正规方程 不等精度测量LS的正规方程 非线性参数LS的正规方程 LS与算术平均值原理的关系 测量数据的精度估计 LS估计量的精度估计
正规方程
精度估计
组合测量LS处理
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第一节 最小二乘原理
一、最小二乘概述(历史)
最小二乘法[Least Squares(LS), 又称最小平方法]是一 种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最 佳函数匹配。 LS最初于1794年被高斯(Carl Friedrich Gauss) 所描述(非出版物)，但是他直到1809 年才将LS发表于《天体运动论》一书中。
不等精度测量的LS原理：
( p1 : p2 : ... : pn =
p11 p 2 2
2
p n n pi i
2 i 1
最小
最小二乘原理：
测量结果的最可信赖值应使残余误差平方 和（或加权残余误差平方和）最小。
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第一节 最小二乘原理
三、等精度测量的线性参数LS原理
线性参数的测量方程和相应的估计量为：
1801年，意大利天文学家皮亚齐(Giuseppe Piazzi)发现了第一颗小行 星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得 皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数 据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有 结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。德国天文学家冯· 扎克( F ranz Xaver von Zach)和奥伯斯(Heinrich Wilhelm Matthä us Olbers)根据 6 高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
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光电效应
SLOPE函数
频率ν i(Hz) 8.214E+14 7.408E+14 6.879E+14 5.490E+14 5.196E+14 截止电压U0i(V) 1.790E+00 1.436E+00 1.242E+00 6.880E-01 5.600E-01
4.02964E-15
2.000E+00 1.800E+00 1.600E+00
1.400E+00
y = 4E-15x - 1.5314
1.200E+00 1.000E+00 8.000E-01 6.000E-01
4.000E-01
2.000E-01 0.000E+00 0.000E+00 5.000E+14 1.000E+15
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主要内容
历 史
LS简介
(Least Squares) 最 小 二 乘 法