空间解析几何及向量代数测试题及答案

1. 求
证
:曲
线
r (t)
( 1
t t
t2
, 1
t2 t
t2
, 1
t3 t
t2
)
在
一
个
球பைடு நூலகம்
面
上
,这
里
的
t (,) .
证 明 :设 r(t) (x, y, z) ， 则 有 x2 y2 z2 y ， 即 x2 ( y 1)2 z2 1
2
4
所以曲
线
r (t
)
( 1
t t
t
2
t2 ,1t t2
2y
绕
x
轴旋转产生的曲面方面.
z 1
解：设
M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)
是母线
x
2
z
2 1
y
上任意一点,则过
M1
(
x1,
y1
,
z1
)
的纬圆方程是
x2
y2
z2 x12 x x1
0
y12
z12
，（1）
又
x12
2 y1
，（2）
z1 1
由（1）（2）消去 x1, y1, z1 得到 x2 2 y2 2z2 2 0 .
110
(2) 由于 v1 v2 (0, 0, 2) ， v1 v2 2
l1 和
l2 间 的 距 离
d
(M1M 2 , v1, v2 ) v1 v2
6 2
3
x y z 1
1
1
0 0
(3
)
公
垂
线
方
程
是
0
0
2
x y z2
，
即
x
x
y y
0 0
。
1 1 0 0
0 0 2
3.求曲线
x2
,
1
t t
3
t
2
)
在
球
心
为
(0, 1 , 0) , 半 径 为 2
1 2
的球
面上。
2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面 : (2)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 .
证明: (1) 双曲抛物面的 u 族直母线中任一条直母线都平行于平面
x y 0, ab v 族直母线中任一条直母线都平行于平面 x y 0,
b
a
, u2 b
,1)
( 1 , b
1 a
,
2u2 ab
)
由 于 u1 u2 , 因 此 l1 和 l2 不 会 平 行 , 从 而 证 明 了 双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条直母线异面.
xa yb z
于是 M1 ， M1M2 ， M1M3 所确定的平面方程是 a 0
0 c 0 b c
即 bc(x a) ac( y b) abz 0 .
2.已
知
空
间
两
条
直
线
l1
:
x y
z
1
0 0
,
l2
:
x y 0
z
1
0
.
(1)证 明 l1 和 l2 是 异 面 直 线 ;(2)求 l1 和 l2 间 的 距 离 ;(3)求 公 垂 线 方 程 .
两
条
直
母
线
x 2
z 5
1
y 3
x 2
z 5
1
y 3
与
x 2
z 5
1
y 3
x 2
z 5
1
y 3
，
即
15x 15x
10 10
y y
6z 6z
30 30
0 0
与
15x 10y 6z 30 0 15x 10y 6z 30 0 两 直 母 线 的 方 向 向 量 可 分 别 取 v1 (0,3,5) 和 v2 (0,3, 5) ，设 两 直 母 线 的
军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共 7 题，2 分/空，共 20 分）
1.四点 O(0, 0, 0) , A(1, 0, 0) , B(0,1,1) , C(0, 0,1) 组成的四面体的体积是___ ___.
2.已知向量 a (1,1,1) , b (1,2,3) , c (0, 0,1) ,则 (a b) c =__(-2,-1,0)____.
7.椭球面 x2 y 2 z 2 1的体积是_____ 9 4 25
____________.
二、计算题（共 4 题,第 1 题 10 分,第 2 题 15 分,第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分, 共 55 分） 1. 过点 P(a,b, c) 作 3 个坐标平面的射影点,求过这 3 个射影点的平面方程.这里 a,b, c 是 3 个非零实数. 解 : 设点 P(a,b, c) 在平面 z 0 上的射影点为 M1(a,b, 0) ，在平面 x 0 上的射影 点为 M 2 (0, a,b) ，在平面 y 0 上的射影点为 M3(a, 0, c) ，则 M1M2 (a,0,c) ， M1M3 (0, b,c)
ab 因而结论成立.---------5 分
(2)不妨取 u 族直母线来证明，任取 u 族直母线中两条直母线
l1
：
ua1x(ax
y b
2u1 y) z b
①
和
l2
：
x
a
u
2
(x a
y b
2u2 y) z b
②
其 中 u1 u2 . 由 于 ① 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 平 行 于 ② 的 第 一 个 方 程
w(
x 2
z 5
)
u (1
y 3
)
u(
x 2
z 5
)
w(1
y 3
)
与
tv((2x2x
z) 5 z) 5
v(1 t(1
y 3 y 3
) )
把 点 P(2,0,0) 分 别 代 入 上 面 两 方 程 组 ， 求 得 w u,t v 代 入 直 母 线 方 程 ，
得到
过
点
P(2,0,0) 的
3.点
(1,0,1)
到直线
x 3x z
y
0
的距离是___
66 ___________. 11
4.点 (1,0,2) 到平面 3x y 2z 1的距离是__ 3 14 ___________. 7
5.曲线
C:
x2
y2
z
0
对
xoy
坐标面的射影柱面是___
x2
x
y2
1
0
____,
z x 1
证明：(1)
l1 的 标 准 方 程 是
x 1
y 1
z
0
1
，
l1
经
过
点
M1(0, 0, 1) ，方 向 向 量
v1 {1, 1, 0}
l2
的标准方程是
x 1
y 1
z
0
2
， l2 经过点 M 2 (0, 0, 2)
，方
向
向
量
v2
{1,1, 0} ，于
是
003 (M1M 2, v1, v2 ) 1 1 0 6 0 ，所以 l1 和 l2 是 异 面 直 线 。
4.已 知 单 叶 双 曲 面 x2 y2 z2 1, P(2,0,0) 为 腰 椭 圆 上 的 点 , 4 9 25
(1)求经过点 P 两条直母线方程及其夹角; (2)求这两条直母 线 所在的平 面 的 方 程 及 平 面 与腰椭圆所 在平面 的夹角.
解
：
(1)
设
单
叶
双
曲
面
两
直
母
线
方
程
是
表 示 的 平 面 ,即 l1 和 l2 在 两 个 平 行 平 面 上 ,因 而 l1 和 l2 不 会 相 交 .
又
由
于
直
线
l1
的
方
向
向
量
为
v1
(1 a
,
1 b
,0) (u1 a
,
u1 b
,1)
(
1 b
,
1 a
,
2u1 ab
)
直线
l2 的 方 向 向 量 为
v2
(1 a
, 1 ,0) (u2
夹 角 是 ， 则 有 cos v1 v2 8 ， arccos 8 .
v1 v2 17
17
x2 y z （2）两直母线所在平面 的方程是 0 3 5 0，即 x 2
0 3 5
显然平面 与腰椭圆所在的平面的夹角是 0.
四、证明题(共 2 题,第一题 10 分,第二题 15 分,共 25 分)
对 yoz 坐标面的射影柱面是__ (z 1)2 y2 z 0 _________,对 xoz 坐标面的射影
柱面是____ z x 1 0 __________.
6.曲线
C:
x2
2y绕
x
轴旋转后产生的曲面方程是__
x4
4( y2
z2 ) _____，曲线
z0
C 绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是___ x2 z2 2 y _______________.