空间解析几何及向量代数测试题及答案
[整理]7空间解析几何与向量代数习题与答案
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第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。
空间解析几何及向量代数测试题及答案
空间解析几何及向量代数测试题及答案军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______.2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→??c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线=-=03z x y x 的距离是___66___________.4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__3147___________. 5.曲线C:2201x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_________________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=??+=?,:2l 010x y z -=??-=?.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。
空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。
参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。
向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案
向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案一、 填空题1．设c b a, ,为非零向量，且c b a ⨯=，a c b ⨯= ，b a c ⨯= ，则=++c b a 3 。
解：显然c b a, ,互相垂直。
∵c b c b c b c b a ),sin( ==⨯=，同理c a b =， b a c=，∴2b a b a bc b a ===，又0≠a ，∴1 1 2=⇒=b b ，同理可证1 1,==c a，故3 =++c b a 。
2．2)( =⋅⨯c b a ，则[]=+⋅+⨯+)()()( a c c b b a4 。
解：[])()]()(([)()()( a c c b b c b a a c c b b a+⋅+⨯++⨯=+⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a+⋅⨯+⨯+⨯+⨯=)()()()()()(a c c b a c c a a c b a +⋅⨯++⋅⨯++⋅⨯= a c b c c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( 4)(2)()(=⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=c b a a c b c b a。
3．已知三角形)1 ,1 ,1(A ，)4 ,3 ,2(B ，)2 ,3 ,4(C ，则ABC ∆的面积=S 62 。
解：}3 ,2 ,1{=AB ，}1 ,2 ,3{=AC ，}4 ,8 ,4{123321--==⨯kj i AC AB ，.62)4(8)4(21222=-++-S 4．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直， 则此平面方程为0322=-+z y x 。
解：}2 ,3 ,6{-=，已知平面的法向量为}2 ,1 ,4{-=，则所求平面的法向量为}3 ,2 ,2{2}6 ,4 ,4{}2 ,1 ,4{}2 ,3 ,6{1--=--=-⨯-=⨯=n ， 故所求平面的方程为0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x ，即0322=-+z y x 。
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第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
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空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。
1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。
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空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为______________.2、设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示______________曲面.5、方程x2+y2=z表示______________曲面.6、x2+y2=z2表示______________曲面.7、在空间解析几何中y=x2表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线x y-3z-12=1=5的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎧⎨x-2y+4z-7=0⎩3x+5y-2z+1=0垂直的平面方5、已知：OA=ϖi+3kϖ，OB=ϖj+3kϖ，求∆OAB的面积。
参考答案一填空题1、±⎨⎧67-6⎫⎩11,11,11⎬⎭2、M 11M 2=2,cos α=-2,cos β=22,cos γ=12,α=2π3,β=3ππ4,γ=33、(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=144、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、3x -7y +5z -4=02、9y -z -2=03、x -1y -2z -32=1=5 4、16x -14y -11z -65=05S ∆=12OA ⨯OB =192。
第七章 空间解析几何与向量代数(答案)
第七章 空间解析几何与向量代数一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（A ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1,-2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3πD ）π5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ B ）A ）5焦耳B ）1焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ⨯ 是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B ）364 C ）32 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．11、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．12、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 B ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 A ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (D)双叶双曲面,z16设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b17、设向量,a b 相平行，但方向相反，则当0>>a b 时，必有（A ） A +=-a b a b B +>-a b a b C a b a b +<- D a b a b +=+18向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ⋅a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 19非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．20设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．21设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k22空间曲线的方程是（ B ）.A 惟一的；B 不惟一的；C 可能不惟一；D 不能确定.23方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影.24方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.25设空间直线的对称式方程为 012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.26设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩, 则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.二、填空题1 平面的点法式方程是2、yoz 坐标面的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转生成的旋转曲面的方程是：3、 已知两点)5,0,4(A 与)3,1,7(B ，与向量AB 方向一致的单位向量0a = 。
7空间解析几何与向量代数习题与答案
空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。
表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。
1_第五章_空间解析几何与向量代数习题与答案
解法 2.
在平面上任取一点 M (x, y, z) ，则 MM1
M1M
2
和
n1
{6,2,3} 共面，由三
x 4 y 1 z 2 向量共面的充要条件得 6 2 3 0 ，整理得所求平面方程
7 4 3
5、思路：用平面束。设过直线 l1 的平面束方程为 x 2y z 1 (2x y z 2) 0
二、1、1） a b 31 (1) 2 (2) (1) 3
2
ij k a b 3 1 2 5i j 7k
1 2 1
（2） (2a) 3b 6(a b) 18 ， a 2b 2(a b) 10i 2 j 14k
即为所求单位向量。 3、 2
三、1、 (x 1)2 (y 3)2 (z 2)2 14
2、以(1,-2,-1)为球心,半径为 6 的球面
四、1、 3x 7 y 5z 4 0
2、1 (x 1) 1 ( y 1) 3(z 1) 0
3、 y 5 0
5
21
5、求直线
x x
y y
3z 0 z0
与平面
x
y
z
1
0
的夹角.
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系
1)直线
x
2y 2x
y
z
z
7
7
与直线
x 1 2
y3 1
z; 1
2)直线 x 2 y 2 z 3 和平面 x+y+z=3.
(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院 第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。
空间解析几何与向量代数答案
空间解析几何与向量代数答案1,三2 ),,(c b a -,),,(c b a --3 )3,21,23(--,⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,31,14 )0,3,2(-5 （1）长度相等，（2）指向相同6 17 0013545或8 yoz9 -110 π 11 222z y x a a a ++ 12 共线13 0=++z z y y x x b a b a b a ; λ===zz y y x x b a b a b a 或,b a λ= 14,z z y y x x b a b a b a ++ ;→→→-+-+-k b a b a j a b b a i b a b a x y y x z x z x y z z y )()()( 15 →016 →→⨯b a17 →→→→-+b a b a , 18331124-=+=--z z x 19312412+=-=-z y x 20013z y x =-= 21211211-=--=-z y x 或 231112-=--=-z y x 22 01222=-+-z y x23 081111424=--+z y x 24 32125 3;4-26 083=---z y x 27 14322-=-=-y y x 28 028573=--+z y x29 5-=y30 1- 31 2π 32 直线，平面33 点, 直线34 圆，圆柱面35 ⎩⎨⎧==++-0012222z y x x36 x y z 522=+ 37 ⎩⎨⎧==+-00222x y z z38 ,x 抛物39 3),,0,0(,122z y x =+二：选择题D,B,C,,B,A,C,A,A,B,D,C,B,B,D,D,C,A,D,D,C,B,C,D 三:计算题1解： }14142,1414,14143{}14142,1414,14143{14141419}2,,3{}2,1,3{--=-=∴±==++-==-=或令λλλλλλ 2解：b a 1116254218)5(2)1(4321999133878210862++-=--=⨯-=-⨯+-⨯+⨯=•=++=--+-=--+=+-+=3解：k j i b a 910117312+--=--=⨯4解：783996269}37373,37375,37373{373719259}3,5,3{3531114==±=±==++--=+--=---= λλλλλ设 5解： ()为腰的等腰直角三角形是以AC AB ABC BC AC AB ACAB BC AC AB ,27)36()41()210(7)39()41()24(7)69()1(1)410(222222222222∆=+==-+--+-==-+-+-==-+--+-={}{}{}921)2(2,1,20,80,40510510)()32(6,5,10}2,5,10{323824)3()2(642222=++-=-=--=--=+⨯--=+-=-=⨯+-⨯-+⨯=⋅j i b a b a7，解：N BC M AB ABC 21,21,,,,,:==+===∆则中点中点取设中证明 AC MN AC MN 21//21),(21=∴=+=且 8解：33322cos ,33322cos ,33322cos )3(3222)2(2()3,3,1(,331212121),,,(}2,2,2{)1(222321====-=-==++-==-⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=++=γβαQ c b a c b a c b a Q F F F 设9解：2353521753112=⨯==---=-=⨯S13}0,1,3{z y x n =-=-=点向式直线的方向向量 11解：{}⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=-=-=--=--=t z ty t x z y x kj n 111752111752)1,0,2(11,7,52113参数式标准式取任意一点12解：4410415=--⎩⎨⎧-==⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=++=y x b k b k b k bkx y z 所求平面方程为轴可设成平行与 13解：)6,3,2(16,21,162111-==--=+===-+=-所求交点坐标是令t t z t y t x k z y x14解：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1111222222z y x z y x 联立02222=-+y y x z 消去⎩⎨⎧==-+002222z y y x 所得方程4322)2()2(4)1()1(1)2()1()2()1(41)cos(}2,2,4{1131}1,1,1{222222πθθπ==-+-+-+-+-⨯-+-⨯-+⨯=---=--=--=直线的方向向量平面的法向量 16解：111131}1,1,3{1221-=--=----=--=z y x kj n 直线平面的方向向量 17解： {}16399,3,27532431}5,3,2{},4,3,1{=++---=--=-=-=z y x n PQ 平面的法向量向量该平面另外一个方向向 18解：1}3,0,0{11=+-=-=z 所求平面方程平面的法向量 19解： ⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z ty t x 225253 0)450(2)12(3)33(}225,12,33{=++⨯-+⨯+----=t t t t t t n P 有点所成向量设直线上该点与67271282171}201,81,84{,1757z y x t =-=-⨯---=-= 20解：}0,1,{-=k n的方向向量平面0752=--+z y x}5,1,2{-=21)5(12112)^cos(2222=-+++-=k k 0302,312=+=--==y x y x k k 或所求平面方程为或 21解：⎩⎨⎧=+=++19222z x z y x 82222=+-y x x z消去⎩⎨⎧==+-082222z y x x 所求投影方程是。
空间解析几何与向量代数复习题答案
间解析几何与 向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题 已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点 是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有 （C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示 （C ）A 坐标原点（0,0,0） ；B xoy 坐标面的原点（0,0） ；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、 直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。
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第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。
在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成 角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。
考研数学一-向量代数和空间解析几何_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分110, 做题时间90分钟)二、选择题1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有SSS_SINGLE_SELA (A) |a+b|=|a|+|b|．B (B) |a-b|=|a|-|b|．C (C) |a+b|=|a-b|．D (D) a+b=a-b．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[分析] (A)是绕x轴旋转而成；(B)是绕y旋转而成；(D)是绕z轴旋转而成．(A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为SSS_SINGLE_SELA (A) (1，2，2)．B (B) (2，1，2)．C (C) (-1，-2，2)．D (D) (-2，-1，2)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为SSS_SINGLE_SELA (A) (-2，2，2)．B (B) (1，-4，2)．C (C) (2，-2，2)．D (D) (4，-1，2)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x ，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。
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表 示 的 平 面 ,即 l1 和 l2 在 两 个 平 行 平 面 上 ,因 而 l1 和 l2 不 会 相 交 .
又
由
于
直
线
l1
的
方
向
向
量
为
v1
(1 a
,
1 b
,0) (u1 a
,
u1 b
,1)
(
1 b
,
1 a
,
2u1 ab
)
直线
l2 的 方 向 向 量 为
v2
(1 a
, 1 ,0) (u2
军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共 7 题，2 分/空，共 20 分）
1.四点 O(0, 0, 0) , A(1, 0, 0) , B(0,1,1) , C(0, 0,1) 组成的四面体的体积是___ ___.
2.已知向量 a (1,1,1) , b (1,2,3) , c (0, 0,1) ,则 (a b) c =__(-2,-1,0)____.
1. 求
证
:曲
线
r (t)
( 1
t t
t2
, 1
t2 t
t2
, 1
t3 t
t2
)
在
一
个
球
面
上
,这
里
的
t (,) .
证 明 :设 r(t) (x, y, z) ， 则 有 x2 y2 z2 y ， 即 x2 ( y 1)2 z2 1
2
4
所以曲
线
r (t
)
( 1
t t
t
2
t2 ,1t t2
夹 角 是 ， 则 有 cos v1 v2 8 ， arccos 8 .
v1 v2 17
17
x2 y z （2）两直母线所在平面 的方程是 0 3 5 0，即 x 2
0 3 5
显然平面 与腰椭圆所在的平面的夹角是 0.
四、证明题(共 2 题,第一题 10 分,第二题 15 分,共 25 分)
7.椭球面 x2 y 2 z 2 1的体积是_____ 9 4 25
____________.
二、计算题（共 4 题,第 1 题 10 分,第 2 题 15 分,第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分, 共 55 分） 1. 过点 P(a,b, c) 作 3 个坐标平面的射影点,求过这 3 个射影点的平面方程.这里 a,b, c 是 3 个非零实数. 解 : 设点 P(a,b, c) 在平面 z 0 上的射影点为 M1(a,b, 0) ，在平面 x 0 上的射影 点为 M 2 (0, a,b) ，在平面 y 0 上的射影点为 M3(a, 0, c) ，则 M1M2 (a,0,c) ， M1M3 (0, b,c)
110
(2) 由于 v1 v2 (0, 0, 2) ， v1 v2 2
l1 和
l2 间 的 距 离
d
(M1M 2 , v1, v2 ) v1 v2
6 2
3
x y z 1
1
1
0 0
(3
)
公
垂
线
方
程
是
0
0
2
x y z2
，
即
x
x
y y
0 0
。
1 1 0 0
0 0 2
3.求曲线
x2
两
条
直
母
线
x 2
z 5
1
y 3
x 2
z 5
1
y 3
与
x 2
z 5
1
y 3
x 2
z 5
1
y
6z 6z
30 30
0 0
与
15x 10y 6z 30 0 15x 10y 6z 30 0 两 直 母 线 的 方 向 向 量 可 分 别 取 v1 (0,3,5) 和 v2 (0,3, 5) ，设 两 直 母 线 的
w(
x 2
z 5
)
u (1
y 3
)
u(
x 2
z 5
)
w(1
y 3
)
与
tv((2x2x
z) 5 z) 5
v(1 t(1
y 3 y 3
) )
把 点 P(2,0,0) 分 别 代 入 上 面 两 方 程 组 ， 求 得 w u,t v 代 入 直 母 线 方 程 ，
得到
过
点
P(2,0,0) 的
xa yb z
于是 M1 ， M1M2 ， M1M3 所确定的平面方程是 a 0
0 c 0 b c
即 bc(x a) ac( y b) abz 0 .
2.已
知
空
间
两
条
直
线
l1
:
x y
z
1
0 0
,
l2
:
x y 0
z
1
0
.
(1)证 明 l1 和 l2 是 异 面 直 线 ;(2)求 l1 和 l2 间 的 距 离 ;(3)求 公 垂 线 方 程 .
b
a
, u2 b
,1)
( 1 , b
1 a
,
2u2 ab
)
由 于 u1 u2 , 因 此 l1 和 l2 不 会 平 行 , 从 而 证 明 了 双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条直母线异面.
,
1
t t
3
t
2
)
在
球
心
为
(0, 1 , 0) , 半 径 为 2
1 2
的球
面上。
2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面 : (2)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 .
证明: (1) 双曲抛物面的 u 族直母线中任一条直母线都平行于平面
x y 0, ab v 族直母线中任一条直母线都平行于平面 x y 0,
对 yoz 坐标面的射影柱面是__ (z 1)2 y2 z 0 _________,对 xoz 坐标面的射影
柱面是____ z x 1 0 __________.
6.曲线
C:
x2
2y绕
x
轴旋转后产生的曲面方程是__
x4
4( y2
z2 ) _____，曲线
z0
C 绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是___ x2 z2 2 y _______________.
3.点
(1,0,1)
到直线
x 3x z
y
0
的距离是___
66 ___________. 11
4.点 (1,0,2) 到平面 3x y 2z 1的距离是__ 3 14 ___________. 7
5.曲线
C:
x2
y2
z
0
对
xoy
坐标面的射影柱面是___
x2
x
y2
1
0
____,
z x 1
ab 因而结论成立.---------5 分
(2)不妨取 u 族直母线来证明，任取 u 族直母线中两条直母线
l1
：
ua1x(ax
y b
2u1 y) z b
①
和
l2
：
x
a
u
2
(x a
y b
2u2 y) z b
②
其 中 u1 u2 . 由 于 ① 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 平 行 于 ② 的 第 一 个 方 程
4.已 知 单 叶 双 曲 面 x2 y2 z2 1, P(2,0,0) 为 腰 椭 圆 上 的 点 , 4 9 25
(1)求经过点 P 两条直母线方程及其夹角; (2)求这两条直母 线 所在的平 面 的 方 程 及 平 面 与腰椭圆所 在平面 的夹角.
解
：
(1)
设
单
叶
双
曲
面
两
直
母
线
方
程
是
证明：(1)
l1 的 标 准 方 程 是
x 1
y 1
z
0
1
，
l1
经
过
点
M1(0, 0, 1) ，方 向 向 量
v1 {1, 1, 0}
l2
的标准方程是
x 1
y 1
z
0
2
， l2 经过点 M 2 (0, 0, 2)
，方
向
向
量
v2
{1,1, 0} ，于
是
003 (M1M 2, v1, v2 ) 1 1 0 6 0 ，所以 l1 和 l2 是 异 面 直 线 。
2y
绕
x
轴旋转产生的曲面方面.
z 1
解：设
M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)
是母线
x
2
z
2 1
y
上任意一点,则过
M1
(
x1,
y1
,
z1
)
的纬圆方程是
x2
y2
z2 x12 x x1
0
y12
z12
，（1）
又
x12
2 y1
，（2）
z1 1
由（1）（2）消去 x1, y1, z1 得到 x2 2 y2 2z2 2 0 .