定积分的基本公式
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例1 求 ddx x1ln1 (t2)dt.
解 d d x x 1ln(1t2)dt ln(1x2).
例2 求 lxim0 0xarcxt2antdt .
x 解
xarctantdt00 型
lim0
x 0
2
lxi m 0d d x0x(ax r2 c)t'antdt
limarctanx
0 0
型
1lim(arctanx)'
x0 2x
2 x0 (x)'
1
1 lim 1 x2 1 .
2 x0 1
2
例3 求下列函数的导数:
(1)
f x
x sint dt
(2)
f x
t
et
dt
1 t
x
(3)
x
f x
tdt
(4) f(x)xx3tsintdt
解 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
f(x)1xsitntdt
例3
2
计算 0
f (x) d x ，其中
f(x)2 5xx,,
0≤ x≤ 1 1x≤ 2
2
1
2
解 0f(x)dx0f(x)dx1f(x)dx
0 12 xd x1 25 xd xx21 05 2x21 21 2 7
例4 计算由曲线 y x 2 、直线 x=2 与x轴围成的图形的
面积．
解 由定积分的几何意义，得
例1 求 01 x2dx. 解 因为 x33是被积函 x2的 数一个原函数，
根据牛顿莱布尼茨公式，有
01x2dx
x31
3
13 03 1.
3 33
例2 解
求因11为 a1r1cxt2axd是 xn. 0被积1函 1x2数 的一个原函数
根据牛 莱 顿布尼茨公式，有
1111x2dxarctxa11n π2
3.2 微积分学基本公式
3.2.1 变上限积分函数 3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
3.2.1 变上限的积分函数及其导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x
( axb)，积分ax f ( x)dx 存在，且对于给定的x( axb)
就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分
是上限x的函数
sin x
x
;
(2) f(x)(x 3tetd)t(3xtetd)t(3xtetd)t xex;
(3)
f(x)(0 x2
1t2d)td(0x2
1t2d
t)
d(x2)
d(x2)
dx
1(x2)22x 2x 1x4
3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
定理2 微积分学基本定理
设函 f(x数 )在区 [a,间 b]上连续 F(， x)是 f且 (x)在 [a,b]上的任一个原函数，则
A 02x2dx13x3 2 83 0
b
a f(x)dxF(b)F(a)
或 a b 记 f( x ) d x F 作 ( x ) b a F ( b ) F ( a ).
牛顿—莱布尼茨公式
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
x
f ( x )dx 常记为
x
f (t )dt.
a
a
称为“变上限的积分函数”
x x a
f
tdt
定理1 如 果 函f(数 x)在 区[间 a,b]上 连 续 ， 则 变 的积分函数
Φ(x)axf(t)dt (axb) 在[a,b]上 具 有 导 数 ， 且
Φ '(x ) d d x a xf(t)d t f(x )(a x b ).
解 d d x x 1ln(1t2)dt ln(1x2).
例2 求 lxim0 0xarcxt2antdt .
x 解
xarctantdt00 型
lim0
x 0
2
lxi m 0d d x0x(ax r2 c)t'antdt
limarctanx
0 0
型
1lim(arctanx)'
x0 2x
2 x0 (x)'
1
1 lim 1 x2 1 .
2 x0 1
2
例3 求下列函数的导数:
(1)
f x
x sint dt
(2)
f x
t
et
dt
1 t
x
(3)
x
f x
tdt
(4) f(x)xx3tsintdt
解 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
f(x)1xsitntdt
例3
2
计算 0
f (x) d x ，其中
f(x)2 5xx,,
0≤ x≤ 1 1x≤ 2
2
1
2
解 0f(x)dx0f(x)dx1f(x)dx
0 12 xd x1 25 xd xx21 05 2x21 21 2 7
例4 计算由曲线 y x 2 、直线 x=2 与x轴围成的图形的
面积．
解 由定积分的几何意义，得
例1 求 01 x2dx. 解 因为 x33是被积函 x2的 数一个原函数，
根据牛顿莱布尼茨公式，有
01x2dx
x31
3
13 03 1.
3 33
例2 解
求因11为 a1r1cxt2axd是 xn. 0被积1函 1x2数 的一个原函数
根据牛 莱 顿布尼茨公式，有
1111x2dxarctxa11n π2
3.2 微积分学基本公式
3.2.1 变上限积分函数 3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
3.2.1 变上限的积分函数及其导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x
( axb)，积分ax f ( x)dx 存在，且对于给定的x( axb)
就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分
是上限x的函数
sin x
x
;
(2) f(x)(x 3tetd)t(3xtetd)t(3xtetd)t xex;
(3)
f(x)(0 x2
1t2d)td(0x2
1t2d
t)
d(x2)
d(x2)
dx
1(x2)22x 2x 1x4
3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
定理2 微积分学基本定理
设函 f(x数 )在区 [a,间 b]上连续 F(， x)是 f且 (x)在 [a,b]上的任一个原函数，则
A 02x2dx13x3 2 83 0
b
a f(x)dxF(b)F(a)
或 a b 记 f( x ) d x F 作 ( x ) b a F ( b ) F ( a ).
牛顿—莱布尼茨公式
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
x
f ( x )dx 常记为
x
f (t )dt.
a
a
称为“变上限的积分函数”
x x a
f
tdt
定理1 如 果 函f(数 x)在 区[间 a,b]上 连 续 ， 则 变 的积分函数
Φ(x)axf(t)dt (axb) 在[a,b]上 具 有 导 数 ， 且
Φ '(x ) d d x a xf(t)d t f(x )(a x b ).