高中物理竞赛-电磁学3

2m r3
m IS
令上式中的x=0，得
B(x 0) 0 I
2R
线圈的磁矩
★细长密绕通电螺线管内轴线上的磁感应强度
B 0nI
式中n是螺线管单位长度上线圈的匝数.
★电流面密度为JS的无限大均匀载流 平面的磁感应强度
B
0
2
JS
x
R I
三、安培力 载流导体受安培力运动
安培力公式： F Il B
★无限长直线电流I的磁感应强度
B 0I k I 2r r
B F
Il sin
真空磁导率
0 4 10 7 (H / m)
1 3108 (m / s)
0 0
★无限长载流圆柱面的磁感应强度
B 0I
(r>R)
2r
B0
(r<R)
★圆环电流轴线上一点的磁感应强度
B
0 4
(x2
2m
R
2
)
3 2
0 4
解 设棒平抛时初速度为v0 ，安培力作用的时间为 Δt 。由平抛运动规 律知
h 1 gt2 2
s v0t
v0 s
g 1m/s 2h
由动量定时得
BILt mv0
Q It mv0 0.25c BL
U Q 25V C
例 ： 长为L质量为m的细金属棒与两根金属弹簧构成回路[见图。已知 弹簧的劲度系数为k，其原长度为 l0。在回路中建立稳恒电流I，忽略 电磁感应对回路的影响，试求两细金属棒做小振动时的周期。
(k 0,1,2,)
例: 如图1所示，分布在全空间均匀电场E的方向与+y轴平行，分布在 0≤y≤L区间的均匀磁场B的方向与+Z轴平行。今有一质量为m，电量为q (q>0)的质点在x=0、y=-h、z=0的p点静止释放。设h≥0。
（1）为使带电质点的运动规道恰好与y=L的平面相切，求h应满足的条件。 （2）若h=0，且带电粒子的运动不走出磁场区，试写出质点x、y分量的运
qu1B
qB
(k 0,1,2,)
u2t
2R sin
u1t1
2mu qB
v1 u
u1
2hm qu1B
2m 2qu1Bh 2hu1m 2hu1m
qB m
qB
qB
u2
1 t
2hu1m qB
2hu1m qB
2hm (k 1 ) 2m
qu1B
qB
hu1
h [(k 1) ] 2m
u1
qB
quB mu 2 R
R mu qB
T 2m
qB
P1 和 P2 在图示圆轨道上相遇，故 P1 转过的圆心角和所需时间分别为
(2 2 ) 2k
(k 0,1,2,)
t2
2 2 2
T
kT
(K
1
)T
(k 0,1,2,)
两小球相遇时 P2 运动的时间和经过的路程分别为为
t t1 t2
2hm (K 1 ) 2m
P1 到达N端时，其沿MN方向的速度和所需时间分别为
v1
2ah
2qu1Bh m
t1
v1 a
2hm qu1B
小球 P1 到达N端的合速度为： u v1 u1
u
v12 u12 u1
1
v12 u12
u
1
2qBh 1
mu1
tan v1 2qBh
u1 mu1
P1 离开管N端所受洛伦兹力合其作圆周运动，回旋半径和周期分别为
在y=L点o： vx (vx )切 y L m(vx )切 qBL 0
qE(h
L)
1 2
m(vx
)切 2
(vx )切
2qE(h L) m
两式联列得：
qB2 L2
h
L
2mE
例：霍耳效应
如图所示，一厚为d，宽为b的载流导体薄板放在磁
场B中，如果磁场与薄板板面垂直，则板的两侧A、A’间
会出现电势差，这一现象叫霍耳效．A、A’间的电势差
磁场
一、磁感应强度和磁感应通量 二、几种典型电流的磁感应强度 三、安培力 载流导体受安培力运动 四、洛仑兹力 电荷受电磁场力的运动
一、磁感应强度和磁感应通量
磁感应强度： B F
qv sin
方向：N
磁感应通量： B S B cosS
BcosS
均匀场中线圈的磁通： B S
二、几种典型电流的磁感应强度
左运动。整个装置放在垂直于水平面向下的均匀磁场
中，其磁感应强度为 B ．如果小球 P1 从管的 N 端离开后，最终能与
u P2 相碰，试求满足此要求的 2 的可能取值。（ P1 在管中运动对管的
压力忽略不计。）
解 u 因 1 ，小球 P1 受指向N端的洛伦兹力： F qu1B
其沿MN方向的加速度为： a F qu1B mm
2 π(l 2x)
0I 2L 2kl 4kx
2 π l(1 2x ) l
0I 2L 1 2x 2kl 4kx
2πl l
F μ0 I 2 L 2x 4kx 2πl l
4k Δl x 4kx l
4 Δl 1kx l
T π m (1 a)kwenku.baidu.com
a Δl l
1 μ0I 2L 1 π kl02
F F Il B
F Il B
载流导体受安培力运动 F Il B ma
例
取Δl2
B1
0 I1 2d
F I2l2 B1
F
I2l2
B1
0I1I 2d
2
l2
f F 0I1I2 l2 2d
例：载流平面线圈在磁场受的力和力矩
1、均匀场的情况
fab fcd BIl1
F 0
解
FA
μ0 I 2 L 2 π(l0 Δl)
Fs 2kl
2kΔl μ0 I 2 L 2 π(l0 Δl)
4 π kΔl 2 4 π kl0Δl μ0 I 2 L 0
Δl
l0 2
1
μ0I 2L π kl02
1
l
l0
Δl
l0 2
1
μ0I 2L π kl02
1
F 0I 2L 2k(l 2x)
动方程。 解： （1）求质点到达o点的速度
qEh
1 2
mv02
v0
2qEh m
（沿+y方向）
图1
设粒子在电场、磁场区任一点的速度分量为 (vx , v y ) 则
ma x qBvy
即
mvx qBy 0
t
m vx qB y
t
t
mvx qBy 常量
在坐标原点o： vx 0 y 0 则 (mv x qBy)原點 0
T 2m
qB
h 2mv cos
qB
例 如图示，光滑水平面上有一长为 h 内壁光滑
的空心细管 MN ，在管内M 端有一质量为 m
，电量为 q (q 0) 的带电小球 P1 ，在管的 N 端外侧则有一不带电的小球 P2 。开始时，P1 相对
管静止，管带着 P1 以垂直于管长度方向的速度
u u 1 在平面内向右运动，小球 P2 则以速度 2 向
叫霍耳电势差（或霍耳电压）．
解： 若导体板中电子的浓度为n，电流为I，
FL e(v B)
EK
FL e
(v B)
EH EK (v B)
U H EHb vBb I ne(bd)v
则霍耳电势差为:
UH
1 ne
IB d
霍耳系数：
RH
1 ne
M M
f ab
l2
mB
s in
m
B IS
IS
s in
线圈磁矩
2、非均匀场的情况
F 0 (F I)
M mB
例
均匀场中曲线电流受的力 等于连接曲线两端的直线 电流受的力
F I(2R)B
例：载流导体在安培力作用下运动
如图所示，水平桌面上的两平行光滑金属导轨 PQ 和 MN 相距 L＝ 0.2 m，已充电的电容器 C＝1×104μF ，长为L 、质量为 m=0.1kg 的金 属棒横跨在导轨上，不计它与导轨的摩擦力。方向垂直向上的匀强磁场 B=2T，导轨离地面的高度 h=0.8m 。当图示开关S闭合后，金属棒被推 出，其落地点的水平位移为 0.4m 。求电容器放电时通过金属棒的电量 和电容器两极板间电压的改变量。
1 μ0I 2L 1 π kl02
四、洛仑兹力 电荷受电磁场力的运动
洛仑兹力：
F q(v B) F q(E v B)
电荷受电磁场力运动的运动方程：
F q(v B) ma m
d 2r dt2
F q(E v B) ma
m
d 2r dt 2
R mv sin
qB