第四节 正弦交流电路的复数计算及三相电路的计算
第四节 正弦交流电路的复数计算及三相电路的计算
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0
其相量形式为
•
I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
其相量形式为
•
U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式 iR R
+ uR -
uR RiR
+j
•
相量形式
•
IR R
•
求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 变量，小写字母
•
Ik
Yk
•
I,
Yeq
k = 1,2,…，n
•
I k 为第k个阻抗的电流,
•
I 为总电流.
例： 如图RLC串联电路。R= 15 ，L= 12 mH，C= 5 F，
端电压 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。
求：i，各元件的电压相量。
解： 用相量法。
U 100 0 (V )
5000(rad / s)
•
U L jL IL
•
UC
j 1
C
•
IC
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件
下得到的；
如果为非关联参考方向，则以上各式要变号。
以上公式 既包含电压和电流的大小关系，
又包含电压和电流的相位关系。
三相交流电路计算
三相交流电路计算一、三相交流电路的基本原理三相交流电路是由三个相位相差120度的交流电源组成的电力系统。
三相电的生成原理是基于电磁感应定律，当三个相位的正弦电流通过线圈时，将产生一个旋转磁场。
通过三相电压和电流的组合，可以实现各种复杂的电力实现。
二、三相交流电路的计算方法1.三相电压和相电压关系在三相交流电路中，线电压（V）和相电压（Vφ）之间的关系可以通过以下公式计算：V=√3×Vφ其中，√3是一个常数。
2.三相电流和相电流关系在三相交流电路中，线电流（I）和相电流（Iφ）之间的关系可以通过以下公式计算：I=Iφ即，线电流和相电流相等。
3.三相功率的计算P = √3 × V × I × cosφ其中，φ是功率因数，表示电流和电压之间的相位差。
功率因数的常见取值范围为0到1之间。
4.每相功率的计算每相功率（Pφ）可以通过以下公式计算：Pφ=P/3即，每相功率等于总功率除以35.三相电力的计算三相电力（S）可以通过以下公式计算：S=√3×V×I即，三相电力等于线电压乘以线电流乘以√36.三相电路的电阻和电抗的计算在三相交流电路中，电阻（R）和电抗（X）的计算方法与单相交流电路相同。
三相电路的电阻可以使用欧姆定律计算：V=I×R三相电路的电抗可以使用单相电路的电抗计算公式计算。
7.三相电路的平衡特性三相电路中，如果各相的电流和电压相等且相角相差120度，称为平衡三相电路。
在平衡三相电路中，线电流和相电流相等，线电压和相电压之间存在√3的倍数关系。
三相平衡电路的功率因数为1，功率因数为1表示电路中没有无功功率，只有有用功率。
三相平衡电路的三相功率相等，每相功率相等。
总之，三相交流电路的计算方法包括三相电压和相电压关系、三相电流和相电流关系、三相功率的计算、每相功率的计算、三相电力的计算、三相电路的电阻和电抗的计算以及三相电路的平衡特性等。
正弦交流电公式总结
正弦交流电公式总结好嘞，以下是为您生成的关于“正弦交流电公式总结”的文章：在咱们学习电学的奇妙世界里，正弦交流电可是个相当重要的角色。
今天咱就来好好唠唠这正弦交流电的那些关键公式。
先来说说正弦交流电的瞬时值表达式，那就是e = E m sin(ωt + φ) 。
这里的 E m 表示电动势的最大值，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
就好比你骑自行车，速度有快有慢，这正弦交流电的大小和方向也在不断变化，而这个公式就能把它在每个瞬间的情况给描述出来。
再看看有效值，这可太有用啦！正弦交流电的有效值E = E m / √2 。
为啥要有有效值呢？我给您举个小例子。
假如您家里的灯泡标着“220V”，这可不是说灯泡两端的电压一直在 220V 不变，而是说这个交流电的有效值是 220V。
想象一下，您用电饭煲做饭，如果电压一会儿大一会儿小，饭能做好才怪呢！所以有效值让咱们能方便地衡量交流电的实际效果。
还有个重要的公式是周期和频率的关系，T = 1 / f 。
周期就是交流电完成一个完整变化所需要的时间，频率则是单位时间内完成的周期数。
这就像跑步，周期是跑一圈的时间，频率就是单位时间内跑的圈数。
接下来咱说说正弦交流电的平均值。
它的公式是E av = 2E m / π 。
平均值在某些情况下能帮助我们了解交流电在一段时间内的总体表现。
再讲讲正弦交流电通过电阻、电感和电容时的情况。
通过电阻时，电压和电流是同相位的，电流 I = U / R ，这个大家应该都很熟悉。
当通过电感时，就有点不一样啦！电压超前电流 90 度，感抗 X L = ωL ，电流 I = U / X L 。
而通过电容时，电流超前电压 90 度，容抗X C = 1 / (ωC) ，电流 I= U / X C 。
记得有一次，我在家里修一个小电器，就是因为没搞清楚这些公式，结果折腾了半天也没修好。
当时我就想，这电学知识可真是一点儿都不能马虎，一个公式没弄对，整个电路就没法正常工作。
三相电路功率的计算
三相电路功率的计算三相电路功率的计算是电力工程中非常重要的一部分。
在实际应用中，三相电路被广泛用于供电系统、电机驱动系统以及工业自动化等领域。
本文将从三相电压、电流的复数表示、功率的定义和计算公式、三相功率的平衡和不平衡等方面详细说明三相电路功率的计算。
一、三相电压与电流的复数表示在三相交流电路中，电压和电流可以通过复数来表示。
一个三相系统由三条相位不同的电压和电流组成，可以分别表示为Ua、Ub、Uc和Ia、Ib、Ic。
这些电压和电流可以通过复数形式表示，复数表示中包含了幅值和相位两个方面。
电压复数表示为：Ua = Uam∠θa，Ub = Ubm∠θb，Uc = Ucm∠θc电流复数表示为：Ia = Iam∠θa，Ib = Ibm∠θb，Ic = Icm∠θc其中Uam、Ubm、Ucm、Iam、Ibm、Icm分别为电压和电流的幅值；θa、θb、θc分别为电压和电流的相位角。
二、功率的定义和计算公式功率是电路中电能转化为其他形式能量的速率，其单位为瓦特（W）。
在三相电路中，功率可以分为有功功率和无功功率两个部分，其中有功功率用来做功，无功功率则用来维持电路的运行稳定。
1.有功功率的定义和计算公式有功功率P是电路中传输的实际功率，由电压和电流的乘积得到。
三相电路中，有功功率的计算公式如下：P = √3 * Uam * Iam * cos(θa-θ)其中√3为系数，表示三相电路中电压和电流的复数运算。
cos(θa-θ)表示电压和电流之间的相位差，即功率因数。
2.无功功率的定义和计算公式无功功率Q是电路中传输的无用功率，也被称为无功电能。
无功功率的计算公式如下：Q = √3 * Uam * Iam * sin(θa-θ)其中√3为系数，Uam和Iam分别为电压和电流的幅值。
sin(θa-θ)表示电压和电流之间的相位差，即功率因数。
三、三相功率的平衡和不平衡在实际应用中，三相电源供电系统和三相电动机驱动系统中通常会面临三相功率的平衡和不平衡问题。
正弦交流电路的相量表示法
解析式 波形图
1、相量图
相
量
法
2、相量式
（复数
符号法）
正弦交流电的3大类表示方法
iImsi nt
i
Im
t
T
U
.
I a jb
I (cos j sin )
I
具体见下页内容：
1.复数的实部、虚部和模
1
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j =
3. 复数的运算 1）复数的加减
实部与实部加减，作为结果的实部 虚部与虚部加减，作为结果的虚部
用有向线段加减时，符合平行四边形法则
例：A1=2+j3 A2=4+j4
则 A1+A2=（2+j3）+（4+j4）=6+j7 A1-A2=（2+j3）-（4+j4）=-2-j
正弦量的相量表示法
2) 复数的乘除
u(t)200sint V
解：
I1＝ 1 0－ 60 (A)
I2＝ 1 514(7 V)
U＝100 20(V )
3.3 正弦量的相量表示法
【例题讲解】
对应
u(t)2Usin(tθ)
•
U U θ
例1. 已知
i 141.4sin(314t 30o)A u311.1sin(314t60o)V
试用相量表示i, u .
u22 si(0 ω nt4)5 I 4ej30 复数
• 220
？
U 45
42si(n ωt30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
U m22e0 45 ？
电路基础原理交流电的复数表示法
电路基础原理交流电的复数表示法交流电的复数表示法是电路基础原理中重要的概念之一。
它是一种用复数来描述交流电的方法，能够方便地计算和分析电路中的电压和电流。
在交流电路中，电流和电压是随时间变化的，而且它们的变化是周期性的。
为了描述这种变化，我们可以使用正弦函数。
正弦函数具有周期性，可以用来表示交流电的变化情况。
正弦函数可以表示为A*sin(ωt+ϕ)，其中A是幅值，表示波峰和波谷之间的最大值；ω是角频率，表示波形的周期；t是时间；ϕ是相位差，表示波形相对于原点的偏移。
对于交流电来说，我们一般用复数表示电压和电流。
复数是由实部和虚部组成的数字，可用于表示随时间变化的量。
在交流电路中，我们通常用以下形式的复数表示电压和电流：V = Vm*e^(jωt)其中Vm是电压的幅值，表示电压的最大值；e^(jωt)是欧拉公式表示的复数，表示电压的变化情况。
同样地，在交流电路中，电流也可以用复数表示：I = Im*e^(j(ωt+ϕ))Im是电流的幅值，表示电流的最大值；e^(j(ωt+ϕ))是欧拉公式表示的复数，表示电流的变化情况。
通过使用复数表示法，我们可以将交流电的计算和分析转化为对复数的运算。
这对于解决交流电路中的各种问题非常有帮助。
交流电的复数表示法还有一个重要的特点是复数的求模运算可以得到交流电的幅值。
换句话说，电压和电流的复数形式中的幅值部分就是它们的最大值。
此外，复数表示法还能够方便地进行相量运算。
相量是有大小和方向的量，它可以用复数表示出来。
通过对电压和电流进行复数相乘，我们可以得到功率的复数表示。
功率的实部表示有功功率，虚部表示无功功率。
综上所述，交流电的复数表示法是电路基础原理中重要的概念。
它能够方便地计算和分析交流电路中的电压和电流，并且能够进行相量运算。
掌握复数表示法，对于理解和解决交流电路中的各种问题非常有帮助。
三相正弦交流电路基础知识讲解
. UVW
－IW. U
. IU
(a)
(b)
图 5.10 负载的三角形连接及电压、 电流相量图
第5章 三相正弦交流电路
5.2.2 负载的三角形（△）连接（二）
1、负载的相电压等于电源的线电压
•
•
•
2、相电流为
•
I UV
UUV
,
•
I VW
U VW
,
•
I WU
U WU
ZUV
ZVW
ZWU
3、线电流为
•
•
•
U N'N
ZU 1
ZV 1
ZW 1
ZU ZV ZW
若负载对称, 即 ZU ZV ZW Z Z ，则
第5章 三相正弦交流电路
5.2.1 负载的星形（Y）连接（六）
•
•
•
•
U N'N
UU ZU
1
UV UW ZV ZW
11
1
•
(U U
•
UV
•
UW
)
Z 3
0
ZU ZV ZW
Z
•
•
•
UU UV UW
•
•
IV 2 I U 2 120
•
•
I W1 I U1 120 ,
•
•
I W 2 I U 2 120
第5章 三相正弦交流电路
5.3.2 对称三相电路的一般解法（五）
•
•
I UV2
IU2 3
30
•
•
I VW2
IV2 3
30
•
•
I WU2
IW2 3
交流电路的复数解法_2013
1
2
1
2
Z~ Z~ Z~
1
2
U~ U~1 U~2 ,
并联电路
I~ I~1 I~2 ,
1 Z~1
1 Z~2
1 Z~
例题：求R、L、C串并联电路的总阻抗
和相位差
• 先算L、R 串联电路
的复阻抗ZLR
Z~LR Z~L Z~R R jL
再算总电 路复阻抗
交流电路的复数解法
一、交流电路的复数解法
矢量图解法比较直观，运算简单。但在一些复 杂的电路中，特别是要用交流电路的基尔霍夫方程 组才能解决的复杂电路，矢量图往往无法预先画出， 采用矢量图解法就甚感困难。这里我们介绍另一种 普遍性计算方法，即借助复数理论讨论简谐交流电 路，这种方法称复数解法。用复数表示，交流电路 的各种公式都写成和直流电路十分相似的形式，这 是复数解法的一个很大优点。
由I P 可看出,要减小电流
Ucos
就必须设法提高电路的功率因数
cos 的值, 使其尽可能接近 1.
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或 纯电容电路
R-L-C串联电路
电动机 空载 电动机 满载
日光灯 （R-L串联电路）
cos 1 ( 0)
cos 0 ( 90)
I
C
0
I/I 0 0
I
U0
R2 (L 1 )2
C
f
f1 fo f2
2
2
f o 0
f
arctan L 1/ C
R
根据以上结果，我们来分析串联谐振电路的主要特征： 1、谐振频率
三相电路基本计算公式
三相电路基本计算公式
三相电路是电力系统中最常用和最重要的电路之一。
三相电路中包含了许多基本的计算公式，这些公式在电力工程中应用十分广泛。
以下是三相电路基本计算公式：
1. 三相电流公式：I = P / (sqrt(3) * V * cos(θ))
其中，I表示三相电流，P表示有功功率，V表示电压，θ表示功率因数的角度。
2. 三相电压公式：V = E / sqrt(3)
其中，V表示三相电压，E表示相电压。
3. 三相功率公式：P = sqrt(3) * V * I * cos(θ)
其中，P表示有功功率，V表示电压，I表示电流，θ表示功率因数的角度。
4. 三相无功功率公式：Q = sqrt(3) * V * I * sin(θ)
其中，Q表示无功功率，V表示电压，I表示电流，θ表示功率因数的角度。
5. 三相视在功率公式：S = sqrt(3) * V * I
其中，S表示视在功率，V表示电压，I表示电流。
6. 三相电阻公式：R = V / (sqrt(3) * I)
其中，R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
7. 三相电感公式：Xl = 2 * π * f * L
其中，Xl表示电感，f表示频率，L表示电感系数。
8. 三相电容公式：Xc = 1 / (2 * π * f * C)
其中，Xc表示电容，f表示频率，C表示电容系数。
以上是三相电路基本计算公式，它们在电力工程中应用广泛，能够帮助工程师计算三相电路中的相关参数，确保电路的正常运行。
三相交流电路计算方式
三相交流电路计算方式三相交流电路是电力传输和供电系统中广泛使用的电路类型。
在这种电路中，电流和电压的波形是三相交替的，并且具有相同的频率和幅值。
在本文中，我们将介绍三相交流电路的计算方式及其应用。
一、三相交流电路的基本组成三相交流电路由三相电源、三相负载及三相线路三部分组成。
1. 三相电源三相电源由三个单相电源组成，其相位差为120度。
三相电源可以是三个单相变压器或者是三相发电机等。
2. 三相负载三相负载可以是电动机、电炉等电器设备。
3. 三相线路三相线路是将三相电源与三相负载连接起来的线路，通常使用三根相互独立但长度和电阻等电学参数相同的导线构成。
二、三相交流电路的计算方式1. 三相电压的计算三相电压（U）是指相邻两相之间的电压，其计算公式为：U=1.732*V，其中1.732是根号3的值，V为单相电压。
2. 三相电流的计算三相电流（I）是指通过每个相的电路中的电流，其计算公式为：I=P/1.732*U*Cosθ，其中P为负载功率，U为相电压，Cosθ为负载功率因数。
3. 三相功率的计算三相功率（P）是指三相负载消耗的总功率，其计算公式为：P=1.732*U*I*Cosθ，其中U为相电压，I为相电流，Cosθ为负载功率因数。
三、三相交流电路的应用三相交流电路在电力系统中被广泛使用。
其主要优点是功率和电流的平衡性高，传输效率高，可以有效地降低电线路的电阻损耗。
三相交流电路广泛应用于工业、照明等领域，并且在交通运输、通信网络和制冷设备等领域也有重要应用。
总之，三相交流电路是一种非常重要的电路类型，其计算方式和应用广泛，对于电力系统的稳定运行和经济运行具有重要意义。
三相电功率的计算(讲的最好的)
关于负载不对称的三相星形联接 电路，应按两种情况分析计算。见下面例题分析。
负载电路的星形联接
例
解
• 相电压为Up=220V的对称电源；各相负载为电灯组， 在额定220V电压下各相电阻分别为RA=5Ω, RB=10Ω, RC=20Ω。试求负载的相电压、负载电流及中线电流。
uA B iA iN iB RC RA RB
. .
IC
.
U AB
.
30°
I AB
.
U BC
I l = 2 I p cos30º √¯¯ Ip = 3
作为常见负载的电动机，其三相绕组可以接成星 形，也可以接成三角形；而照明负载，一般都接 成有中线 的星形。
IA
§4-4. 三相功率
• 不论负载是星形联接还是三角形联接，电路总的有功 功率必定等于三相有功功率之和。
A
iN
线电压与相电压的关 系为
C
B
uB uC
iB
iC
|ZB| |ZC|
负载电路的星形联接
三相星形负载的电流计算
• 对于星形联接的三相电路,每相负载中的电流为
各相负载的电压与电流之间的相位差分别为
中线电流可由相量式表示如下：
可用各个线电流的相量几何关 系进行求和计算。
负载电路的星形联接
对称负载星形联接电路的计算
根据以上三种表示法都可以求得，对称三相交流电的 任意瞬时值之和恒为0。
发电机三相绕组的联接
• 发电机三相绕组通常将三个末端接在一起，该 点成为中点或零点(N)。即星形(Y)接法。
三个始端A、B、C引出三根端线，加上中点引出的总线， 称为三相四线制。 A A 相电压： 每相绕组两端 的电压，即端线与中先线 uA eA 之间的电压。其有效值为 uAB N N UA、 UB、 UC，一般用U p eC 表示。 uB uCA C eB 线电压： 任意两端线之 B B 间的电压。其有效值 为UAB、 UBC、 UCA， uC uBC C 一般用Ul 表示。
三相交流电路计算
三相交流电路计算一、三相平衡电路三相平衡电路是指三相电源输出相等的情况下的电路。
在三相平衡电路中，电源的电压和电流相同，使得电源能够提供相同的功率。
三相平衡电路的计算方法如下：1.电源电压在三相平衡电路中，每相的电压幅值为Un，相位差为120度。
三相电压的平均值等于零。
可以通过下式计算得出：Uab=Un∠0度Ubc=Un∠-120度Uca=Un∠-240度2.电源电流假设三相负载分别为Za、Zb和Zc，相位差和电压相同，则每相的电流可以由欧姆定律得出：Ia=Ua/ZaIb=Ub/ZbIc=Uc/Zc3.负载功率每相的功率由P = ，U，·，I，·cosθ计算得出，其中θ为相位差。
则每相的功率为：Pa = ，Ua，·，Ia，·cos(θa)Pb = ，Ub，·，Ib，·cos(θb)Pc = ，Uc，·，Ic，·cos(θc)4.总功率三相平衡负载的总功率等于各个分相功率的和：Ptotal = Pa + Pb + Pc5.三相平衡电流可以通过下式计算得出三相平衡电流的幅值：I=√(Ia^2+Ib^2+Ic^2)二、三相非平衡电路三相非平衡电路是指三相电源输出不相等的情况下的电路。
在三相非平衡电路中，每相的电压和电流不同，使得电源提供不同的功率。
三相非平衡电路的计算方法如下：1.电源电压在三相非平衡电路中，每相的电压幅值和相位差不相同，分别为Ua、Ub和Uc。
2.电源电流假设三相负载分别为Za、Zb和Zc，每相电流分别为Ia、Ib和Ic。
3.负载功率每相的功率可以由P = ，U，·，I，·cosθ计算得出。
则每相的功率为：Pa = ，Ua，·，Ia，·cos(θa)Pb = ，Ub，·，Ib，·cos(θb)Pc = ，Uc，·，Ic，·cos(θc)4.总功率三相非平衡负载的总功率等于各个分相功率的和：Ptotal = Pa + Pb + Pc5.三相非平衡电流三相非平衡电流的幅值可以由下式计算得出：I=√(Ia^2+Ib^2+Ic^2)三、实例分析假设一个三相平衡电路中，每相电压幅值为230伏特，每相电流幅值为10安培，负载的功率因数为0.9，则该电路的负载功率可以计算如下：1.电源电压Uab = Ubc = Uca = 230∠0度2.电源电流Ia=Ib=Ic=10安培3.负载功率Pa=Pb=Pc=230×10×0.9=2070瓦特4.总功率Ptotal = Pa + Pb + Pc = 6210瓦特5.三相平衡电流I=√(Ia^2+Ib^2+Ic^2)=√(10^2+10^2+10^2)=17.32安培以上为三相平衡电路的计算方法和一个实例的分析。
三相正弦交流电路计算
三相正弦交流电路计算一、引言三相正弦交流电路是工业和家庭中最常见的电路之一。
它由三个相同振幅、频率相同、相位互差120度的正弦波电源组成。
本文将介绍三相交流电路的计算方法，包括电压、电流、功率等重要参数的计算过程。
二、三相电压计算在三相正弦交流电路中，每个相位的电压可以表示为：U = U_m * sin(ωt + φ)其中，U为电压值，U_m为最大电压值，ω为角频率，t为时间，φ为相位角。
三相电压表达式为：U_a = U_m * sin(ωt + φ_a)U_b = U_m * sin(ωt + φ_b)U_c = U_m * sin(ωt + φ_c)其中，U_a、U_b、U_c分别为A相、B相、C相的电压。
φ_a、φ_b、φ_c分别为相位角，相位差为120度。
三、三相电流计算在三相正弦交流电路中，每个相位的电流可以表示为：I = I_m * sin(ωt + φ)其中，I为电流值，I_m为最大电流值，ω为角频率，t为时间，φ为相位角。
三相电流表达式为：I_a = I_m * sin(ωt + φ_a)I_b = I_m * sin(ωt + φ_b)I_c = I_m * sin(ωt + φ_c)其中，I_a、I_b、I_c分别为A相、B相、C相的电流。
φ_a、φ_b、φ_c分别为相位角，相位差为120度。
四、三相功率计算在三相正弦交流电路中，功率可以分为有功功率和无功功率。
有功功率表达式为：P = √3 * U_m * I_m * cos(φ_u - φ_i)其中，P为有功功率，U_m为电压最大值，I_m为电流最大值，φ_u为电压相位角，φ_i为电流相位角。
无功功率表达式为：Q = √3 * U_m * I_m * sin(φ_u - φ_i)其中，Q为无功功率，U_m为电压最大值，I_m为电流最大值，φ_u为电压相位角，φ_i为电流相位角。
五、三相电路的计算实例假设有一个三相正弦交流电路，电压最大值为220V，电流最大值为10A，电压相位角为0度，电流相位角为-30度。
电工基础第四节复数形式的欧姆定律
一、复数形式的欧姆定律
已知
所以
定义复阻抗为
Z
U I
|Z|/
图 9-2 复数形式的欧姆定律
其中 Z
U I
为阻抗大小， = u0 i0
为阻抗角，即电压 u
与电流 i 的相位差。则复数形式的欧姆定律为
I U Z
或
U ZI
图 9-2 所示为复数形式的欧姆定律的示意图。
二、电阻、电感和电容的复阻抗
1．电阻 R 的复阻抗
3．电容 C 的复阻抗
ZC = XC/90 = j XC =
j 1
C
U C
ZC IC
jXC IC
j 1
C
IC
作业
1、完成P156
2题第⑸题， 3题第⑸⑹⑺题
2、练习册本节内容 3、预习下一节
纯电阻电路中，电流电压是同相的，所以有
•
•
U
R
U
Ru
与
0
I
Ii0
其中 u0 i0
得
•
Z
U
•
R
I
U Ru0 Ii0
R
即 Z= R = R/ 0
U R RI
二、电阻、电感和电容的复阻抗
2．电感 L 的复阻抗
纯电感电路中，电压是超前电流90。的，所以有 u0 i0 90
•
得
Z
U
•
L
I
U Lu0 Ii0
j 1
C
UC
Z
I
jXC I
j 1
C
I
4．复阻抗的意义
既表示出电压与电流的有效值大小关系，又反映 出它们之间的相位关系。
小结
1．电阻 R 的复阻抗
正弦交流电路
（其极坐标形式：A=r∠φ) 其极坐标形式： ∠
2、正弦量的复数表示方法： 、正弦量的复数表示方法： •任何一个正弦交流电都可以用复数来表示。 任何一个正弦交流电都可以用复数来表示。 任何一个正弦交流电都可以用复数来表示 •把表示正弦交流电的复数称为相量。 把表示正弦交流电的复数称为相量。 把表示正弦交流电的复数称为相量 •为了与一般的复数相区别，相量符号是在大写 为了与一般的复数相区别， 为了与一般的复数相区别 字母上加黒点。 字母上加黒点。
（二）三相负载的三角形联结：三相负载分别接 三相负载的三角形联结： 于两根相线之间。 于两根相线之间。
特点： 特点：
1、每一相负载两端的相电压等于电源的线电压。 、每一相负载两端的相电压等于电源的线电压。 U∆
相
=U线
2、电源的线电流为负载相电流的 、
3倍
三、三相电路的功率 在对称电路中，无论负载是星接还是三角形连 在对称电路中， 接， （1）有功功率 ）有功功率P= 3 U线I线COSφ （2）无功功率 = ）无功功率Q （3）视在功率 ）视在功率S=
二、三相负载 （一）三相负载的星形联结：将三相负载分别接 三相负载的星形联结： 在相线与中线之间的连接方式。 在相线与中线之间的连接方式。
特点： 特点：
1、每相负载电压等于电源的相电压：UY相＝U相 、每相负载电压等于电源的相电压： 相 2、相电流等于相应的线电流：IY相＝I线 、相电流等于相应的线电流：
第二节
正弦交流电路的数运算为基础的分析计算正弦交流电路的方法 称为符号法。 称为符号法。 1、复数的三种表达形式： 、复数的三种表达形式： 代数形式：A=a+jb 代数形式： 三角函数形式： 三角函数形式：A=r(cosφ+jsinφ) 指数形式 A=
三相正弦交流电路
U AN Z
U P0
Z
Up Z
IB
IBN
Up Z
120
IC
ICN
Up Zபைடு நூலகம்
120
结论
1、U NN 0 IN 0 对称电路中不论有
无中线情况都一样。 2、各相电压、相电流都是和电源同相序的
对称量。 3、每相电流、电压仅由该相电源和阻抗决
i i ZC
C
i ZB BN
iB
CN
相电流(每相负载上的电流)： 线电流(三条端线上的电流)：
IAN 、IBN、ICN
IA 、IB 、IC
IN : 中线电流
IN IAN IBN ICN
星形接法特点
iA
1）
相电流=线电流
IIICBA
IIICBANNN
第四章 三相正弦交流电路
§4.1 对称三相正弦量
三相制： 三个电压源，频率相同，波形相同，相位不 同， 由它们组成的供电体系。 对称三相正弦量:三个频率相同，幅值相同，相位互 差120度的正弦电流或电压。
一：对称三相正弦量的产生
由三相交流发电机产生。
对称三相交流电的产生
定子中放三个线圈：
A•
AX BY
三、不对称负载星形接法时的情况
U NN 0
可看出无中线时，中性点之间 的电压较大，影响到负载各相 的电压。通常不对称时须有中 线
中线的作用：使星形连接的不对称负载得到相等的
相电压。为了确保中线在运行中不断开，其上不允许 接保险丝也不允许接刀闸。
总结： Y形（星形）连接时
1、负载对称时，中线不起作用。不论有无中线
电路中复数的运算
电路中复数的运算
电路中复数的运算
在电路中，复数的运算通常用来描述交流电信号的振幅和相位。
以下
是常见的复数运算：
1.复数加减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。
2.复数乘法：将实部和虚部分别相乘，然后将两个乘积相减得到虚部，将两个乘积相加得到实部。
3.复数除法：先将除数的共轭复数作为分子，然后将分子和分母同时
乘以除数的共轭复数的模的平方，最后将分子的实部除以分母的模的平方
得到商的实部，将分子的虚部除以分母的模的平方得到商的虚部。
在电路中，复数运算可以用来计算电压和电流的相位差、阻抗、电抗、电导等参数。
例如，根据欧姆定律，电流等于电压除以电阻，但在交流电
路中，电阻是复数，因此需要使用复数除法来求得电流。
另外，根据旋转
矢量的概念，可以将复数表示为幅角和模长的形式，这种表示方式更加直观，有助于理解电路的工作原理。
四、三相交流电路的简单分析和计算
线电压：端线与端线之间的电压称之。用 ùuv;ùvw;ùwu表示。
相电压：端线与中线之间的电压称之。用 ùu;ùv;ùw表示。
三相负载的星形连接
1、相关名词：
相电流：每项绕组或每项负载上流过的电流，有效值
用Iu,Iv,Iw表示，一般用I相
负载上电流与电压方向一致。 线电流：通过每根端线的电流，有效值为Iu,Iv,Iw一
2）波形图表示
3）向量图表示
•
u
Uu Uv Uw
UW
120° 120° ωt
•
UU
120°
•
2π/3 2π/3
UV
三个最大值相等
三相电压相量图
对称正弦 量特点为：
角频率相同 相位互差是120°
U U U
U V
0
W
uU+uV+uW=0
正弦量的相序：
Um UU UV
UW
三相交流电在相位上的
I N I U IV I W 0
对称负载可以去掉中线。
120° 120°
对称负载的相量图
2、相电流、线电流、中线电流的关系
三相四线制电路中，相电流等于线电流，
即：IY线=IY相。 中线电流等于三个线电流的相量之和。即：
I
N
I U IV I W
三相负载的三角形连接
2、不对称三相电路的计算，原则上可视为一般复杂交流 电路的计算。连接方式不同（如星形和三角形）或供电 方式不同（如四线制和三线制）时，计算的过程和方法 也不同。 3、中线的作用：是使负载Y连接的中点保持等电位，从 而是三相负载成为三个独立的互不影响的电路。
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| F1 | 1 | F2 | 2
F1 F2
/1 2
三、旋转因子
e j 1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
j
e2j
j
e 2 -j
e j -1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如
一个复数乘以j， 等于把该复数逆时针旋转π/2，
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0
其相量形式为
•
I 0
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
其相量形式为
•
U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式 iR R
+ uR -
uR RiR
+j
•
相量形式
•
IR R
•
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
= - 4.07 + j3.07 = 5.1 /143°
F1 F2
=
3-j4 10 /135°
= 5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 辐角应在主值范围内
i Im cos(t i )
u U m cos(t u ) 相位差 u i
相位差也是在主值范围内取值。 φ > 0，称u超前i； φ < 0，称u落后i； φ = 0，称u,i 同相；
φ = π/2，称u，i 正交； φ = π ，称u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V
UR
IR
+
•-
UR
i u
•
•
UR RIR
O
+1
相量图
2、电感元件
瞬时值表达式 iL L
+
uL
-
uL
Hale Waihona Puke Ldi dt•
+j
相量形式
•
IL
L
+
•
UL
•
•
UL
-
•
u I L
i
O 相量图
+1
U L jL IL
3、电容元件
瞬时值表达式
iC C
+
iC
C
duC dt
uC -
求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°) = 10 cos(314t+30°-90°) = 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 变量，小写字母
一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j， 等于把它顺时针旋转π/2 。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135° 求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°) = -7.07 + j7.07
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。
对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用 cosine。
二、正弦量的三要素
i
+
u-
瞬时值表达式： i I m cos(t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。
j 1 为虚单位 复数F 的实部 Re[F ] = a
+j b
复数F 的虚部 Im[F ] = b
复数 F 在复平面上可以用一条从 O 原点O 指向F 对应坐标点的有向 线段表示。
F a +1
2、三角形式
+j
b
O
F a +1
F F (cos j sin )
模
F a2 b2
辐角 arctan b
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握电感、电容元件电流电压关系的
相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功
率、视在功率和功率因数的概念 • 4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法
• 5、了解频率特性的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
1、代数形式
F = a + jb
O
π
2π
ωt
i
(t i ) 称为正弦量的相位，或称相角。
三、正弦量的有效值
def
I
1 T i2dt T0
def
I
1 T
T 0
Im 2
cos2
(t
i
)dt
c os2
(t
i
)
1
c os [2(t
2
i
)]
I Im / 2 0.707Im
I Im 2
U Um 2
E Em 2
四、同频率正弦量相位的比较
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
几何意义 +j (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 F2
F1
F2
O
F2
F1 F2
+1
3、乘法
用极坐标形式比较方便
设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 /1 2
4、除法
最大值 Im= 10A
有效值
I=
10 2
A
常数，大写字母加下标m 常数，大写字母
最大值相量
•
Im
10
/30
A
有效值相量
•
I
10
/ 30
2
常数，大写字母加 下标m再加点
常数，大写字母加点
5 2 / 30 A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都
是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式。
a
3、指数形式 根据欧拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F F e j
4、极坐标形式
F =|F| /θ
3+j4= 5 /53.1°
× -3+j4= 5 /-53.1 °
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
=5 /126.9 °
=8.66+j5
二、复数的运算
1、加法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j F1 F2
F2
F1
O
+1
2、减法
用代数形式进行，
设
F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
2、角频率ω
i
反映正弦量变化的快慢
Im
单位 rad/s ωT=2π ω=2πf
2π O
π 2π ωt
i
f=1/T
频率f 的单位为赫兹（Hz）
周期T的单位为秒（s）
工频，即电力标准频率：f =50Hz,
T = 0.02s
ω =314 rad/s
3、初相位（角） i
主值范围内取值 i 180
i
Im 2π