拉普拉斯变换1例题及详解

例1：L[cos t] L[ 1 d (sin t)] dt
1
[s
s2
2
sint
0
]
s2
s
2
L[cos t ]
L[ 1 2
(e jt
e jt )]
1[ 2S
1
j
1 ]
S j
s2
s
2
例2：L[ (t)]
L[ddt
u(t)]
S
1 S
u(t)
0
1
2020/8/6
自动控制原理
10
三. 时域的积分性质
自动控制原理
F ( s)]
S S1
25
７ 复频域中的电路定律、电路元件与模型
u(t) U (s)
运算形式KCL、KVL
i(t) I(s)
U(s) Z(s) I(s) 元件 运算阻抗、运算导纳
运算形式 电路模型
R： i R
+u -
iL L
L:
+ uL
C : iC + uC -
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3.F2 (S )有相等的实根(重根)
F(s)
F1(s) (s s1)2
k1 s s1
k2 (s s1)2
F(s)(s s1)2 k1(s s1) k2
k2 [(s s1)2 F (s)] SS1
k1
d ds
[( s
s1 )2
F (s)]
S S1
例1
F
(s)
2s 5 (s 1)2
k2 s1)2
kn1 (s s1)n1
(s
kn s1)n
kn [(s s1)n F (s)] SS1
kn1
d ds
[( s
s1 )n
F ( s)]
S S1
kn2
1 2!
d2 ds2
[( s
s1)n
F ( s)]
S S1
k1
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(n
1 1)!
dn1 dsn1
[(s s1)n
s
0 0s
s0
lim tn
t est 0
L[t n ] n L[t n1] s
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当n＝1 当n＝2
1
L[t] s2
L[t 2 ]
2 s3
L[t n ]
n! sn1
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5
f1(t)
f2(t)
f3(t)
1 e-t
1 e-t
1 e-t
t
t
t
0
0
0
三个函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
K1 (S 1)
(
K2 S 1)2
K2 (2S 5) S1 3
d K1 ds (2s 5) S 1 2
f (t) 2et 3tet t 0
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例2
s2 2s 2 F(s) (s 2)3
K21 (s 2)
K 22 (s 2)2
K 23 (s 2)3
✓3. f (t) (t)
L[u(t)] 1 s
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
✓4. f (t) tn
L[t n ]
n! sn1
当n＝1
L[t]
1 s2
当n＝2
✓5. f (t) sin t
L[sin
t]
s2
2
✓6. f (t) 2020/8/6 cost
L[cos自动控t ]制原理
设：L[ f (t)] F(s)
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
t
L[t] L[ u( )d ]
0
L[u(t)] s
1 s2
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四. 时域平移(延迟定理、时滞定理)
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
t t0
t
t
t0
设：L[ f (t)] F(s)
拉普拉斯变换
§ 1 拉普拉斯变换的定义
一. 拉氏变换的定义 时域 f(t) 称为 原函数 复频域 F(s) 称为 象函数
1. 双边拉氏变换
F(s)
f (t)estdt
正变换
f (t)
1
j F (s)estds
2 j j
反变换
f(t)与F(s)一 一对应
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L[ f (t t0 )u(t t0)] est0 F (s)
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例1： f(t) 1
Tt 例2： f(t)
T
f (t) u(t) u(t T )
F(s) 1 1 esT ss
f (t) t[u(t) u(t T )]
T
f (t) tu(t) (t T )u(t T ) Tu(t T )
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例2
2s2 7s 7 F(s) s2 3s 2
2 s3 (s 1)(s 2)
2 2 1 s 1 s 2
f (t) 2 (t) 2et e2t t 0
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2. F2(S)有共轭复根
例
s F(s) s2 2s 5
1)3 ]
S 2
1 2
d ds
[2s
2]
S 2
1
F(s) 1 (s 2)
2 (s 2)2
(s
2 2)3
f (t) e2t 2te2t t 2e2t t 0
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一般多重根情况
F(S)
a0sm
a1sm1 (s s1)n
am
F(s)
s
k1 s1
(s
s
s
1
例2
i(t) 5et 2e2t
i(0 ) 3
I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim( 5s 2s ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
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６ 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
F(s)
1 s2
1 s2
e sT
T s
e sT
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五. 复频域平移性质（位移定理）
设：L[ f (t)] F(s)
L[et f (t)] F(s )
例1：L[tet
]
(s
1
)2
例2：L[et sint]
(s )2 2
例3：L[e t
cost]
(s
s )2
例1：L[A] A S
例2：L[A(1 et )] A(1 1 ) s s
例3：L[sin t] L[ 1 (e jt e jt )] 2j
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1[ 1
2 j S j
1 ]
S j 自动控制原理
S2 2
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二. 时域导数性质
设：L[ f (t)] F(s)
L[df (t)] sF (s) f (0 ) dt
I(s) R
u=Ri
U(s) RI(s)
U(s)
-
uL
L
diL dt
IL(s) sL
UL(s)
UL (s) sLIL (s)
1
uC C
t
0 iC dt
I C(s)1/sC
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UC(s)
UC(s)
1 sC
IC (s)
26
作业： 求拉普拉斯变换
1. f (t) 0.5(1 cos3t)
s1 1 j2
s2 1 j2
配方法
L[sint]
s2
2
s
s11
s2 2s 5 (s 1)2 22
(s
s1 1)2
22
(s
1 1)2
22
f (t) et cos 2t 1 et sin 2t 1.118et cos(2t 26.6 ) (t)
2
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s
f (t) L1[F(s)] t 0
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４.拉氏变换的基本性质（1）
线性 微分 积分 时移 频移
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n
ki fi (t)
i1
df (t) dt
t
0 f ( )d
f (t t0 )u(t t0 )
f (t)eat
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n
ki.L[ f (t)]
(1)利用公式
f (t) 1
j
F
( s)e st ds
2j j
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表
t0
F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
二. 将F(s)进行部分分式展开
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
s j
复频率
1
2. 单边拉氏变换
F(s)
f (t)estdt
0
f(t) t [0,)
正变换
f
(t)
1
2
j
j F (s)estds,
j
t 0 反变换
0,
t0
因果信号的单边拉氏变换与双边拉氏变换是一样的。
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2
３ 常用函数的拉氏变换
✓１. f (t) u(t) 1(t) ✓2. f (t) eatu(t)
3. f (t) eat sin t
求拉普拉斯反变换
1.
F(s)
s2
6 5s 6
3. F(s) (s 3)(s 4)(s 5) (s 1)(s 2)
2. f (t) 1 et e4t 4. f (t) te2t
2. F (s) es s 2
4.
F(s)
s 1 s(s2 s 1)
s
2
s
2
L[e jt ] 1
s j
L[t 2 ]
2 s3
3
附： 常用函数的拉氏变换定义推导 F ( S ) f (t )est dt 0
1. f (t) u(t)
L[u(t)]
u(t)estdt
0
estdt
0
2. f (t) eatu(t)
1 est
1
s
s 0
L[eat ] eatestdt 0 L[e jt ] 1 s j
1
e(sa)t
1
sa
0 sa
3. f (t) (t)
L[ (t)] 0 (t)estdt
0
(t)dt
0
=1
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4.
f (t) tn L[t n ] t nestdt
0
t n dest 0s
t n est est dt n n t n1estdt
i 1
SF(s) f (0)
F (s) f (1) (0)
s
s
est0 F (s)
F(s a)
7
尺度变换
初值 定理
拉氏变换的基本性质（2）
f (at)
1 F s a a
lim f (t) f (0 ) lim SF(s)
t 0
s
终值 lim f (tΒιβλιοθήκη Baidu f () lim SF(s)
５.
F(s)
s2 2s 3 (s 1)2
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小结：
线性
微分
6个性质
时域 频域
2
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六. 复频域导数性质
设：L[ f (t)] F(s)
L[t f (t)] dF(s) ds
例1：L[t ]
d ds
(1) s
1 s2
例2：L[tet ] d ( 1 )
ds s
1
(s )2
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七. 初值定理和终值定理
初值定理 若L[f(t)]=F(s)，且f(t)在t = 0处无冲激则
F(s)(s 2)3 S2 k21(s 2)2 k22(s 2) k23
K 23
s
2
(
2s s 2)3
4
(
s
2)3
S 2
2
K 22
d ds
s2 2s [ (s 2)3
2
(s
2)3 ]
S 2
(2s
2)
s 2
2
K 21
1 2
d2 ds2
(s2 2s [ (s 1)3
2)
(s
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
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F (s) F1(s) a0sm a1sm1 am F2 (s) b0sn b1sn1 bn
(n m)
1. F2(s) 0的根为不等实根 s1 ，， sn
19
例1
F(s)
s2 s 5 s(s2 3s 2)
s2 s 5
s(s 1)(s 2)
k1 k2 K3 s s1 s2
k1 F(s)s S0 2.5 k2 F(s)(s 1) S1 5
k3 F(s)(s 2) S2 1.5
f (t) 2.5 5et 1.5e2t t 0
((sss1s1))
F
((sss1s1))
(s) s
k1
(s s1)
s1 s
k2 s2
(s
s1k) n
s sn
k1 (s s1)F (s) ss1
k2 (s s2 )F (s) ss2
kn
(s
n
sn )F(s)
s sn
f (t) kiesit
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f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理： f(t)，f (t)的导数可进行拉氏变换 lim f (t)存在时(sF (s)在s右半平面和虚轴上是解析的)
t
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
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例1
u(t)
t 0
lim s 1
定理
t
s0
f1(t) * f2 (t)
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
2j F1(s) * F2 (s)
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５拉普拉斯变换的基本性质应用
一. 线性性质
若L[ f1(t)] F1(s) , L[ f2(t)] F2(s)
则L[a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)