中考数学经典几何综合题旋转平移典型例题质量不错

基本图形及辅助线

解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积 累的

基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的 模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学 知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形

3、基本辅助线

（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参 见

（一）1 ；（二） 1；西城中考总复习 P57例 6】*

（2）与中点相关——倍长中线 （八字全等） ，中位线， 直角三角形斜边中线； 【参见

（ 一）2、 3、4、5】*

（3）共端点的等线段——旋转基本图形（ 60°， 90°），构造圆；垂直平分线，角平分线 ——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见

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几何综合题

C

E

C'

A

A

C

C 形

B

D

O

B

（一）6,7,8,9 】

（4）特殊图形的辅助线及其．迁．移．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见（一）7 】作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（P5——2006 北京，25* ）

注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

题目举例

在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。

（一）基本图形与辅助线的添加#角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6）1、（2010 宣武一模，23）已知：AC平分MAN

（1）在图1中，若MAN 120 ，ABC ADC 90 ，AB AD ___ AC 。（填写“ ”或“ ”或“ ”）

（2）在图 2 中，若MAN 120 ，ABC ADC 180 ，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）在图 3 中：

①若MAN 60 ，ABC ADC 180 ，判断AB AD与AC的数量关系，并说明理由；

②若MAN （0 180），ABC ADC 180 ，则AB AD ________________ AC（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

23. (1) AB AD

AC．

(2) 仍然成立．

证明：如图 2 过C作CE⊥AM 于E，CF⊥AN 于F，则

∠CEA=∠CFA=90°．

∵ AC 平分∠ MAN，∠MAN=12°0 ，

∴ ∠ MAC∠= NAC=6°0 ．

又∵ AC=AC，∴ △AEC≌△ AFC，

∴ AE=AF，CE=CF．

∵ 在Rt △ CEA 中，∠ EAC=6°0 ，

∴ ∠ ECA=3°0 ，∴ AC=2AE．

∴ AE+AF=2AE=AC．∴ ED+DA+AF=AC．

∵ ∠ ABC＋∠ AD C＝180°，∠ CDE∠+ ADC=18°0 ，

∴ ∠ CDE∠= CBF．

又∵ CE=CF，∠ CED∠= CFB，∴ △CED≌△ CFB．

∴ ED=FB，∴ FB+DA+AF=AC．

∴ AB+AD=AC．-----------------------

分

(3) ①AB+AD= 3AC．

证明：如图3，方法同(2) 可证△ AGC≌△AHC．

∴AG=AH．

∵∠MAN=6°0 ，∴∠GAC∠= HAC=3°0 ．

∴AG=AH= 3 AC．∴ AG+AH= 3AC．

2

∴GD+DA+AH=3 AC．

方法同(2) 可证△ GDC≌△HBC．

∴GD=H，B ∴ HB+DA+AH=3 AC．

∴AD+AB= 3 AC．-------------------------

-------- 6 分

②AB＋AD＝2cos·AC．--------------------

2

分

中位线/ 中线*2 、（2010 海淀一模，25）已知：△AOB中，AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3, ∠ABO ∠DCO. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P分别为OA、OD、BC的中点.

C

图2

（2） 如图 2，若A 、O 、 C 三点在同一直线上，且 ∠ABO 2 ，证明 △PMN ∽△BAO ，

AD

并计算 AD 的值（用含 的式子表示） ；

BC

（3） 在图 2中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值 .

1

直

角三角形斜边中线 3、（2011 海淀一模， 25）在 Rt △ ABC 中， ∠ACB=90°， tan ∠BAC= .

2 点

D 在边 AC 上（不与 A ，C 重合），连结 BD ，F 为 BD 中点.

(1) 如图 1，若 A 、O 、 C 三点在同一直线上，且

∠ABO 60o ，则 △PMN 的形状是

，此时

AD BC