大学物理ii—9电学3电势

9
2、点电荷系的电势 电势叠加原理
r r r 在由点u电p电势荷E定系p义的n1n1电EE场ii 中ud，pln1任4意p一qEn1i0点有r(i2pdep的rlEii场 d强l为)
q1 1
p
q2
2n
qn
n
uip
1
在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独
存在时，在该点产生的电势的代数和。这一结论称为电
①求
Uo
=5cm
Uo
4
q
4 0
r
28.8102V
②求将 q0 1.0109 c 的点电荷从
移到O点电场力所作的功
q1
q2
O
r
q4
q3
Aab q(Ua Ub ) Wa Wb
A0 q0(U U0 ) q0(0 28.8102 ) 28.8107 J
电场力 作负功
③求 该过程中电势能的改变
17
练习、求电量分别为Q1 和Q2的同心均匀带电球面的电势分布
解: 由高斯定理可以求得：
Q2 Q1
RA
0, ( r RA )
E
Q1
4 0
r
2
,(
RA
r
RB
)
•
RB P
Q1
4
Q2
0r 2
r RB U
RArRB U
,( RB
E
r
RB E2
r
r)
• dl
r
• dl
Q RB 1
由电势定义 U P
Q1
4
Q2
0r 2
dr
Q1 Q2
4 0r
E3
•
dl
Q RB 1
r 4 0r 2
• dr
Q2
RB
E•
P
Q1 Q2
4 0r 2
dl
• dl
4 0r 4 0 RB
18
RA
RB
Q2
r RA U E1 • dl E2 • dl E3 • dl
0
r
Q RB 1
R
R
R
AO U Uo 0
13
3、电荷连续分布的带电体产生的电势
法一、利用电势叠加原理（分割法）
点电荷dq的电势为 整个带电体的电势为
du dq
4 0r
r
•p
u dq
V 4 0r
Q
dq
电荷元dq 在不同情况下可以分别写成
在线分布情况下有：dq dl
在面分布情况下有：dq ds
在体分布情况下有：dq dv
Aab W Wa Wb W WO W AO 28.8102 0 电势能
12
Aab q(Ua Ub )
练习： 如图已知 q q R
①求单位正电荷沿 odc 移至 c ，电场力所作的功
q
q
Aoc
Uo
Uc
q
0
(
4 0 3R
)
4 0R
d
6 0 R
a
bc
q 0 q
②求将单位负电荷由∞→O点 电场力所作的功
U Pout r 4 0r 2 dr
q
4 0r
R
r R UPin E • dl E • dl
r
R
q
0 R 4 0r 2 dr
q
4 0 R
16
均匀带电球面电势分布图线
V
U
4
q
0
q
R
, ,
4 0r
rR rR
O
R
r
均匀带电球面内是一个等势体，球面内各点的电势等于 球面上的电势；球面外任一点的电势等效于将球面上的 电荷全部集中在球心的点电荷在该点的电势。
法二、利用电势定义
up
E dl
p
14
例3、求均匀带电圆环（R,q ) 轴线
Y
上的电势分布
解: 法一、电势叠加法
dU
dq
4 0r
dl 4 0r
dl R O
r
x
Z
UP
2R dl 2R
dU
q
0 4 0r
4 0r
4 0r
40
法二、利用电势定义
up
E dl
p
轴线上的场强
up
E dl
p
E
qx
4
0
(
R
2
x
qx
2
)
3
2
x 4 0 ( R2 x 2 )3 2
dx
•X
P
q R2 x2
15
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R ，q
q
由高斯定理求出场强分布 E 4 0r 2
rR
R
O Pin
Pou P
t
0
rR
由电势
的定义 U P E • dl
P
r
rR q
r1r2 r 2
Y
P(x, y)
•
U(r, ) q 4 0
l cos
r2
1
4 0
p cos
r2
r2 x2 y2
cos
x
q
x2 y2
r2
r r1
O q
l
X
1
px
U ( x,
y)
4 0
(x2
3
y2)2
11
例题2、已知正方形顶点有四个等量的点电荷 q 4.0 109C
四个顶点到正方形中心O 的距离r
注意:(1) 电势是一个相对量，与电势零点的选择有关；
(2) 电势零点的选择是任意的，但在某些问题中又有一定的限制。 (如无限大带电体的电势零点不能选择无限远处)。
6
2、电势差
电wenku.baidu.com中u任ab 意两ua点电u势b 之 差b，EE称d为l这两点 E的 电 d势l 差
a
b
电场中任意 a、 b 两点的电势差等于把单位正电荷从
RA 4 0r 2
• dr
RA
Q1 Q2
RB 4 0r 2
RB • dl
Q1 Q2
40RA 40RB
Q1
RA
•
RPB
Q1
4 0 RA
Q2
4 0 RB
,
r RA
U
Q1
4 0r
Q2
4 0 RB
,
RA r RB
Q1 Q2 ,
40r
r RB
2
er
q•
由电势的定义有：
ua
a
Edl
q
40
1 r r2erdr
q
4 0r
8
q
点电荷的电势
u
4 0r
(u 0)
讨论： (1) 正电荷电场中的电势为正，负电荷电场中
的电势为负；
(2) 沿着电场线的方向是电势降低的方向。
E
E
V1
q•
q•
V2
(3)在以 q 为球心的同一球面上各点的电势相等
a 点移到 b 点电b场力所做的功，即
uab
E dl
a
电势及电势差的单位都是“伏特”, 符号: V .
功、电势差、电势能之间的关系 b
Aab q E • dl q(Ua Ub ) Wa Wb
a
7
五、电势的计算
1、点电荷的电势分布
dl
drEdr
点电荷的场强为
dpr
E＝
4
q
0r
四、电势 电势差
1、电势
Ua
Wa q0
b a
E • dl
Ub 0
任意场点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能
单位正电荷从该点到电势零点电场力所作的功
当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！
Ua E • dl
U 0
a
电势是从电场力做功的角度来反映静电场性质的物理量
势叠加原理。
n
up uip u1 p u2 p unp
其中
uip
为qi第i1个点电荷在p点的电势
4 0ri
10
例１、求电偶极子电场中任一点Ｐ 的电势。
解: 由叠加原理
UP U1p U
r l
2 p
q
q
(
4 0r1 4 0r2
r2 r1 l cos
) q(r2 r1) 4 0r1r2