利用空间向量解决立体几何的向量方法—解决空间角的问题PPT课件
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高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
用空间向量解决空间角和距离问题
0，π2
二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，
n2，则|cos
θ|＝
|cos〈n1，n2〉|
＝
|n1·n2| |n1||n2|
[0，π]
知识点二 利用空间向量求距离(※) 点到平面的距离：用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下： 先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面 的 法 向 量 上 的 射 影 长 . 如 图 ， 设 n ＝ (a ， b ， c) 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量 ， P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到 平面 α 的距离 d＝|P→P|n0|·n|＝|ax0－x＋ab2＋y0－b2＋y＋c2 cz0－z|.
证明
②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角 的正弦值.
解答
类型二 求二面角问题 例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点， 求二面角A－A1D－B的余弦值.
解答
反思与感悟 求角二面角时，可以用方向向量法，也可以采用法向量 法求解.
2.向量法求距离(※) (1)求 P，Q 两点间的距离，可转化为求P→Q的模. (2)点到平面距离的求法：设 n 是平面 α 的法向量，B 是平面 α 外一点，A 是平面 α 内一点，AB 是平面 α 的一条斜线，则点 B 到平面 α 的距离为
→ d＝|A|Bn·|n|.
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解.
4 2×2
2＝12，
且〈P→B，D→B〉∈[0，π]，∴〈P→B，D→B〉＝π3， ∴BD 与平面 ADMN 所成的角为π6.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
§7.6 立体几何中的向量方法——求空间角和距离
§7.6立体几何中的向量方法——求空间角和距离【知识梳理】1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝或．2．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.【课前热身】1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π2]，二面角的范围是[0，π]．() (5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°. ()(6)若二面角α－a－β的两个半平面α、β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( )2． 二面角α－l －β的大小是π3，m ，n 异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.2π3B.π3C.π2D.π63． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．14． 若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为_________．5． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________． 【典例分析】题型一 求异面直线所成的角例1 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010变式训练 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35题型二 求直线与平面所成的角例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；（向量法） (2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．题型三 求二面角例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．题型四 求空间距离例4 已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD的中点，求点C 到平面GEF 的距离。
3.2立体几何中的向量方法 第3课时 空间向量与空间角 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第3课时
例 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 AB＝BC＝2AD，AS⊥平面 ABCD， AD∥BC， AB⊥BC， 且 AS＝AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值．
解
由题设条件知，以点 A 为坐标原点，
分别以 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设 AB＝1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)， 1 C(1,1,0)，D2，0，0，S(0,0,1)． → → ∴AS＝(0,0,1)，CS＝(－1，－1,1)．
3.2 第3课时
解
建立如图所示的空间直角坐标系，则
O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， → → ∴A1B＝(－ 3，1，－ 3)，O1A＝( 3，－1，－ 3)． → → → → |A1B· O1A| ∴|cos〈A1B，O1A〉|＝ → → |A1B|· |O1A| |－ 3，1，－ 3· 3，－1，－ 3| 1 ＝ ＝7. 7· 7 1 ∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 . 7
3.2 第3课时
∴PB⊥AD. 又∵PB⊥DM，DM∩AD＝D， ∴PB⊥平面 ADMN， → 即PB为平面 ADMN 的一个法向量． → → 因此〈PB，DB〉的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角． → → PB· DB 4 1 → → ∵cos〈PB，DB〉＝ ＝ ＝ ， → → 2 2×2 2 2 |PB||DB| π π → → ∴〈PB，DB〉＝3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第3课时
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
高中数学优质课件【立体几何中的向量方法——求空间角与距离】
面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________．
1 4
解析：设等边三角形的边长为 2.取 BC 的
中点 O，连接 OA，OD.因为等边三角形 ABC 和
BCD 所在平面互相垂直，所以 OA，OC，OD 两
两垂直，以 O 为坐标原点，OD，OC，OA 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系．
则 A(0,0， 3)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D( 3，0,0)， 所以A→B＝(0，－1，－ 3)，C→D＝( 3，－1，0)， 所以 cos〈A→B，C→D〉＝|AA→→BB|·|CC→→DD|＝2×1 2＝14， 所以异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为14.
1 2 3 45
4．在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n＝(2，
－2,1)，已知点 P(－1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )
A．4
B．2
C．3
D．1
B 解析：P 点到平面 OAB 的距离为 d＝|O→|Pn·|n|＝|－2－96＋2|＝2.
12345
B1(1,1， 3)，所以A→D1＝(－1，0， 3)，D→B1＝(1,1， 3)．设异面直线
AD1 与 DB1 所成的角为 θ，
所以 cos θ＝|AA→→DD11|·|DD→→BB11|＝2×2
5＝5 5.Fra bibliotek所以异面直线
AD1
与
DB1
所成角的余弦值为
5 5.
2．有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
空间向量法解决立体几何问题PPT优秀课件
a
P
B
A
l
P
a
b
Oa
A
因为方向向量与法向量可以确 定直线和平面向量，所以我们可以 利用直线的方向向量和平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等位置关系。
知识点
设直线 l , m 的方向向量为分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u , v
1 . l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
习题讲解
2、设 u , v 分别是平面 , 的法向量，根据下列条件 判断平面 , 的位置关系。
( 1 ) u ( 2 ,2 ,5 ) ,v ( 6 , 4 ,4 ) ( 2 ) u ( 1 ,2 , 2 ) ,v ( 2 , 4 ,4 )
( 3 ) u ( 2 , 3 ,5 ) ,v ( 3 , 1 , 4 )
n
a α
b
习题讲解
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C （1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
解：设平面ABC的一个法向量 n(x,y,z)， 依题意得：A B ( 1 ,2 ,0 ) ,B C ( 1 ,0 , 1 )
立体几何中的向量方法空间角ppt
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y
利用空间向量解决立体几何PPT 演示文稿
关键：观察二面角的范围
cos | cos n1 , n2 |
如何求法向量
①找；②求：设
a, b 为平面 内的任意两个向量，
n ( x, y, z) 为 的法向量
a n 0 可求得法向量 n 则由方程组 b n 0
．
题型一：线线角 异面直线AB与CD所成角： cos
数量积： a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a ||b |
| a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
a b 夹角公式： cos a b
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
x
B B
C C
题型三：二面角
例五、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD, 1 SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 所成的二面角的余弦值。 2
S 1 - 1, 1, 0) ,D(0, ,0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) ,C ( 2 1 易知，面SBA 的法向量n1 AD (0, ,0), 2 1 1 CD (1, ,0), SD (0, ,1) x A 2 2
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 思考： C D
结论：
A
B
D1
CD, AB 与的关系？ DC , AB 与的关系？
cos
cos | cos n1 , n2 |
如何求法向量
①找；②求：设
a, b 为平面 内的任意两个向量，
n ( x, y, z) 为 的法向量
a n 0 可求得法向量 n 则由方程组 b n 0
．
题型一：线线角 异面直线AB与CD所成角： cos
数量积： a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a ||b |
| a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
a b 夹角公式： cos a b
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
x
B B
C C
题型三：二面角
例五、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD, 1 SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 所成的二面角的余弦值。 2
S 1 - 1, 1, 0) ,D(0, ,0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) ,C ( 2 1 易知，面SBA 的法向量n1 AD (0, ,0), 2 1 1 CD (1, ,0), SD (0, ,1) x A 2 2
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 思考： C D
结论：
A
B
D1
CD, AB 与的关系？ DC , AB 与的关系？
cos
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(PPT)-
预习验收 衔接课堂
1．若直线 l1 与直线 l2 的方向向量的夹角是 150°，则 l1 与 l2 这两 条异面直线所成的角等于( )
A．30°
B．150°
C．30°或 150°
D．以上均错
A 解析：异面直线所成的角为锐角或直角，且与方向向量的夹
角相等或互补，故选 A.
2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，
()
A.13
B.
2 3
C.
3 3
D.23
C 解析： 依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥 S ABCD 的棱长为 2，
则 A(0，－1，0)，B(1，0，0)，S(0，0，1)，D(－1，0，0)，
所以 E 点坐标为12，0，12，
所以A→E＝12，1，12，S→D＝(－1，0，－1)，
所以
cos〈A→E，S→D〉＝|A→→E·→S→D|＝ |AE||SD|
截面 A1BD 的距离.
解： 如图，建立空间直角坐标系 D1xyz，则 A1(a，0，0)，A(a， 0，a)，B(a，a，a)，D(0，0，a)．
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)，则 n·D→B＝（x，y，z）·（a，a，0）＝0， n·A→1B＝（x，y，z）·（0，a，a）＝0，
33，
故异面直线
AE，SD
所成角的余弦值为
3 3.
1．应用向量法解题的两种方式：基向量法和坐标法．建立空间 直角坐标系时要充分利用题目中的垂直关系.
2．利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几 何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用 向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角 来求解的，两条异面直线所成角 θ 的取值范围是0，π2，而两向量的 夹角 α 的取值范围是[0，π]，所以两者相等或互补，即 cos θ＝|cos α|.
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1 AF1 ( 2 , 0,1),
A
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
cos
AF1, BD1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
x
1 1 4
53
30 10
By
42
所以 BD与1 A所F成1 角的余弦值为
30 10
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
2
An
思考：
B O
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1
B1
D1 C1
A B
D C
题型三：二面角
二面角的范围： [0, ]
n2
n1
O
n2 n1
cos | cos n1, n2 |
cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
题型三：二面角 例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
3
小结：
1.异面直线所成角：
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1
B
A
n
B O
n2 n1
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2, 0,x0), CP (0, 1,1) ,
设平面
PAB
的法向量为
m
=(x,y,z),则
m
AP
0
∴
( x, y, z) (0, 0,1) 0
∴
y
2
x
,令
m AB 0 x=1,则 m =(1,
2,0) ,
( x, y, z) ( 2,1, 0) 0 z 0
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA 2
所成二面角的余弦值.
z
S
B
C
A
x
Dy
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 求面SCD与面SBA
2z
所成二面角的余弦值.
0,
2
C
D
思考：
A D1 B
CD, AB 与的关系？
DC, AB 与的关系？
结论： cos | cos CD, AB |
题型一：线线角
例一：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
分析:
若用几何法本题不太好处
理,注意到适当建立空间直角坐
y
标系后各点坐标容易处理,可考
虑尝试用向量法处理,从而把问 x
题转化为向量运算问题.
.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=z1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解:建立坐标系如图,
y
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
x
y 2
y 2
z
0 0
x z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
练习2:
如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
y
x
练习2: 如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0, 0,1)
B
C
易知面SBA的法向量n1
2
AD
(0,
1
, 0)
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
xA D y
2
2
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1
B1
A1
D1 C
B
A
题型一：线线角
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设 则CC：1 1 A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
C1 z
F1
B1
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
A1
D1 C
所以：
设平面
PBC
的法向量为 n
( x,
y, z)
,
则
n
CB
0
( (
x, x,
y, y,
z) z)
( 2,0,0) 0 (0, 1,1) 0
∴
x y
0 z
令
y
n
1,
CP
n
0
(0, 1,
1)
∴cosm,n m n
3
,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为
3
| m || n | 3
n, BA 与的关系？
结论： sin | cos n, AB |
题型二：线面角
例二： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
z
（2）求AD与平面ANM 所成的角. A1 N
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4), D(0,8, 0),
B1 M
A
AD (0,8, 0), A1D (0,8, 4),
25
cos AD, A1D 5
AD与平面ANM 所成角的正弦值是
xB
25
5
D1 C1
Dy
C
题型二：线面角
练习1：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
利用向量解决 空间角问题
求空间角与距离是立体几何的一类重要 的问题，也是高考的热点之一。本节课主要 是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。
1.若a (a1, a2 , a3)，b (b1, b2 , b3),则：
数量积： a b | a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 )，则：
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：