微分的逆运算问题【精选】
考研数学要点：微分方程求解的逆问题
考研数学要点：微分方程求解的逆问题微分方程是考研数学中的一个重要考点，每年必考，有时还会考两道题，占十多分，因此各位考生必须重视这部分内容。
微分方程的考题从形式上可以分为两类，一类是已知方程求其解，另一类是第一类问题的逆问题，即已知其解反求方程(或方程中的参数)。
在2015年的考研数学试卷中，就有一道是关于逆问题的试题，下面中公考研数学辅导老师就来结合往年的考题，分析一下微分方程求解的逆问题。
关于微分方程求解的逆问题，一般可以化为求微分方程中的参数问题，具体方法可以按照微分方程的解的结构理论求解，或者用代入法求解。
考研数学三导数备考的三个步骤考研数学早已经落下帷幕了，在刚刚过去的2015考研数学中，数学三选择题第二题考查的是拐点，填空题十二题考查的是极值，十一题考查的是全微分，十七题考查的是经济学应用。
所以说导数是2015年数学三考查的重点。
针对2015考研对导数的考查方式，凯程教育数学辅导老师通过考点解析，为考研的同学们备考复习提供三大建议。
1.狠抓基础概念我强调狠抓基础概念是出于两个方面的考虑。
第一：导数这章内容相对比较简单。
比如求导公式，大家在高中就接触过。
第二：考研中考得最多的就是对导数概念的理解以及对导数应用中极值概念的理解。
从这些概念本身来看，相对来说比较简单，但是考法却是比较深入。
假如很多同学仅仅是知其然而不知其所以然，那么做题是很容易出错的。
所以，我希望同学们要加深对本章概念的理解，千万不要一知半解就开始盲目的做题。
2.明晰考查的重点在大家对概念有了比较深入的了解之后。
接着，就需要了解考试重点了。
本章相对比较简单，而且重难点分明。
具体来说，分为三个模块。
第一个模块：可导与可微。
其中导数定义是重点。
导数的定义几乎是每年必考，而且考察的往往都是变形的形式，但实质上都是在考察你对极限理解。
第二个模块：导数计算。
复合函数求导是重点，并在此基础上掌握幂指函数求导，隐函数求导及参数方程求导。
第五章微分的逆运算问题
第五章微分的逆运算问题——不定积分志立则学思从之，故才日益而聪明日盛，成乎富有。
——王夫之没有任何一门学问的学习，能象学习算术那样强有力地涉及到国内的经济、政治和艺术。
数学的学习，能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。
——柏拉图本章简介由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线，和已知几何图形求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成微积分学的积分学部分。
前面已学习过已知函数求导数问题，本章考虑其反问题：已知导数求其原函数，即求一个位未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。
这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。
§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分提出问题已知曲线)(x f y =，求过任意点的切线的斜率（设斜率存在）。
显然，只要对)(x f y =求导即可。
反之，若已知曲线求过任意点的切线的斜率，如何求曲线的方程？即已知函数的导数，如何求已知函数。
学习过程1.1 原函数与不定积分的概念定义 设函数)(x F 与)(x f 在区间I 上有定义。
若在I 上()()x f x F ='则称函数在区间I 上的原函数。
研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？定理1 若函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F .定理2 设)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则⑴C x F +)(也是)(x f 的一个原函数，其中C 为任意常数；⑵)(x f 的任意两个原函数之间，相差一个常数.定义2 )(x f 在区间I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(其中称⎰为积分号，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量.不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x f y =的图象为的一条积分曲线。
微分的逆运算问题
已知曲线求切线、已知位移求速度引入了 导数.
如果我们已知曲线的切线如何求曲线、已知 运动速度如何求路程？
由导数(或微分)求原来函数的运算是一 种逆向思维过程.
定义 设函数F ( x )与f ( x )在区间I 上有定义. 若在I 上 F ( x ) f ( x ), 则称函数F ( x )为f ( x )在区间I 上的一个原函数.
1 (ln x ) . x
1 x 0时， (ln x x ) ; x 1 1 x 0时， ; [ln ( x x ) ] x x
1 1 3、 ( cos 2 x ) [ sin 2 x ] 2 sin 2 x， 2 2 1 1 ( cos 2 x 1) [ sin 2 x ] 2 sin 2 x， 2 2 1 1 cos 2 x和 cos 2 x 1都是 sin 2 x原函数. 2 2
不定积分的几何意义
函数f ( x )的不定积分
每条积分曲线在x0 点的切线相互平行.
f ( x )dx在几何上表示
f ( x )的积分曲线族，它 可由f ( x )的某一条积分 曲线y F ( x )沿y轴方向 上下平移而得到.
y
y F ( x)
o
积分曲线
x0
x
f ( x )的一个原函数
什么样的函数存在着原函数呢？ 一个函数的原函数是不是只有一个呢？
定理 如果函数 f (x)在区间I上连续，则 f (x) 在区间I上存在原函数 F(x) .
此定理也叫原函数存在定理 . 这就是说,连续函数一定有原函数.
初等函数在其有定义的区间上存在原函数.
2 是一个初等函数, 而且 例如 y 1 x 2
即如何表示F ( x ) C ？
微分的逆运算问题-不定积分
线性运算法则 I
线性运算法则 II
例2
(2 cos x ex x 3)dx 2 cos xdx exdx xdx 3 dx
2sin x ex 1 x2 3x C 2
例3
1
x2 x2
dx
(1
1
1 x
2
)dx
=
微分的逆运算问题－不定积分
欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
§1 原函数与不定积分
§1.1 原函数与不定积分的 概念
§1.2 基本积分公式 §1.3 不定积分的线性运算
法则
§1.1 原函数与不定积分的概念
不定积分 <－>
微分的逆运算
微分问题
已知作匀加速直线运动的物体的位 移S(t)，求速度.
dx
cos
x,
y |x0 0.
dy
dx
cos
x,
y |x0 0.
dy cos x dx
y cos xdx sin x C.
y |x0 sin 0 C 0
C 0
y sin x
基本积分公式
求导公式与积分公式相对应
f xdx Fx C
Fx f x
Table of Indefinite Integrals
x n dx x n1 C n 1
ex dx ex C
1 x
dx
ln
x
C
ax dx ax C ln a
sin x dx cosx C csc2 x dx cot x C
f(s) = s的拉普拉斯逆变换
f(s) = s的拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换是将给定函数的拉普拉斯变换逆向转化回原始函数的过程。
在数学和工程学科中，拉普拉斯变换和逆变换是非常重要的工具，用于解决微分方程、信号处理、控制系统等领域中的问题。
设f(t)为定义在实数域上的函数，它的拉普拉斯变换为F(s)，即F(s) = L[f(t)]。
假设f(t)满足一定的条件，根据拉普拉斯逆变换的定义，我们要找到一个函数f(t)，使得它的拉普拉斯变换等于F(s)，即L[f(t)] = F(s)。
通常，拉普拉斯逆变换可以通过查表、利用已知逆变换的性质和公式，或进行适当的换元和部分分式展开来进行计算。
首先，我们来看一些常见的拉普拉斯变换对应关系及其逆变换。
1.常数函数的拉普拉斯变换及逆变换：设f(t) = A，其中A为常数。
其拉普拉斯变换为F(s) = A/s，逆变换为f(t) = A。
2.基本初等函数的拉普拉斯变换及逆变换：- t的幂函数：f(t) = t^n，n为正整数。
其拉普拉斯变换为F(s) = n! / s^(n+1)，逆变换为f(t) = t^n。
-指数函数：f(t) = e^(at)，a为常数。
其拉普拉斯变换为F(s) = 1 / (s-a)，逆变换为f(t) = e^(at)。
-正弦函数和余弦函数：f(t) = sin(ωt)，f(t) = cos(ωt)，其中ω为常数。
其拉普拉斯变换分别为F(s) = ω / (s^2 + ω^2)，F(s) = s / (s^2 + ω^2)，逆变换分别为f(t) = sin(ωt)，f(t) = co s(ωt)。
3.变换法则：-移位定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
-压缩定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(at)的拉普拉斯变换为(1/a)F(s/a)。
-初值定理：若函数f(t)是连续的有界函数，并且对于t>0，有f(t)=0，则有lim(s→∞)sF(s) = f(0+)，其中f(0+)表示f(t)在t=0+时的右极限。
一阶微分方程的奇解及其逆问题
一阶微分方程的奇解及其逆问题摘要介绍了导数已解出的一阶微分方程和导数未解出的一阶微分方程的奇解问题，通过相关实例进行了说明.同时.考虑了常微分方程奇解的逆问题.关键词奇解;包络;通解;P-判别曲线;C-判别曲线;逆问题The singular solution of first oder ordinary differential equationand its inverse problemAbstract In this paper, we introduce the singular solution of the first oder ordinary differential equation by giving corresponding examples. Meanwhile, we also consider the inverse problem of the singular solution of ordinary differential equation.Keywords Singular solution; envelope; general solution; P-judging curve; inverse problem一阶微分方程的奇解及其逆问题1 概念例1.1.1 求微分方程 2-)(22xdxdy xdxdy y += 的解.解 令 dxdy p =代入方程得2-22xxp p y +=. （1）两边对x 求导 0)-2)(1-(--2=→+=x p dxdp x p dxdp x dxdp pp .由c x p x p +=→=0-2 代入（1）得方程的通解 222c cx xy ++=. （2）由20-2x p x p =→=代入（1）得42xy =，经验证此为原方程的解. 从图1中我们可以看到，此解与方程通解（2）中的每一条积分曲线均相切.对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族中，但是，在这条特殊的积分曲线上的每个点处，都有积分曲线族的一条曲线和它在此点相切，在几何中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇解.下面我们分别给出曲线族包络和微分方程奇解的定义.定义1 设给定单参数曲线族 Φ（x,y,c ）=0其中c 是参数，Φ（x,y,c ）是x,y,c 的连续可微函数，曲线族Φ（x,y,c ）=0 的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在这曲线族Φ（x,y,c ）=0 中但这曲线的每一点，都有曲线族Φ（x,y,c ）=0 中的一条曲线和它在这点相切.定义2 设有微分方程的一条积分曲线，若在它上面的每一点处方程的解的唯一性都被破坏，则称这条积分曲线所对应的解是微分方程的奇解.根据定义我们可以得出：对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族.但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切.在几何学中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络.在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解. 2 对于导数已解出的一阶微分方程的奇解本节给出寻找导数已解出的一阶微分方程（3）的奇解的方法和步骤.按定义，奇解就是破坏了微分方程解的唯一性的解，我们知道，导数已解出的一阶微分方程的解的存在唯一性定理为.定理 2.1 给定微分方程，若函数满足如下条件：1）函数在闭区域≤，≤b(a 、b>0)上是连续的.2）函数在R 上满足利普希茨条件，即存在常数L>0，对于所有的点∈R 都有≤，则方程（3）存在唯一的解上，连续且满足初始条件，这里,.由于利普希茨条件难于检验，常用在R 上有对y 的连续偏导数来代替，因为若在R 上,存在且连续，则yf ∂∂在R 上有界，设在R 上Lyf ≤∂∂，则yy y y x f y x f y x f ∂+∂=))-(,(),(-),(12221θ,,其中R y x y x ∈),(),,(2110<<θ, 即若),(y x f 在R 上有连续偏导数，则在R 上),(y x f 一定满足利普希茨条件，但反之不成立.(,)dy f x y dx=(,)dy f x y dx=(,)f x y (,)f x y 0:R x x -a 0y y -(,)f x y 12(,),(,)x y x y 12(,)(,)f x y f x y -12L y y -y =φ(x)0x x h -≤00 φ()y x =m in(,),m ax{(,)}b h a M f x y M==(,)x y R ∈(,)f x y 1212y y L y y --≤通过上面的分析知，当yf ∂∂的有界性被破坏时，方程（3）的解的唯一性将有可能被破坏.因此若要寻求导数已解出的方程（3）的奇解，只能在使得yf ∂∂的有界性被破坏的函数)(x y φ=中去寻找，这样我们就得到寻求方程（3）奇解的步骤：A 求使yf ∂∂为正无穷的函数)(x y φ=)),((连续y x fB 验证函数)(x y φ=是否为方程（3）的解C 若)(x y φ=是方程（3）的解，再验证唯一性，若)(x y φ=中的每一点的唯一性都不成立，则此)(x y φ=为方程的解.例2.1.1 求微分方程2y -1=∂∂yf 的奇解.解 方程右端2-1),(y y x f =在11-≤≤y 内连续，2y-1y -=∂∂yf 在直线1±=y 上，yf ∂∂为无穷大，显然1±=y 为方程的解，可以看出在直线1±=y 上的每一点，都有原方程通解)sin(c x y +=中的一条曲线与它们相切，所以1±=y 为方程的奇解.3 对于导数未解出的一阶微分方程的奇解3.1利用c-判别曲线求奇解我们知道，微分方程积分曲线族的包络所对应的解一定是奇解，现在我们讨论曲线族的包络应满足的条件.设0),,(=c y x φ （4） 为一曲线族，由微分几何学可知，曲线族（4）的包络包含在由下列方程组),,(,0),,({'==c y x c y x φφ 消去C 而得到的曲线之中，此曲线称为曲线族（4）的C-判别曲线.我们注意到，在C-判别曲线中有时除去包络外，还有其它曲线.C-判别曲线中究竟哪一条是包络尚需实验检验.例3.1.1 求曲线族 2c cx y +=的包络，在这里C 是参数.解 将2c cx y +=对C 求导数，得到02=+c x . 从02{2=++=c x ccx y 中消去C ，得到042=+y x .所以，曲线族2c cx y +=的包络为042=+y x .例3.1.2 求曲线族01-22=+cx y c 的包络，在这里C 是参数.解 将01-22=+cx y c 对C 求导，得到022=+x cy ，从⎩⎨⎧=+=+，01-,02222cx y c x cy 中消去C ，得到044=+y x .所以，曲线族01-22=+cx y c 的包络为044=+y x .3.2 利用p-判别曲线求奇解 首先我们引入一个定理.定理 3.2 如果在点),,('000y y x 的某一邻域中，a) ),,('y y x F 对所有变元),,('y y x 连续，且存在连续偏导数； b) ),,('000y y x F =0； c)0),,(''000≠∂∂yy y x F ，则方程),,('y y x F =0存在唯一解h x x x y y ≤=0-),(（h 为足够小的正数）满足初值条件'00'00)(,)(y x y y x y ==.由上述定理知道，如果),,('y y x F 关于',,y y x 连续可微，则只要0≠∂∂yF 就能保证解的唯一性，因此，奇解（如果存在的话）必须同时满足下列方程),,('y y x F =0，0),,(''=∂∂yy y x F .于是我们有以下结论：方程0),,(=dxdy y x F （5）的奇解包含在由方程组)(0),,(0),,({'dxdy p p y x F p y x F p ===消去P 而得到的曲线中，这里),,(p y x F 是p y x ,,的连续可微函数.此曲线称为方程（5）的P-判别曲线.P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步检验.例3.2.1 求方程01-)(22=+y dxdy 的奇解.解 从⎩⎨⎧==+0201-22p y p 中消p 得到p-判别曲线1±=y .经验证，此两直线都是方程的奇解.因为容易求得原方程的通解为)sin(c x y +=，而1±=y 是微分方程的解，且正好是通解的包络.3.2.1应用p-判别曲线一般性的求解微分方程的奇解用这个定理来求解以下两类一阶微分方程的奇解 （A ） 0)()(-))((1-=+x b dxdy y dx dy x a n n.（B ）)())(())((1-x c dxdy x b dxdy x a y n n++=.首先来讨论微分方程（A ），其中a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0)(-)(),,(1-=+=x b yp p x a p y x F n n 0]1)-(-)([)1-(-)(),,(2-2-1-'===y n p x na pyp n px na p y x F n n n消去p 得到的函数),()(1-_x d x a n n y •=其中.0)()()1-()(≠=x na x b n x d n)()(-))((),,(1-_'__'_'_x b y y y x a y y x F n +=)]()(1-)()(-[))(()(1--))((1-_'_'x d x a n n x d x a y x d x a n n y x a nnn n++=))]()()((1--)()()][()[(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'x d y x d n n x d y x d y x a in i in in i in ===因此，0(x)-_'=d y 时，_y 是微分方程（A ）的解，而且又有)](-[))(()())((-))((),,(_'2-_'2-_'1-_'_'_'_'x d y y x na x d y x na y x na y y x Fn n n y==.0)(-),,(1-_'_'_'_≠=n y y y y x F 由于)(_'x d y =则)())(())(()()2-(-))(()1-(),,(3-_'3-_'2-_'_'_''_'_'≠•==x d y x na y x d x a n n y x a n n y y x Fn n n yy由此可知，对于微分方程（A ），假设a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0)(,0)(≠≠x b x a 若满足.0)(-_'=x d y 即.0)(-)]()(1-['=x d x d x a n n其中.)()()1-()(x na x b n x d n=则微分方程有奇解：).()(1-_x d x a n n y •=再来讨论微分方程（B ），对于微分方程（B ）其中a(x),b(x),c(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0-)()()(),,(1-=++=y x c p x b p x a p y x F n n)]()1-()([)()1-()(),,(2-2-1-'=+=+=x b n p x na ppx b n px na p y x Fn n n p消去p 得到函数：)()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n+•+=，其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d))]()()(())()()(()][(-[)()(-)()(-))(())((-)())(())((),,(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'1-1-_'_'_1-_'_'_'_x d y x b x d y x a x d y x dx b x d x a y x b y x a yx c y x b y x a y y x F in i in in i in n nn nn n==+=+=++=因此，当.0)(-_'=x d y 时，_y 是微分方程（B ）的解.又.0))(()1-(-),,(01-),,(0)](-[))((),,(2-_'_'_''_'_'_'2-_'_'_'_'_'__'≠=≠===n yy y n yy x b n y y x Fy y x F x d y y x na y y x F从而，对于微分方程（B ），假设a(x),b(x),c(x)在I 上连续可导，且.0)(,0)(≠≠x b x a 又满足条件.0)(-_'=x d y 即0)(-)]()()()()(['1-=++x d x d x b x d x a x c n n其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d 则（B ）有奇解：).()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n +∙+=3 .3克莱罗方程的奇解 我们把形如)(p f xp y += （6）的方程，称为克莱罗方程，其中)(,p f dxdy p =是p 的连续可微函数.-下面讨论克莱罗方程的奇解.将)(p f xp y +=两边对x 求导，并以dxdy p =代入得dxdp p f p dxdp xp )('++= 即0))(('=+p f x dxdp1、若=dxdp cp =⇒，所以原方程的通解为)(c f cx y +=；2、若0)('=+p f x 将此与原方程合起来有 ⎩⎨⎧+==+)(0)('p f xp y p f x .消去P 也得到方程的一个解.分析 1）从1知克莱罗方程的通解是一族直线. 2）通解的形式就是在原方程中用C 代P 而得到的.3）从2知，求此解的过程正好与从通解)(c f cx y +=中求包络的步骤一样（也和求（6）的P-判别曲线的过程一样），并且此解为积分曲线族)(c f cx y +=的包络)01),,(('≠=c y x y φ，因此克莱罗方程总有解.4）从（3）知，对克莱罗方程而言，P-判别曲线和方程通解的C-判别曲线都是方程通解的包络，从而为方程的奇解.例3.3.1 求方程pxp y 1+=（其中dxdy p =）的奇解解 此方程为克莱罗方程，因此其通解为ccx y 1+=从⎪⎩⎪⎨⎧+==c cx y c x 101-2 中消去C 得到x y 42=.由前后讨论知x y 42=为方程的奇解.4 微分方程奇解的逆问题我们考虑微分方程奇解的逆问题：求一微分方程已一个已知函数)(x y φ=为奇解.下面，用上述方法和结论来解决微分方程奇解的逆问题.4.1 求以x y sin =为奇解的常微分方程满足以x y sin =为奇解的常微分方程非常多，下面给出三种类型的常微分方程. 4.1.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x y sin =， 即⎩⎨⎧+==)()(sin )(-''p f p p f p f x 因此，)(sin p f xp x +=.下面求出)(p f 的表达式.求导得)(cos '''p f x p x x x ++=•. 令p x =cos 则p p p xp x xp x p f •===arccos --1-cos -1-sin )(2'故以x y sin =为奇解的克莱罗常微分方程为dxdy dxdy dxdy dxdy xy arccos-)(-12+=2．求)(A 型方程为简单起见，取n=2.已知x y sin _=，由条件0)(-'y _=x d 得x x d cos )(=. 由)()(2,)()()(_2x d x a y x a x b x d ==得 x x a x x a x b x cos )(2sin ,)()(cos2==解之得x x x b x x a sin cos 2)(,tan 2)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(A 型常微分方程为0sin cos 2)(-)(tan 22=+x x dxdy y dx dy x3．求)(B 型方程取n=3.已知xy sin _=.由条件0)(-'_=x d y 得x x d cos )(=.又)(27)(4)(,)(3)(2-)(23_x ax b x c x a x b x d y +==则)(27)(4)(sin ,)(3)(2-cos 23x a x b x c x x a x b x +==.特别取c(x)=0,解之得 xx x b xx x a 23cos sin 3)(,cos sin 2-)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(B 型常微分方程为 2233)(cos sin 3)(cos sin 2-dxdy x x dx dy x x y +=. 4.2 求以xe y =为奇解的常微分方程 4.2.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x e y =，即⎩⎨⎧+==)()()(-''p f p p f e p f x x 因此)(p f xp e x+=.求导化简得xe p =，则p p p pf ln -)(=.故以xe y =为奇解的克莱罗型常微分方程为)ln()(-dx dy dx dy dx dy dx dy xy +=4.2.2 求)(A 型方程取n=2.已知奇解xey =_，由条件0)(-'_=x d y 得xe x d =)(.由xe x a x a x b x d y)(2,)()()(_==得 xxxe x a e x a x b e)(2,)()(2==，进而21)(=x a ，xe x b 221)(=.故以xe y =为奇解的)(A 型常微分方程为021)(-)(2122=+xedxdy y dxdy .4.2.3 求)(B 型方程取n=2.已知xe y=_，由条件0)(-'_=x d y得x e x d =)(. 由)(4)(-)(,)(2)(-)(2_x a x b x c x a x b x d y ==，得)(2)(-,)(4)(-2x a x b e x a x b e xx==，解之得2)(,-)(-==x b e x a x.因此，以xey =为奇解的)(B 型常微分方程为)(2)(-2-dxdy dxdy e y x+=.同理，可以求出其他类型函数或者复合函数作为常微分方程的奇解.因此有奇解的常微分方程是非常多的.此外，在上述求解过程中，由于n 与c(x)有许多不同的取法，因此，以同一奇解的常微分方程也是非常多的.5 总结本文对一阶微分方程通过分为导数已解出的、导数未解出的、克莱罗方程，以及利用P-判别曲线对一般的类似于（A ）、（B ）的微分方程的奇解的求法做出了讨论，应用各种方式算出它们的奇解，对解法进行了较全面的分析，并给出了相应的求解方法和求解步骤.最后讨论了微分方程奇解的逆问题，带入一般的微分方程（A）、（B）讨论微分方程的逆问题.参考文献[1] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004:94-110.[2] 王五生，付美玲，侯宗毅.一阶非线性常微分方程奇解的求法[J].高等数学研究，2010（7）：65-67 .[3] 何永葱.关于常微分方程奇解的逆问题[J].重庆教育学院学报，2008（5）：5-10.[4] 何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记[J].内江师范高等专科学校学报，2000（2）.[5] 何永葱.两类一阶常微分方程有奇解的条件[J].重庆教育学院学报，2007（6）[6] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].3版.北京.高等教育出版社.[7] 李育俭.一阶微分方程的奇解[J].武汉工程专业技术学院学报，2005（9）：83-87.[8] 艾利斯哥尔兹著.微分方程[M].北京.高等教育出版社.1959年.- 12 -。
函数的微分和逆矩阵求法
函数的微分和逆矩阵求法数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）一、1.一元函数的高阶微分定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果其增量可表示为()y A x o x ∆=∆-∆，其中A 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即0|x x dy A x ==∆。
可证 A=0'()f x 即00|'()x x dy f x dx ==。
定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()2()2!B y A x x o x ∆=∆+∆-∆，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ∆，2()B x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2,dy d y ，即0|x x dy A x ==∆，022|()x x d y B x ==∆。
可证00'(),''()A f x B f x ==即00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =。
根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()()()2212!!nnn A A y A x x x o x n ∆=∆+∆++∆-∆ ，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处n 阶可微，并称22232222tan (tan )'tan (cos )'sec tan 3cos sin dy tdx t d y dx td xa t tdx td xa t t=--=--=--为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分……n 阶微分，记作2,dy d y ，……，n d y 即002212|,|()x x x x dy A x d y A x ===∆=∆，……，0|()nnx x n d y A x ==∆。
Cauchy中值定理的逆问题
,（ $ （（ ! #）#（ ! !） ） $" （ !）) !" （ !） （$ （ !）# $ （ #） ） ，#! ［ %， ， !］ ! #） ,（ $ （（ ! #）#（ ! !） ） $" （ !）# !" （ !） （$ （ #）# $ （ !） ） ，#! ［ !， &］ ’ % #） ［ -.］ 由引理的条件， 容易验证 ,（ 是 ［ %， 上的严格递减连续函数， ,（ 是 ［ !， &］ 上 !］ ! #） % #） 的严格递增连续函数， 且有 ,（ $ ,（ $ " ’ 从而 ,（ 和 ,（ 的值域均为区间， 设为 ［"， ! !） % !） ! #） % #） /! ］ 和 ［"， /% ］ ， 其中 /! $ ,（ ’ "， /% $ ,（ ’ " ’ 取 " & 0"*+,｛/! ， /% ｝ ， 则由介值定理知， 存 ! %） % &） 在 (! ［ %， 和 )! （ !， &］ ， 使得 ,（ $ 0 $ ,（ ， 即有 !） ! (） % )） （（ ! (）#（ ! !） ） $" （ !）) !" （ !） （$ （ !）# $ （ (） ）$ （（ ! )）#（ ! !） ） $" （ !）# !" （ !） （$ （ )）# $ （ !） ） ’ 由此可得 （ ! )）#（ ! (） !" （ !） $ ’ $ （ )）# $ （ (） $" （ !） 引理 ! 的两点说明’ ! ’ 显然对每个 !! （ %， &） ， 形如 （!） 的表示法可能有无穷多种， 但总存在这样一种表示法， ( $ %， ) $ &， 这只要在证明过程中取 0 $ *+,｛/! ， /% ｝ 即可’ % ’ 设对于 !! （ %， &） ， 有 （ ! )）* （ ! (） !" （ !） （ ! 1）* （ ! 2） + + ’ $ （ )）* $ （ (） $" （ !） $ （ 1）* $ （ 2） ( ( 如果 ) ’ 1， 则 ( & 2’ （%）
逆运算学会使用逆运算解决问题
逆运算学会使用逆运算解决问题逆运算：学会使用逆运算解决问题逆运算是数学中一种重要的技巧，用于解决问题和推导出未知量。
通过逆运算，我们可以从某个已知的结果或方程式中，反推出用来得到该结果的初始值。
逆运算在各个领域都有应用，包括代数、几何和物理学等。
在本文中，我们将讨论逆运算的定义、应用和解决问题的方法。
一、逆运算的定义逆运算是指通过运算的逆过程，从已知结果推导出初始值或方程式。
在数学中，有很多种运算和对应的逆运算，比如加法和减法、乘法和除法、幂和开方等。
逆运算是运算的一种反向操作，能够将结果还原回初始状态。
二、逆运算的应用逆运算在数学中有广泛的应用，可以用来解决各种问题。
其中一个常见的应用是解方程。
例如，对于方程式3x + 5 = 20，我们可以通过逆运算来推导出未知数x的值。
首先，我们将方程式转化为3x = 20 - 5，接着使用除法的逆运算将3x的系数3去除，得到x = (20 - 5) / 3，最后得到x的值为5。
逆运算还可以用于计算几何中的未知量。
以三角学为例，逆正弦函数（sin⁻¹）可以帮助我们计算一个角度的正弦值。
通过输入已知的正弦值，逆正弦函数可以得出对应的角度值。
逆正弦函数是正弦函数的逆运算，能够将已知结果转化为初始状态。
三、如何使用逆运算解决问题使用逆运算解决问题需要遵循一定的步骤和方法。
首先，我们需要确定要使用的运算和逆运算。
对于给定的问题，我们需要通过推理和分析确定最合适的方法。
其次，我们需要将问题转化为方程或等式的形式。
将问题转化为数学表达式后，我们可以使用逆运算来求解未知量。
最后，我们需要检查和验证得到的结果是否满足问题的要求，并对解决过程进行复盘。
值得注意的是，逆运算在不同的运算中有不同的性质和规则。
因此，在使用逆运算解决问题时，我们需要熟悉各种运算和对应的逆运算，并根据具体情况选择最合适的方法。
总结：逆运算是数学中非常实用的技巧，可以帮助我们解决各种问题。
通过运算的逆过程，我们能够从已知结果中推导出初始值或方程式。
不定积分与求导数或微分互为逆运算
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
9
4.2.2 基本积分表
例3 解
求
∫
2
(3 x − 1) 2 dx ．
∫ =∫
(3 x − 1) 2 dx = (3 x 2 − 23 x + 1)dx
3
∫
x dx − 2
∫
3
xdx + dx
∫
3 5 3 4 = x3 − x3 + x + C ． 5 2
10
4.2.2 基本积分表
∫
2
∫
∫
∫
∫
13
2
2
(sin x)′ = cos x；
2
6
4.2.2 基本积分表
10.
∫
∫
1 dx (arcsin x)′ = = arcsin x + C ； ； 2 2 1− x 1− x
1 1 ′= (arctan x) ； 11. 1 + x 2 dx = arctan x + C ； 1+ x2
7
4.2.2 基本积分表
(cos x)′ = −sin x；
5
4.2.2 基本积分表
7. cos xdx = sin x + C ；
2
∫ 8. ∫ sec xdx = tan x + C ； (tan x)′ = sec x； (cot 9. ∫ csc xdx = − cot x + C ； x)′ = −csc x；
4.2.1 不定积分的性质
性质1 性质1 运算． 运算．
不定积分与求导数或微分互为逆
∫ ∫ (2) ∫ F ′( x)dx = F ( x) + 1) [ f ( x)dx]′ = f ( x) 或 d[ f ( x)dx] = f ( x)dx ．
有限区间上积分-微分算子的逆结点问题
第15卷第1期应用泛函分析学报V01．15，N o．1 2013年3月A C T A A N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A M ar．，2013D O I：10．3724／S P．J．1160．2013．00047文章编号：1009-1327(2013)01—0047—06有限区间上积分-微分算子的逆结点问题王於平南京林业大学应用数学系，南京210037摘要：研究D i r i chl et边界条件下的积分一微分算子逆结点问题．证明了积分一微分算子稠定的结点子集能够唯一确定[0，7r]上的势函数q(x)和区域D o上的积分扰动核M(x—t)且给出了这个逆结点问题的解的重构算法．关键词：逆结点问题；积分一微分算子；势函数；积分扰动核文献标志码：A中图分类号：0175．31引言考虑下面积分一微分算子L：=L(q，M)满足，zL可=一YⅣ+q(x)y+／M(x—t)y(t)dt=A y，z∈(0，丌)I，0及D i r i chl et边界条件y(o，A)=0和可(丌，入)=0(1．2)其中q∈C1【o，丌】，M∈V哩(D o)且D o：={(z，t)：0≤t≤z≤7r，X，t∈R)．Y-ur ko【1】研究了积分一微分算子L的逆谱问题，其中q∈L2[o，7r]，M∈L2(D o)，如果势函数q(x)为[0，丌]上的已知函数，他证明了一组谱能够唯一确定积分扰动核M(x)且给出了重构算法．B ut er i n[2_3】分别建立了几个关于这类积分一微分算子的唯—性定理．K uryshova[4】讨论了边值问题(1．3)一(1．4)定义如下：r zl y=一Y”+q(x)y+／M(x，t)y(t)dt=A y，z∈(0，7r)(1．3)I，0满足边界条件yP(o，入)一hy(O，入)=o和yl(7r，A)+日可(7r，入)=0(1．4)其中口∈L2[o，7r]，M∈L2(D o)．如果积分扰动核M(x，t)是区域D o上已知函数，K ur ys hova[4】证明了两组谱可以唯一确定【0，丌]上势函数口(z)．K ur ys hova与Shi eh[5】研究了边值问题(1．3)一(1．4)的逆结点问题，已知区域D o上的积分扰动核M(x，t)，他们证明了边值问题(1．3)-(1．4)的稠定的结点集能够唯一确定[0，丌]上的势函数q(x)及边界条件中的系数h和日．逆结点问题就是根据已知特征函数的结点集(特征函数的零点)重构这个微分算子，M cLaughl i n【6】首先证明了St ur m—Li ouvi l l e算子的特征函数的结点集能够唯一确定势函数且介绍了几种重构势函数的方法，不少研究者讨论了不同类型的微分算子的逆结点问题(见文献f5-18])，逆结点问题在物理学、数学、力学等学科中有着重要应用(见文献【6—7】)．收稿日期：2012．04-24资助项目：国家自然科学基金(11171152)作者简介：王於平(1963一)男，汉族，安徽舒城人，硕士，副教授，研究向：微分算子谱理论及逆谱理论，E—m ai l：yp-w a ng@0nj f u．com．a n ．48应用泛函分析学报第15卷本文研究D i r i chl et边界条件下的积分一微分算子的逆结点问题．证明了边值问题(1．1)一(1．2)的稠定的结点子集不仅能够唯一确定[o，丌]上的势函数g(z)而且能够唯一确定区域D o上的积分扰动核M(x)且给出了这个逆结点问题的解的重构算法．本文安排如下：在第二节，介绍本文的主要结果，在第三节，证明这些结果成立．2主要结果设s(x，h)边值问题(1．1)一(1．2)的相应于特征值A。
逆运算的例子
逆运算的例子
1. 哎呀，比如说解方程的时候，知道结果去求原来的未知数，这不是逆运算吗？就像你已经知道最后到达了山顶，要回过头去想走的是哪条路一样。
2. 你想想看，做数学题从答案反推解题步骤，不就是典型的逆运算嘛！好比你知道目的地后，去回想是怎么一步步走到那儿的。
3. 生活中也有逆运算呀！比如说你看到一个漂亮的蛋糕，然后去想它是怎么做出来的，这多像逆运算啊！这不就和你看到成品去追溯过程一样嘛。
4. 计算工资的时候，知道总收入，去算每小时的工资，这难道不是逆运算？这就好像从终点往回找起点的路线呀！
5. 减肥不也是一种逆运算嘛！看到体重秤上的数字，去想之前吃了啥做了啥导致的。
这不跟从结果去推原因一样吗？
6. 下棋的时候，从最后的局面去推测之前走的每一步，这也是逆运算呀！这不正像是从终点去摸索来的路一样。
7. 画画的时候，看着成品去想是怎么一笔一笔画出来的，这也是逆运算哦！这和从画好了的去想过程有啥区别？
8. 听音乐的时候，从美妙的旋律去想是怎么编曲的，这当然属于逆运算啦！就像是从美妙的成果去钻研怎么来的一样。
9. 破案不也用到逆运算嘛！从犯罪现场的种种迹象去推断之前发生了什么。
和从结果去找原因不是一回事嘛！所以说呀，逆运算在好多地方都能派上用场呢，生活到处都有它的影子哦！。
微分的逆运算问题
三、不定积分的线性运算法则
定理 若函数f ( x )和g( x )在区间I 上的原函数 都存在，则f ( x ) g( x )在区间I 上的原函数 也存在，且
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx.
代数和的不定积分 不定积分的代数和
kf ( x )dx k f ( x )dx.
即
k k f ( x )dx f ( x )dx
被积函数中的非0常数可以提到积分符号外边.
有了基本公式和性质, 我们可以解决一些不定积 分的计算,这样求不定积分的方法称为直接积分法.
例2 求 (2cos x e x x 3)dx.
第五章
微分的逆运算问题
—不定积分
第一节 逆向思维又一例
—原函数与不定积分
主要内容： 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分公式
三、不定积分的线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
回 顾 导 数 概 念 的 两 个 现 实 原 型
1、切线的斜率
曲线y f ( x )在( x0 , y0 )切线的斜率为
1 (ln x ) . x
1 x 0时， ln x ) ; ( x 1 1 x 0时，ln ( x ) ] ; [ x x x
1 1 3、 ( cos 2 x ) [ sin 2 x ] 2 sin 2 x， 2 2 1 1 ( cos 2 x 1) [ sin 2 x ] 2 sin 2 x， 2 2 1 1 cos 2 x和 cos 2 x 1都是 sin 2 x原函数. 2 2
不定积分的性质
1 [ f ( x )dx] f ( x ).
逆函数微分
逆函数微分逆函数微分是微积分中一个非常重要的概念，也是许多学习者容易混淆的概念之一。
在此，我们将逆函数微分的定义、公式以及一些重要概念进行详细的讲解。
一、定义逆函数，指的是一个函数的反函数。
如果函数 f 的定义域为 A，值域为 B，那么该函数的反函数 g，就是将 B 中的每个元素 x，通过f 映射到 A，然后将其映射到 g(x) 中的元素。
可以表示为 g(x) = f ^ -1(x)。
而逆函数微分，则是指求反函数在一个点处的导数。
粗略地说，一个函数在某一点的导数表示它在该点处的变化率。
而逆函数微分，则是反函数在某一点处的变化率。
二、公式若函数 y = f(x) 在区间 I 上单调可导，且在 I 上存在反函数x = f ^ -1(y)。
那么其反函数的微分可以表示为：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中， dx/dy 是反函数的导数。
在实际操作时，一般可以通过求出原函数 f 的导数，以及计算反函数在该点处的值，然后代入公式进行计算。
三、重要概念1. 单调性在逆函数微分中，单调性是一个非常重要的概念。
若一个函数 f 在定义域 I 上单调递增（或递减），则其反函数 f ^ -1 在值域 f(I) 上单调递增（或递减）。
这是因为反函数本身的定义，即将原函数的值域映射到了定义域，从而使得值域上的单调性转化为了定义域上的单调性。
2. 反函数的导数正如公式所示，反函数的微分需要用到反函数的导数。
在求解逆函数微分时，如何准确地计算反函数的导数是一个需要关注的问题。
一般而言，可以通过代入求导公式，求得反函数的通用导数公式：d/dx f ^-1（y）= 1 / [d/dy f（x）]其中，f 表示原函数，f^ -1 表示反函数。
3. 反函数的性质与逆函数微分密切相关的一个概念是反函数的性质。
反函数的主要性质有：（1）反函数与原函数的图像关于 y = x 对称；（2）若原函数 f 在单调递增（或递减）区间内为连续可导函数，则反函数 f ^ -1 在对应值域上也为连续可导函数；（3）若原函数 f 在单调递增（或递减）区间内为凸函数，则反函数 f ^ -1 在对应值域上也为凸函数。
5.1.2 互逆性与基本积分公式
f
(x)
或
d f (x) dx f (x) dx
F (x)dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
微分、积分的互逆性 (2) 基本积分公式来自于基本导数公式， 对照理解或记忆
例2
x10
x dx
21
x 2 dx
1
211
x2 C
21 1
2
23
x2
23
C.
2
x dx x1 C
1
基本的积分方法有:
分项积分法、换元法、分部积分法，以及这些方法的综合运用.
接下来的几讲依次介绍这些方法.
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
小结
(1)
d dx
f
(x) dx
arc cot x C1；
(arctanx)源自11 x2
（7）
dx 1 x2
arcsin x C arccos x C1;
(arcsin x) 1 1 x2
（8） sec x tan xdx sec x C ;
csc x cot x dx csc x C .
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
（2） x dx x1 C ， ( 1, x 0) ； 1 dx ln x C ， (x 0) ；
1
x
（3） a xdx a x C (a 0, a 1) ， ln a
(xb ) bxb1
e xdx e x C ；
(a x ) a x ln a
（4） cos x dx sin x C ； sin x dx cos x C ；
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
（5） sec2 x dx tan x C ；
6逆运算问题的内容特点和解答方法
6、逆运算问题的内容特点和解答方法逆运算问题就其解答方法而言也叫还原问题。
这类问题的结构特点是，已知一个数量经过几次变化（增加或减少，扩大或缩小）之后的最后结果，而要求变化前的这个数量是多少。
解答这类问题的一般方法应该是，根据题目最后的变化结果，倒推上去作相反的逆运算：原来是增加的，逆运算时用减法减少；原来是减少的，逆运算时用加法增加；原来用乘法扩大的，逆运算时用除法缩小；原来用除法缩小的，逆运算时用乘法扩大。
这就是逆运算问题最基本的解答方法和规律。
逆运算问题解法举例[例1] 一个数加上4，减去6，除以7，再乘以5得10，求这个数。
[分析与解答]:题意是：（一个数+4—6）75=10要求这个数是多少，应该从最后的结果倒推上去：1、原来乘以5得10，未乘之前应该是：105=2；2、原来除以7得2，未除之前应该是：27=14；3、原来减去6得14，未减之前应该是：14+6=20：4、原来加上4得20，未加之前应该是：20—4=16。
[综合算式]：1057+6—4=16答：这个数是16。
[例2] 第一堆化肥有若干吨，第二堆化肥比第一堆化肥的三分之一多2吨，第三堆化肥是第二堆化肥的三倍，第三堆化肥每天运走2吨，运了5天还剩5顿。
第一堆化肥有多少吨？[分析]:第三堆化肥最后所剩5吨，虽然不是第一堆化肥经过几次变化的结果；但是，我们只要从本质上去分析，就会认识到第三堆化肥最后剩下的数量就是第一堆化肥经过几次变化的结果。
第一堆化肥先缩小三倍，再增加2吨，就是第二堆化肥；第二堆化肥扩大三倍，就是第三堆化肥；第三堆化肥连续减少5个2吨之后的结果就是还剩的5顿化肥。
因此，此题可采用逆运算问题的解答方法进行解答。
[列式计算]：1、每天运走2顿，5天运走多少吨？25=10（吨）2、运走10吨之后还剩5顿，未运走之前是多少吨？5+10=15（吨）3、扩大三倍之后是15吨，未扩大之前是多少吨？153=5（吨）4、增加2吨之后是5吨，未增加之前是多少吨？5—2=3（吨）÷⨯÷⨯÷⨯⨯÷5、缩小三倍之后是3吨，未缩小之前是多少吨？33=9（吨）综合算式：[（5+ 25）3—2] 3 = 9（吨）答：第一堆化肥有9吨。
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定义 设函数F ( x)与f ( x)在区间I上有定义. 若在I上
F ( x) f ( x), 则称函数F ( x)为f ( x)在区间I上的一个原函数.
思考
函数f (x)为F(x)的导__函___数_?.
例如 1、 ( x3) 3x2 , 分段函数
由曲线通过点( 0 , 0 ) C 0, 因此所求曲线方程为 y sin x.
二、基本公式
求微分与求不定积分是互逆的运算,
由导数公式,可得:
熟 记
1) 0dx C;
基 本
2) dx x C;
公 式
3) xdx x 1 C ( 1, x 0);
0 1 x 1,
定义
故函数y 1 x2在[1,1]上存在原函数. 域
一个函数的原函数是不是只有一个呢？
以下的例子中 C为任意常数
1、(sin x) cos x , (sin x C ) cos x .
2、(ln x ) 1 ,
x
(ln
x C )
1
4)
1 x
dx
ln
x
C
(x
0);
5) exdx ex C;
6) a xdx a x C;
(ln x ) 1 .
x x
x
3、 ( 1 cos 2x) 1 [ sin 2x] 2 sin 2x，
2
2
( 1 cos 2x 1) 1 [ sin 2x] 2 sin 2x，
2
2
1 cos 2x和 1 cos 2x 1都是sin 2x原函数.
即如何表示F( x) C ？
不定积分
定义 f ( x)在区间I上的全体原函数称为
f ( x)在I上的不定积分，记作 f ( x)dx.
即 f ( x) dx F( x) C
积 被 被积
积
分 积 积分
分
号 表 函变
常
达 数量
数
式
不定积分 f ( x)dx是一个函数族F( x) C.
1 x
.
3、( 1 cos 2x) sin 2x , 2
( 1 cos 2x－31) sin 2x , 2
( 1 cos 2x C 得到以下结论
定理 设F ( x)是f ( x)在区间I上的一个原函数，则 (1) F ( x) C也是f ( x)的原函数，其中C为任意常数； (2) f ( x)的任意两个原函数之间相差一个常数. 证 设G(x)也是 f (x) 一个原函数，
第五章 微分的逆运算问题
—不定积分
第一节 逆向思维又一例
—原函数与不定积分
主要内容： 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分公式
三、不定积分的线性运算法则
一、原函数与不定积分的概念
回 顾
1、切线的斜率
导
数 概
曲线y f ( x)在( x0 , y0 )切线的斜率为
念 的 两
k tan lim f ( x) f ( x0 )
x3是3x2在区间(, )上的一个原函数.
2、 (ln x ) 1 , ln x 是 1 的一个原函数.
x
x
事实上，
ln
x
ln x, x 0 ln( x), x 0
x 0时，(ln x) 1 ;
x
x 0时，[ln (xx) ] 1 1 ;
不定积分的性质
1 [ f ( x)dx] f ( x).
不定积分的导数等于被积函数.
2 F( x)dx F(x) C,或 dF(x) F(x) C.
函数的导数(或微分)的不定积分等于该 函数与任意常数之和.
微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
不定积分的几何意义
函数f ( x)的不定积分
F ( x) G( x) F ( x) G( x) 导数为零
的函数为
[fu((xx)) fv( x)] 0,u( x) v( x) 常数函数
F( x) G( x) C.（ C 为任意常数）
同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个.
同一函数的原函数有无穷多个, 那么如何表示这种求原函数的运算？
f ( x)dx在几何上表示 y
f ( x)的积分曲线族，它 可由f ( x)的某一条积分 曲线y F ( x)沿y轴方向 上下平移而得到.
每条积分曲线在x0 点的切线相互平行.
y F(x)
o
积分曲线
x0
x
f ( x)的一个原函数
不定积分 = 一个原函数+任意常数
例 求 x5dx.
解
由此我们想到求符合已知条件的原函数.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 f ( x) cos x,
根据题意知 f ( x) cos x, 即cos x是f ( x)的一个原函数.
cos xdx sin x C,
f (0x) sin 0x C, 0
2
2
什么样的函数存在着原函数呢？ 一个函数的原函数是不是只有一个呢？
定理 如果函数 f (x)在区间I上连续，则 f (x) 在区间I上存在原函数 F(x) .
此定理也叫原函数存在定理 .
这就是说,连续函数一定有原函数.
初等函数在其有定义的区间上存在原函数. 例如 y 1 x22是一个初等函数,而且
2、变速直线运x动x0 的瞬x时速x0度
f ( x0 ).
个 现
已知物体在[0,T ]的运动轨迹为s f (t),
实 原 型
瞬时速度 v
t t0
lim t t0
S S0 t t0
S(t0 ).
已知曲线求切线、已知位移求速度引入了 导数.
如果我们已知曲线的切线如何求曲线、已知 运动速度如何求路程？
( x6 ) x5 , 6
x5dx x6 C . 6
例
求
1 dx. x
解 (ln x ) 1 ,
x
1 x
dx
ln
x
C.
已知切线如何求函数的曲线？
例1 设曲线通过点(0,0)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的余弦值，求此曲线 方程.
分析与提示：f ( x) f ( x)