异面直线所成的角
异面直线所成的角求法课件
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成的角求法总结加分析
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角ABC DA 1B 1C 1D 1EF连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。
两条异面直线所成的角
向量法求空间角求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。
运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。
向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。
下面对用向量求空间角分类例说。
一、两条异面直线所成的角 1、 求角的方法：设两条异面直线为L 1、L 2所成的角为θ。
向量a ρ，b ρ分别21l l 、的方向向量。
因为两条异面直线所成的角θ∈（0，2π]，所以cos θ>0。
又因为向量a ρ，b ρ的夹角，<a ρ，b ρ>∈[]π，0， cos<a ρ，b ρ>的值的符号不定，所以cos θ=><b a ρρ,cos =ba ba ρρρρ⋅2、例题例1、（09福建 17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：如图以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
10cos ,10||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯u u u v u u u u vu u u v u u u u v g u u u uv u u u u v Q ， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。
二、直线和平面所成的角 1、求角的方法：直线与平面所成的角为θ，a ρ是直线l 的方向向量，b ρ是平面α的一个法向量，则sin θ=><b a ρρ，cos =ba ba ρρρρ⋅说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向 2、例题例2、(09辽宁18) （本小题满分12分）BANM如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为AB , DF 的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF 求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN 与平面DCEF 所成角为θ。
两条异面直线所成的角
异面直线的关系
平行关系
如果两条异面直线分别平行于第三条直线，则这两条异面直 线平行。
垂直关系
如果两条异面直线分别垂直于第三条直线，则这两条异面直 线垂直。
异面直线的性质
唯一性
对于任意两条异面直线，都存在一个 唯一的平面，使得该平面同时与这两 条直线平行。
互补角
两条异面直线所成的角是互补角，即 它们的角度之和为180度。
性质：坐标法适用于已知异面直线在空间中的位置关系 的情况。
1. 建立空间直角坐标系，并确定两条异面直线的方程 。
3. 利用向量的数量积公式计算夹角的余弦值。
04
两条异面直线所成角的应用
在几何图形中的应用
确定几何图形的形状和大小
通过两条异面直线所成的角，可以确定几何图形的形状和大小，例如在四面体、六面体等复杂几何图形中。
在此添加您的文本16字
2. 通过公共点作一条直线与两条异面直线分别平行，从 而形成一个平面。
在此添加您的文本16字
3. 在该平面上，找到两条平行线所成的角，即为两条异 面直线所成的角。
向量法
定义：利用向量的数量积来计算两条 异面直线所成的角。
性质：当两向量的夹角为锐角或直角 时，数量积为正；当夹角为钝角时，
数量积为负。
计算步骤
1. 找到两条异面直线的方向向量。
2. 计算两个方向向量的数量积。
3. 根据数量积的正负判断两直线的夹 角是锐角还是钝角，并求出夹角的余 弦值。
坐标法
定义：通过建立空间直角坐标系，将异面直线的方程分 别表示为向量形式，然后利用向量的数量积来计算夹角 。 计算步骤
2. 将异面直线的方程转化为向量形式。
02
两条异面直线所成的角
异面直线所成的角
所以—A1→G ＝(－1,0，－2)，E→F＝(－2,0,1)，
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，
则
cos
—→ → θ＝|—A1→G ·E→F|
| A1G ||EF|
＝|－1×5－×25－2×1|＝0.
练习:如图，已知圆锥 CO 的截面△ABC 是正三角形，AB 是底面圆 O 的直 径，点 D 在A︵B上，且∠AOD＝2∠BOD，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余 弦值为
E
方法二向量法
解:因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π， 所以∠BOD＝π3， 连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，
OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆 O 的半径为 2，则 A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0，2 3)，D( 3，1,0)， A→D＝( 3，3,0)，B→C＝(0，－2,2 3)，
异面直线所成的角
本节微课件主要目标:突出向量法解决异面直线所成问题
异面直线所成的角
若则c异os面θ＝直|线cols1〈，ul2，所v成〉的|＝角|u为·vθ，| 其方向向量分别是u，v， |u||v|
异面直线所成的角
例 如图，已知棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F，G 分别为 AB，
CD1，AD 的中点，求异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为
方法一,转化为相
交直线所成角,如
图所示,过程请同
M
学们自己整理
方法二向量法
如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系，
则A1(2,0,2)，G(1,0,0)，
E(2,1,0)，F(0,1,1)，
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成的角
异面直线所成的角专题—异面直线所成的角求法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本次课对此类题的解题方法做了一些归纳和总结，仅供参考．例1：在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E , F 分别为AD , AA 1的中点 (1)求直线AB 1和CC 1所成角的大小 (2)求直线AB 1和EF 所成角的大小E ,F 分别为AB 和的中点，例2：在正方体ABCD -A 求异面直线B 1C 与EF 所1BC 11D 1中，成的大小一、异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（即既不相交也不平行的直线）; 从而空间中直线与直线的位置关系分三种：平行、相交、异面二、异面直线所成角的概念（画法）：如图，已知两条异面直线a , b ，经过空间任意一点O 作直线a ' //a , b ' //b ，我们把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）例3：如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角Bθ角的取值范围：(00,900] 三、异面直线所成的角求解步骤：1. 恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角θ；2. 证明这个角θ就是异面直线所成角；3. 解三角形，求出所构造角θ的三角函数值，得出度数；异面直线所成的角求法简记为：一作、二证、三求；例4：如图，AB 和CD 是两条异面直线，AB =CD =3，AE BF 1=E , F 分别为线段AD , BC 上的点，且=, ED FC 2EF =7，求AB 和CD 所成的角。
异面直线测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =?, 且a 与b 不平行；② a ?面α，b ?面β，且平面α∩β=?；③ a ?面α，b ?面β，且a ∩b =?；④ 不存在平面α，能使a ?α且b ?α成立。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。
求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线1 到某个点上。
作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。
过F作CD的平行线RS， B1 S 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。
Q 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。
E 在△GHS中，设正方体边长为a。
GH=6a（作直线GQ//BC交BB1于点Q， 4B P连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=6a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形）， 226a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。
41GS=∴Cos∠GHS=1。
61。
6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。
第 1 页共 4 页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA，向量B1的坐标为（2，1，-1）， 1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足cosθ11=(-1)⨯2+2⨯1+1⨯(-1)(-1)2+(2)2+(1)2⋅(2)2+(1)2+(-1)21 6=-1。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
异面直线所成角
AB AC CB
AB AC CB
2
2
2
A c B b C
AC CB 2 AC CB
2
AC CB 2 AC CB cos C
2 2
2
2
a
AC CB 2 AC CB cos( C ) AC CB 2 AC CB cos C
D1 F A1 E B1 C1
2 3
D A
5
G
3
C
2 O
1
B
2
变式1、 如图，在长方体中，AA1=AD=a， AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值。
B1 AD1为所求角
AD1 AB1 B1 D1 cos B1 AD1 2 AD1 AB1 D1
2 2 2
C1
B1 a
1 2 2a 2a 4
例1.正方体中，（1）哪些棱所在的直线 与直线 BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的 角的大小 D1
解：（1）与直线BA1成 A1 异面直线有AD、CD、 B1C1、C1D1、C1C、D1D （2）∵B1B∥C1C 易求得所成的角为 45
C1
B1
D B
C
A
∴∠A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角
a b
实验： 一张纸上画有 两条能相交的直线a、 b(交点在纸外). 现给你一副三角板 和量角器，限定不 许拼接纸片，不许 延长纸上的线段， 问如何能量出a、b 所成角的大小？
还等什么？ 动手实验 吧。
oa o b o
o
b
o
o a
一、异面直线所成的角定义：
异面直线所成的角求法课件
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
向量法是求解空间几何角的一种常用方法。通过向量的点积和叉积运算，可以求解出两个向量之间的 夹角，从而得到空间几何角的大小。
三角函数法
三角函数法也是求解空间几何角的一种常用方法。通过构造直角三角形或者利用三角函数的性质，可 以求解出空间几何角的大小。这种方法通常适用于一些比较简单的空间几何图形。
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入Βιβλιοθήκη 面直线的定义定义不在同一个平面上的两条直线称 为异面直线。
判定定理
平面内一点和平面外一点的连线 ，与平面内不经过该点的直线是 异面直线。
03
几何法求解异面直线所成角
平行线间距离与夹角关系
平行线间距离
两平行线间的距离是一个定值，等于其中一条直线上任取一点到另一条直线的垂 线段长度。
夹角关系
两异面直线分别与第三条直线相交，所得到的两个夹角相等或互补。因此，可以 通过求解其中一个夹角来得到异面直线所成的角。
利用平行线间距离求解异面直线所成角步骤
根据夹角判断异面直线所成的 角是锐角还是钝角。
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
解析
异面直线所成的角
D
1 1 3 3 1 3 AB a. EG AF a. FG DF 2 2 2 4 2 4 3 1 7 2 2 2 2 CG FG FC ( AB) ( AB) a. 4 2 4 2 在EGC中用余弦定理得 cos GEC . 3 2
C
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
★求角的步骤：
1. 做（利用定义画平行线，移到同一 平面） 2. 证（简单论证） 3. 求（解平面图形，通常将角置于一 个三角形中，利用平面几何知识解决）
例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分 别为AD、AA1的中点， （1）求异面直线A1B与B1D1所成的角； （2）求异面直线AB1与EF所成的角；
B1
D1 F1 C1
A1
B
G
A C
练习：在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成 的角为400 , E , F 分别是BC , A Ｄ的中点，则EF与AB 所成的角为（ ） Ｃ A.700 B.200 C.700或200 D.以上都不对
A Ｇ B Ｅ C Ｆ D
练习：在空间四边形ABCD中,AB＝６，CD=4,
D1 A1
C1
B1
所以B A1和 CC1所成的角为450
C
D A
B
例：在正方体AC1中，求异面直线 A1B和B1C所成的角
D1 C1
A1
B1
A1B和B1C所成 的角为60°
C
D
A
B
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中， (1)哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ (2)求直线BA1和CC1的夹角的度数。 (3)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ 略解： （ 1 ）与直线 BA 1 是异面直线 的有： B1C1、AD、CC1、DD 1、 DC、D1C1。 （2）45° （3）直线AB、BC、CD、DA、 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1都与直 线AA1垂直。
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法
答：求异面直线所成夹角的方法有许多，现介绍三种常用的方法。
1、利用角的三角形解法：由定义可知，先将两条直线分别定义为“a” 与“b”，令其与第三条直线“c”相交，所成的角度取为α 。
所以，解题方法为：通过构造三角形，将直线“a” 与“b” 也作入三角形中，利用角的三角形解法解得α所需夹角（又称夹角α ）。
2、利用直线的数学方程解法：在平面几何中，任意两条直线可以有唯一的数
学方程表示，令其方程分别为 y=ax+b 与 y=cx+d，则求夹角α 需用到斜率公式，即tanα = (c-a)/(1+ad-bc) 。
3、利用夹角角度解法：运用角度解法，对两条直线做夹角测角，得到两条直
线夹角的度数α 。
总之，我们能够根据自身需求，使用以上几种方法都可以轻松求出异面直线所
成夹角。
基本思路就是通过三角形的角度计算，直线的方程数学计算等方法来确定异面直线的夹角。
异面直线所成角的范围你注意了吗？
第1页（共1页）异面直线所成角的范围你注意了吗？陈庆新异面直线所成的角是指过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条平行直线所成的锐角或直角就是这两条异面直线所成的角。
根据这个定义可知异面直线所成角的取值范围为02，π⎛⎝ ⎤⎦⎥。
然而许多同学在求解异面直线所成的角或在使用异面直线所成的角解决有关问题时，往往忽视其取值范围，从而导致解题错误，下面举例说明。
例：如图所示，已知在空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别为BC 、AD 上的点，并且BE ：EC=AF ：FD=1：2，EF=7，求AB 与CD 所成的角的大小。
错解：取BD 上一点H ，使得BH ：HD=1：2。
连结FH 、EH ，由题意知FH//AB ，EH//CD ，则∠EHF 为异面直线AB 与CD 所成的角。
又AF ：FD=BH ：HD=BE ：EC=1：2所以FH AB HE CD ====232131， 在△EFH 中，由余弦定理知：cos ∠·EHF EH FH EF EH FH =+-=+-⨯⨯=-22222212721212∵∠0<<EHF π∴∠°EHF =120，即异面直线AB 与CD 所成的角为120°。
错因剖析：上述解答忽视了异面直线所成角的取值范围：02，π⎛⎝ ⎤⎦⎥。
在解答过程中有同学认为“∠EHF 即为异面直线AB 与CD 所成的角”，这一论断是不正确的。
当∠EHF 为锐角或直角时，即为两条异面直线AB 与CD 所成的角；而当∠EHF 为钝角时，它为异面直线AB 与CD 所成角的补角。
正确答案为：异面直线AB 与CD 所成的角是60°。
练一练：空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别为4cm 和6cm ，它们所成的角为60°，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，求线段MN 的长。
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科目：数学
课
题
§2.1.2.2异面直线所成的角课型新课
教学目标（1）理解异面直线所成的定义
（2）掌握求异面直线所成的角要注意的问题（3）掌握求异面直线所成角的一般步骤
教学过程教学内容备
注
一、自主学习
1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？
2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题.
二、
质
疑
提
问
思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？
思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否
发生变化？
思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？
三、
问
题
探
究
思考1：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交
得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐
角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之
为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角”
下个定义吗？
对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
思考2:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？
思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？
思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，
记作a⊥b. 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗 ?
思考4：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？
例1：如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中.
（1）直线A′B和CC′的夹角是多少？
（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
四、课堂检测1、正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为
五、小结评价。