苏教版高一数学必修5等比数列测试题及答案
高一数学等比数列试题答案及解析
高一数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，为前n项的积，若，，则的值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】A【解析】设公比为q，显然，由，，所以===16.【考点】等比数列的通项公式.2.已知{an }是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( ).A．1或－B．1C．－D．－2[【答案】A.【解析】根据题意，有，因为，所以，解得1或－.【考点】等比数列的通项公式，等差中项的定义.3.已知数列的首项.（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：对任意的；（3）证明：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）将两边去倒数并常量分量，然后所得式子变形数列{}的第n+1项是第n项若干倍形式，根据等比数列定义即可判定{}是等比数列，利用等比数列通项公式，先求出{}的通项公式，再解出的通项公式；（2）将不等式右侧式子配凑的通项公式形式，再将其化为关于的二次函数最值问题，通过放缩即可证明该不等式；（3）先将的通项公式常量分量，代入，通过放缩即可证明不等式的左半部分，对利用（2）的结论缩小，出现首项为，公比为的等比数列的前n项和，数列取为该数列前n项和的算术平局值，即可证明该不等式右半部分.试题解析：（1），又所以是以为首项，以为公比的等比数列．5分（2）由（1）知9分（3）先证左边不等式，由知；当时等号成立； 11分再证右边不等式，由（2）知，对任意，有，取，则 14分考点:等比数列定义、通项公式、前n项和公式；二次函数最值；放缩法；转化与化归思想；运算求解能力4.已知等比数列中，，，，分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且.（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）根据题意可知，，为等比数列的前三项，因此，结合条件及余弦定理将消去，并且可以得到，即的值：，或，从而或；（2）条件中的不等式含绝对值号，因此可以考虑两边平方将其去掉：∵，∴，即，解得且，从而可得，即有，结合（1）及条件等比数列可知通项公式为或.试题解析：（1）∵等比数列，，，，∴， 1分又∵， 3分而，∴或， 5分又∵在△ABC中，，∴或； 6分（2）∵，∴，即，∴且， 8分又∵，∴，∴， 10分∴或. . 12分【考点】1.等比数列的通项公式；2.余弦定理及其变式；3.解不等式.5.在等比数列中，若，则与的等比中项为（）A．B．C．D．前3个选项都不对【答案】C.【解析】由等比数列可知，，∴与的等比中项为.【考点】等比数列的性质.6.已知等比数列满足，，数列的前项和，则＝．【答案】【解析】由知等比数列的公比从而．【考点】等比数列．7.在等比数列中，，则= ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知及等比数列的性质及得，解之得（舍去）或，又由，得，所以。
高中数学必修五数列测试题及答案
高中数学必修5数列测试题含答案一、选择题1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是 （ ）A 、等比数列B 、既是等差又是等比数列C 、等差数列D 、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（ ）A 、765B 、653C 、658D 、6603、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 （ ）A 、(a+b)/(a-b)B 、(b-a)/abC 、ab/(a+b)D 、(a+b)/ab4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= （ ）A 、1B 、-1C 、-3D 、35、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、86、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为（ ）A 、1或-1/2B 、-1 或1/2C 、-1/2D 、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项和为24，偶数项和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为 （ ）A 、12B 、10C 、8D 、以上都不对8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是（ ）A 、20B 、15C 、10D 、59、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ）A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于（ ）A 、3·(5/3)n-1B 、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q =12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+a n －1(n ≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n n a a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________. 15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。
苏教版高中数学必修五等比数列测试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .3.152+.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=152+. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于 。
6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。
7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。
高中数学必修5等比数列精选题目(附答案)
高中数学必修5等比数列精选题目（附答案）1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 一、等比数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 注：等比数列基本运算中的2种常用数学思想2．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 23．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．324．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.二、等比数列的判定与证明5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 注：1．掌握等比数列的4种常用判定方法通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可． 6．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．7．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．三、等比数列的性质(一) 等比数列项的性质8.(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 29.(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16(二) 等比数列前n 项和的性质11.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16注：应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．12．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－1913．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.巩固练习:1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.122．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 0195．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．5126．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1B ．a 1<0，q >1C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >17．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．参考答案：1.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.2.解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 3.解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.5.[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 6.证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列． 7.解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．8.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.9.解：由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. 11.[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.12.解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B. 13.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.练习：1.解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2.解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3.解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4.解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5.解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6.解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.8.解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.10.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .11.解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。
苏教版高中数学必修五§2.3等比数列练习.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2.3等比数列练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,33,9-2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ）A. 4B. 2C. 52D. 123.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）A. 5B. 10C. 15D. 204.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =，则m 为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 125. “2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ）A.1B. 2C. 3D. 4二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则22242628210log log log log log a a a a a ++++= .10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ④ {}lg n a【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.参考答案： 1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.4 8.152+ 9.5 10.①②③ 11.∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 12.依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.。
苏教版必修5《2.3.1等比数列的概念》同步作业含答案解析
[学业水平训练]一、填空题1．下列说法中正确的有________(填序号)．①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列；③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．解析：由等比数列的定义知④正确．答案：④2．4＋3与4－3的等比中项是________．解析：设它们的等比中项为A，则A2＝(4＋3)·(4－3)＝13，∴A＝±13.答案：±133．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________．答案：非零的常数数列4．(2014·南京调研)下列数列中，一定是等比数列的个数是________．①－1，－2，－4，－8；②1，－3，3，－33；③3，3，3，3；④b，b，b，b.解析：①②③为等比数列，④只有b≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．答案：35．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c__________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)解析：a＝log23，b＝log26，c＝log212，∵2log26＝log236＝log23＋log212，∴2b＝a＋c，∴a，b，c成等差数列．但(log26)2≠log23·log212，∴a，b，c不成等比数列．答案：成不成6．如果a，b，c成等比数列，那么函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是________．解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴b2－4ac＝－3ac<0，∴f(x)的图象与x轴没有交点．答案：07．若－1，a，b，c，－9成等比数列，则b＝________，ac＝________．解析：由等比中项得b2＝9，且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.又－1，a，b成等比数列，∴a2＝－1×b＝3，同理c2＝27，∴a2c2＝3×27＝81，又a，c符号相同，∴ac＝9.答案：－39二、解答题8．判断下列数列是否为等比数列．(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；(2)－1，1，2，4，8，…；(3)a，a2，a3，…，a n，….解：(1)记数列为{a n}，∵a1＝1，a2＝3，…，a n＝3n－1，∴a n a n －1＝3n －13n －2＝3(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列为公比q ＝3的等比数列．(2)记数列为{a n }，且a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，….∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a ，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列且公比为a .9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1 092，求这三个数．解：设这三个数为a q，a ，aq ，由已知可得 ⎩⎨⎧a q ＋a ＋aq ＝26，（a q）2＋a 2＋（aq ）2＝1 092， 所以⎩⎨⎧a （1q ＋1＋q ）＝26，a 2（1q 2＋1＋q 2）＝1 092. 由(q ＋1q )2＝q 2＋1q 2＋2，得(26a －1)2＝1 092a 2＋1， 解得a ＝－8，q ＝－4或－14. 所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.[高考水平训练]一、填空题1．(2014·宿州调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2 046＋a 1 978－a 22 012＝0，{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 010·b 2 014＝________．解析：∵a 2 046＋a 1 978＝a 22 012，∴2a 2 012－a 22 012＝0，∴a 2 012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2 012＝a 2 012，∴b 2 012＝2，∴b 2 010·b 2 014＝b 22 012＝4.答案：42．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100. 答案：100二、解答题3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由a －d ＋a ＋a ＋d ＝6得a ＝2，故这三个数为2－d ，2，2＋d .若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4，2，8；若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4；若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可知，这三个数为－4，2，8.4．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d >0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25）x ＋d ＋25＝3x 2－10， 解得x ＝90，d ＝10.故有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25)＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产微机305台．。
苏教版高中数学必修五§2.3等比数列的前n项和练习(1).doc
§2.3等比数列的前n 项和练习（1）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是( )A.179B.211C.243D.2752.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为( )A.3B.−4C.3或−4D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于( )A.3B.1C.0D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =( ) A.64 B.66 C.2603 D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A.12B.10C.8D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=( )A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n - 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482n n +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = . 10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,且前n 项和126n S =，求n 以及公比q.12.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.参考答案：1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+ 9.27 10.150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11. 由211128n n a a a a -==,又166n a a +=得, 1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.。
《等比数列》同步练习2(苏教版必修5)
生活中的等比数列1．存贷问题例1 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元（精确到0.01元）？解：设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2000（1+0.008）x -，第2期付款后欠款（2000×1.008x -）×1.008x -=2000×1.0082-1.008x x -，…， 第12期付款后欠款2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x ， 因第12期付款后欠款为0，所以2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x =0，故12122000 1.008175.461.00811.0081x ⨯=≈--（元），即每期应付款175.46元．点评：分期付款问题，实质上是等比或等差数列求和问题，解题的视角是建立等量关系式．记住下列常用公式：（1）复利公式：按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)x y a r =+；（2）单利公式：按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)y a xr =+．2．溶液配制问题例2 容器A 中盛有浓度为%a 的农药m 升，容器B 中盛有浓度为%b 的同种农药也是m 升，两种农药的浓度差为20%()a b >．现将A 中农药的倒入B 中，均匀混合后再由B 倒入A ，恰好使A 中保持m 升，并混合均匀．要使两种农药的浓度差小于1%，至少要操作多少次？（lg50.669≈，lg 60.778≈）解：设A 中溶质的质量为1a ，B 中溶质的质量为1b ，操作k 次后，A B ，中溶质的质量分别为k a 、k b ．则1%a ma =，1%b mb =， 又%%20%a b -=， ∴1120%a b m -=． 由题意，得111113111(4)4545k k k k k k a a b a a b -----⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，1111411(4)545k k k k k b b a b a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴113()5k k k k a b a b ---=-． 故{}k k a b -是首项为1120%a b m -=，公比为35的等比数列． ∴1320%5k k k a b m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴浓度差为12031005k k k a b m m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依题意，得120311005100k -⎛⎫<⎪⎝⎭． 由指数函数的性质，得1(1)lg 0.6lg 20k -<． ∴lg 52lg 520.69921 5.86lg 0.6lg 610.7781k ---->=≈≈--，即 6.86k >，∴7k =．故要使浓度差小于1%，至少要操作7次．点评：解此类问题关键在于找出相邻两次的浓度变化，即1n a +与n a 的关系．3．绿化问题例3 为了治理“沙尘暴”，西部地区经过多年的努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%．从1999年开始，每年出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，同时原有绿化面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿化面积超过50%？（lg2≈0.30）解：设该地区总面积为1，1998年底绿化面积为125a =，经过n 年后绿化面积为1n a +，1998年底沙漠面积为1b ，经过n 年后沙漠面积为1n b +，则111a b +=，1n n a b +=．依题意，有192%12%n n n a a b +=+， ∴14392%12%(1)525n n n n a a a a +=+-=+． ∴1343555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，45为公比的等比数列．∴1314555nn a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．令150%n a +>，即314150%5552n⎛⎫-⨯>= ⎪⎝⎭，∴4152n⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∴451lg 2log 3213lg 2n >=≈-． ∴至少要经过4年才能使绿化面积超过50%．点评：本题从题目中所讲的条件入手，在待解决的问题中寻求递推关系，构造等比数列模型，求出通项，再利用题设中的不等关系列出关系式，求得结果．4．投资问题例4 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业总收入才能超过总投入? 解：（1）第1年投入为800万元， 第2年投入为180015⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元，…，第n 年投入为1180015n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元．故第n 年内的总投入为11148008001800140001555n n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-++⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为140014⎛⎫⨯+⎪⎝⎭万元，…， 第n 年旅游业的收入为1140014n -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元．所以n 年内旅游业的总收入为11154004001400116001444n n n b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++⨯+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则0n n b a ->，即541600140001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴45527054n n⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设45nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入上式得25720x x -+>，解得25x <或1x >（舍去），即4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得4n >，即至少经过5年旅游业总收入才能超过总投入．点评：解这类题的关键是分清每种增长率，由此写出数量关系，使问题得以解决．记住产值模型公式：原产值的基数为N ，平均增长率为p ，经过时间x 后的产值(1)xy N p =+．一道数列题的多种解法题目 （2006年重庆卷·理）在数列{}n a 中，若11a =，123(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =____．解法一（公式法）：由123n n a a +=+，得2123n n a a ++=-，两式相减，得2112()n n n n a a a a +++-=-．∴{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．又123n n a a +=+，∴1232n n n a a ++-=，即123n n a +=-．解法二（累加法）：由上可知{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，于是有214a a -=，3242a a -=⨯， 24342a a -=⨯，……2142n n n a a ---=⨯．把上述1n -个等式相加，得2214(1222)n n a a --=⨯++++124(2)n n +=-≥，整理得123(2)n n a n +=-≥．又1n =时，1n a =也成立．∴123n n a +=-．解法三（待定系数法）：设12()n n a t a t ++=+，展开，与123n n a a +=+对应系数相等，解得3t =，∴132(3)n n a a ++=+，∴{}3n a +是公比为2的等比数列，其首项为134a +=，∴1113(3)22n n n a a -++=+⨯=，故123n n a +=-．解法四（构成对偶式）：由已知条件可得123n n a a +-=，① ∴211212n n n na a a a +++-=-．故数列{}12n n a a +-是公比为1的等比数列， ∴2122n n n a a a ++--，整理，得2112()n n n n a a a a +++-=-，从而数列{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．②②－①，得123n n a +=-．解法五（不完全归纳法）：21123a ==-，32123523a a =+==-， 432231323a a =+==-，543232923a a =+==-， 654236123a a =+==-，……，归纳猜想得123n n a +=-．赏析数列创新题1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层的升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（ ）．（A ）1楼 （B ）2楼 （C ）3楼 （D ）4楼 2．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自身分裂繁殖．已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并且分裂成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2048个“禽流感”病毒N 最多可分裂成细菌M 的数值是（ ）． （A ）1024 （B ）2048 （C ）2049 （D ）无法确定 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”．已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，…，500a 的“理想数”为（ ）．（A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）20084．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第____组（写出所有符合要求的组号）．①1S 与2S ；②2a 与3S S ；③1a 与m a ；④q 与m a ．5．某纺织厂的一个车间有n 台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n ．定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定1ij a =，否则0ij a =．若第7号织布机有且仅有一人操作，则1727377n a a a a ++++=____，若31323332n a a a a ++++=，说明__________．6．如图，一粒子在区域{}()00x y x y ，≥，≥内运动,在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ，试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间． 答案：1．C 2．C 3．A 4．①④5．1；第3名工人操作了2台织布机．6．解：（1）由图形可设1(10)A ，，2(20)A ，，…，(0)n A n ，，当粒子从原点到达n A 时，明显有13a =，211a a =+， 3111234a a a =+=+⨯， 431a a =+， 5332054a a a =+=+⨯，651a a =+，……2123(21)4n n a a n --=+-⨯，2211n n a a -=+，∴22134[35(21)]41n a n n -=+⨯+++-=-，222114n n a a n -=+=．∴22414n n n a n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩，为奇数，， 为偶数.∴2221212(21)441n n b a n n n --=--=-+，2222244n n b a n n n =+⨯=+；∴2244144.n n n n b n n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，， 为偶数∴222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-，2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，∴2n c n n =+；（2）由图形知，粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间是到达点44C 所经过的时间再加(4416)28-=秒，所以24444282008t =++=秒．。
苏教版高中数学必修五2.3等比数列同步练测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3 等比数列 同步练测第一课时建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共45分） 1.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为______．2.等比数列{}na 中，8,63232==+a a a a ，则q =¿____．3.已知等比数列{}na 各项为正数，且3是5a 和6a 的等比中项，则1210aa a L ＝______． 4.在等比数列{}na 中，1n n a a >＋，且711a a ＝6，414a a ＋＝5，则616a a =______．5.已知在等比数列{}na 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}na 的通项公式是=a 6.在正项等比数列{}na 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______.7.在等比数列{}na 中, 若,75,393==a a 则10a ¿__________.8.在等比数列{}na 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47aa ×-¿___________.9.在3和一个未知数中间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是_______．二、解答题（共55分） 10.(16分)设数列{}na 的前n项和a(¿¿n −1)S n =¿(n ∈N ¿).（1）求a 1,a 2；（2）求证：数列{}na 为等比数列.11.(8分)已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且12a a ＋＝21211a a æö+ç÷èø，34a a ＋＝323411aa æö+ç÷èø．求{}na 的通项公式.12.（12分）已知1a ＝2，点1(,)n n aa ＋在函数2()f x x ＝＋2x的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{l g (1)}n a ＋是等比数列；(2)求{}na 的通项公式．13．(9分)数列{}na 的前n项和记为S n ，已知a 1=1，a n +1＝S n (n =1，2，3，⋯)．求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列．14.（10分）容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L ，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L ，又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？2.3 等比数列同步练测第一课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. .二、解答题10.11.12.13.14.2.3 等比数列 同步练测 第一课时参考答案一、填空题 1.14 解析：2121223412221124(2)a a a a a a q a aq ++===++.2.2或21解析：由题意知23,aa 为方程2680x x -+=的两根，解得2332,42,4a a a a ====或，所以公比为2或21.3.103 解析：由题意得569a a ＝，∴ 110293847569a a a a a a a a a a =====，∴ 510121093a a a L ==.5.32 解析：由题意得7114144146,5,a a a a a a ==ìí+=î解得4143,2a a =ìí=î或4142,3.a a =ìí=î又∵ 1n n a a >＋，∴ 43a ＝，142a ＝.∴ 64161432a a a a ==.6.2n −1解析：由,7,13211=++=a a a a 得q 2+q −6=0,∴ q =2(负值舍去).∴ a n =2n −1.7.5 解析：所给式子可整理为22233553535()2()()25,5.a a a a a a a a ++=+=\+=8.3575± 解析：633910937525,5,7553a q q a aq a ====±=×=±.9.2- 解析：由等比数列的性质知471102a a a a ==-.10.3或27 解析：设此三数为3，a ，b，则223,(6)3.a b a b =+ìí-=î解得3,3a b =ìí=î或15,27.a b =ìí=î∴ 这个未知数为3或27.二、解答题11. (1) 解:由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ，∴ =1a 21-.又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)证明：当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n na a ∴ {}na 是首项为21-,公比为21-的等比数列.12.解：设等比数列{}na 的公比为q，则11n n a a q－＝.由已知得11a a q ＋＝21111a a q æö+ç÷èø，2311a q a q ＋＝32231111a q a q æö+ç÷èø．化简，得21251(1)2(1),(1)32(1),a q q q a qq q ì+=+ïí+=+ïî即212512,32.a q a q ì=ïí=ïî又∵ 10a >，0q >，∴ 11,2.a q =ìí=î∴ 2n n a －1=.13.(1)证明：由已知得212n n na a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋.∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋.∴1l g (1)2l g (1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1l g (1)l g 3a ＋＝.∴ {l g (1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，121l g (1)2l g 3l g 3n n n a ×－－＋==，∴ 2113n n a -＋=，∴ 2131n n a -=－.14.证明：∵1+112,n n n n nn a S Sa S n +++=-=，∴ 1(2)()n nn n S n S S ++=-，整理得12(1)n n nS n S +=+，∴ 1＋1＋n S n ＝nS n2．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS n 是以2为公比的等比数列．15.解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1a ＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度是n a ，则操作(1)n ＋次后溶液的浓度是1n a＋＝11n a a æöç÷èø－．所以数列{}na 是以1a ＝1－1a 为首项，q ＝1－1a 为公比的等比数列．所以1111n n n a a q a æö-ç÷èø－＝＝，即第n 次操作后溶液的浓度是11na æö-ç÷èø. 当a ＝2时，由n a ＝11210n æö<ç÷èø，得n ≥4.因此，至少应倒出4次后才可以使酒精浓度低于10%.2.3 等比数列 同步练测第二课时建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.等比数列{}na 中，259,243aa ==，则{}na 的前4项和为________.2.等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则1718a a a a +++的值是________. 3.已知等比数列{}na 中, 21a =,则其前3项的和3S的取值范围是________. 4.首项为b ,公比为a 的等比数列{}na 的前n 项和为nS ,对任意的n ∈N ¿，点(nS ，1n S +)在直线_____上.5.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n项的和，某同学经计算得220S =，336S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为________.6.设n S为等比数列{}na 的前n项和，2580a a －＝，则42S S ＝________.7.已知在等比数列{}na 中，公比q 是整数，14a a ＋＝18，23a a ＋＝12，则此数列的前8项和为________.8.已知某等比数列的前n项和nS ＝4na ＋，则a的值等于________.9.已知{}na 是首项为1的等比数列，n S是{}na 的前n项和，且369S S ＝，则数列1n a ìüíýîþ的前5项和为_______.10.在等比数列{}na 中，若前n 项的和为21n nS ＝－，则22212n a a a L ＋＋＋＝________.二、解答题（共50分）11.（7分）在等比数列{}n a 中，3S ＝ ，6S ＝ ，求n a.12.（7分）已知{}na 为等差数列，且3660a a ＝－，＝. (1)求{}na 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足18b ＝－，2123b a a a ＝＋＋，求{}n b 的前n 项和公式．13.（8分）在数列{}na 中，1a ＝，前n项和nS 满足1n nS S ＋－＝113n +æöç÷èø*()n ÎN .(1)求数列{}na 的通项公式n a 以及前n 项和nS ；(2)若11223,(),3()StS S S S ＋＋成等差数列，求实数t 的值．14.（8分）已知等比数列{}na 的各项均为正数，且12231a a ＋＝，23269a a a ＝.(1)求数列{}na 的通项公式；(2)设31323log log log n n b a a a L ＝＋＋＋，求数列1n b ìüíýîþ的前n项和．15.（10分）已知等比数列{}na 的前n项和为nS ，且132,,SSS 成等差数列． (1)求{}na 的公比q ；(2)若133a a －＝，求n S.16.（10分）数列{}na 满足21123333n na a a a L －＋＋＋＋＝3n*()n ÎN .(1)求数列{}na 的通项公式n a；(2)设n nn b a ＝，求数列{}n b 的前n 项和n S .2.3 等比数列同步练测第二课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.15.16.2.3 等比数列 同步练测 第二课时参考答案一、填空题1.120 解析：∵ 29a =，5243a =，∴ 25aa ＝q 3＝9243＝27，∴ q ＝3.∵ 219a a q ==，∴ 13a =，∴ S 4＝3－13－35＝2240＝120．2.16 解析：因为S n ,S 2n −S n ,S 3n −S 2n 成等比数列，根据已知关系可推得S 20−S 16=16，即1718192016aa a a +++=. 3.(-∞,-1］∪［3,+∞) 解析：设1a x =,且0x ¹,则311S x x =++，由对勾函数1y x x =+的图像知，12x x +³或12x x +£-，所以3S∈(-∞,-1］∪［3,+∞).4. y =ax +b 解析：当a ≠1时，(1)1n n b a S a-=-,+11(1)1n n b a S a+-=-,所以点(n S，1n S +)为1(1)(1),11n n b a b a a a +æö--ç÷--èø，显然此点在直线y =ax +b 上.5.3S 解析： 假设后三个数均未算错，则18a =，23412,16,29a a a ===，可知2213a a a ¹，故2S、3S 中必有一个数算错了．若2S 算错了，则33412929,2a a q q ===，显然23368(1)S qq =¹++，矛盾．只有可能是3S 算错了，此时由212a =得32q =，3418,27a a ==，42182765S S =++=，满足题设．6.5 解析：∵ 2580a a －＝，∴ 4118a qa q ＝，∴ 38q ＝，∴ 2q ＝，∴ 424221151S q q S q -==+=-.7.510 解析：由已知得31121118,12,a a q a q a q ì+=ïí+=ïî解得q ＝2或q ＝.∵q为整数，∴q＝2.∴ 12a =.∴ 8S＝82(12)12--＝29－2＝510.8.-1 解析：设等比数列为{}na ，由已知得1122133241248a S a a S S a S S ＝＝＋，＝－＝，＝－＝. 又2213a a a ＝，即144＝(4＋a )×48，∴a＝－1.9. 解析：显然q ≠1，由题意知369(1)111q qq q --=--，∴ 319q ＋＝，∴q＝2，∴ 1n a ìüíýîþ是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和5T ＝5112112æö-ç÷èø-＝.10.(4n－1) 解析：∵ 112211312a S a S S ＝＝，＝－＝－＝，∴ q＝2.又∵ 数列2{}n a 也是等比数列，首项为21a ＝1，公比为2q ＝4，∴22212na a a L ＋＋＋＝141(41)143n n-=--．二、解答题11.解：由题意知632SS ¹，则1q ¹.又3S ＝，6S ＝，∴ 3161(1)13,19(1)364.19a q q a q q ì-=ï-ïí-ï=ï-î①②②÷①，得1＋3q＝28，∴q＝3，1a ＝.因此1313n n n a a q －－＝＝.12.解：(1)设等差数列{}na 的公差为d.∵ 3660a a ＝－，＝，∴ 1126,50,a d a d +=-ìí+=î解得110,2.a d =-ìí=î∴ 10(1)2212n a n n ´＝－＋－＝－. (2)设等比数列{}n b 的公比为q ，∵212324b a a a ＝＋＋＝－，b 1＝－8，∴ 824q －＝－，∴ 3q ＝， ∴ {}n b 的前n 项和1(1)8(13)4(13)113nn n n b q S q ---==--＝－．13.解：(1)由1113n n n S S +æöç÷èø＋－＝ ，得1n a ＋＝113n +æöç÷èø*()n ÎN .又1a＝，故na ＝13næöç÷èø*()n ÎN .从而1113311112313nn n S éùæö´-êúç÷éùèøêúæöëû=-êúç÷èøêúëû-＝*()n ÎN .(2)由(1)可得1S＝，2S ＝，3S ＝， 又由11223,(),3()S tS S S S ＋＋成等差数列可得＋3×413927æö+ç÷èø＝2×1439t æö+ç÷èø，解得t ＝2.14.解：(1)设数列{}na 的公比为q，由23269a a a ＝，得22349a a ＝，所以2q ＝.由条件可知q >，故q＝.由12231a a ＋＝，得11231a a q ＋＝，所以1a＝. 故数列{}na 的通项公式为n a＝13n.(2)31323(1)l o g l o g l o g (12)2n n n n b a a a n +L L ＝＋＋＋＝-＋＋＋＝-，故12112(1)1nb n n n n æö=-=--ç÷++èø，121111111122122311nn b b b n n n éùæöæöæö+++=--+-++-=-ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøëûL L .所以数列1n b ìüíýîþ的前n 项和为21nn-+. 15.解：(1)依题意，得2111111()2()a a a q a a qa q ＋＋＝＋＋，∵ 10a ¹，∴ 220q q ＋＝.又q ¹，∴q＝－.(2)由已知，得211132a a æö-=ç÷èø－，∴ 1a＝4， ∴ 141281113212nnn S éùæö--êúç÷éùèøêúæöëû=--êúç÷æöèøêúëû--ç÷èø＝.16.解：(1)∵ 211233333n nna a a a L －＋＋＋＋＝，①∴ 当n≥2时，221231333n n a a a a L －－＋＋＋＋＝13n -.②①－②，得13n na －＝，∴ 13n n a ＝（n ≥2）.又1a ＝满足上式，∴ 13n n a ＝*()n ÎN ．(2)∵ n n nb a ＝，∴ 3n nb n ×＝.∴ 23323333nn S n ´´×L ＝＋＋＋＋.③∴2313323(1)33n n n S n n ´×L＋＝＋＋＋－＋.④③－④，得231233333n n n S n ×L ＋－＝＋＋＋＋－13(13)313n nn -=-×-＋＝13(31)32n n n ×＋－－＝1133322n n n +×＋－－，∴11333442n nnnS++×++＝－，∴1(21)3344nnnS+-+＝*()nÎN.马鸣风萧萧。
苏教版高中数学必修五等比数列检测卷一.doc
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作等比数列检测卷一一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）A 、为任一常数数列B 、为非零的常数数列C 、存在且唯一D 、不存在 2、等比数列{}n a 的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项的和为 （ ） A 、179 B 、211 C 、248 D 、2753、如果一个数列的通项公式为nn a k q =⋅ (,k q 为不等于零的常数)，则有 （ ）A 、数列{}n a 是首项为k ，公比为q 的等比数列B 、数列{}n a 是首项为kq ，公比为q 的等比数列C 、数列{}n a 是首项为kq ，公比为1q -的等比数列 D 、数列{}n a 不一定是等比数列 4、若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为 （ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 5、若,,2,x a x b 成等比数列，则a b 的值为 A 、12B 、2C 、2D 、22（ ）6、已知{}n a 是等比数列，则在下列数列中为等比数列的是 （ ） ①1{}na ；②{}n c a -；③2{}na ；④2{}n a ；⑤1{}n n a a ++；⑥{lg }n a A 、①②③ B 、①③④ C 、③④⑤ D 、④⑤⑥7、在等比数列{}n a 中，59,a a 是方程271870x x -+=的两个实数根，则7a 为 （ ） A 、1 B 、1- C 、1± D 、187± 8、数列2311,,,,,,,n a a a a -的前n 项的和为 （ ）A 、11na a-- B 、111n a a +-- C 、211n a a +-- D 、以上均不正确9、已知实数,,a b c 满足23,26,212abc===，则实数,,a b c 是 （ ）A 、等差非等比数列B 、等比非等差数列C 、既是等比又是等差数列D 、既非等比又非等差数列10、已知是等比数列前20项的和为21，前30项的和为49，则前10项的和为 （ ） A 、7 B 、9 C 、63 D 、7或63二、填充题11、在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ． 12、在等比数列{}n a 中，已知124,,a a a 成等差数列，则公比q = ． 13、101(32)kk k =++∑= ．14、有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数 分别为 ．三、简答题15、在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数．16、已知{}n a 是等比数列，142,54a a ==；{}n b 是等差数列，21=b ，3214321a a a b b b b ++=+++．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 的公式；（2）求数列{}n b 的通项公式．17、（1）在等比数列{}n a 中，574,6a a ==，求n a 和n S ；（2）在等比数列{}n a 中，1a 最小，且12166,128,126n n n a a a a S -+===，求n 和q ．等比数列检测卷一参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B BBBABADAA11、152n n a -=⋅； 12、1或152-± ； 13、2131； 14、 1，4，16或16，4，1 15、81,27,9或81,27,9--16、（1）123,31n nn n a S -=⋅=- ； （2）31n b n =-.17、（1）当62q =时，1(5)2166[1()]3924(),2612n n n n a S --=⋅=-； 当62q =-时，1(5)12166[1()]3924(1)(),2612nn n n n a S ----=⋅-=+. (2)由112166128n n n a a a a a a -+=⎧⎨⋅=⋅=⎩得1264n a a =⎧⎨=⎩或1642na a =⎧⎨=⎩，又1a 最小，所以1264n a a =⎧⎨=⎩.因为11261n n a a qS q-==-，易知2q =.又11n n a a q -=，所以132n q -=，1232n -=，所以6,2n q ==.。
高中数学阶段质量检测数列苏教版必修5
2021年高中数学阶段质量检测数列苏教版必修5(时刻120分钟 满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上) 1．在等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 5＝－8则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ＝1，a 5＝a 1q 4＝8，两式相除得q 3＝8， ∴a 8＝a 5q 3＝8×8＝64.(或利用a 25＝a 2a 8解得) 答案：642．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 又数列{a n }单调递增，得q >1，∴q ＝2. 答案：23．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝________. 解析：∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52， ∴a 7＝2＋4×52＝12.答案：124．数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，则那个数列的通项公式为________．解析：a 1＝S 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.又S n ＋1＝32a n ＋1－3.∴S n ＋1－S n ＝32a n ＋1－32a n .∴a n ＋1＝32a n ＋1－32a n .∴a n ＋1＝3a n .{a n }是首项为6，公比为3的等比数列． ∴a n ＝6×3n －1＝2×3n.答案：2×3n5．等差数列18,15,12，…，前n 项和的最大值为________． 解析：由已知得a 1＝18，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝18－3(n －1)＝21－3n . ∴当n ＝7时，a 7＝0.∴S n 最大值为S 7＝18×7＋7×62×(－3)＝63.答案：636．已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4＋a 6＝2a 5＝10，因此a 5＝5，又S 5＝5a 3＝5，因此a 3＝1，故d ＝a 5－a 35－3＝5－12＝2.答案：27．已知等差数列{a n }满足：a 1＝－8，a 2＝－6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为________．解析：由题意可得a n ＝2n －10，则－8＋m ，－2＋m ，m 成等比数列，因此m (－8＋m )＝(－2＋m )2，解得m ＝－1.答案：－18．正项等比数列{a n }中，1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，则1a 3＋1a 5＝________.解析：∵在正项等比数列{a n }中，1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，∴1a 23＋2a 3·a 5＋1a 25＝81. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 52＝81.∴1a 3＋1a 5＝9.答案：99．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝3，a 3＋a 7＝113，∴a 3>0，a 7>0.∴a 25＝a 3·a 7＝3. ∴a 5＝ 3. 答案： 310．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，因此数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21111．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：累乘法求数列通项公式：a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×31×42×53×…×n ＋1n －1＝n n ＋12.答案：n n ＋1212．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得 a m a n ＝4a 1，则m ＋n 的值为________．解析：∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5， 又a 5≠0，∴q 2＝q ＋2， ∴q ＝2或q ＝－1， 又a n >0，∴q ＝2.又 a m a n ＝4a 1，∴a m a n ＝16a 21， ∴a 21q m －1·qn －1＝16a 21，∴qm ＋n －2＝16，即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n －2＝4，即m ＋n ＝6. 答案：613．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 006>S 1 008>S 1 007，则满足S n S n ＋1<0的正整数n ＝________.解析：因为S 1 006>S 1 008>S 1 007，因此a 1 007＋a 1 008<0，a 1 008>0， 因此S 2 014＝2 014a 1＋a 2 0142＝1 007(a 1 007＋a 1 008)<0，S 2 015＝2 015a 1＋a 2 0152＝2 015a 1 008>0，由于等差数列具有单调性，因此满足S n S n ＋1<0的正整数n ＝2 014. 答案：2 01414．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 3，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100 元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________元/m 2.解析：设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，因此其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2.答案：123(a 1＋a 2＋23.1a )二、解答题(本大题共6小题，共90分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，因此d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，因此2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 因此a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 因此q ＝2，b 1＝4.因此b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63. 因此b 6与数列{a n }的第63项相等．16．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比 数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意得，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 因此d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，因此d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .17．(本小题满分14分)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：S n ＋S n ＋1＋S n ＋2＝6n 2－2(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式． (2)若a 1＝a 2＝1，求S 50.解：(1)由题意可得，设数列{a n }公差为d ， 当n ＝1时，S 1＋S 2＋S 3＝6－2＝4，即a 1＋(a 1＋a 2)＋(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(2a 1＋d )＋(3a 1＋3d )＝6a 1＋4d ＝4， 整理可得3a 1＋2d ＝2.①当n ＝2时，S 2＋S 3＋S 4＝6×22－2＝22，即(2a 1＋d )＋(3a 1＋3d )＋(4a 1＋6d )＝9a 1＋10d ＝22.② 联立①②求得a 1＝－2，d ＝4，因此a n ＝4n －6. 因此等差数列{a n }的通项公式a n ＝4n －6(n ∈N *)．(2)因为S n ＋S n ＋1＋S n ＋2＝6n 2－2， 因此S n －1＋S n ＋S n ＋1＝6(n －1)2－2， 联立得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝12n －6(n ≥2)因此S 50＝a 1＋a 2＋…＋a 50＝a 1＋a 2＋[(a 3＋a 4＋a 5)＋…＋(a 48＋a 49＋a 50)] ＝2＋[(12×3－6)＋(12×6－6)＋…＋(12×48－6)]＝4 802. 18．(本小题满分16分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项 和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 因此数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19．(本小题满分16分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a 万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判定哪一超市有可能被收购？假如有这种情形，将会显现在第几年．解：(1)设甲、乙超市第n 年销售额分别为a n ，b n ，又设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a2(n 2－n ＋2)(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a (n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1；n －1a ， n ≥2.又因b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝a ＋23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232a ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ， 明显n ＝1也适合，故b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，(n ∈N *)．(2)当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝53a ，a 2>12b 2；当n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，a 3>12b 3；当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市可能被收购． 当n ≥4时，令12a n >b n ，则12(n －1)a >⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ， 即n －1>6－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即n >7－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又当n ≥7时，0<4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1，故当n ∈N *且n ≥7时，n >7－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1恒成立．答：第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．20．(本小题满分16分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q >1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2， 因为S 3＝2S 2＋1，因此a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q )＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)，则T n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2T n＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减，得－T n＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－T n＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化简得T n＝(2n－3)×2n＋3.。
第2章数列测试题含详细答案(苏教版必修5).doc
南京市高一数学5（必修）第二章：数列一、选择题1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）A ．11B ．12C ．13D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项 的和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．297 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．1924．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ， 那么2113-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 6．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513B ．512C ．510D ．8225 二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。
2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________. 4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________.6．计算3log 33...3n=___________.三、解答题1． 成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
2． 在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。
苏教版高中数学必修五等比数列同步练习(1)
生活中的等比数列1．存贷问题例1 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元（精确到0.01元）？解：设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2000（1+0.008）x -，第2期付款后欠款（2000×1.008x -）×1.008x -=2000×1.0082-1.008x x -，…， 第12期付款后欠款2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x ， 因第12期付款后欠款为0，所以2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x =0，故12122000 1.008175.461.00811.0081x ⨯=≈--（元），即每期应付款175.46元．点评：分期付款问题，实质上是等比或等差数列求和问题，解题的视角是建立等量关系式．记住下列常用公式：（1）复利公式：按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)x y a r =+；（2）单利公式：按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)y a xr =+．2．溶液配制问题例2 容器A 中盛有浓度为%a 的农药m 升，容器B 中盛有浓度为%b 的同种农药也是m 升，两种农药的浓度差为20%()a b >．现将A 中农药的倒入B 中，均匀混合后再由B 倒入A ，恰好使A 中保持m 升，并混合均匀．要使两种农药的浓度差小于1%，至少要操作多少次？（lg50.669≈，lg 60.778≈）解：设A 中溶质的质量为1a ，B 中溶质的质量为1b ，操作k 次后，A B ，中溶质的质量分别为k a 、k b ．则1%a ma =，1%b mb =， 又%%20%a b -=， ∴1120%a b m -=． 由题意，得111113111(4)4545k k k k k k a a b a a b -----⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，1111411(4)545k k k k k b b a b a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴113()5k k k k a b a b ---=-． 故{}k k a b -是首项为1120%a b m -=，公比为35的等比数列． ∴1320%5k k k a b m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭g ．∴浓度差为12031005k k k a b m m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭g ，依题意，得120311005100k -⎛⎫<⎪⎝⎭g ． 由指数函数的性质，得1(1)lg 0.6lg 20k -<． ∴lg 52lg 520.69921 5.86lg 0.6lg 610.7781k ---->=≈≈--，即 6.86k >，∴7k =．故要使浓度差小于1%，至少要操作7次．点评：解此类问题关键在于找出相邻两次的浓度变化，即1n a +与n a 的关系．3．绿化问题例3 为了治理“沙尘暴”，西部地区经过多年的努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%．从1999年开始，每年出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，同时原有绿化面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿化面积超过50%？（lg2≈0.30）解：设该地区总面积为1，1998年底绿化面积为125a =，经过n 年后绿化面积为1n a +，1998年底沙漠面积为1b ，经过n 年后沙漠面积为1n b +，则111a b +=，1n n a b +=．依题意，有192%12%n n n a a b +=+， ∴14392%12%(1)525n n n n a a a a +=+-=+． ∴1343555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，45为公比的等比数列．∴1314555nn a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．令150%n a +>，即314150%5552n⎛⎫-⨯>= ⎪⎝⎭，∴4152n⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∴451lg 2log 3213lg 2n >=≈-． ∴至少要经过4年才能使绿化面积超过50%．点评：本题从题目中所讲的条件入手，在待解决的问题中寻求递推关系，构造等比数列模型，求出通项，再利用题设中的不等关系列出关系式，求得结果．4．投资问题例4 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业总收入才能超过总投入? 解：（1）第1年投入为800万元， 第2年投入为180015⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元，…，第n 年投入为1180015n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元．故第n 年内的总投入为11148008001800140001555n n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-++⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ．第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为140014⎛⎫⨯+⎪⎝⎭万元，…， 第n 年旅游业的收入为1140014n -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元．所以n 年内旅游业的总收入为11154004001400116001444n n n b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++⨯+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ；（2）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则0n n b a ->，即541600140001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴45527054n n⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设45nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入上式得25720x x -+>，解得25x <或1x >（舍去），即4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得4n >，即至少经过5年旅游业总收入才能超过总投入．点评：解这类题的关键是分清每种增长率，由此写出数量关系，使问题得以解决．记住产值模型公式：原产值的基数为N ，平均增长率为p ，经过时间x 后的产值(1)xy N p =+．一道数列题的多种解法题目 （2006年重庆卷·理）在数列{}n a 中，若11a =，123(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =____．解法一（公式法）：由123n n a a +=+，得2123n n a a ++=-，两式相减，得2112()n n n n a a a a +++-=-．∴{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．又123n n a a +=+，∴1232n n n a a ++-=，即123n n a +=-．解法二（累加法）：由上可知{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，于是有214a a -=，3242a a -=⨯， 24342a a -=⨯，……2142n n n a a ---=⨯．把上述1n -个等式相加，得2214(1222)n n a a --=⨯++++L124(2)n n +=-≥，整理得123(2)n n a n +=-≥．又1n =时，1n a =也成立．∴123n n a +=-．解法三（待定系数法）：设12()n n a t a t ++=+，展开，与123n n a a +=+对应系数相等，解得3t =，∴132(3)n n a a ++=+，∴{}3n a +是公比为2的等比数列，其首项为134a +=，∴1113(3)22n n n a a -++=+⨯=，故123n n a +=-．解法四（构成对偶式）：由已知条件可得123n n a a +-=，① ∴211212n n n na a a a +++-=-．故数列{}12n n a a +-是公比为1的等比数列， ∴2122n n n a a a ++--，整理，得2112()n n n n a a a a +++-=-，从而数列{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．② ②－①，得123n n a +=-．解法五（不完全归纳法）：21123a ==-，32123523a a =+==-， 432231323a a =+==-， 543232923a a =+==-， 654236123a a =+==-，……，归纳猜想得123n n a +=-．赏析数列创新题1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层的升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（ ）．（A ）1楼 （B ）2楼 （C ）3楼 （D ）4楼2．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自身分裂繁殖．已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并且分裂成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2048个“禽流感”病毒N 最多可分裂成细菌M 的数值是（ ）． （A ）1024 （B ）2048 （C ）2049 （D ）无法确定 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”．已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，…，500a 的“理想数”为（ ）．（A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）20084．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第____组（写出所有符合要求的组号）．①1S 与2S ；②2a 与3S S ；③1a 与m a ；④q 与m a ．5．某纺织厂的一个车间有n 台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n ．定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定1ij a =，否则0ij a =．若第7号织布机有且仅有一人操作，则1727377n a a a a ++++=L____，若31323332n a a a a ++++=L ，说明__________．6．如图，一粒子在区域{}()00x y x y ，≥，≥内运动,在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ，试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间． 答案：1．C 2．C 3．A 4．①④5．1；第3名工人操作了2台织布机．6．解：（1）由图形可设1(10)A ，，2(20)A ，，…，(0)n A n ，，当粒子从原点到达n A 时，明显有13a =，211a a =+， 3111234a a a =+=+⨯， 431a a =+， 5332054a a a =+=+⨯，651a a =+，……2123(21)4n n a a n --=+-⨯，2211n n a a -=+，∴22134[35(21)]41n a n n -=+⨯+++-=-L ，222114n n a a n -=+=．∴22414n n n a n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩，为奇数，， 为偶数.∴2221212(21)441n n b a n n n --=--=-+，2222244n n b a n n n =+⨯=+；∴2244144.n n n n b n n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，， 为偶数∴222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-，2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，∴2n c n n =+；（2）由图形知，粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间是到达点44C 所经过的时间再加(4416)28-=秒，所以24444282008t =++=秒．。
《等比数列》测试1(苏教版必修5)
第9课时等比数列的概念和通项公式
【分层训练】
1.在数列中，对任意，都有，则等于（）
A B C D 1
2.是公比为2的等比数列，且,则等于（）
A 25
B 50
C 125
D 400
3.已知依次成等比数列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（）
A 0
B 1
C 2
D 1或2
4.若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
5.设，那么（）.
A 既是等差数列，又是等比数列
B 是等差数列，但不是等比数列
C 是等比数列，但不是等差数列
D 既不是等差数列，也不是等比数列
6.在等比数列中，对任意，都有，则公比____.
7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）.
8.已知数列是等比数列，，且成等差数列，求证：依次成等比数列.
【拓展延伸】
9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
10.在数列中，其前项和，,求证数列是等比数列.。
必修5等比数列(含答案)
等 比 数 列[考点梳理]1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________等于同一________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G 2＝________或G ＝________.3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝________或a n ＝________.当n －m 为大于1的奇数时，q 用a n ，a m 表示为q ＝________；当n －m 为正偶数时，q ＝________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝________；点(n ，a n )是曲线________上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧________，q ＝1，________＝ ________，q ≠1. 求和公式的推导方法是：________，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝________且q ≠0，q ≠1.5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1⇒{a n }是等比数列．6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比分别为________，________，________，________.(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…仍为等比数列，公比为________．(4)公比不为－1的等比数列前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成等比数列，且公比为________．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数． ①当a 1＞0，________或a 1＜0，________时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0，________或a 1＜0，________时，等比数列{a n }是递减数列； ③当________时，它是一个常数列； ④当________时，它是一个摆动数列． 自查自纠：1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ±ab3．(1)a 1q n －1a m q n －mn －m a n a m ±n －m a na m (2)a 1q y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x4．na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q 1－q 乘公比，错位相减 a 1q －16．(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q n (5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0[基础自测]对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解：由等比数列的性质，得a 9a 6＝a 6a 3＝q 3≠0，因此，a 3，a 6，a 9一定成等比数列．故选D.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18解：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，得a 4＝2，而a 1＝14，q 3＝a 4a 1＝8，得公比q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12.故选C.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解：∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是－2为首项，－12为公比的等比数列，∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q ＝－2（1－2－10）1＋12＝43(2－10－1)．故选C.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝_____．解：由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，也即3a 2＝a 3，得公比q ＝3，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.故填3n －1. 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.故S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.故填2；2n ＋1－2.[典例解析]类型一 等比数列的判定与证明设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2（n ≥2）， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，34为公差的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，得a n ＝(3n －1)·2n －2.归纳小结：(1)证明数列{b n }是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法．(2)证明数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．设{}a n 是公比为q 的等比数列.(1)推导{}a n 的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1) 设{}a n 的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1, ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，()1－q S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 1()1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1()1－q n 1－q， q ≠1. (2) 证明(反证法)：假设数列{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，()ak ＋1＋12＝()a k＋1()ak ＋2＋1，a2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＋1＝a 1q k －1a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，与已知矛盾．∴数列{a n ＋1}不是等比数列．类型二 等比数列基本量的计算(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解：根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2q 2＝3，整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.故填1或－12.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________.解：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52， ①a 2＋a 4＝（a 1＋a 3）q ＝54， ②②÷①得q ＝12，∴a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n－1.故填2n －1.(3)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .解：(Ⅰ)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是以13为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(Ⅱ)∵b n ＝1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，b 1＝1a 1＝3，∴{b n }是以3为首项，13为公比的等比数列，∴T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .归纳小结：在等比数列五个基本量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n 项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n 项和公式列方程还要注意对q 是否为1进行讨论．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172解：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 23＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，故a 3＝1，1q 2＋1q ＋1＝7，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)．∴a 1＝4，q ＝12. ∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.故选B.(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.解：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15， 两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.故填4或－4. 类型三 等比数列的性质(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________.(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________.(3)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S nT n＝n2n ＋1，则logb 5a 5＝________. 解：(1)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，不妨令S 3＝2，则S 6＝1，代入解得S 9＝32，S 9∶S 3＝3∶4.故填3∶4.(2)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①：a 41·q54a 41·q6＝q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160 ＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝210＝1 024. 解法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8，p ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·p 10＝210＝1 024.故填1 024.(3)由题意知S 9T 9＝lg （a 1·a 2·…·a 9）lg （b 1·b 2·…·b 9）＝lg a 95lg b 95＝lg a 5lg b 5＝logb 5a 5＝919.故填919.归纳小结：(1)等比数列有很多子数列仍是等比数列，本题是性质“在等比数列中，若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列”的应用，特别注意其前提条件是S n ≠0.(2)等比数列中，依次m 项积仍为等比数列，但公比发生改变．(3)利用性质“当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)时，有a m ·a n ＝a p ·a q ”转化条件．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1，求数列{a n }的通项公式．解法一：设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)，∴a n ＝lg T n＝n ＋2(n ≥1)． 解法二：依题意，可设这n ＋2个数依次为1，a ，a 2，…，a n ，100；∴T n ＝100a 1＋2＋…＋n ，a n＝lg T n ＝n （n ＋1）2lg a ＋2，又∵a n ＋1＝100，∴a n ＝n ＋2(n ≥1)．[归纳小结]1．注意等比数列每一项均不为0，q 也不为0.2．等比数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个．可类比上节等差数列“名师点睛”栏1进行探究．3．准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质． 4．在含字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论．5．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比．6．等比数列通项公式的求法有： (1)观察法．(2)公式法：①a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）；②等比数列{a n }的通项公式． (3)构造法：①a n ＋1＝pa n ＋q ; ②a n ＋1＝pa n ＋q n ； ③a n ＋1＝pa n ＋f (n ); ④a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n .[课后作业]1．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2解：∵a 2a 9＝a 1a 10＝27，∴log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 327＝3.故选C.2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1 023解：∵2a 4，a 6，48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1，∴S 8＝1×（1－28）1－2＝255.故选B.3．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解：设该等比数列为{a n }，其前n 项的积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33， ∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ，T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n)n ，即7292＝312＝3n ，∴n ＝12.故选B. 4．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150 B ．120 C ．150或－200 D ．400解：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 5．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且 a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 017，则a 2 011＋ a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2.017×1013B ．2.017×1014C ．2.018×1013D ．2.018×1014解：由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．∵(a 2001＋a 2 002＋…＋a 2 010)·q10＝a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝2.017×1013.故选A.6．若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解：∵T 8＝T 12，∴a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，∴a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．故选B.7．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解：∵q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －1－12.故填－2；2n －1－12.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.解：∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.故填1 024.9．等比数列{c n }满足c n ＋1＋c n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝log 2c n ，求a n ，S n .解：设数列{c n }的公比为q ，由题意知，c 1＋c 2＝10，c 2＋c 3＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧c 1＋c 1q ＝10，c 1q ＋c 1q 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c 1＝2，q ＝4.∴c n ＝2·4n －1＝22n －1，∴a n ＝log 222n －1＝2n －1，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2（1－4n ）1－4＝2（4n －1）3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2（4n －1）3＝22n ＋1＋13.11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d. 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，由于第4项为10，所以公比为2.其通项公式为b n ＝b 3·q n －3＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)由等比数列性质，a 1a 2a 3＝a 32＝125，故a 2＝5. 设数列{a n }的公比为q ，则由|a 2－a 3|＝10有|5－5q |＝10.∴q －1＝±2，得q ＝－1或q ＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝5×3n －2或a n ＝5×(－1)n －2. (2)若a n ＝5×3n －2，则1a n ＝15×13n －2＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而1a 1＋1a 2＋…＋1a m＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ]＜910＜1.若a n ＝5×(－1)n ，则1a n ＝15×(－1)n ＝－15×(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列．当m 为偶数，即m ＝2k (k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝0＜1.当m 为奇数，即m ＝2k －1(k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝－15＜1.综上可知，对任何正整数m ，总有1a 1＋1a 2＋…＋1a m＜1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．。
等比数列同步练习1苏教版必修5
《等差数列与等比数列》一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．1、 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 ( )A 15B 30C 31D 642、在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) A 33 B 72 C 84 D 1893、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –104、如果数列}{n a 是等差数列，则 ( ) A 5481a a a a +>+ B 5481a a a a +=+ C 5481a a a a +<+ D 5481a a a a =5、已知由正数组成的等比数列｛a n ｝中,公比q=2, a 1·a 2·a 3·…·a 30=245, 则a 1·a 4·a 7·…·a 28=( ) A 25 B 210 C 215 D 220 6、{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于 ( ) A 667 B 668 C 669 D 670 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1、在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_____.3、等差数列｛a n ｝的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为 .4、设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为_________三.解答题 (本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，或演算步骤)1、已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式；2、 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-（1）证明数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T 。
高中数学苏教版必修5学业分层测评11 等比数列的性质
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________． 【解析】 由已知得⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a ，即a 2＋b 2＝2ab ， ∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a ＝1. 【★答案★】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【★答案★】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎨⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7.【★答案★】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a7＝________.【导学号：91730040】【解析】设公比为q，则由等比数列{a n}各项为正数且a n＋1<a n知0<q<1，由a2·a8＝6，得a25＝6，.∴a5＝6，a4＋a6＝6q＋6q＝5，解得q＝26，∴a5a7＝1q2＝⎝⎛⎭⎪⎫622＝32.【★答案★】3 25．已知数列{a n}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝________.【解析】∵a2a6＝2a4，由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a24，∴a24＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.【★答案★】 46．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a＋3b＋c ＝10，则a＝________.【解析】由题意知a＋c＝2b，∴5b＝10，b＝2，∴a＋c＝4.∵ac＝ba，∴a2＝bc，∴a2＝2c，∴a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，a＝b＝2不合题意，∴a＝－4.【★答案★】－47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q＝________.【解析】设等差数列为{a n}，公差为d，d≠0，则a23＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d.∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝a3a2＝3.【★答案★】 38．在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则n＝________.【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【★答案★】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cosπ3＝12， ∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．【解析】a，b，c成等比数列，则ba＝cb，即b2＝ac,2log x b＝log x a＋log x c，即2log b x＝1log a x＋1log c x，即1log a x，1log b x，1log c x成等差数列．【★答案★】③2．(2016·启东高二检测)设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项积为T n，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1a100－1<0，给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99a101<1；④使T n<1成立的最小自然数n等于199.其中正确的编号为________．【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a99－1a100－1<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q<1，而且a99>1，a100<1，又a99·a101＝a2100 <1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．【★答案★】①③④3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)．若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.【解析】∵b n＝a n＋1，∴a n＝b n－1，而{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，∴{a n}中的连续四项为－24,36，－54,81，∴q ＝－3624＝－32， ∴6q ＝－9. 【★答案★】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4. (2)假设存在常数a ，b . 由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ， 得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立， ∴⎩⎨⎧3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．。
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等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 ..提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于 。
6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。
7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。
提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即21=a 时，;,12n S a n == 当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.8.2S ；32。
提示：设等比数列的公比为q ，若2S 计算正确，则有2q =，但此时3438,65S S ≠≠，与题设不符,故算错的就是2S ,此时, 由338S =可得32q =,且465S =也正确.二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。
9．解：由题设知311211133a 70a a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相除得q =2552或， 代入a a 14133+=，可求得a 1125=或8，∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪--a a n n n n 1252585211或10.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n .解 设{}n a 的公比为q ，由S 4=1,S 8=17知q ≠1,∴4181a (1)1,1a (1)17,1q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得11152a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1152a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩。
∴a n =1215n -或a n =1(1)25n n --⨯。
11.已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列，数列{}n x 的前100项的和等于100，求数列{}n x 的前200项的和。
11.解：由已知，得212log log 1n n x x +-=，12n nx x +∴=， 所以数列{}n x 是以2为公比的等比数列，设{}n x 的前n 项和为S n 。
则S 100=1001x (12)12--=1001x (21)-，S 200=2001x (12)12--=2001x (21)-= S 100()10012+=()10010012⨯+故数列{}n x 的前200项的和等于()10010012⨯+。
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．12.解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩．两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．备选题：1.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 。
1.12-n 。
提示：由,7,13211=++=a a a a 得21602,2n n q q q a -+-=∴=∴=。
2．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.2. 3375±。
提示：610925,q q a a q ===⋅=± 3.设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
3.解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列.B 组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4= 。
1．28提示：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，即（S 4－7）2=7（91－S 4），解得S 4=28或－21（舍去）． 2.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c = _ 。
2. )2(:1:4-。
提示：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+= ,4,2a b a b c b ≠==-。
3.在等比数列{a n }中，已知n ∈N *，且a 1+a 2+…+a n =2n －1，那么a 12+a 22+…+a n 2等于 。
3.31（4n －1）。
提示：由S n =2n －1，易求得a n =2n －1，a 1=1，q =2，∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， a 12+a 22+…+a n 2= 31（4n －1）。
4. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________.解析 11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是5.已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈，若方程()f x a =有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a = 。
5.12-。
提示：设最小的根为α，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 2,2παπα-+，所以()()222πααπα-=∙+， 解得23πα=，21cos 32πα==-。
6.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：制中最大的数是 6.63.提示：111:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,21121021021021010100写成二进制为进而知⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是631212212121212121:111111654321=--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯化成十进制为。
二．解答题(本大题共2小题，共36分) 7． 数列}{n a 满足：*).(2123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++ （1）记n n n a a d -=+1，求证：{d n }是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）令23-=n b n ，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和S n 。
（1）21123,23,11221=-=-∴==a a a a 又n n n n a a a a 2121112-=-+++。
n n n n n n d d a a a a 21,211112==--∴++++即故数列2121}{为首项，公比为是以n d 的等比数列. （2）由（1）得n n n n a a d )21(1=-=+1121112211)21(21)21(...)21()21()(...)()(-------=++++=+-++-+-=∴n n n n n n n n a a a a a a a a（3）11)21()23()46(])21(2[)23(23--⋅---=-⋅-=⋅=-=n n n n n n n n n b a c n b 令021********[147...(32)][147...(32)]2222111(31)[147...(32)]222n n n S n n n n n --∴=⨯++++--⨯+⨯+⨯++-⋅=--+⨯+⨯++-⨯令1221)23(...2172141-⨯-++⨯+⨯+=n n n T ① n n n n n T 21)23(21)53(...21721421121132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-② ① －②得12113224383243821)23()21...212121(3121---++--=∴+-=∴--+++++=∴n n n n nn n n n n S n T n T8. 已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列 （3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S 8. 解(1) 是方程βα, )(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根312102361111+=⇒=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∴+++n n n n n n n a a a a a a a αββα(2)为等比数列常数}32{2132323121323121111-∴==--⇒-=-⇒+=+++n n n n n n n a a a a a a a(3)令3132,21}{,3211=-=-=a b b a b n n n 首项是等比数列，公比为则 32)21(3132)21(3111+=+=⇒=∴--n n n n b a b(4)n nn n n S )21(32322]211)21(1[3132-+=--+= 备选题：1.数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=32132321，则数列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列}{n d 也为等比数列。