苏教版高一数学必修5等比数列测试题及答案

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高一数学等比数列试题答案及解析

高一数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，为前n项的积，若，，则的值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】A【解析】设公比为q，显然，由，，所以===16.【考点】等比数列的通项公式.2.已知{an }是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( ).A．1或－B．1C．－D．－2[【答案】A.【解析】根据题意，有，因为，所以，解得1或－.【考点】等比数列的通项公式，等差中项的定义.3.已知数列的首项.（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：对任意的；（3）证明：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）将两边去倒数并常量分量，然后所得式子变形数列{}的第n+1项是第n项若干倍形式，根据等比数列定义即可判定{}是等比数列，利用等比数列通项公式，先求出{}的通项公式，再解出的通项公式；（2）将不等式右侧式子配凑的通项公式形式，再将其化为关于的二次函数最值问题，通过放缩即可证明该不等式；（3）先将的通项公式常量分量，代入，通过放缩即可证明不等式的左半部分，对利用（2）的结论缩小，出现首项为，公比为的等比数列的前n项和，数列取为该数列前n项和的算术平局值，即可证明该不等式右半部分.试题解析：（1），又所以是以为首项，以为公比的等比数列．5分（2）由（1）知9分（3）先证左边不等式，由知；当时等号成立； 11分再证右边不等式，由（2）知，对任意，有，取，则 14分考点:等比数列定义、通项公式、前n项和公式；二次函数最值；放缩法；转化与化归思想；运算求解能力4.已知等比数列中，，，，分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且.（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）根据题意可知，，为等比数列的前三项，因此，结合条件及余弦定理将消去，并且可以得到，即的值：，或，从而或；（2）条件中的不等式含绝对值号，因此可以考虑两边平方将其去掉：∵，∴，即，解得且，从而可得，即有，结合（1）及条件等比数列可知通项公式为或.试题解析：（1）∵等比数列，，，，∴， 1分又∵， 3分而，∴或， 5分又∵在△ABC中，，∴或； 6分（2）∵，∴，即，∴且， 8分又∵，∴，∴， 10分∴或. . 12分【考点】1.等比数列的通项公式；2.余弦定理及其变式；3.解不等式.5.在等比数列中，若，则与的等比中项为（）A．B．C．D．前3个选项都不对【答案】C.【解析】由等比数列可知，，∴与的等比中项为.【考点】等比数列的性质.6.已知等比数列满足，，数列的前项和，则＝．【答案】【解析】由知等比数列的公比从而．【考点】等比数列．7.在等比数列中，，则= ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知及等比数列的性质及得，解之得（舍去）或，又由，得，所以。

高中数学必修五数列测试题及答案

高中数学必修5数列测试题含答案一、选择题1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是（）A 、等比数列B 、既是等差又是等比数列C 、等差数列D 、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（）A 、765B 、653C 、658D 、6603、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于（）A 、(a+b)/(a-b)B 、(b-a)/abC 、ab/(a+b)D 、(a+b)/ab4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= （）A 、1B 、-1C 、-3D 、35、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为（）A 、5B 、6C 、7D 、86、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为（）A 、1或-1/2B 、-1 或1/2C 、-1/2D 、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项和为24，偶数项和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为（）A 、12B 、10C 、8D 、以上都不对8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是（）A 、20B 、15C 、10D 、59、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是（）A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于（）A 、3·(5/3)n-1B 、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q =12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+a n －1(n ≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n n a a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________. 15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。

苏教版高中数学必修五等比数列测试题.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作等比数列测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .2.4. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .3.152+.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=152+. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于。

6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。

7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。

高中数学必修5等比数列精选题目(附答案)

高中数学必修5等比数列精选题目（附答案）1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 一、等比数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 注：等比数列基本运算中的2种常用数学思想2．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 23．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．324．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.二、等比数列的判定与证明5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．注：1．掌握等比数列的4种常用判定方法通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可． 6．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．7．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．三、等比数列的性质(一) 等比数列项的性质8.(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 29.(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16(二) 等比数列前n 项和的性质11.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16注：应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．12．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－1913．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.巩固练习:1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.122．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 0195．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．5126．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1B ．a 1<0，q >1C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >17．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．参考答案：1.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.2.解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 3.解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.5.[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 6.证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列． 7.解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．8.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.9.解：由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. 11.[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.12.解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B. 13.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.练习：1.解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2.解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3.解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4.解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5.解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6.解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|，则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2，所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.8.解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.10.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .11.解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128，则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024，可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。

苏教版高中数学必修五§2.3等比数列练习.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2.3等比数列练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.下列各组数能组成等比数列的是（） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,33,9-2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（）A. 4B. 2C. 52D. 123.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（）A. 5B. 10C. 15D. 204.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =，则m 为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. “2b ac =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（）A.1B. 2C. 3D. 4二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则22242628210log log log log log a a a a a ++++= .10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ④ {}lg n a【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.参考答案： 1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.4 8.152+ 9.5 10.①②③ 11.∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 12.依题意可设这四个数分别为:2(4)4d -,4d -,4, 4d +,则由前三个数和为19可列方程得,2(4)44194d d -+-+=,整理得,212280d d -+=,解得2d =-或14d =. ∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.。

苏教版必修5《2.3.1等比数列的概念》同步作业含答案解析

[学业水平训练]一、填空题1．下列说法中正确的有________(填序号)．①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列；③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．解析：由等比数列的定义知④正确．答案：④2．4＋3与4－3的等比中项是________．解析：设它们的等比中项为A，则A2＝(4＋3)·(4－3)＝13，∴A＝±13.答案：±133．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________．答案：非零的常数数列4．(2014·南京调研)下列数列中，一定是等比数列的个数是________．①－1，－2，－4，－8；②1，－3，3，－33；③3，3，3，3；④b，b，b，b.解析：①②③为等比数列，④只有b≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．答案：35．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c__________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)解析：a＝log23，b＝log26，c＝log212，∵2log26＝log236＝log23＋log212，∴2b＝a＋c，∴a，b，c成等差数列．但(log26)2≠log23·log212，∴a，b，c不成等比数列．答案：成不成6．如果a，b，c成等比数列，那么函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是________．解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴b2－4ac＝－3ac<0，∴f(x)的图象与x轴没有交点．答案：07．若－1，a，b，c，－9成等比数列，则b＝________，ac＝________．解析：由等比中项得b2＝9，且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.又－1，a，b成等比数列，∴a2＝－1×b＝3，同理c2＝27，∴a2c2＝3×27＝81，又a，c符号相同，∴ac＝9.答案：－39二、解答题8．判断下列数列是否为等比数列．(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；(2)－1，1，2，4，8，…；(3)a，a2，a3，…，a n，….解：(1)记数列为{a n}，∵a1＝1，a2＝3，…，a n＝3n－1，∴a n a n －1＝3n －13n －2＝3(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列为公比q ＝3的等比数列．(2)记数列为{a n }，且a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，….∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a ，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列且公比为a .9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1 092，求这三个数．解：设这三个数为a q，a ，aq ，由已知可得 ⎩⎨⎧a q ＋a ＋aq ＝26，（a q）2＋a 2＋（aq ）2＝1 092，所以⎩⎨⎧a （1q ＋1＋q ）＝26，a 2（1q 2＋1＋q 2）＝1 092. 由(q ＋1q )2＝q 2＋1q 2＋2，得(26a －1)2＝1 092a 2＋1，解得a ＝－8，q ＝－4或－14. 所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.[高考水平训练]一、填空题1．(2014·宿州调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2 046＋a 1 978－a 22 012＝0，{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 010·b 2 014＝________．解析：∵a 2 046＋a 1 978＝a 22 012，∴2a 2 012－a 22 012＝0，∴a 2 012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2 012＝a 2 012，∴b 2 012＝2，∴b 2 010·b 2 014＝b 22 012＝4.答案：42．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100. 答案：100二、解答题3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由a －d ＋a ＋a ＋d ＝6得a ＝2，故这三个数为2－d ，2，2＋d .若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4，2，8；若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4；若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可知，这三个数为－4，2，8.4．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d >0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25）x ＋d ＋25＝3x 2－10，解得x ＝90，d ＝10.故有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25)＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产微机305台．。

苏教版高中数学必修五§2.3等比数列的前n项和练习(1).doc

§2.3等比数列的前n 项和练习（1）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是( )A.179B.211C.243D.2752.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为( )A.3B.−4C.3或−4D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于( )A.3B.1C.0D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =( ) A.64 B.66 C.2603 D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A.12B.10C.8D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=( )A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n - 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482n n +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = . 10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,且前n 项和126n S =，求n 以及公比q.12.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.参考答案：1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+ 9.27 10.150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11. 由211128n n a a a a -==,又166n a a +=得, 1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.。

《等比数列》同步练习2(苏教版必修5)

生活中的等比数列1．存贷问题例1 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元（精确到0.01元）？解：设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2000（1+0.008）x -，第2期付款后欠款（2000×1.008x -）×1.008x -=2000×1.0082-1.008x x -，…，第12期付款后欠款2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x ，因第12期付款后欠款为0，所以2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x =0，故12122000 1.008175.461.00811.0081x ⨯=≈--（元），即每期应付款175.46元．点评：分期付款问题，实质上是等比或等差数列求和问题，解题的视角是建立等量关系式．记住下列常用公式：（1）复利公式：按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)x y a r =+；（2）单利公式：按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)y a xr =+．2．溶液配制问题例2 容器A 中盛有浓度为%a 的农药m 升，容器B 中盛有浓度为%b 的同种农药也是m 升，两种农药的浓度差为20%()a b >．现将A 中农药的倒入B 中，均匀混合后再由B 倒入A ，恰好使A 中保持m 升，并混合均匀．要使两种农药的浓度差小于1%，至少要操作多少次？（lg50.669≈，lg 60.778≈）解：设A 中溶质的质量为1a ，B 中溶质的质量为1b ，操作k 次后，A B ，中溶质的质量分别为k a 、k b ．则1%a ma =，1%b mb =，又%%20%a b -=， ∴1120%a b m -=．由题意，得111113111(4)4545k k k k k k a a b a a b -----⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，1111411(4)545k k k k k b b a b a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴113()5k k k k a b a b ---=-．故{}k k a b -是首项为1120%a b m -=，公比为35的等比数列． ∴1320%5k k k a b m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴浓度差为12031005k k k a b m m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依题意，得120311005100k -⎛⎫<⎪⎝⎭．由指数函数的性质，得1(1)lg 0.6lg 20k -<． ∴lg 52lg 520.69921 5.86lg 0.6lg 610.7781k ---->=≈≈--，即 6.86k >，∴7k =．故要使浓度差小于1%，至少要操作7次．点评：解此类问题关键在于找出相邻两次的浓度变化，即1n a +与n a 的关系．3．绿化问题例3 为了治理“沙尘暴”，西部地区经过多年的努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%．从1999年开始，每年出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，同时原有绿化面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿化面积超过50%？（lg2≈0.30）解：设该地区总面积为1，1998年底绿化面积为125a =，经过n 年后绿化面积为1n a +，1998年底沙漠面积为1b ，经过n 年后沙漠面积为1n b +，则111a b +=，1n n a b +=．依题意，有192%12%n n n a a b +=+， ∴14392%12%(1)525n n n n a a a a +=+-=+． ∴1343555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，45为公比的等比数列．∴1314555nn a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．令150%n a +>，即314150%5552n⎛⎫-⨯>= ⎪⎝⎭，∴4152n⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∴451lg 2log 3213lg 2n >=≈-． ∴至少要经过4年才能使绿化面积超过50%．点评：本题从题目中所讲的条件入手，在待解决的问题中寻求递推关系，构造等比数列模型，求出通项，再利用题设中的不等关系列出关系式，求得结果．4．投资问题例4 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业总收入才能超过总投入? 解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为180015⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元，…，第n 年投入为1180015n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元．故第n 年内的总投入为11148008001800140001555n n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-++⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．第1年旅游业的收入为400万元，第2年旅游业的收入为140014⎛⎫⨯+⎪⎝⎭万元，…，第n 年旅游业的收入为1140014n -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元．所以n 年内旅游业的总收入为11154004001400116001444n n n b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++⨯+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则0n n b a ->，即541600140001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴45527054n n⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设45nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入上式得25720x x -+>，解得25x <或1x >（舍去），即4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得4n >，即至少经过5年旅游业总收入才能超过总投入．点评：解这类题的关键是分清每种增长率，由此写出数量关系，使问题得以解决．记住产值模型公式：原产值的基数为N ，平均增长率为p ，经过时间x 后的产值(1)xy N p =+．一道数列题的多种解法题目（2006年重庆卷·理）在数列{}n a 中，若11a =，123(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =____．解法一（公式法）：由123n n a a +=+，得2123n n a a ++=-，两式相减，得2112()n n n n a a a a +++-=-．∴{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．又123n n a a +=+，∴1232n n n a a ++-=，即123n n a +=-．解法二（累加法）：由上可知{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，于是有214a a -=，3242a a -=⨯， 24342a a -=⨯，……2142n n n a a ---=⨯．把上述1n -个等式相加，得2214(1222)n n a a --=⨯++++124(2)n n +=-≥，整理得123(2)n n a n +=-≥．又1n =时，1n a =也成立．∴123n n a +=-．解法三（待定系数法）：设12()n n a t a t ++=+，展开，与123n n a a +=+对应系数相等，解得3t =，∴132(3)n n a a ++=+，∴{}3n a +是公比为2的等比数列，其首项为134a +=，∴1113(3)22n n n a a -++=+⨯=，故123n n a +=-．解法四（构成对偶式）：由已知条件可得123n n a a +-=，① ∴211212n n n na a a a +++-=-．故数列{}12n n a a +-是公比为1的等比数列， ∴2122n n n a a a ++--，整理，得2112()n n n n a a a a +++-=-，从而数列{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．②②－①，得123n n a +=-．解法五（不完全归纳法）：21123a ==-，32123523a a =+==-， 432231323a a =+==-，543232923a a =+==-， 654236123a a =+==-，……，归纳猜想得123n n a +=-．赏析数列创新题1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层的升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（）．（A ）1楼（B ）2楼（C ）3楼（D ）4楼 2．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自身分裂繁殖．已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并且分裂成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2048个“禽流感”病毒N 最多可分裂成细菌M 的数值是（）．（A ）1024 （B ）2048 （C ）2049 （D ）无法确定 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”．已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，…，500a 的“理想数”为（）．（A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）20084．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第____组（写出所有符合要求的组号）．①1S 与2S ；②2a 与3S S ；③1a 与m a ；④q 与m a ．5．某纺织厂的一个车间有n 台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n ．定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定1ij a =，否则0ij a =．若第7号织布机有且仅有一人操作，则1727377n a a a a ++++=____，若31323332n a a a a ++++=，说明__________．6．如图，一粒子在区域{}()00x y x y ，≥，≥内运动,在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ，试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间．答案：1．C 2．C 3．A 4．①④5．1；第3名工人操作了2台织布机．6．解：（1）由图形可设1(10)A ，，2(20)A ，，…，(0)n A n ，，当粒子从原点到达n A 时，明显有13a =，211a a =+， 3111234a a a =+=+⨯， 431a a =+， 5332054a a a =+=+⨯，651a a =+，……2123(21)4n n a a n --=+-⨯，2211n n a a -=+，∴22134[35(21)]41n a n n -=+⨯+++-=-，222114n n a a n -=+=．∴22414n n n a n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数.∴2221212(21)441n n b a n n n --=--=-+，2222244n n b a n n n =+⨯=+；∴2244144.n n n n b n n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，，为偶数∴222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-，2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，∴2n c n n =+；（2）由图形知，粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间是到达点44C 所经过的时间再加(4416)28-=秒，所以24444282008t =++=秒．。

苏教版高中数学必修五2.3等比数列同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3 等比数列同步练测第一课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共45分） 1.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为______．2.等比数列{}na 中，8,63232==+a a a a ，则q =¿____．3.已知等比数列{}na 各项为正数，且3是5a 和6a 的等比中项，则1210aa a L ＝______． 4.在等比数列{}na 中，1n n a a >＋，且711a a ＝6，414a a ＋＝5，则616a a =______．5.已知在等比数列{}na 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}na 的通项公式是=a 6.在正项等比数列{}na 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______.7.在等比数列{}na 中, 若,75,393==a a 则10a ¿__________.8.在等比数列{}na 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47aa ×-¿___________.9.在3和一个未知数中间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是_______．二、解答题（共55分） 10.(16分)设数列{}na 的前n项和a(¿¿n −1)S n =¿(n ∈N ¿).（1）求a 1,a 2；（2）求证：数列{}na 为等比数列.11.(8分)已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且12a a ＋＝21211a a æö+ç÷èø，34a a ＋＝323411aa æö+ç÷èø．求{}na 的通项公式.12.（12分）已知1a ＝2，点1(,)n n aa ＋在函数2()f x x ＝＋2x的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{l g (1)}n a ＋是等比数列；(2)求{}na 的通项公式．13．(9分)数列{}na 的前n项和记为S n ，已知a 1=1，a n +1＝S n (n =1，2，3，⋯)．求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列．14.（10分）容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L ，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L ，又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？2.3 等比数列同步练测第一课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. .二、解答题10.11.12.13.14.2.3 等比数列同步练测第一课时参考答案一、填空题 1.14 解析：2121223412221124(2)a a a a a a q a aq ++===++.2.2或21解析：由题意知23,aa 为方程2680x x -+=的两根，解得2332,42,4a a a a ====或，所以公比为2或21.3.103 解析：由题意得569a a ＝，∴ 110293847569a a a a a a a a a a =====，∴ 510121093a a a L ==.5.32 解析：由题意得7114144146,5,a a a a a a ==ìí+=î解得4143,2a a =ìí=î或4142,3.a a =ìí=î又∵ 1n n a a >＋，∴ 43a ＝，142a ＝.∴ 64161432a a a a ==.6.2n −1解析：由,7,13211=++=a a a a 得q 2+q −6=0,∴ q =2(负值舍去).∴ a n =2n −1.7.5 解析：所给式子可整理为22233553535()2()()25,5.a a a a a a a a ++=+=\+=8.3575± 解析：633910937525,5,7553a q q a aq a ====±=×=±.9.2- 解析：由等比数列的性质知471102a a a a ==-.10.3或27 解析：设此三数为3，a ，b，则223,(6)3.a b a b =+ìí-=î解得3,3a b =ìí=î或15,27.a b =ìí=î∴ 这个未知数为3或27.二、解答题11. (1) 解:由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ，∴ =1a 21-.又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)证明：当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n na a ∴ {}na 是首项为21-,公比为21-的等比数列.12.解：设等比数列{}na 的公比为q，则11n n a a q－＝.由已知得11a a q ＋＝21111a a q æö+ç÷èø，2311a q a q ＋＝32231111a q a q æö+ç÷èø．化简，得21251(1)2(1),(1)32(1),a q q q a qq q ì+=+ïí+=+ïî即212512,32.a q a q ì=ïí=ïî又∵ 10a >，0q >，∴ 11,2.a q =ìí=î∴ 2n n a －1=.13.(1)证明：由已知得212n n na a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋.∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋.∴1l g (1)2l g (1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1l g (1)l g 3a ＋＝.∴ {l g (1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知，121l g (1)2l g 3l g 3n n n a ×－－＋==，∴ 2113n n a -＋=，∴ 2131n n a -=－.14.证明：∵1+112,n n n n nn a S Sa S n +++=-=，∴ 1(2)()n nn n S n S S ++=-，整理得12(1)n n nS n S +=+，∴ 1＋1＋n S n ＝nS n2．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS n 是以2为公比的等比数列．15.解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1a ＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度是n a ，则操作(1)n ＋次后溶液的浓度是1n a＋＝11n a a æöç÷èø－．所以数列{}na 是以1a ＝1－1a 为首项，q ＝1－1a 为公比的等比数列．所以1111n n n a a q a æö-ç÷èø－＝＝，即第n 次操作后溶液的浓度是11na æö-ç÷èø. 当a ＝2时，由n a ＝11210n æö<ç÷èø，得n ≥4.因此，至少应倒出4次后才可以使酒精浓度低于10%.2.3 等比数列同步练测第二课时建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分） 1.等比数列{}na 中，259,243aa ==，则{}na 的前4项和为________.2.等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则1718a a a a +++的值是________. 3.已知等比数列{}na 中, 21a =,则其前3项的和3S的取值范围是________. 4.首项为b ,公比为a 的等比数列{}na 的前n 项和为nS ,对任意的n ∈N ¿，点(nS ，1n S +)在直线_____上.5.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n项的和，某同学经计算得220S =，336S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为________.6.设n S为等比数列{}na 的前n项和，2580a a －＝，则42S S ＝________.7.已知在等比数列{}na 中，公比q 是整数，14a a ＋＝18，23a a ＋＝12，则此数列的前8项和为________.8.已知某等比数列的前n项和nS ＝4na ＋，则a的值等于________.9.已知{}na 是首项为1的等比数列，n S是{}na 的前n项和，且369S S ＝，则数列1n a ìüíýîþ的前5项和为_______.10.在等比数列{}na 中，若前n 项的和为21n nS ＝－，则22212n a a a L ＋＋＋＝________.二、解答题（共50分）11.（7分）在等比数列{}n a 中，3S ＝，6S ＝，求n a.12.（7分）已知{}na 为等差数列，且3660a a ＝－，＝. (1)求{}na 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足18b ＝－，2123b a a a ＝＋＋，求{}n b 的前n 项和公式．13.（8分）在数列{}na 中，1a ＝，前n项和nS 满足1n nS S ＋－＝113n +æöç÷èø*()n ÎN .(1)求数列{}na 的通项公式n a 以及前n 项和nS ；(2)若11223,(),3()StS S S S ＋＋成等差数列，求实数t 的值．14.（8分）已知等比数列{}na 的各项均为正数，且12231a a ＋＝，23269a a a ＝.(1)求数列{}na 的通项公式；(2)设31323log log log n n b a a a L ＝＋＋＋，求数列1n b ìüíýîþ的前n项和．15.（10分）已知等比数列{}na 的前n项和为nS ，且132,,SSS 成等差数列． (1)求{}na 的公比q ；(2)若133a a －＝，求n S.16.（10分）数列{}na 满足21123333n na a a a L －＋＋＋＋＝3n*()n ÎN .(1)求数列{}na 的通项公式n a；(2)设n nn b a ＝，求数列{}n b 的前n 项和n S .2.3 等比数列同步练测第二课时答题纸得分：一、填空题1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. .二、解答题11.12.13.15.16.2.3 等比数列同步练测第二课时参考答案一、填空题1.120 解析：∵ 29a =，5243a =，∴ 25aa ＝q 3＝9243＝27，∴ q ＝3.∵ 219a a q ==，∴ 13a =，∴ S 4＝3－13－35＝2240＝120．2.16 解析：因为S n ,S 2n −S n ,S 3n −S 2n 成等比数列，根据已知关系可推得S 20−S 16=16，即1718192016aa a a +++=. 3.(-∞,-1］∪［3,+∞) 解析：设1a x =,且0x ¹,则311S x x =++，由对勾函数1y x x =+的图像知，12x x +³或12x x +£-，所以3S∈(-∞,-1］∪［3,+∞).4. y =ax +b 解析：当a ≠1时，(1)1n n b a S a-=-,+11(1)1n n b a S a+-=-,所以点(n S，1n S +)为1(1)(1),11n n b a b a a a +æö--ç÷--èø，显然此点在直线y =ax +b 上.5.3S 解析：假设后三个数均未算错，则18a =，23412,16,29a a a ===，可知2213a a a ¹，故2S、3S 中必有一个数算错了．若2S 算错了，则33412929,2a a q q ===，显然23368(1)S qq =¹++，矛盾．只有可能是3S 算错了，此时由212a =得32q =，3418,27a a ==，42182765S S =++=，满足题设．6.5 解析：∵ 2580a a －＝，∴ 4118a qa q ＝，∴ 38q ＝，∴ 2q ＝，∴ 424221151S q q S q -==+=-.7.510 解析：由已知得31121118,12,a a q a q a q ì+=ïí+=ïî解得q ＝2或q ＝.∵q为整数，∴q＝2.∴ 12a =.∴ 8S＝82(12)12--＝29－2＝510.8.-1 解析：设等比数列为{}na ，由已知得1122133241248a S a a S S a S S ＝＝＋，＝－＝，＝－＝. 又2213a a a ＝，即144＝(4＋a )×48，∴a＝－1.9. 解析：显然q ≠1，由题意知369(1)111q qq q --=--，∴ 319q ＋＝，∴q＝2，∴ 1n a ìüíýîþ是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和5T ＝5112112æö-ç÷èø-＝.10.(4n－1) 解析：∵ 112211312a S a S S ＝＝，＝－＝－＝，∴ q＝2.又∵ 数列2{}n a 也是等比数列，首项为21a ＝1，公比为2q ＝4，∴22212na a a L ＋＋＋＝141(41)143n n-=--．二、解答题11.解：由题意知632SS ¹，则1q ¹.又3S ＝，6S ＝，∴ 3161(1)13,19(1)364.19a q q a q q ì-=ï-ïí-ï=ï-î①②②÷①，得1＋3q＝28，∴q＝3，1a ＝.因此1313n n n a a q －－＝＝.12.解：(1)设等差数列{}na 的公差为d.∵ 3660a a ＝－，＝，∴ 1126,50,a d a d +=-ìí+=î解得110,2.a d =-ìí=î∴ 10(1)2212n a n n ´＝－＋－＝－. (2)设等比数列{}n b 的公比为q ，∵212324b a a a ＝＋＋＝－，b 1＝－8，∴ 824q －＝－，∴ 3q ＝， ∴ {}n b 的前n 项和1(1)8(13)4(13)113nn n n b q S q ---==--＝－．13.解：(1)由1113n n n S S +æöç÷èø＋－＝，得1n a ＋＝113n +æöç÷èø*()n ÎN .又1a＝，故na ＝13næöç÷èø*()n ÎN .从而1113311112313nn n S éùæö´-êúç÷éùèøêúæöëû=-êúç÷èøêúëû-＝*()n ÎN .(2)由(1)可得1S＝，2S ＝，3S ＝，又由11223,(),3()S tS S S S ＋＋成等差数列可得＋3×413927æö+ç÷èø＝2×1439t æö+ç÷èø，解得t ＝2.14.解：(1)设数列{}na 的公比为q，由23269a a a ＝，得22349a a ＝，所以2q ＝.由条件可知q >，故q＝.由12231a a ＋＝，得11231a a q ＋＝，所以1a＝. 故数列{}na 的通项公式为n a＝13n.(2)31323(1)l o g l o g l o g (12)2n n n n b a a a n +L L ＝＋＋＋＝-＋＋＋＝-，故12112(1)1nb n n n n æö=-=--ç÷++èø，121111111122122311nn b b b n n n éùæöæöæö+++=--+-++-=-ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøëûL L .所以数列1n b ìüíýîþ的前n 项和为21nn-+. 15.解：(1)依题意，得2111111()2()a a a q a a qa q ＋＋＝＋＋，∵ 10a ¹，∴ 220q q ＋＝.又q ¹，∴q＝－.(2)由已知，得211132a a æö-=ç÷èø－，∴ 1a＝4， ∴ 141281113212nnn S éùæö--êúç÷éùèøêúæöëû=--êúç÷æöèøêúëû--ç÷èø＝.16.解：(1)∵ 211233333n nna a a a L －＋＋＋＋＝，①∴ 当n≥2时，221231333n n a a a a L －－＋＋＋＋＝13n -.②①－②，得13n na －＝，∴ 13n n a ＝（n ≥2）.又1a ＝满足上式，∴ 13n n a ＝*()n ÎN ．(2)∵ n n nb a ＝，∴ 3n nb n ×＝.∴ 23323333nn S n ´´×L ＝＋＋＋＋.③∴2313323(1)33n n n S n n ´×L＋＝＋＋＋－＋.④③－④，得231233333n n n S n ×L ＋－＝＋＋＋＋－13(13)313n nn -=-×-＋＝13(31)32n n n ×＋－－＝1133322n n n +×＋－－，∴11333442n nnnS++×++＝－，∴1(21)3344nnnS+-+＝*()nÎN.马鸣风萧萧。

苏教版高中数学必修五等比数列检测卷一.doc

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作等比数列检测卷一一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）A 、为任一常数数列B 、为非零的常数数列C 、存在且唯一D 、不存在 2、等比数列{}n a 的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项的和为（） A 、179 B 、211 C 、248 D 、2753、如果一个数列的通项公式为nn a k q =⋅ (,k q 为不等于零的常数)，则有（）A 、数列{}n a 是首项为k ，公比为q 的等比数列B 、数列{}n a 是首项为kq ，公比为q 的等比数列C 、数列{}n a 是首项为kq ，公比为1q -的等比数列 D 、数列{}n a 不一定是等比数列 4、若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 5、若,,2,x a x b 成等比数列，则a b 的值为 A 、12B 、2C 、2D 、22（）6、已知{}n a 是等比数列，则在下列数列中为等比数列的是（） ①1{}na ；②{}n c a -；③2{}na ；④2{}n a ；⑤1{}n n a a ++；⑥{lg }n a A 、①②③ B 、①③④ C 、③④⑤ D 、④⑤⑥7、在等比数列{}n a 中，59,a a 是方程271870x x -+=的两个实数根，则7a 为（） A 、1 B 、1- C 、1± D 、187± 8、数列2311,,,,,,,n a a a a -的前n 项的和为（）A 、11na a-- B 、111n a a +-- C 、211n a a +-- D 、以上均不正确9、已知实数,,a b c 满足23,26,212abc===，则实数,,a b c 是（）A 、等差非等比数列B 、等比非等差数列C 、既是等比又是等差数列D 、既非等比又非等差数列10、已知是等比数列前20项的和为21，前30项的和为49，则前10项的和为（） A 、7 B 、9 C 、63 D 、7或63二、填充题11、在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ． 12、在等比数列{}n a 中，已知124,,a a a 成等差数列，则公比q = ． 13、101(32)kk k =++∑= ．14、有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为．三、简答题15、在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数．16、已知{}n a 是等比数列，142,54a a ==；{}n b 是等差数列，21=b ，3214321a a a b b b b ++=+++．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 的公式；（2）求数列{}n b 的通项公式．17、（1）在等比数列{}n a 中，574,6a a ==，求n a 和n S ；（2）在等比数列{}n a 中，1a 最小，且12166,128,126n n n a a a a S -+===，求n 和q ．等比数列检测卷一参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B BBBABADAA11、152n n a -=⋅； 12、1或152-± ； 13、2131； 14、 1，4，16或16，4，1 15、81,27,9或81,27,9--16、（1）123,31n nn n a S -=⋅=- ；（2）31n b n =-.17、（1）当62q =时，1(5)2166[1()]3924(),2612n n n n a S --=⋅=-；当62q =-时，1(5)12166[1()]3924(1)(),2612nn n n n a S ----=⋅-=+. (2)由112166128n n n a a a a a a -+=⎧⎨⋅=⋅=⎩得1264n a a =⎧⎨=⎩或1642na a =⎧⎨=⎩，又1a 最小，所以1264n a a =⎧⎨=⎩.因为11261n n a a qS q-==-，易知2q =.又11n n a a q -=，所以132n q -=，1232n -=，所以6,2n q ==.。

高中数学阶段质量检测数列苏教版必修5

2021年高中数学阶段质量检测数列苏教版必修5(时刻120分钟满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上) 1．在等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 5＝－8则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ＝1，a 5＝a 1q 4＝8，两式相除得q 3＝8， ∴a 8＝a 5q 3＝8×8＝64.(或利用a 25＝a 2a 8解得) 答案：642．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 又数列{a n }单调递增，得q >1，∴q ＝2. 答案：23．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝________. 解析：∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52， ∴a 7＝2＋4×52＝12.答案：124．数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，则那个数列的通项公式为________．解析：a 1＝S 1＝32a 1－3，∴a 1＝6.又S n ＋1＝32a n ＋1－3.∴S n ＋1－S n ＝32a n ＋1－32a n .∴a n ＋1＝32a n ＋1－32a n .∴a n ＋1＝3a n .{a n }是首项为6，公比为3的等比数列． ∴a n ＝6×3n －1＝2×3n.答案：2×3n5．等差数列18,15,12，…，前n 项和的最大值为________．解析：由已知得a 1＝18，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝18－3(n －1)＝21－3n . ∴当n ＝7时，a 7＝0.∴S n 最大值为S 7＝18×7＋7×62×(－3)＝63.答案：636．已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4＋a 6＝2a 5＝10，因此a 5＝5，又S 5＝5a 3＝5，因此a 3＝1，故d ＝a 5－a 35－3＝5－12＝2.答案：27．已知等差数列{a n }满足：a 1＝－8，a 2＝－6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为________．解析：由题意可得a n ＝2n －10，则－8＋m ，－2＋m ，m 成等比数列，因此m (－8＋m )＝(－2＋m )2，解得m ＝－1.答案：－18．正项等比数列{a n }中，1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，则1a 3＋1a 5＝________.解析：∵在正项等比数列{a n }中，1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，∴1a 23＋2a 3·a 5＋1a 25＝81. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 52＝81.∴1a 3＋1a 5＝9.答案：99．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝3，a 3＋a 7＝113，∴a 3>0，a 7>0.∴a 25＝a 3·a 7＝3. ∴a 5＝ 3. 答案： 310．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，因此数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21111．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：累乘法求数列通项公式：a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×31×42×53×…×n ＋1n －1＝n n ＋12.答案：n n ＋1212．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得 a m a n ＝4a 1，则m ＋n 的值为________．解析：∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，又a 5≠0，∴q 2＝q ＋2， ∴q ＝2或q ＝－1，又a n >0，∴q ＝2.又 a m a n ＝4a 1，∴a m a n ＝16a 21， ∴a 21q m －1·qn －1＝16a 21，∴qm ＋n －2＝16，即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n －2＝4，即m ＋n ＝6. 答案：613．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 006>S 1 008>S 1 007，则满足S n S n ＋1<0的正整数n ＝________.解析：因为S 1 006>S 1 008>S 1 007，因此a 1 007＋a 1 008<0，a 1 008>0，因此S 2 014＝2 014a 1＋a 2 0142＝1 007(a 1 007＋a 1 008)<0，S 2 015＝2 015a 1＋a 2 0152＝2 015a 1 008>0，由于等差数列具有单调性，因此满足S n S n ＋1<0的正整数n ＝2 014. 答案：2 01414．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 3，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100 元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________元/m 2.解析：设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，因此其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2.答案：123(a 1＋a 2＋23.1a )二、解答题(本大题共6小题，共90分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问b 6与数列{a n }的第几项相等？解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，因此d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，因此2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 因此a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，因此q ＝2，b 1＝4.因此b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63. 因此b 6与数列{a n }的第63项相等．16．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意得，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，因此d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，因此d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .17．(本小题满分14分)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：S n ＋S n ＋1＋S n ＋2＝6n 2－2(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求{a n }的通项公式． (2)若a 1＝a 2＝1，求S 50.解：(1)由题意可得，设数列{a n }公差为d ，当n ＝1时，S 1＋S 2＋S 3＝6－2＝4，即a 1＋(a 1＋a 2)＋(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(2a 1＋d )＋(3a 1＋3d )＝6a 1＋4d ＝4，整理可得3a 1＋2d ＝2.①当n ＝2时，S 2＋S 3＋S 4＝6×22－2＝22，即(2a 1＋d )＋(3a 1＋3d )＋(4a 1＋6d )＝9a 1＋10d ＝22.② 联立①②求得a 1＝－2，d ＝4，因此a n ＝4n －6. 因此等差数列{a n }的通项公式a n ＝4n －6(n ∈N *)．(2)因为S n ＋S n ＋1＋S n ＋2＝6n 2－2，因此S n －1＋S n ＋S n ＋1＝6(n －1)2－2，联立得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝12n －6(n ≥2)因此S 50＝a 1＋a 2＋…＋a 50＝a 1＋a 2＋[(a 3＋a 4＋a 5)＋…＋(a 48＋a 49＋a 50)] ＝2＋[(12×3－6)＋(12×6－6)＋…＋(12×48－6)]＝4 802. 18．(本小题满分16分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，因此数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19．(本小题满分16分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a 万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判定哪一超市有可能被收购？假如有这种情形，将会显现在第几年．解：(1)设甲、乙超市第n 年销售额分别为a n ，b n ，又设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a2(n 2－n ＋2)(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a (n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1；n －1a ， n ≥2.又因b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝a ＋23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232a ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，明显n ＝1也适合，故b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，(n ∈N *)．(2)当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝53a ，a 2>12b 2；当n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，a 3>12b 3；当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市可能被收购．当n ≥4时，令12a n >b n ，则12(n －1)a >⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a ，即n －1>6－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即n >7－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又当n ≥7时，0<4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1，故当n ∈N *且n ≥7时，n >7－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1恒成立．答：第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．20．(本小题满分16分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q >1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，因为S 3＝2S 2＋1，因此a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q )＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)，则T n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2T n＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减，得－T n＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－T n＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化简得T n＝(2n－3)×2n＋3.。

第2章数列测试题含详细答案(苏教版必修5).doc

南京市高一数学5（必修）第二章：数列一、选择题1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（）A ．11B ．12C ．13D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（）A ．66B ．99C ．144D ．297 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（）A ．81B ．120C ．168D ．1924．12+与12-，两数的等比中项是（）A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 6．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（）A ．513B ．512C ．510D ．8225 二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。

2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________. 4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________.6．计算3log 33...3n=___________.三、解答题1．成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

2．在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。

苏教版高中数学必修五等比数列同步练习(1)

生活中的等比数列1．存贷问题例1 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元（精确到0.01元）？解：设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2000（1+0.008）x -，第2期付款后欠款（2000×1.008x -）×1.008x -=2000×1.0082-1.008x x -，…，第12期付款后欠款2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x ，因第12期付款后欠款为0，所以2000×1.00812-（1.00811+1.00810+…+1）x =0，故12122000 1.008175.461.00811.0081x ⨯=≈--（元），即每期应付款175.46元．点评：分期付款问题，实质上是等比或等差数列求和问题，解题的视角是建立等量关系式．记住下列常用公式：（1）复利公式：按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)x y a r =+；（2）单利公式：按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和(1)y a xr =+．2．溶液配制问题例2 容器A 中盛有浓度为%a 的农药m 升，容器B 中盛有浓度为%b 的同种农药也是m 升，两种农药的浓度差为20%()a b >．现将A 中农药的倒入B 中，均匀混合后再由B 倒入A ，恰好使A 中保持m 升，并混合均匀．要使两种农药的浓度差小于1%，至少要操作多少次？（lg50.669≈，lg 60.778≈）解：设A 中溶质的质量为1a ，B 中溶质的质量为1b ，操作k 次后，A B ，中溶质的质量分别为k a 、k b ．则1%a ma =，1%b mb =，又%%20%a b -=， ∴1120%a b m -=．由题意，得111113111(4)4545k k k k k k a a b a a b -----⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，1111411(4)545k k k k k b b a b a ----⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴113()5k k k k a b a b ---=-．故{}k k a b -是首项为1120%a b m -=，公比为35的等比数列． ∴1320%5k k k a b m -⎛⎫-- ⎪⎝⎭g ．∴浓度差为12031005k k k a b m m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭g ，依题意，得120311005100k -⎛⎫<⎪⎝⎭g ．由指数函数的性质，得1(1)lg 0.6lg 20k -<． ∴lg 52lg 520.69921 5.86lg 0.6lg 610.7781k ---->=≈≈--，即 6.86k >，∴7k =．故要使浓度差小于1%，至少要操作7次．点评：解此类问题关键在于找出相邻两次的浓度变化，即1n a +与n a 的关系．3．绿化问题例3 为了治理“沙尘暴”，西部地区经过多年的努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%．从1999年开始，每年出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，同时原有绿化面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿化面积超过50%？（lg2≈0.30）解：设该地区总面积为1，1998年底绿化面积为125a =，经过n 年后绿化面积为1n a +，1998年底沙漠面积为1b ，经过n 年后沙漠面积为1n b +，则111a b +=，1n n a b +=．依题意，有192%12%n n n a a b +=+， ∴14392%12%(1)525n n n n a a a a +=+-=+． ∴1343555n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，45为公比的等比数列．∴1314555nn a +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．令150%n a +>，即314150%5552n⎛⎫-⨯>= ⎪⎝⎭，∴4152n⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∴451lg 2log 3213lg 2n >=≈-． ∴至少要经过4年才能使绿化面积超过50%．点评：本题从题目中所讲的条件入手，在待解决的问题中寻求递推关系，构造等比数列模型，求出通项，再利用题设中的不等关系列出关系式，求得结果．4．投资问题例4 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2）至少经过几年旅游业总收入才能超过总投入? 解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为180015⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元，…，第n 年投入为1180015n -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭万元．故第n 年内的总投入为11148008001800140001555n n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-++⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ．第1年旅游业的收入为400万元，第2年旅游业的收入为140014⎛⎫⨯+⎪⎝⎭万元，…，第n 年旅游业的收入为1140014n -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万元．所以n 年内旅游业的总收入为11154004001400116001444n n n b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++⨯+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ；（2）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则0n n b a ->，即541600140001045n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴45527054n n⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设45nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入上式得25720x x -+>，解得25x <或1x >（舍去），即4255n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得4n >，即至少经过5年旅游业总收入才能超过总投入．点评：解这类题的关键是分清每种增长率，由此写出数量关系，使问题得以解决．记住产值模型公式：原产值的基数为N ，平均增长率为p ，经过时间x 后的产值(1)xy N p =+．一道数列题的多种解法题目（2006年重庆卷·理）在数列{}n a 中，若11a =，123(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =____．解法一（公式法）：由123n n a a +=+，得2123n n a a ++=-，两式相减，得2112()n n n n a a a a +++-=-．∴{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．又123n n a a +=+，∴1232n n n a a ++-=，即123n n a +=-．解法二（累加法）：由上可知{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，于是有214a a -=，3242a a -=⨯， 24342a a -=⨯，……2142n n n a a ---=⨯．把上述1n -个等式相加，得2214(1222)n n a a --=⨯++++L124(2)n n +=-≥，整理得123(2)n n a n +=-≥．又1n =时，1n a =也成立．∴123n n a +=-．解法三（待定系数法）：设12()n n a t a t ++=+，展开，与123n n a a +=+对应系数相等，解得3t =，∴132(3)n n a a ++=+，∴{}3n a +是公比为2的等比数列，其首项为134a +=，∴1113(3)22n n n a a -++=+⨯=，故123n n a +=-．解法四（构成对偶式）：由已知条件可得123n n a a +-=，① ∴211212n n n na a a a +++-=-．故数列{}12n n a a +-是公比为1的等比数列， ∴2122n n n a a a ++--，整理，得2112()n n n n a a a a +++-=-，从而数列{}1n n a a +-是公比为2的等比数列，其首项为2111234a a a a -=+-=，∴111422n n n n a a -++-=⨯=．② ②－①，得123n n a +=-．解法五（不完全归纳法）：21123a ==-，32123523a a =+==-， 432231323a a =+==-， 543232923a a =+==-， 654236123a a =+==-，……，归纳猜想得123n n a +=-．赏析数列创新题1．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层的升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（）．（A ）1楼（B ）2楼（C ）3楼（D ）4楼2．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自身分裂繁殖．已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并且分裂成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2048个“禽流感”病毒N 最多可分裂成细菌M 的数值是（）．（A ）1024 （B ）2048 （C ）2049 （D ）无法确定 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”．已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，…，500a 的“理想数”为（）．（A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）20084．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第____组（写出所有符合要求的组号）．①1S 与2S ；②2a 与3S S ；③1a 与m a ；④q 与m a ．5．某纺织厂的一个车间有n 台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n ．定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定1ij a =，否则0ij a =．若第7号织布机有且仅有一人操作，则1727377n a a a a ++++=L____，若31323332n a a a a ++++=L ，说明__________．6．如图，一粒子在区域{}()00x y x y ，≥，≥内运动,在第一秒内它从原点运动到点1(01)B ，，接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n A 、n B 、n C 时，所经过的时间分别为n a 、n b 、n c ，试写出{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间．答案：1．C 2．C 3．A 4．①④5．1；第3名工人操作了2台织布机．6．解：（1）由图形可设1(10)A ，，2(20)A ，，…，(0)n A n ，，当粒子从原点到达n A 时，明显有13a =，211a a =+， 3111234a a a =+=+⨯， 431a a =+， 5332054a a a =+=+⨯，651a a =+，……2123(21)4n n a a n --=+-⨯，2211n n a a -=+，∴22134[35(21)]41n a n n -=+⨯+++-=-L ，222114n n a a n -=+=．∴22414n n n a n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩，为奇数，，为偶数.∴2221212(21)441n n b a n n n --=--=-+，2222244n n b a n n n =+⨯=+；∴2244144.n n n n b n n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，，为偶数∴222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-，2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+，∴2n c n n =+；（2）由图形知，粒子从原点运动到点(1644)P ，时所需的时间是到达点44C 所经过的时间再加(4416)28-=秒，所以24444282008t =++=秒．。

《等比数列》测试1(苏教版必修5)

第9课时等比数列的概念和通项公式
【分层训练】
1.在数列中，对任意，都有，则等于（）
A B C D 1
2.是公比为2的等比数列，且,则等于（）
A 25
B 50
C 125
D 400
3.已知依次成等比数列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（）
A 0
B 1
C 2
D 1或2
4.若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
5.设，那么（）.
A 既是等差数列，又是等比数列
B 是等差数列，但不是等比数列
C 是等比数列，但不是等差数列
D 既不是等差数列，也不是等比数列
6.在等比数列中，对任意，都有，则公比____.
7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）.
8.已知数列是等比数列，，且成等差数列，求证：依次成等比数列.
【拓展延伸】
9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
10.在数列中，其前项和，,求证数列是等比数列.。

必修5等比数列(含答案)

等比数列[考点梳理]1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________等于同一________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G 2＝________或G ＝________.3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝________或a n ＝________.当n －m 为大于1的奇数时，q 用a n ，a m 表示为q ＝________；当n －m 为正偶数时，q ＝________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝________；点(n ，a n )是曲线________上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧________，q ＝1，________＝ ________，q ≠1. 求和公式的推导方法是：________，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝________且q ≠0，q ≠1.5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1⇒{a n }是等比数列．6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比分别为________，________，________，________.(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…仍为等比数列，公比为________．(4)公比不为－1的等比数列前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成等比数列，且公比为________．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数． ①当a 1＞0，________或a 1＜0，________时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0，________或a 1＜0，________时，等比数列{a n }是递减数列； ③当________时，它是一个常数列； ④当________时，它是一个摆动数列．自查自纠：1．比常数公比 2．等比中项 ab ±ab3．(1)a 1q n －1a m q n －mn －m a n a m ±n －m a na m (2)a 1q y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x4．na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q 1－q 乘公比，错位相减 a 1q －16．(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q n (5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0[基础自测]对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解：由等比数列的性质，得a 9a 6＝a 6a 3＝q 3≠0，因此，a 3，a 6，a 9一定成等比数列．故选D.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18解：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，得a 4＝2，而a 1＝14，q 3＝a 4a 1＝8，得公比q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12.故选C.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解：∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是－2为首项，－12为公比的等比数列，∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q ＝－2（1－2－10）1＋12＝43(2－10－1)．故选C.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝_____．解：由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，也即3a 2＝a 3，得公比q ＝3，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.故填3n －1. 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.故S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.故填2；2n ＋1－2.[典例解析]类型一等比数列的判定与证明设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2（n ≥2）， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，34为公差的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，得a n ＝(3n －1)·2n －2.归纳小结：(1)证明数列{b n }是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法．(2)证明数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．设{}a n 是公比为q 的等比数列.(1)推导{}a n 的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：(1) 设{}a n 的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1, ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，()1－q S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 1()1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1()1－q n 1－q， q ≠1. (2) 证明(反证法)：假设数列{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，()ak ＋1＋12＝()a k＋1()ak ＋2＋1，a2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＋1＝a 1q k －1a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，与已知矛盾．∴数列{a n ＋1}不是等比数列．类型二等比数列基本量的计算(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解：根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2q 2＝3，整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.故填1或－12.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________.解：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52， ①a 2＋a 4＝（a 1＋a 3）q ＝54， ②②÷①得q ＝12，∴a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n－1.故填2n －1.(3)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .解：(Ⅰ)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是以13为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(Ⅱ)∵b n ＝1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，b 1＝1a 1＝3，∴{b n }是以3为首项，13为公比的等比数列，∴T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .归纳小结：在等比数列五个基本量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n 项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n 项和公式列方程还要注意对q 是否为1进行讨论．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172解：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 23＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，故a 3＝1，1q 2＋1q ＋1＝7，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)．∴a 1＝4，q ＝12. ∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.故选B.(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.解：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.故填4或－4. 类型三等比数列的性质(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________.(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________.(3)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S nT n＝n2n ＋1，则logb 5a 5＝________. 解：(1)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，不妨令S 3＝2，则S 6＝1，代入解得S 9＝32，S 9∶S 3＝3∶4.故填3∶4.(2)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①：a 41·q54a 41·q6＝q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160 ＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝210＝1 024. 解法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ，设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8，p ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·p 10＝210＝1 024.故填1 024.(3)由题意知S 9T 9＝lg （a 1·a 2·…·a 9）lg （b 1·b 2·…·b 9）＝lg a 95lg b 95＝lg a 5lg b 5＝logb 5a 5＝919.故填919.归纳小结：(1)等比数列有很多子数列仍是等比数列，本题是性质“在等比数列中，若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列”的应用，特别注意其前提条件是S n ≠0.(2)等比数列中，依次m 项积仍为等比数列，但公比发生改变．(3)利用性质“当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)时，有a m ·a n ＝a p ·a q ”转化条件．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1，求数列{a n }的通项公式．解法一：设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)，∴a n ＝lg T n＝n ＋2(n ≥1)．解法二：依题意，可设这n ＋2个数依次为1，a ，a 2，…，a n ，100；∴T n ＝100a 1＋2＋…＋n ，a n＝lg T n ＝n （n ＋1）2lg a ＋2，又∵a n ＋1＝100，∴a n ＝n ＋2(n ≥1)．[归纳小结]1．注意等比数列每一项均不为0，q 也不为0.2．等比数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个．可类比上节等差数列“名师点睛”栏1进行探究．3．准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质． 4．在含字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论．5．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比．6．等比数列通项公式的求法有： (1)观察法．(2)公式法：①a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）；②等比数列{a n }的通项公式． (3)构造法：①a n ＋1＝pa n ＋q ; ②a n ＋1＝pa n ＋q n ； ③a n ＋1＝pa n ＋f (n ); ④a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n .[课后作业]1．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2解：∵a 2a 9＝a 1a 10＝27，∴log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 327＝3.故选C.2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1 023解：∵2a 4，a 6，48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1，∴S 8＝1×（1－28）1－2＝255.故选B.3．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解：设该等比数列为{a n }，其前n 项的积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33， ∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ，T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n)n ，即7292＝312＝3n ，∴n ＝12.故选B. 4．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150 B ．120 C ．150或－200 D ．400解：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 5．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且 a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 017，则a 2 011＋ a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2.017×1013B ．2.017×1014C ．2.018×1013D ．2.018×1014解：由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．∵(a 2001＋a 2 002＋…＋a 2 010)·q10＝a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝2.017×1013.故选A.6．若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解：∵T 8＝T 12，∴a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，∴a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．故选B.7．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解：∵q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －1－12.故填－2；2n －1－12.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.解：∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.故填1 024.9．等比数列{c n }满足c n ＋1＋c n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝log 2c n ，求a n ，S n .解：设数列{c n }的公比为q ，由题意知，c 1＋c 2＝10，c 2＋c 3＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧c 1＋c 1q ＝10，c 1q ＋c 1q 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧c 1＝2，q ＝4.∴c n ＝2·4n －1＝22n －1，∴a n ＝log 222n －1＝2n －1，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2（1－4n ）1－4＝2（4n －1）3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2（4n －1）3＝22n ＋1＋13.11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d. 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，由于第4项为10，所以公比为2.其通项公式为b n ＝b 3·q n －3＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)由等比数列性质，a 1a 2a 3＝a 32＝125，故a 2＝5. 设数列{a n }的公比为q ，则由|a 2－a 3|＝10有|5－5q |＝10.∴q －1＝±2，得q ＝－1或q ＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝5×3n －2或a n ＝5×(－1)n －2. (2)若a n ＝5×3n －2，则1a n ＝15×13n －2＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而1a 1＋1a 2＋…＋1a m＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ]＜910＜1.若a n ＝5×(－1)n ，则1a n ＝15×(－1)n ＝－15×(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列．当m 为偶数，即m ＝2k (k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝0＜1.当m 为奇数，即m ＝2k －1(k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝－15＜1.综上可知，对任何正整数m ，总有1a 1＋1a 2＋…＋1a m＜1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．。

等比数列同步练习1苏教版必修5

《等差数列与等比数列》一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．1、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 ( )A 15B 30C 31D 642、在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) A 33 B 72 C 84 D 1893、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –104、如果数列}{n a 是等差数列，则 ( ) A 5481a a a a +>+ B 5481a a a a +=+ C 5481a a a a +<+ D 5481a a a a =5、已知由正数组成的等比数列｛a n ｝中,公比q=2, a 1·a 2·a 3·…·a 30=245, 则a 1·a 4·a 7·…·a 28=( ) A 25 B 210 C 215 D 220 6、{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于 ( ) A 667 B 668 C 669 D 670 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1、在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_____.3、等差数列｛a n ｝的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为 .4、设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为_________三.解答题 (本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，或演算步骤)1、已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式；2、已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-（1）证明数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T 。

高中数学苏教版必修5学业分层测评11 等比数列的性质

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】由已知得⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a ，即a 2＋b 2＝2ab ， ∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a ＝1. 【★答案★】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【★答案★】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎨⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7.【★答案★】－74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a7＝________.【导学号：91730040】【解析】设公比为q，则由等比数列{a n}各项为正数且a n＋1<a n知0<q<1，由a2·a8＝6，得a25＝6，.∴a5＝6，a4＋a6＝6q＋6q＝5，解得q＝26，∴a5a7＝1q2＝⎝⎛⎭⎪⎫622＝32.【★答案★】3 25．已知数列{a n}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝________.【解析】∵a2a6＝2a4，由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a24，∴a24＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.【★答案★】 46．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a＋3b＋c ＝10，则a＝________.【解析】由题意知a＋c＝2b，∴5b＝10，b＝2，∴a＋c＝4.∵ac＝ba，∴a2＝bc，∴a2＝2c，∴a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，a＝b＝2不合题意，∴a＝－4.【★答案★】－47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q＝________.【解析】设等差数列为{a n}，公差为d，d≠0，则a23＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d.∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝a3a2＝3.【★答案★】 38．在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则n＝________.【解析】设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【★答案★】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cosπ3＝12， ∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．【解析】a，b，c成等比数列，则ba＝cb，即b2＝ac,2log x b＝log x a＋log x c，即2log b x＝1log a x＋1log c x，即1log a x，1log b x，1log c x成等差数列．【★答案★】③2．(2016·启东高二检测)设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项积为T n，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1a100－1<0，给出下列结论：①0<q<1；②T198<1；③a99a101<1；④使T n<1成立的最小自然数n等于199.其中正确的编号为________．【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a99－1a100－1<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q<1，而且a99>1，a100<1，又a99·a101＝a2100 <1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．【★答案★】①③④3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)．若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.【解析】∵b n＝a n＋1，∴a n＝b n－1，而{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．∵{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，∴{a n}中的连续四项为－24,36，－54,81，∴q ＝－3624＝－32， ∴6q ＝－9. 【★答案★】－94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4. (2)假设存在常数a ，b . 由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1，代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立， ∴⎩⎨⎧3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．。