二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程ax2+bx+c = 0根的分布情况

设方程ar+bx+c = 0(d H 0)的不等两根为心兀且片 < 心，相应的二次函数为f (x) = or? +bx+c = 0, 方程的根即为二次函数图象与X轴的交点，它们的分布情况见下而各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)

表二：（两根与£的大小比较）

表三：（根在区间上的分布）

需满足的条件是

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

(1)两根有且仅有一根在(/,")有以下特殊情况：

1°若/(/«) = 0或/(") = 0,则此时/(/«>/(/?)< 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或"，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(加丿)，从而可以求出参数的值。如方程〃区2—(加+ 2)x+2 = 0

2 2

在区间(1,3)上有一根，因为/(1) = 0> 所以mx2—(m+2)x+2 = (x—l)(mr—2)> 另一根为— > 由1 < — <3 2

得一

3

2°方程有且只有一根，且这个根在区间(〃?,〃)，即△ = 0,此时由4 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给左的区间，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2-4/^ +2w+ 6 = 0

有且一根在区间(-3,0),求加的取值围。分析：①由/(-3>/(0)< 0即(14加+ 15)(加+ 3)< 0得出

]5 3

一3<〃？<一訂：②由△ = ()即16〃/一4(2〃? + 6) = 0得出〃？= -1 或加=；,当〃？ = 一1 时，根兀= -2e(-3,0),

3 3 15即〃2 = —1满足题意：当/« = -时，根兀=3点(一3,0),故/// = -不满足题意：综上分析，得出一3<〃2<-一或

2 v 7 2 14

m = -1

根的分布练习题

例1、已知二次方程(2加+ 1)疋_2皿+(加_1) = 0有一正根和一负根，数加的取值圉。

解：由(2^ + 1)./(0)<0即(2加+ 1)伽一1)<0,从而得一|

例2、已知方程2/一(加+ 1)尤+〃7 = 0有两个不等正实根，数川的取值風

解：由

△ >0

>0 => <

0 v 也v 3 - 2 >/亍或加> 3 + 2 即为所求的用。

例3、已知二次函数y = (m+2)^-(2m+4)x+(3m+3)与x 轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1,数加 的取值围。 解：由(?«+2)./(1)<0即(加+ 2)・(2加+ 1)<0 => -2

2

例4、已知二次方程77U-2+(2/77-3)% +4 = 0只有一个正根且这个根小于1,数川的取值围。

解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则/(0>/(1)<0 => 4.(3/?? + 1)<0 => m<~-即为所 求围。 (注：本题对于可能岀现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1),由4 = 0汁算检验，均不复合题意,

计算量稍大)

_（〃2 +

l ）

2.2 /（0）

>0 （加+ 1）~ -

8/77 > 0

Hl > -1

〃？ v 3 — 2

近或 u >

3 + 2 >/2

=>

解：对称轴x 0 = l^［2,3］,故函数/(x)在区间［2,3］ ±单凋。

卩(心—(2)

(1)当。＞0时，函数/(X )在区间［2,3］上是增函数，故＜

=> 3a + b + 2 =

5

2+b = 2 => (2)当avO 时，函数/(A )^E 区间［2,3］ h 是减函数，故

=>

nun

h + 2 = 5 3a+b + 2 = 2

=>

a = -1

b = 3

2、二次函数在闭区间加司上的最大、最小值问题探讨

设/(x) = ax 2

+bx + c = 0(a ＞0),则二次函数在闭区间［加丿］上的最大、最小值有如下的分布情况:

(1) 若一? € ［心］'则 /(^)max = maX 1 ' /Wmin =

min

1

r/OOf ；

2a \ 2a )

2a)

J

J 、"

丿

⑵若-f ■丘［加/］,则/(A )max = max{/(/«),/(/:)}, /(x)min =nin{/(m),/(n)}

2a

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开X 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开 口向下时，自变量的取值离开X 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方而入手：开口方向.对称轴以及闭区间，以下三 个例题各代表一种情况。

例1、函数f(x) = ax 2

-2cix+2+b(a^O)在［2,3］上有最大值5和最小值2,求的值。

例2、求函数f (x) = x2-2ax+l y x^［1,3］的最小值。

解：对称轴x^=a

(1)当“V1 时，y mn=f(l) = 2-2a：

⑵ 当\

(3)当"3时,=7(3) = 10-66/

改：1.本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：(1)当a <2时，/(x)nux =/(3)= 10-66/；

(2)当a>2时，/(x)n^ =/(1) = 2-2^/«

2.本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：(1)当“vl 时,/⑴唤*(3) = 10—&, /W nun =7(1) = 2-267 ；

⑵当1K2 时，f(x)n^=f⑶=10-&八 /(叽n=/(“) = l_/：

(3)当2"<3时,/(^)_=/(1) = 2-2«,心)—⑷= 1";

(4)当"3时,/W nm=/(l) = 2-2^, /«_=/(3) = 10-6^

例3、求函数y = F _ 4兀+ 3在区间［/,/ + 1］上的最小值。

解：对称轴x0 = 2

(1)当2vf即/>2时，儿讪=于(/)=尸一4/ + 3：

(2)当t<2

(3)当2>『+ 1 即fv 1 时，=/(r + l) = r2-2/

例4、讨论函数/(x) = x2 +|x-«|+l的最小值。

解：f(x) = x2+\x-a\ + \ = \X1+X~a + t'X^a,这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为

7 1 1x2^x+a + \.x

直线兀=一丄，x =丄，当a<--9a>-时原函数的图象分别如下(1), (2), (3)

2 2 2 2 2 2