近世代数 第11讲
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（1） ，且 中每元素都能表示 的形式（取 ，即可） .且 .
（2） ,其中： ,
于是. 中乘法封闭。
其次 ，其中
∴ .由上知 .
（3）如果 且 ，那么 中有限个元素的乘积，逆元素的乘积，元素与逆元素的乘积都含在 中， .
由 的任意性， 是含 的最小的子群。
定义2ຫໍສະໝຸດ Baidu设 ，那么有
（1）子群 .叫做由子集 生成的子群，记作 ，并称 为 的生成子集，
例5设模 剩余类加群 。令 ,可知 ,可知
子群的性质：设 ，那么
性质1：若 中的单位元为 ，中的单位元为 ，那么 .
证明：
这说明子群 中的单位元就是母群 的单位元.
性质2：设 ，那么若 在 中的逆元为 ， 在 中的逆元为 ，则 .
证明：
子群的判定定理1：设 ，那么
（1） ,（2）
证明：
若 ，（1）显然成立，而上述性质2恰说明（2）成立.
（2）若 为有限集，那么称 是有限生成的，并称 为 的生成元集，此时可记 .
（3）若 为单元集时， 就叫做循环群，其中 为 的生成元（这正是§7中的内容）
明示2：如果 时，那么 .
例8在例6中 .若令
.那么 且 .
.这说明: .
也就是说， 可由 中任意两个元素生成，但不可能由一个
元素生成，即 不是循环群。
仔细分析， 不能构成群的本质原因是“不够大”。也就是说，需要对 扩张——往 中添加其他元素，但应添加什么元素呢？——添加那些 应具备，但没具备的元素。
如果将那些应添加的元素做成的集合记为 ，则 。现令 ，那么 中元素应如何表示？ 是什么结构？
结论3：设 ，那么上述的 为
其中 是含有 的最小的群。
证明：
1、能判断子群的构成和掌握彼此等价的判断条件
2、有限群的判断定理
3、子群（集）的乘积和生成子群的概念
4、循环群的子群所具有的特性
本讲的重点和难点：为了更好的学习下一讲内容，本讲中增添了部分内容（也都是群论中最基本的内容）。循环群的子群的性质；子群之积的性质，…都是本讲中的要点和难点，通过这方面的训练可使我们对子群有一个更深入的了解。生成子群的概念在本教材中谈的很少，本讲中也作了适当地加强。结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们有一种温故而知新的感觉。此外，本讲中还引入了中心，中心化子，正规化子等概念，以便拓宽知识量。
思考题3：一个群能否表成它的三、四个真子群的并集？
例6设 ，则易知 是群。（即 ），现令 ， ， 。
可知 都是 的真子群 ，显然 。
例7对于三次对称群 ，
令 ，
可知 ，并显然 ,
上二例表明：群有可能表成三个或四个真子群的并。
二、生成子群
任取出 的一个非空子集 ，它未必能构成子群。也就是说， 可能不满足“ 或 ”.
思考题4取 的一个子集 ，试问 生成的子群 中包含了哪些元素？试问一个群的两个不同的子集能生成同一个子群吗？
解： 中元素是 中元素一切可能的元素和逆元之积组成的。即：含有 。自然还有
.∴
另外：设 ,但 （验证过程略）
由上可知尽管 .但 两个不同的子集可能生成相同的子集。
训练题设 ，找出 的全部子集。（注：有二个重要命题需要用到：（1）循环群的子群必是循环群。（2） 阶循环 中， 的任一个正因子 ， 都有唯一的一个 阶子群）
有限子群的判定定理：设 ，且 ，那么 有 .
证明：
必要性：显然。
充分性：（1）条件表明 满足封闭.
（2） 中满足结合律 也满足结合律.
（3）因为 中满足消去律 中也满足消去律.
由（1）、（2）和（3） （注 是有限集）.
思考题1：
每个群都有二个不同的平凡子群吗？
的二个子群 和 有可能会 吗？
为了加深印象，可从集合的角度对上述定理进行论述：
一、子群的定义及判定条件
定义1、设 是一个群，而 ，如果 关于 中的运算本身也能作成群，则称 是 的一个子群记为
例1设 为任意一个群，那么由 的单位元组成子集 ，自然有 ，另外 本身也有 ，所以 一般有两个子群，统称它们为的 平凡子群。如果 除了平凡子群外还有其他子群，那就称为 的真子群，记为 。
例2 是整数加群，而一切偶数构成的集合为 ，其中： ，那么关于整数的加法有
例9设 ，而令 。由高等代数知识知：“每个可逆阵可写成初等矩阵之积”，所以 .
三、子群的积
首先观察下例
设 ，那么易知 ，那么
，会成为群吗？事实上， ,
但 这说明 对乘法不封闭 不是群.
上例是告戒我们，两个子群的积未必成为群（问题出在哪？），经分析，关键是 中元素对乘法不适合封闭性。
满足乘法封闭性的实质是什么？
解：由上命题（1）知， 的每个子群都必是循环群。由命题（2）知 的正因子只有 只有 个子群。
作业：P65（1）（2）（5）（6）
注:·模 的剩余类加群 是 阶循环群，故可用上训练题的方法解决。
·
第11讲
§8子群（Subgroups）
本讲教学目的和要求：对于群这个新的教对象，应该如何入手，从哪几个方面去研究它，这一直是我们所关心的问题。概括些说，对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。与集合比较，群就是多了一个运送（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关系群的一切讨论都要围绕这个运送展开，子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道，本讲中要求：
,若 使 ,
经分析知:
定义3：设 如果 ，则称 与 可交换
注意： 只是意味着左右两个集合相等，而绝不意味着 的元素与 中元素乘积可交换。
结论4设 ，则 .
证明： .显然 。但
但
由 的任意性 。同理 .由于
使
由 的任意性 .
∴ .
由前面的分析知， 中元素满足封闭性。
另外： .则 ,∴ 逆元封闭。
所以 .
因为（1）成立 中元素乘法封闭。
结合律在 中成立，自然在 中也成立。
由（2） ，再由（1）知 。
由（2）
于是可知 .
如果将上述定理1中的（1）和（2）进行合并，则得：
子群的判定定理2：设 ，则 ，有
证明： .由定理1中（2） ，再由（1）知
（往证（1）和（2）成立）
.由条件知 ，即 ，那么 ，并且 ，所以（1）和（2）都成立，由定理1 。
设 是群 的两个非空子群，那么定义：
显然 和 都是 的非空子集，至此，可以重新定义子群：
结论1：设 ，那么 且
结论2：设 ，那么
对于上述结论的证明是显而易见的。
注意：结论1正是判定定理1的另一种表述；
结论2是判定定理2另一种表述。
思考题2：一个群 能表成它的两个真子空间的并集吗？
答：不能。如果 ，且 。那么必有 且 。故存在， 且 ， 且 ，而 是群 ，即 或 ，但若 矛盾。同理，若 ，矛盾。这表明 是不可能的。
明示1：任取一个整数 ，那么 为一切 的倍数构成的集合，可知 .
例3设 表示一切可逆 阶方阵组成的集合，用矩阵通常的乘法可知：
中方阵对乘法封闭（任二个 阶可逆阵之积仍可逆）
中方阵满足乘法结合律
单位元为
的逆元为 的逆阵
所以 是个群。
若 令为 中的 阶数乘阵，那么 是 的非空子集，且必有 。
例4设 为三次对称群，令 和三次交错群 。易知 .
（2） ,其中： ,
于是. 中乘法封闭。
其次 ，其中
∴ .由上知 .
（3）如果 且 ，那么 中有限个元素的乘积，逆元素的乘积，元素与逆元素的乘积都含在 中， .
由 的任意性， 是含 的最小的子群。
定义2ຫໍສະໝຸດ Baidu设 ，那么有
（1）子群 .叫做由子集 生成的子群，记作 ，并称 为 的生成子集，
例5设模 剩余类加群 。令 ,可知 ,可知
子群的性质：设 ，那么
性质1：若 中的单位元为 ，中的单位元为 ，那么 .
证明：
这说明子群 中的单位元就是母群 的单位元.
性质2：设 ，那么若 在 中的逆元为 ， 在 中的逆元为 ，则 .
证明：
子群的判定定理1：设 ，那么
（1） ,（2）
证明：
若 ，（1）显然成立，而上述性质2恰说明（2）成立.
（2）若 为有限集，那么称 是有限生成的，并称 为 的生成元集，此时可记 .
（3）若 为单元集时， 就叫做循环群，其中 为 的生成元（这正是§7中的内容）
明示2：如果 时，那么 .
例8在例6中 .若令
.那么 且 .
.这说明: .
也就是说， 可由 中任意两个元素生成，但不可能由一个
元素生成，即 不是循环群。
仔细分析， 不能构成群的本质原因是“不够大”。也就是说，需要对 扩张——往 中添加其他元素，但应添加什么元素呢？——添加那些 应具备，但没具备的元素。
如果将那些应添加的元素做成的集合记为 ，则 。现令 ，那么 中元素应如何表示？ 是什么结构？
结论3：设 ，那么上述的 为
其中 是含有 的最小的群。
证明：
1、能判断子群的构成和掌握彼此等价的判断条件
2、有限群的判断定理
3、子群（集）的乘积和生成子群的概念
4、循环群的子群所具有的特性
本讲的重点和难点：为了更好的学习下一讲内容，本讲中增添了部分内容（也都是群论中最基本的内容）。循环群的子群的性质；子群之积的性质，…都是本讲中的要点和难点，通过这方面的训练可使我们对子群有一个更深入的了解。生成子群的概念在本教材中谈的很少，本讲中也作了适当地加强。结合高等代数中生成子空间的理论，会使我们有一种温故而知新的感觉。此外，本讲中还引入了中心，中心化子，正规化子等概念，以便拓宽知识量。
思考题3：一个群能否表成它的三、四个真子群的并集？
例6设 ，则易知 是群。（即 ），现令 ， ， 。
可知 都是 的真子群 ，显然 。
例7对于三次对称群 ，
令 ，
可知 ，并显然 ,
上二例表明：群有可能表成三个或四个真子群的并。
二、生成子群
任取出 的一个非空子集 ，它未必能构成子群。也就是说， 可能不满足“ 或 ”.
思考题4取 的一个子集 ，试问 生成的子群 中包含了哪些元素？试问一个群的两个不同的子集能生成同一个子群吗？
解： 中元素是 中元素一切可能的元素和逆元之积组成的。即：含有 。自然还有
.∴
另外：设 ,但 （验证过程略）
由上可知尽管 .但 两个不同的子集可能生成相同的子集。
训练题设 ，找出 的全部子集。（注：有二个重要命题需要用到：（1）循环群的子群必是循环群。（2） 阶循环 中， 的任一个正因子 ， 都有唯一的一个 阶子群）
有限子群的判定定理：设 ，且 ，那么 有 .
证明：
必要性：显然。
充分性：（1）条件表明 满足封闭.
（2） 中满足结合律 也满足结合律.
（3）因为 中满足消去律 中也满足消去律.
由（1）、（2）和（3） （注 是有限集）.
思考题1：
每个群都有二个不同的平凡子群吗？
的二个子群 和 有可能会 吗？
为了加深印象，可从集合的角度对上述定理进行论述：
一、子群的定义及判定条件
定义1、设 是一个群，而 ，如果 关于 中的运算本身也能作成群，则称 是 的一个子群记为
例1设 为任意一个群，那么由 的单位元组成子集 ，自然有 ，另外 本身也有 ，所以 一般有两个子群，统称它们为的 平凡子群。如果 除了平凡子群外还有其他子群，那就称为 的真子群，记为 。
例2 是整数加群，而一切偶数构成的集合为 ，其中： ，那么关于整数的加法有
例9设 ，而令 。由高等代数知识知：“每个可逆阵可写成初等矩阵之积”，所以 .
三、子群的积
首先观察下例
设 ，那么易知 ，那么
，会成为群吗？事实上， ,
但 这说明 对乘法不封闭 不是群.
上例是告戒我们，两个子群的积未必成为群（问题出在哪？），经分析，关键是 中元素对乘法不适合封闭性。
满足乘法封闭性的实质是什么？
解：由上命题（1）知， 的每个子群都必是循环群。由命题（2）知 的正因子只有 只有 个子群。
作业：P65（1）（2）（5）（6）
注:·模 的剩余类加群 是 阶循环群，故可用上训练题的方法解决。
·
第11讲
§8子群（Subgroups）
本讲教学目的和要求：对于群这个新的教对象，应该如何入手，从哪几个方面去研究它，这一直是我们所关心的问题。概括些说，对群的研究，可分为互相联系的两个方面：群的结构和群的表示。与集合比较，群就是多了一个运送（正是这个运算才给群带来了生命力），所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论，只是关系群的一切讨论都要围绕这个运送展开，子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的结构的一个重要渠道，本讲中要求：
,若 使 ,
经分析知:
定义3：设 如果 ，则称 与 可交换
注意： 只是意味着左右两个集合相等，而绝不意味着 的元素与 中元素乘积可交换。
结论4设 ，则 .
证明： .显然 。但
但
由 的任意性 。同理 .由于
使
由 的任意性 .
∴ .
由前面的分析知， 中元素满足封闭性。
另外： .则 ,∴ 逆元封闭。
所以 .
因为（1）成立 中元素乘法封闭。
结合律在 中成立，自然在 中也成立。
由（2） ，再由（1）知 。
由（2）
于是可知 .
如果将上述定理1中的（1）和（2）进行合并，则得：
子群的判定定理2：设 ，则 ，有
证明： .由定理1中（2） ，再由（1）知
（往证（1）和（2）成立）
.由条件知 ，即 ，那么 ，并且 ，所以（1）和（2）都成立，由定理1 。
设 是群 的两个非空子群，那么定义：
显然 和 都是 的非空子集，至此，可以重新定义子群：
结论1：设 ，那么 且
结论2：设 ，那么
对于上述结论的证明是显而易见的。
注意：结论1正是判定定理1的另一种表述；
结论2是判定定理2另一种表述。
思考题2：一个群 能表成它的两个真子空间的并集吗？
答：不能。如果 ，且 。那么必有 且 。故存在， 且 ， 且 ，而 是群 ，即 或 ，但若 矛盾。同理，若 ，矛盾。这表明 是不可能的。
明示1：任取一个整数 ，那么 为一切 的倍数构成的集合，可知 .
例3设 表示一切可逆 阶方阵组成的集合，用矩阵通常的乘法可知：
中方阵对乘法封闭（任二个 阶可逆阵之积仍可逆）
中方阵满足乘法结合律
单位元为
的逆元为 的逆阵
所以 是个群。
若 令为 中的 阶数乘阵，那么 是 的非空子集，且必有 。
例4设 为三次对称群，令 和三次交错群 。易知 .