直角三角形的射影定理 课件
合集下载
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FБайду номын сангаас· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
返回
[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2＝BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度． 分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答 本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
返回
解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
返回
[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
返回
[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
返回
[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
直角三角形的射影定理 课件
2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
1.4直角三角形的射影定理课件人教新课标4
解析：如图，AB2＝AD2＋BD2，AB＝6 AB2＝BD·BC，BC＝ABBD2＝15.
5，由射影定理可得，
∴ CD ＝ BC － BD ＝ 15 － 12 ＝ 3. 由 射 影 定 理 可 得 ， AC2 ＝
CD·BC，AC＝ 3×15＝3 5.
AB2 AC2
＝BCDD··BBCC＝BCDD＝132＝4.
N.因 AB＝ 3，BC＝3，所以 AC＝2 3. 在 Rt△ABC 中，由射影定理得：AB2＝AE·AC ∴AE＝AABC2＝ 23， 在 Rt△AEB 中，由射影定理得：AE2＝AM·AB，
∴AM＝EN＝AAEB2
＝
232＝ 3
43，
在 Rt△ADC 中，tan∠CAD＝CADD＝ 33，∴EANN＝ 33，
答案：3 3 5 4∶1
考点二 利用射影定理解决证明问题 例2 如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC， DG⊥BE，F、G 分别为垂足．
求证：AF·AC＝BG·BE.
【证明】 因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均 为直角三角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2，所以 AF·AC＝BG·BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形
AE＝ABcos π3＝ 23，则 CE＝2 3－ 23＝3 2 3.在△ECD 中，
DE2
＝
CE2
＋
CD2
－
2CE·CDcos
∠
ECD
＝
3
2
3
2
＋
(
3 )2 －
2×3 23× 3×12＝241，故 DE＝ 221.
直角三角形的射影定理 课件
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝BACC22， ∴ABDD＝(ABCC)2＝(34)2＝196， 即 AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)． BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
图 1－4－3 已知如图 1－4－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于 D，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F. 求证：CD3＝AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB→CD2 ＝ AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝BACC22， ∴ABDD＝(ABCC)2＝(34)2＝196， 即 AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)． BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
图 1－4－3 已知如图 1－4－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于 D，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F. 求证：CD3＝AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB→CD2 ＝ AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.
1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1， 根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 射影的概念 【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些 点或线段的端点，作BC边的垂线．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上 的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射 影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂 足间的线段就是所求射影．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 还可研究相似问题、比例式等问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符 号 表 示 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD⊥AB 于 D ， 若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形． 证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
直角三角形的射影定理公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
直角三角形射影定理
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
返回
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
返回
2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
返回
点击下图进入“创新演练”
返回
∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
返回
[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
返回
2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
返回
点击下图进入“创新演练”
返回
∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
返回
[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
返回
∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项．
返回
[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
返回
[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
返回
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
返回
[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图 形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
返回
[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10， 若 2 BE＝2，求 BC 的长．
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
返回
∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB， 即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
返回
[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足． 求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法 分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2， 所以 AF· AC＝BG· BE.
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
返回
[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用． 本题主要考查射影定理和勾股定理的
返回
解：在△ABC中，设AC为x，
返回
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ BCA B是公共角 , BDC BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.
2
在 ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形 .
习题1.4 3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项 的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等 积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图 形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 有AC AD ? AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
(3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.
直角三角形的射影定理 课件
∴由射影定理,得AC2=AD·AB,CD2=AD·DB,
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
1.4 直角三角形的射影定理
0
C
A
D
B
又 ∵ CD = AD ⋅ DB ∴ AD : CD = CD : DB ∴ ∆CDA∽∆BDC ∴∠CAD = ∠BCD
2
在∆ACD中 ∵ ∠CAD + ∠ACD = 900 ∴∠BCD + ∠ACD = 900 ∴∠ACB = 900 ∴ ∆ABC 是直角三角形.
普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 普通高中课程数学选修 8 [普通高中课程数学选修
例2 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为 ，且 中 顶点 在 边上的射影为D， 边上的射影为 CD²=AD·DB 求证： △ABC是直角三角形。 求证： 是直角三角形。 是直角三角形 证明:在 证明 在△CDA和△BDC中, 和 中
∵点C 在AB上的射影为D， ∴ CD ⊥ AB . ∴∠CDA = ∠BDC = 90 .
BC = BD ⋅ AB 同理,由∆CDA ∽ ∆BCA =AD(AD+BD)=AD·AB
2
而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD
2 用勾股定理能证明吗? 同理可证得 用勾股定理能证明吗 (3) 有AC = AD ⋅ AB 同理可证得BC²= D BD·AB A
B
普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 普通高中课程数学选修 4 [普通高中课程数学选修
A D B
普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 普通高中课程数学选修 6 [普通高中课程数学选修
习题1.4 习题 1. 直角△ABC中已知 直角△ 中已知:CD=60 AD=25 中已知
求：BD,AB,AC,BC的长 的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
C
A
D
B
又 ∵ CD = AD ⋅ DB ∴ AD : CD = CD : DB ∴ ∆CDA∽∆BDC ∴∠CAD = ∠BCD
2
在∆ACD中 ∵ ∠CAD + ∠ACD = 900 ∴∠BCD + ∠ACD = 900 ∴∠ACB = 900 ∴ ∆ABC 是直角三角形.
普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 普通高中课程数学选修 8 [普通高中课程数学选修
例2 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为 ，且 中 顶点 在 边上的射影为D， 边上的射影为 CD²=AD·DB 求证： △ABC是直角三角形。 求证： 是直角三角形。 是直角三角形 证明:在 证明 在△CDA和△BDC中, 和 中
∵点C 在AB上的射影为D， ∴ CD ⊥ AB . ∴∠CDA = ∠BDC = 90 .
BC = BD ⋅ AB 同理,由∆CDA ∽ ∆BCA =AD(AD+BD)=AD·AB
2
而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD
2 用勾股定理能证明吗? 同理可证得 用勾股定理能证明吗 (3) 有AC = AD ⋅ AB 同理可证得BC²= D BD·AB A
B
普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 普通高中课程数学选修 4 [普通高中课程数学选修
A D B
普通高中课程数学选修4-1] 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 普通高中课程数学选修 6 [普通高中课程数学选修
习题1.4 习题 1. 直角△ABC中已知 直角△ 中已知:CD=60 AD=25 中已知
求：BD,AB,AC,BC的长 的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156