高考数学专项练习小题专练

7．(2017·哈尔滨一模)已知函数f(x)＝ sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
答案D
解析因为f(x)＝2sin (ω>0)，所以最小正周期T＝ 。又由题设可知T＝π，故T＝ ＝π⇒ω＝2，故f(x)＝2sin ，其单调递增区间为2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，即kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，故选D。
A．7个B．8个C．9个D．10个
答案C
解析由题知，f(x)为偶函数，f(0)＝sinφ＝±1，又0<φ<π，所以φ＝ ，f(x)＝sin ＝cosωx。令t＝ωx，f(x)＝cost，则y＝cost在 上不单调。令ω＝1，y＝cost在 是单调减函数，所以ω≠1；令ω＝2，y＝cost在 是单调减函数，所以ω≠2；令ω＝3，y＝cost在 不单调，所以ω＝3符合题意；令ω＝4，y＝cost在[π，2π]是单调增函数，所以ω≠4；依次类推，可得当ω＝5,6,7，…，12时均符合题意，所以ω取3,5,6,7,8,9,10,11,12时，f(x)在 上不单调，所以ω的可能值有9个。
11．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝ 的部分图象大致为()
答案C
解析因为函数f(x)＝ 的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，f(－x)＝ ＝ ＝－f(x)，所以y＝ 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f ＝ ＝0，f ＝ ＝ <0，排除A；f(π)＝ ＝0，排除D。故选C。
12．(2017·东北三校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω≤12，ω∈N*,0<φ<π)图象关于y轴对称，且在区间 上不单调，则ω的可能值有()
5．将函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ 个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝()
A. B. C. D.
答案A
解析将函数f(x)＝sin 的图象向左平移φ 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin ＝sin ，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，又0<φ≤ ，所以取k＝0，得φ＝ ，故选A。
8．(2017·安徽宿州一模)将函数f(x)＝3sin 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象()
A．关于点(－2,0)对称B．关于点(0，－2)对称
C．关于直线x＝－2对称D．关于直线x＝0对称
答案B
解析将函数f(x)＝3sin 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g(x)的解析式g(x)＝3sin －4＝3sin －4＝－3sin －4＝－f(－x)－4，故两个函数的图象关于点(0，－2)对称，故选B。
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的最小正周期为π，且其图象向右平移 个单位后得到函数g(x)＝sinωx的图象，则函数f(x)的图象()
A．关于直线x＝ 对称B．关于直线x＝ 对称
C．关于点 对称D．关于点 对称
答案B
解析依题意得T＝ ＝π，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，将f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数y＝sin ＝sin2x的图象，因此φ－ ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ＋ ，k∈Z，又|φ|< ，因此φ＝ ，f(x)＝sin 。f ＝sin ＝－ ，f ≠±1且f ≠0，因此f(x)的图象不关于直线x＝ 对称，也不关于点 对称。f ＝sin ＝1，因此f(x)的图象关于直线x＝ 对称，故选B。
A．2 B.
C．－ D．－
答案D
解析依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(源自文库)的图象可知，T＝ ＝4 ＝π，ω＝2。又Aω＝1，因此A＝ 。因为0<φ<π， < ＋φ< ，且f′ ＝cos ＝－1，所以 ＋φ＝π，φ＝ ，f(x)＝ sin ，f ＝ sin ＝－ × ＝－ ，故选D。
2．(2017·海南联考)已知f(x)＝2sin ，若将它的图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为()
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
答案A
解析f(x)＝2sin ，若将它的图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)＝2sin ＝2sin 的图象，令2x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，求得x＝ ＋ (k∈Z)，故函数的图象的一条对称轴的方程为x＝ ，故选A。
二、填空题
13．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则f ＝________。
答案±2
解析函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则其对称轴为x＝ ，所以f ＝±2。
14．函数y＝sin2x与函数y＝tanωx有相同的零点，则y＝tanωx的单调递增区间为____________________。
10．(2017·泉州模拟)已知函数f(x)＝2sin cos ，且对于任意的x∈R，f(x)≤f ，则()
A．f(x)＝f(x＋π)B．f(x)＝f
C．f(x)＝f D．f(x)＝f
答案C
解析函数f(x)＝2sin cos ＝sin(x＋φ) ，若对任意的x∈R，f(x)≤f ，则f 等于函数的最大值，即 ＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，则φ＝2kπ＋ ，k∈Z，又|φ|< ，∴φ＝ ，∴f(x)＝sin ，∴f(x)的周期为T＝2π，A，B错误；又f(x)图象的对称轴是x＝kπ＋ ，k∈Z，C正确，D错误。故选C。
解析因为0≤x≤9，所以－ ≤ － ≤ ，因此当 － ＝ 时，函数y＝2sin 取得最大值，即ymax＝2×1＝2。当 － ＝－ 时，函数y＝2sin 取得最小值，即ymin＝2sin ＝－ ，因此y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 。
16．将函数y＝sinx＋ cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点 ，则φ的最小值为________。
6．(2017·甘肃兰州一模)函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝ ，那么f(x1)＋f(x2)＝()
A. B.
C．0D．－
答案C
解析由题图知，T＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，将 代入函数，根据φ的范围，得φ＝ ，∴f(x)＝sin 。∵图象关于 中心对称，x1＋x2＝ ，∴x1，x2的中点为 ，则f(x1)＋f(x2)＝0。
答案 (k∈Z)
解析根据题意可知，y＝tanωx的周期为y＝sin2x的周期的一半，即T＝ × ＝ ，∴ω＝ ＝2，∴y＝tan2x。令－ ＋kπ<2x< ＋kπ(k∈Z)，得y＝tan2x的单调递增区间为 (k∈Z)。
15．函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________。
答案2＋
3．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝ sin ＋cos 的最大值为()
A. B．1
C. D.
答案A
解析因为cos ＝cos ＝sin ，所以f(x)＝ sin ，于是f(x)的最大值为 ，故选A。
4．(2017·贵阳高三监测考试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f 的值为()
答案
解析依题意，将y＝2sin 的图象向右平移φ个单位得到曲线y＝2sin ，再向上平移1个单位得到曲线y＝2sin ＋1，又该曲线经过点 ，于是有2sin ＋1＝1，即sin ＝0，φ－ ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ＋ ，k∈Z，因此正数φ的最小值是 。
小题专练·作业(七)三角函数的图象与性质 见学生用书P105
一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx
答案A
解析y＝cos ＝－sin2x，最小正周期T＝ ＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin ＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C、D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C、D不正确。