谱方法解微分方程

1.1 解微分方程的加权余量法(Methods of Weight Residuals)
加权余量法 MWR,是求微分方程形如 u N ai i 的近似解。
i 0 N
目
录
1. 谱方法解微分方程 ............................................................................................................................ 1 1.1 解微分方程的加权余量法(METHODS OF WEIGHT RESIDUALS) ................................................... 1 1.1.1 基本思想.............................................................................................................................. 1 1.1.2 MWR 的基本方法 .................................................................................................................. 2 1.2 正交函数系与谱近似 .................................................................................................................. 3 1.2.1 正交函数系与正交多项式 .................................................................................................. 3 1.2.2 谱近似.................................................................................................................................. 4 1.3 谱方法求解微分方程 .................................................................................................................. 5 1.3.1 Chebyshev Galerkin 方法 ..................................................................................................... 5 1.3.2 Chebyshev Tau ........................................................................................................................ 5 1.3.3 Chebyshev Collocation 方法 .................................................................................................. 6 2. 谱元方法(THE SPECTRAL ELEMENT METHOD).................................................................... 6 2.1 有限元方法与谱方法比较 ........................................................................................................... 6 2.2 变分原理 ....................................................................................................................................... 7 2.2.1 常微分方程边值问题的 Galerkin 变分原理 ........................................................................ 7 2.2.2 偏微分方程的 Galerkin 变分原理 ........................................................................................ 8 2.2.3 非齐次边界条件的处理 ........................................................................................................ 9 2.3 谱元方法(THE SPECTRAL ELEMENT METHOD) .............................................................................. 9 2.3.1 Galerkin 逼近解 ...................................................................................................................... 9 2.3.2 常微分方程元素矩阵的形成 .............................................................................................. 10 2.3.3 偏微分方程元素矩阵的形成 .............................................................................................. 12 2.3.4 总刚度矩阵的形成 .............................................................................................................. 16 3. 谱元方法的程序设计及计算例题 ................................................................................................... 17 3.1 常微分方程边值问题程序设计 ................................................................................................. 17 3.1.1 对称带状矩阵的一维存储及总刚度矩阵的形成 .............................................................. 17 3.1.2 强加边界条件的处理 ........................................................................................................ 18 3.1.3 计算例题.............................................................................................................................. 19 4. 附录 A ............................................................................................................................................... 21 4.1 CHEBYSHEV 方程.......................................................................................................................... 21 4.2 CHEBYSHEV 多项式的定义 .......................................................................................................... 21 4.3 CHEBYSHEV 多项式的性质 .......................................................................................................... 22 4.4 CHEBYSHEV 多项式的零点与极值点 .......................................................................................... 23 4.5 CHEBYSHEV 多项式的正交性 ...................................................................................................... 23 4.6 函数的 CHEBYSHEV 展开(完备性) ............................................................................................. 24 4.7 作为插值函数时的性质 .............................................................................................................. 24 5. 附录 B ............................................................................................................................................... 26 6. 参考文献 .......................................................................................................................................... 27
谱元方法求解偏微分方程
1. 谱方法解微分方程Baidu Nhomakorabea
谱方法求解微分方程,是加权余量法 MWR(Method of Weight Residuals)的一种,加权余量 法的关键是试函数 ( 也称展开函数的近似函数 ) 和权函数的选取 , 谱方法中通常选取截断 Fourier 级数或截断的由正交多项式展开的广义 Fourier 级数。