高三数学-24极限的四则运算法则 推荐
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限四则运算法则条件
极限四则运算法则条件极限是数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质以及求解各种数学问题中起着重要的作用。
四则运算是我们常用的加减乘除运算，而极限四则运算法则是指在进行函数的极限运算时，可以通过一些特定的条件和法则来简化运算过程。
下面，我们将详细介绍极限四则运算法则的条件以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来说一下四则运算的基本规则。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b、c，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
减法运算是加法运算的逆运算，即对于任意实数a和b，有a-b=a+(-b)。
乘法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b、c，有a*b=b*a和(a*b)*c=a*(b*c)。
除法运算是乘法运算的逆运算，即对于任意非零实数a和b，有a/b=a*(1/b)。
接下来，我们来讨论极限四则运算法则的条件。
在进行极限四则运算时，以下条件必须满足：1. 极限的条件：对于函数f(x)和g(x)，当x无限趋向于某个数值a时，f(x)和g(x)需要有定义。
这意味着函数在点a的附近存在。
2. 除法运算的条件：在进行除法运算时，除数g(x)不能趋近于零，即lim g(x)≠0。
因为在数学中，除以零是没有定义的。
3. 极限和常数乘法的条件：在进行极限运算时，可以将极限与常数相乘。
即lim (c*f(x))=c*lim f(x)，其中c为常数。
这个条件使得我们可以在极限运算过程中简化计算。
4. 极限和加法、减法的条件：在进行极限运算时，可以将极限与加法、减法运算相结合。
即lim (f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)和lim (f(x)-g(x))=lim f(x)-lim g(x)。
这个条件使得我们可以将复杂的极限运算转化为简单的加减法运算。
通过满足以上条件，我们可以在进行极限运算时，应用极限四则运算法则，来简化计算过程。
最后，我们来谈谈极限四则运算法则的应用。
在实际问题中，我们常常需要求解函数在某个点的极限值，以及函数在无穷远处的极限值。
高考数学极限的四则运算
通过例1,例2同学们会发现:①函数 (x) 同学们会发现: 函数f( ) 通过例 , 同学们会发现 处有定义; 在 x = x0处有定义 ②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时,只要把 处的极限值时,只要把x=x0 代入函数解析 式中,就得到极限值.------代入法 式中,就得到极限值 代入法
注:使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在. 是各部分极限必须存在
lim lim lim 不难得到: 由 x → x [ f ( x ) g ( x )] = x → x f ( x ) x → x g ( x) 不难得到:
0 0 0
x→x0
lim[Cf ( x)] = C lim f ( x)(C为常数) 为常数) 为常数
2
通过例3, 4会发现 会发现: 函数f(x) 通过例3,例4会发现:①函数f(x)在 x = x0 处无 定义; 求这类函数在某一点x=x0处的极限值时,若 处的极限值时, 定义;②求这类函数在某一点 用代入法,分子分母都为0 用代入法,分子分母都为0. 解决办法:可对分子分母因式分解,约去为 的公因 解决办法:可对分子分母因式分解,约去为0的公因 式来求极限. 式来求极限.------因式分解法 因式分解法
x→x0
x→ x0
lim[ f ( x)] = [ lim f ( x)] (n ∈ N )
n n * x→ x0
注:使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在. 是各部分极限必须存在
函数极限运算法则: 同样有 x →∞时" 函数极限运算法则: "
如果 lim f (x) = a
x→∞
,
lim g ( x) = b 那么
0
2)当x从点 0左侧(即x＜x0)无限趋近于 0时,函数 ) 从点x 无限趋近于x 从点 左侧( ＜ f(x)无限趋近于一个常数 ,就说 是函数 无限趋近于一个常数a,就说a是函数 是函数f(x)在点 0处的 在点x 无限趋近于一个常数 在点 左极限,记作 lim f ( x) = a. 左极限,
2019年最新-D24极限运算法则-精选文档
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理1 , 2 , 3 直接得出结论 .
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例2. 设 n 次多项式 P n ( x ) a 0 a 1 x a n x n ,试证
xl ix0m P n(x)P n(x0).
直接求函数值
证:
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定理 3 . 若li f( x m ) A ,li g ( x m ) B ,且 B≠0 , 则有
lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
证: 因 li f( x m ) A ,li g ( x m ) B ,有
推论 2 . lifm (x )n ] [ [lifm (x )]n ( n 为正整数 )
推论 3 . 若 l i m fi( x ) A i,k i是 常 数 ， ( i 1 ,2 ,...,n )
则有
n
n
lim[ ki fi (x)] ki lim fi (x)
i1
i1
limx1 x3 x 3
2 6
1 3
为什么可以 约去x-3?
0型 ： 0
分解因式， 约去零因子
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例5 . 求 xl im 1x22x5x34.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
limx2 5x4 12 514 0
的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 若 li f( x m ) A ,li g ( x m ) B ,且 f(x)g(x), 则 AB.
极限四则运算法则
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极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
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间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
高中数学函数求极限技巧分享
高中数学函数求极限技巧分享函数求极限是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的地方。
在这篇文章中，我将分享一些函数求极限的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。
一、基本极限法则在解决函数求极限的问题时，我们可以利用一些基本的极限法则来简化计算过程。
这些基本法则包括：1. 极限的四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的和差法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))- 极限的乘法法则：lim(f(x) × g(x)) = lim(f(x)) × lim(g(x))- 极限的除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) (其中lim(g(x)) ≠ 0)2. 极限的乘方法则：当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的幂运算法则：lim(f(x)^n) = [lim(f(x))]^n (n为常数)通过运用这些基本极限法则，我们可以将复杂的函数极限问题简化为更容易计算的形式。
二、无穷小量与无穷大量在函数求极限的过程中，我们需要了解无穷小量和无穷大量的概念。
1. 无穷小量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为0，那么f(x)就是x趋于a时的无穷小量。
常见的无穷小量有x、sinx、cosx等。
2. 无穷大量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为正无穷大或负无穷大，那么f(x)就是x趋于a时的无穷大量。
常见的无穷大量有1/x、e^x、lnx等。
了解无穷小量和无穷大量的性质，可以帮助我们更好地理解函数的极限性质。
三、常见的函数极限类型在高中数学中，有一些常见的函数极限类型，我们可以通过分析其特点来求解。
1. 无穷小量与无穷大量的乘积：当两个函数f(x)和g(x)的极限分别为无穷小量和无穷大量时，我们可以通过分析它们的乘积来求解极限。
高等数学-极限的运算法则
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例. 设有分式函数
多项式 , 若 试证( x )
证:
x x0
lim R( x)
lim Q ( x )
说明: 若 例4.
不能直接用商的运算法则 .
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则( 分步求极限！) 定理7. 设
( x) a , 又
x x0
且 x 满足 则有
lim f [ ( x) ]
时,
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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二、 极限的四则运算法则 定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
定理4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
0 lim
3 1
3
1 t
3
a t
lim
t0
3
t 1 a t
3
lim
t0
3
t 1 a 0
故 因此
1 a 0 a 1
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作业
P48 1 （5），（7），（9），（12）
24极限运算的基本法则
例 7 求 lxi m 1(x1 1x331).
解 因为 lim 1 , x1 x 1
3
lim
x1
x3
1
1
3
极限和的运算法则不能直接应用, 将 x 1 x3 1 通分得
lim( 1 x1 x1
x331)=
lim
x1
x2 x3
x 1
2
(x1)(x2)
lim例如如果在自变量x的同一变化过程中lim推论2如果lim存在而c为常数则推论1如果limlim3lim3limlim63lim则极限不能直接应用商的极限运算性质3lim分子和分母都含有因式x3约去这个因式得limlim极限不能直接使用商的极限运算法则一般地当x时有理函数的极限有如下结论
§2.4 极限运算的基本法则
= lim x1(x1)(x2 x1)
1
例 8求 ln i m (n 1 2n 2 2
n n2).
解
12
n
lni m (n2 n2 n2)
12 n
=lim( n
n2
)
n(n 1)
1 1
= lim n
2 n2
= lim n n 2
=1 2
推论1 如果 lim f ( x) 存在，而C为常数，则
lim C f(x)C lim f(x)
推论2 如果 lim f ( x)存在，且n是正整数，则
lim f(x)nlimf(x)n
例1 求 lim(x23x6). x1
解 lim(x2 3x6)lim x2lim (3x)lim 6
不能直接使用商的极限运算法则, 从
分子和分母约去 x的最高次幂 x 2 有
高等数学极限运算法则
二、、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设 且 x 满足 时,
( x) a , 又
x x0
则有
lim f [ ( x) ]
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
x x0
x x0
lim f [ ( x) ] lim f (u ) A
u
x
x
BD
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
BC AB AD
1 x A o C
即
sin x x tan x
(0 x ) 2
sin x cos x 1(0 x ) 2 x
令t x
用于含三角或 0 反三角的 型 0
例. 1、求
n
1
1 n 1
e
lim (1 1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] n n
n
1) x lim (1 x x
e
当
时, 令 x (t 1) , 则
1 lim (1 t 1) (t 1) t
x 3 3 10 10
10 x lim(1 ) e10 x x3
x 7 7
7 7 (1 ) 1 e7 10 x x 3 e 或 lim lim 3 x x e 3 x x 3 1 (1 ) x 3 lim(1 tan x)cot x
x x0 ( x )
lim f ( x) A
证明
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n1 1) n
n n
1 ) x (1 1 ) n 1 (1 x n
第3节 极限的四则运算法则及函数极限的基本性质
x → x0
lim g ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
o
u → u0
且存在 δ 0 > 0 ,当 x ∈ U ( x0 , δ 0 ) 时,有 g ( x ) ≠ u0 ,则
x → x0
lim f [ g ( x )] = lim f ( u) = A.
f ( x) A ( 3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x ) B
说明: 说明 (1) 条件很重要,要两个极限都存在; 条件很重要, 两个极限都存在; 结论有两层含义: (2) 结论有两层含义: 其一,定性上 指出了相应的极限都存在; 其一,定性上,指出了相应的极限都存在; 其二,定量上 给出了相应极限的值. 其二,定量上,给出了相应极限的值.
说明: 说明 (3) 条件仅是充分条件,不是必要条件; 条件仅是充分条件,不是必要条件; f ( x) lim[ f ( x ) ± g ( x )] , lim f ( x ) ⋅ g ( x ) , lim 存在, 存在 , g( x ) 都不能推出 lim f ( x ) 与 lim g ( x ) 的极限存在. 都不能推出 的极限存在.
u → u0
同样, 结论仍成立. 同样,将定理中 x → x0 换成 x → ∞ ,结论仍成立.
例 8 求:(1) lim−
x→0
1 ex
; (2) lim+
x→0
1 ex
1 ; (3) lim sin . x→∞ x
二、函数极限的性质
1.极限存在的惟一性 1.极限存在的惟一性
定理 存在,则极限惟 若 lim f ( x ) 存在,则极限惟一.
x→2 x→2 x→2
极限四则运算法则适用条件
极限四则运算法则适用条件1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个数学小知识，但别担心，不会让你头疼。
咱们要说的就是极限四则运算！听起来很高深，但其实就像喝水一样简单。
极限是个很有趣的概念，仿佛在和我们玩捉迷藏一样，它总是藏在一些很隐秘的地方，等着你去发现。
今天，我们就来揭秘一下，在什么情况下可以使用极限的四则运算法则。
准备好了吗？那咱们就开始吧！2. 极限的基本概念2.1 极限的定义首先，什么是极限呢？简而言之，极限就是当一个变量逐渐接近某个值时，函数的行为。
比如说，你在靠近你最爱的冰淇淋时，心里那种期待的感觉，就像极限一样！当自变量越来越接近某个点，函数的值也随之变化。
说到这里，想必大家都能理解了吧！2.2 极限的存在性不过，极限并不是随便就存在的。
有些函数就像小猫一样，忽上忽下，让你捉摸不透。
比如说，某些分式当自变量趋向某个值时，可能会出现不确定型，这可就让人头大了。
这时候，我们要确认极限是否存在，才能开始运算。
不然的话，就像你一头扎进水里，却发现水是空的，尴尬得很啊！3. 四则运算法则的适用条件3.1 加法与减法好啦，咱们进入正题，极限的四则运算是啥情况呢？首先是加法和减法。
在你有两个函数的时候，只要这两个函数的极限都存在，并且都是有限的，那你就可以直接把极限加起来或减去。
就像你和朋友一起吃饭，你点的菜和他点的菜，最后一起结账，分担的快乐加起来，心里美滋滋的！当然，如果其中一个极限是无穷大，那结果也会变得很复杂，得小心处理哦。
3.2 乘法与除法接下来是乘法和除法。
这里面也有一些小门道。
若两个函数的极限都存在，而且它们的极限不为零，那么可以直接把极限相乘或相除。
就像你跟你的宠物狗一起玩接飞盘，狗狗跳得高高的，飞盘也飞得远远的，这样才能实现完美的配合！不过，如果是除法，千万要注意，底下的极限不能是零，不然可就要闹笑话了。
4. 其他注意事项4.1 不确定型的处理说到这里，大家可能会想，那如果出现不确定型呢？哎呀，这就得好好琢磨琢磨了。
高等数学——极限的四则运算法则
极限的四则运算法则§1.3介绍了极限的概念，并用观察法求出了一些简单函数的极限。
但对于较复杂的函数的极限就很难用观察法求得，因此，还需研究极限的运算。
本节主要是建立极限的四则运算法则，并利用该法则求一些常见类型极限。
1.5.1极限的四则运算法则定理1.5.1 设A x f x =→)(lim ?，B x g x =→)(lim ?，则（1）B A x g x f x g x f x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim ???（2）B A x g x f x g x f x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim ???（3）BA x g x f x g x f x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim ???（0≠B ）证明略。
注：（1）定理中，记号“?lim →x ”表示该定理对于自变量各种变化趋势的极限均成立。
（2）法则（2）中，若C x g =)(（C 为常数），则有)(lim )(lim ??x f C x Cf x x →→=（3）法则（1）、（2）均可推广到有限个函数的情形：设函数)()()(21x f x f x f n ，，， 当?→x 时的极限均存在，则有 )(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→±±±=±±±)(lim )(lim )(lim )]()()([lim ?2?1?21?x f x f x f x f x f x f n x x x n x →→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅特殊地，当)()()()(21x f x f x f x f n ==== 时，个个n x x x n x x f x f x f x f x f x f )(lim )(lim )(lim ])()()([lim ????→→→→⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即n x n x x f x f )](lim [)]([lim ??→→=另注：（1）该定理给求极限带来了极大方便，但应注意，运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限必须存在，并且，在除法运算中，还要求分母的极限不为零。
函数极限的四则运算法则具体内容
函数极限的四则运算法则具体内容函数极限的四则运算法则是指利用函数极限性质推导出的一系列关于四则运算的法则。
这些法则是极其重要的，它们对于理解函数极限的概念和实质有着重要的意义。
因此，了解这些法则和它们的具体内容是理解极限的第一步。
函数极限的四则运算法则包括：一、加法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}[f(x)+g(x)]=limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)+limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)+g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相加得到$f(x)+g(x)$在$x_0$处极限值。
二、乘法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，则：$limlimits_{xrightarrow x_0}[f(x)timesg(x)]=limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)timeslimlimits_{xrightarrow x_0}g(x)$即函数$f(x)times g(x)$在某点$x_0$处可求极限，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相乘得到$f(x)times g(x)$在$x_0$处极限值。
三、除法法则：假设函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处可导，且$limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)eq0$，则：$limlimits_{xrightarrowx_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{limlimits_{xrightarrowx_0}f(x)}{limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)}$即函数$frac{f(x)}{g(x)}$在某点$x_0$处可求极限，且函数$g(x)$在$x_0$处的极限值不为零，则$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处的极限相除得到$frac{f(x)}{g(x)}$在$x_0$处极限值。
求极限的运算法则
求极限的运算法则1. 引言在数学中，极限是研究函数、序列等概念时经常用到的一个概念。
它是数学分析的重要基础。
极限的运算法则是指在一定条件下，对于两个或多个函数或数列的极限进行运算时，会产生怎样的结果。
极限的运算法则是学习数学分析时需要掌握的重要内容。
在本文中，我将介绍极限的定义和相关概念，并详细阐述极限的运算法则。
2. 极限的定义和相关概念极限是为了解决函数在某个点附近的行为而产生的概念。
它是函数在无穷小量下的趋近值。
如果一个函数f(x)在x趋近于a时的极限存在，那么这个极限就被称为函数f(x)在x=a处的极限。
在数学符号表示中，我们通常用以下表达式表示函数f(x)在x=a处的极限：$lim_{x→a}f(x)$其中，x表示自变量，a表示极限的趋近点。
如果简单地将x趋近于a，函数f(x)趋近于一个有限的值，那么这个极限就存在。
我们可以用任意接近a的数来检查这个极限。
当然，这里的任意接近a的数，可能包含函数f(x)值的任何改变。
这就是极限的定义。
由于数学中，通常使用符号来表示函数，因此我们在表示极限的时候也会用符号来表示。
具体来说，我们通常会用以下几个符号来表示一些经典的极限：- $\lim_{x→\infty}\frac{1}{x}$=0 x趋向于正无穷时，函数趋向于0- $\lim_{x→0}\frac{1}{x}$不存在 x趋向于0时，函数不存在- $\lim_{x \to 1^-}\frac{1}{x-1}$ 此时x趋近于1的负面，函数趋向于负无穷在求极限的过程中，还需要用到一些相关的概念。
比如，连续和导数。
这些概念和极限密切相关。
在这里，我简单地介绍一下这些概念。
连续：如果函数f(x)在点a处的左右极限都存在，且它们相等，那么我们称函数f(x)在点a处连续。
导数：导数是描述函数的一种重要方式，特别是在研究函数局部行为时。
如果函数f(x)在点a处可导，那么f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，表示的是函数在该点的斜率。
极限的运算法则
2.型 有 理 式 及 无 理 式
1
方法：分子分母同时除以x 的最高次方幂
2
约最高次幂法
2x2 3
lim
x
3x2
1
.
(
型
)
[分析 ]当x时,分子 ,分母都趋于, 无穷大
先x用 2去 0 1 除分,转 子化 分为 母 ,再 无0求 2穷 .极 小限
2x2 3
lim
x
3x解2
1
lim
x
2 3
lim x1
x3 1
(x1)(x2) lx i1m (x1)(x2x1)
0 0
x2
lx im 1 x2
1 x1
求ln i m (n12n22 nn2) .
n时,是无穷小之和．
01 先变形再求极限.
02
说明:无穷多个无穷小 量之和不一定是无穷小
03
解l n i(n 1 m 2 n 2 2 n n 2 0)4 l n i 例1 m 2 n 2 n
3 x2 1 x2
例1
lim(2
x
3 x2 )
1
lim(3
x
x2 )
20 2 30 3
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
x
1 x 1例 21
x
1
x2
1 x2
lim ( 1 x x
1 x2
)
0
lim (1
x
1 x
1 x2
)
例3
3x2 x2 lx im 4x3 2x3.(
型
)
lim
x
3 x
1
x2 2
2
极限的四则运算法则前提
极限的四则运算法则前提嘿，朋友们，今天咱们聊聊极限的四则运算法则，听起来有点高深，其实吧，没那么复杂。
你看，极限就像那种平时不怎么出门的朋友，偶尔出现一下，给你带来一些惊喜。
想象一下，一个小猫咪慢慢靠近你，最后扑进你怀里，那感觉就是极限。
你先得明白，极限是个什么东东。
简单说，就是当某个数值越来越接近某个特定值时，那个特定值就是极限。
就像你吃冰淇淋，开始的时候很凉快，最后融化的那一刻，那就是极限的体现。
大家都知道，加法、减法、乘法、除法，这四则运算就像是生活中的四个好朋友，缺一不可。
每一个操作都有自己的脾气，运用起来要小心翼翼。
加法嘛，就是把两件事情凑到一起，就像你和你的好基友一起去吃饭，买了一堆美食，大家一起分享，幸福感满满。
可在极限运算中，这种加法也有它的小秘密。
假如你有两个极限，嘿嘿，咱们可以把它们加起来，得到一个新的极限。
比如说，A和B都是靠近某个点的，那A加B也一样会朝着那个点靠近。
是不是很简单呢？不过，这个时候要注意哦，得保证它们的极限都是存在的。
要是其中一个不太靠谱，那就有点麻烦了。
你想想，吃火锅的时候，有个朋友非要点点奇奇怪怪的食材，那就别想大家都吃得痛快。
再来说说减法。
减法其实就是把两个东西分开，就像把你的薯条和汉堡分开吃，哈哈。
极限的减法跟加法差不多，两个极限相减，结果也能得到一个新的极限。
想象一下，你和好朋友一起分享薯条，你吃一半，他吃一半，最后只剩下那么一点点，那剩下的就是你们的“极限”，简直太美妙了。
但是，有时候减法会让事情变得复杂，尤其是如果某个极限的值不太稳当，那结果就可能不太好。
就像你减掉了一个好朋友，那种失落感可不是开玩笑的。
接下来是乘法。
这就像你在派对上遇到另一半，两个人一拍即合，火花四溅，哇，简直美滋滋！极限的乘法也很有趣，如果你有两个极限A和B，它们的乘积就能得到一个新的极限。
不过，嘿嘿，要小心哦，有时候A或者B如果是零，结果可就不一定了，真是让人捉摸不透。
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(1) lim(3x2 2x 1); x1
( x 3)(2x 1)
(3) lim x1
x 5x 6
;
2.求 下 列 极 限:
(2)lim 2x 1;
x2 3x 1
x2 2x2 2
(4) lim x0
5x2 4
.
x2 4
(1) lim
;
x2 x 2
x2 x 2
(2) lim x1
知
lxim
x2 1 x1
ax
b
0,求常 数a和b的 值.
[ lim ]n ,(n x x0
N ).
例1 求下列极限 :
(1) lim xn; x x0
1
(2) lim x
xn
.
2.4极限的四则运算
例2 求下列极限:
2x2 x 1
(1)
lim
x1
x3
x2
1
;
x2 1
(2)
lim
x1
2x2
x
1
.
2.4极限的四则运算
1.求 下 列 极 限:
三、练习巩固
x2 x
;
x2 x 6
3x 3
(3) lim x2
x2
;
(4) lim x1
1
x2
.
2.4极限的四则运算
3.求下 列极限:
cos x sin x
(1) lim
;
x cos 2 x
4
(2) lim x2
4 x2
4
x
1
. 2
4.已 知lim x1
x x2
a
1
b
1, 求a,
b的
值.
5.已
即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.4极限的四则运算
3.函 数 极 限 的 四 则 运 算 法则
如果 lim f ( x) a, lim g( x) b,那么
x x0
x x0
(1) lim[ f ( x) g( x)] a b; x x0
(2) lim[ f ( x) g( x)] a b; x x0
2.4极限的四则运算
一、新课讲解
1.熟 记 常 见 极 限:
1
1
(1) lim 0; (2) lim ;
x x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n n
(3) lim C lim C C.
x
x x0
(4)
lim
x x0
x
x0;
sin x (5) lim
1;
(6) lim1
1
x
e.
x0 x
x x
2、若函数在其定义域内具有连续性，则其极限值 就等于该点的函数值。
f (x) a
(3) lim
(b 0);
xx0 g( x) b
(4) lim[C f ( x)] C lim f ( x) C a.
x x0
x x0
注 意: 这 些 法 则 对 于x 的 情 况 也 成 立.
2.4极限的四则运算
重要结论:
二、例题导练
lim [
x x0
f
( x)]n