第二章 静电场理论

为了确定电场中某点附近通量及其源之间的关系，把 闭合面缩小，使包括这点在内的体积ΔV趋近于零，再 r r 取下面的极限： ∫ E • dS
lim
(s)
∆V → 0
∆V
这个极限值称为场强矢量E在该点的散度，记为 divE或▽·E，即
r div E =
lim
∫
(s)
r r E • dS ∆V
∆V → 0
v
S
对于介质表面，束缚电荷面密度与极化强度关系是：
r r σ p = P • n = P cos θ = Pn
束缚电荷也会产生电场，因此电介质内部的电场 是外加电场和极化电荷电场的叠加。设外电场强 度为E0，极化电荷产生的附加电场强度为E’，而 电介质的合成场强为E，那么三者有如下的关系：
r r r' E = E0 + E r E = E0 / ε r
• 束缚电荷 电介质极化，在电介质表面产生束缚电荷。如果 非均匀的电介质，除了电介质表面出现极化电荷， 在电介质内部也将产生体极化电荷。 那么束缚电荷与极化强度是什么关系，
r r 束缚电荷： q = ∫ ρ p dV = − ∫ P • d S (积分形式 )
'
r 束缚电荷密度： ρ p = −∇ • P (微分形式 )
∫E
p
∞
• dl −
∫E
q
• dl
若是点电荷：
∞
电位（势）： 电位（势）差：
U ( p) = U
p∞
=
rp
∫
Edr =
q 4 πε 0 ε r r p q 4 πε 0 ε r r p − q 4 πε 0 ε r rq
U ( pq ) = U ( p ) − U ( q ) =
若是多点电荷：
∞
电位（势）：
静电屏蔽腔
3、电介质与静电场
• 电介质的极化 电介质是指导电率很小的物质。其特点是分子中正 负电荷束缚的很紧，在一般条件下，正负电荷不能 分离，因而介质内部自由电荷极少，导电能力很弱。 • 电介质的种类 无极分子电介质和有极分子电介质。
无极分子的正负电荷中心在无外电场存在时是重 合的，整个分子没有电偶极矩，如H2、N2和CCl4等。 这类分子在外电场作用下，分子中正负电荷中心将 发生相对位移形成电偶极子（矩），电偶极矩方向 与外电场方向相同，在电介质内部正负电荷互相抵 消呈电中性，只有介质的两个与外电场方向垂直的 端面出现电荷，称为电介质极化。无极分子电介质 这种极化方式称为位移极化。
有极分子的正负电荷中心即使在无外电场存在时 也是不重合的，如H2O等。但是由于分子热运动物 规则，平均电偶等于零，宏观上不显电性。在外电 场作用下，每个分子的电偶极矩都受一个力矩作用 使分子电矩转向电场方向，这样所有分子固有电矩 的矢量和就不等于零，但这种偏转是不完全的，随 外电场强度变化。对于整个电介质来说，在与外电 场方向垂直的端面出现电荷，称为电介质极化。有 极分子电介质这种极化方式称为取向极化。
• 静电感应
+ - ρ=0 + - E=0 + + 处在电场中的孤立导体，则外加电场对导体的自由电子将产生 力的作用，使它们逆着电场的方向运动。结果是导体的一端出现 负电荷，而另一端出现正电荷，这种现象称为静电感应。见图示。 当外电场撤掉时，正、负感应电荷中和。静电感应可以使原来 不带电的物体发生电荷的重新分布，在外力的作用下变为静电带 电体，也可能形成局部静电放电，在分析静电危害和防护时应特 别注意。
• 电场强度 （1）试验电荷 尺寸小，看成点电荷； 电量少，对被测电场影响小。 （2）点电荷电场中的场强
r F q ˆ E= = r 2 q0 4πε 0ε r r
（3）多个点电荷组成系统的场强
n r r r r E = E1 + E2 + L + En = ∑ i =1
4πε 0ε r ri
qi
将空间一点的电位Φ代入上面两个微分公式，得
拉普拉斯方程：div( gradφ ) = ∇ 2φ = （没有空间电荷） 0
ρ 泊松方程：∇ φ = − （有空间电荷） ε0
2
• 静电场环路定理和旋度 旋度所反映的是场的环流性质。静电场的电力线分 布是没有漩涡状结构，因而可以推想静电场是无旋的。 通过点电荷的库仑定律公式可以证明（略），得到：
• 高斯定理 在电场中任一点取一面积元ds与该点场强方向垂直， 设穿过ds的电力线有dN条，则比值dN/ds叫该点的电力 线数密度。电场中任一点的电力线数密度与该点的场强 大小成比例，若令比例系数为1，则有：
dN E = ds r r 如果 d S 与场强 E 的方向不垂直，则有： r r dN = Eds cos θ = E • d S
2
ˆ ri
（4）电力线 • 由正电荷出发终止于负电荷。 • 从带电量q[C]的电荷发出的电力线数为q/ε[根]。 • 电力线在某点的密度表示该点场强的大小。 • 电力线上各点的切线方向为该点的电场方向。
• 电位、电势差
∞
电位（势）： 电位（势）差：
U ( p) = U
p∞
=
∫E
p
• dl
∞
U ( pq ) = U ( p ) − U ( q ) =
• 电位移矢量 应用高斯定理
r r E • dS =
∫
S
∑
q + q'
∫
S
r r r (ε 0 E + P ) • d S =
ε0
∑
q
r r r D = ε0E + P r r ∫ D • d S = ∑ q ( 介质中的高斯定理
S
)
r r r r r r D = ε 0 E + P = ε 0 E + χε 0 E = (1 + χ ) ε 0 E (1 + χ ) ε 0 = ε r ε 0 = ε
ε r = 1 + χ ( 是大于 1的值 )
r r D = εE
• 静电场的边界条件 当计算分区均匀介质中的电场时，必须知道在经过
两种媒质分界面时，场强E和电位移矢量D将如何变化。
r 电场强度矢量D的切线矢量分量连续，即： r 介质分界面上没有自由电荷，电位移矢量D法线分量连续，即： D1n = D2 n E1n ε r 2 ε r1 E1n = ε r 2 E2 n ⇒ = E2 n ε r1 E1t = E2t
dN这个物理量称为电通量，穿过曲面S的总电通量为
r r N = ∫∫ E • dS
(S )
高斯定理表述：通过电场中任意闭合曲面S的总电 通量N等于该面包围的所有电荷的代数和Σqi除以
ε0，即：
r r 1 N = ∫∫ E • dS =
(S )
ε0
∑q
i
i
高斯定理反映了电通量及其“源”之间的关系。积分 形式的高斯定理表示一个大范围的关系，对场的研究 还要知道高斯定理的微分形式。
即电场中某点电场强度E的散度等于该点上电荷密 度ρ和真空介电常数ε0的比值。
r ρ 在均匀介质中高斯定理的微分形式为 ∇ • E = ε
上式指出电场的某点上ρ>0，即正电荷存在，divE>0，表示 该点有E通量发出；电场的某点上ρ<0，即负电荷存在， divE<0，表示有E通量终止于该点；电场的某点上ρ=0，即无 电荷存在，divE=0，E通量是连续的，电力线只是通过该点。
• 电极化强度 当电介质处于极化状态时，在电介质内部任一宏 观小体积元△V内分子的电极矩矢量和不等于零。为 了定量描述电介质的极化程度，引入一个矢量P，它 等于电介质单位体积内分子电矩的矢量和， r 即： r ∑ p P = lim ∆V → 0 ∆ V r r P = χε 0 E
电介质极化程度P与电场强度E成正比，χ称为介 质的电极化率，与E无关，与介质种类有关。
球形电容器：
4 πε R 1 R 2 C = R 2 − R1
式中d是平行板距离，两轴线之间距离2h。
部分电容（或称分布电容）：
在静电防护工程中，经常会遇到多个未接地导体的情况。 当研究其中某两个导体间的静电放电时，不仅需要了解研究 对象之间的关系，还要考虑周围导体对研究对象的影响，这 就要利用部分电容的概念。 当一群（n个）导体存在时，由场的叠加原理可知，其中任 一个导体（第i个导体）的电位不仅和该导体上的电荷Qi有 关，而且也和其余各导体上的电荷有关。此时电位和电荷的 关系是线性的，即：
U 导体 = 一定， gradU 导体 − r 静电平衡，导体内部 E = 0, 有： r ρ divE = =0 r =E=0
ε0
静电平衡：
（1）导体内部任意一点的电场强度等于零。 （2）导体表面上任一点的场强必定垂直于导体表面。 （3）导体在平衡条件下是等位体，导体表面是等位面。 （4）在静电平衡条件下，电荷都分布在导体的表面 上，导体内部任一小体积元内的净电荷等于零。 （5）导体在电场中达到静电平衡时，其表面上电荷的 分布不一定是均匀的，一般地讲，表面曲率大的地方， 电荷密度大；表面曲率小的地方，电荷密度小。
由此可见，电场中某点场强E的散度，即为该点电通 量密度的极限值，它是一个标量，单位为V/m2。
把高斯定理应用于此小闭合面，则得E的散度为 r r r r ∫( sE • d S = ∆q / ε 0 ρ ) ∇ • E = div E = lim lim0 ∆ V = ε 0 ∆V ∆V → 0 ∆V →
• 静电屏蔽 由导体静电平衡的条件和特点可知，导体在电场中达 到静电平衡后，导体内部任何点的场强均为零。所以， 导体外部的电力线只能终止(或起始)于导体表面，并与 导体表面垂直，不能穿过导体进入内部。也就是说，空 腔导体内部的物体不会受到外部电场的影响。 空腔导体使其内部不受外电场影响的性质叫静电屏蔽。 在静电防护领域，为了使对静电敏感的器件不受外界 静电场的影响，通常将敏感器件装在屏蔽袋中。