1-100最简二次根式表
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。
【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。
（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。
例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练 习A 组1．下列各式正确的是（ ）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（ ）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（ ）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（ ）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为 。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
八年级数学下册知识点归纳非常全面
八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
二次根式的化简及计算
二次根式的化简及计算一、学习准备：1、平方根：如果 x 2 = a ，那么x 叫做a 的平方根。
若0a ≥, 则a 的平方根记为 ．2、算术平方根：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。
若0a ≥, 则a 的算术平方根记为_____．3100的_______，结果为_______．②表示4964的_______，结果为_____．③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________．__________，__________． 二、阅读理解 4、二次根式的概念：”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、积的算术平方根= = . = × = ，所以一般地b = (0,0)a b ≥≥（注意：公式中,a b 必须都是非负数）积的算术平方根，等于 ．=应该等于多少？例1、化简:（1 （2 （3 （40,0)a b ≥≥即时练习：计算（1（2（3 （46、二次根式的乘法=(0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
例2、计算 （1 （2）即时练习：计算（1 （2 （3）(-7、商的算术平方根== ，23= ==(0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于 。
化简（1 （2（3即时练习：化简（1 （2 （3课堂检测1、计算:（1 （2 （3 （42、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c.（1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求3、计算：（1 （2）（3 （44、化简（1 （2（38．根式分母有理化例1：把下列各式化为最简二次根式（1（2（3）即时练习：把下列和各式化为最简二次根式（1（2（3（4）x（2（3例2、把下列各式分母有理化:（1即时练习：把下列各式分母有理化（2（1（2（3）32、把下列各式化为最简二次根式（1）（2）（3（43、把下列各式分母有理化:（1（29.同类二次根式概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。
最简二次根式和同类二次根式 (1)
教案撰稿人完稿时间审核人审核时间课程进度课程标题学生对象：教学目标教学安排一览时间1235678910创新三维学习法，高效学习加速度知识精要一、最简二次根式1. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0m a a≥的式子叫做二次根式。
2. 化简后的二次根式中：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数不含分母。
3.最简二次根式必须满足二个条件：(1)被开方数中各因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
二、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。
同类二次根式可以合并.注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。
创新三维学习法，高效学习加速度创新三维学习法，高效学习加速度 精解名题例1.化简下列二次根式 (1) 48 24343=⨯=;(2)532 252101032288⨯===⨯; (3) 28(0)x x ≤()()00220x x x ⎧=⎪=⎨-<⎪⎩; (4)327a -,解：因为0a <则原式=()2233a a ⨯⨯⨯-33a a=-33a a =--;(5) ()345380a b c a < 解：因为a<0, 所以0c ≤，则原式=c c b a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯222222)()(223 ac c b a 2)(2322⨯⨯⨯-⨯⨯= ac c ab 2622-= 例2.化简二次根式的结果是（ ）A. B.- C. D.解：因为,创新三维学习法，高效学习加速度所以-(a+1),即a原式=所以应该选B例3化简：0293618(32)(12)23+--+-+-． 解：0293618(32)(12)23+--+-+- 3322(12)1|12|2=--+++-． 3322121212=---++-．3212=- 例4 最简二次根式(1)下列各式中,是最简二次根式的是( ) A18 B12x C2x y + D 221x x ++ 解：A 18=32 B 18x =23x D 221x x ++=所以，应选C(2) 3445x y 解：因为0x ≥，则原式()222235x x y =⨯⨯⨯⨯35xy x =(3) y x x解：有式子可直接得：00x xy ≠≥且， 则原式2yx xx = 2xy x x=xy =))00x xy x xxy x xy x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩;(4) 已知,02x <<,22442222x x x x+++-创新三维学习法，高效学习加速度解：原式()()222222x x xx+-=2222x x x x =++-222222x x x x x x +-=22x x =例5 同类二次根式(1)下列根式中,与3是同类二次根式的是( )A. 24B. 12C.32D. 18解：A. 242462626⨯=⨯=B. 122432323⨯=⨯=C.32= 32622⨯=⨯ D. 18=2923232⨯=⨯=所以选B(2)219334x x x23x x x =x =例6. 已知a ＝21,b ＝41,求b a b -－ba b +的值． 解 原式ab b ab b +-+=2ba b=-， 将a ＝21,b ＝41代入得，原式=2创新三维学习法，高效学习加速度热身练习1．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a=____，b=___。
最简二次根式
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。
二次根式知识点总结
知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例2】假设式子13x -有意义，那么x 的取值X 围是． 举一反三：1、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值X 围是2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P 〔m ，n 〕的位置在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】假设y=5-x +x -5+2009，那么x+y=解题思路：式a a ≥0〕，50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，那么x+y=2014 举一反三： 111x x --2()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．33、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
a 5b 是512a b ++的值。
假设17的整数局部为x ，小数局部为y ，求yx 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：〔1〕字母不一定是正数．〔2〕能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．〔3〕可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系〔1〕a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的X 围是一切实数． 〔2〕()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的X 围是非负数．〔3〕a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】假设()2240a c --=，那么=+-c b a ．举一反三：1、直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，那么第三边长为＿＿＿＿＿＿.2、假设1a b -+互为相反数，那么()2005_____________a b -=。
二次根式的化简及计算
二次根式的化简及计算、学习准备:1、 平方根：如果X 2= a ，那么X 叫做a 的平方根。
若a _ 0,则a 的平方根记为 __________ .2、 算术平方根：正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根。
若 a^0,则a 的算术平方根记为 ____________3、 填空：①J100表示100的 _________ ，结果为 ________ •②J49表示49的 _______ ，结果为 _____ •.64 64③ 0.81的算术平方根记为 _____________ ，结果为 _________ •④ 计算： 肿 +736 = _____________ , 70.04 — V025= ____________ •二、阅读理解4、 二次根式的概念：对于形如.100^.81，-、a 这样的式子，我们将符号“ a ” 叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、 积的算术平方根计算 4 9 二 =. ___________ .4 .9 = ___ x _____________ ，所以..4 9_ .4 ,9一般地，-、ab —..aL.b (a_0,b_0)(注意：公式中a,b 必须都是非负数)积的算术平方根，等于 ___________________________________ •想一想：...(«) (-9) m W 乓成立吗？为什么？ (-4) (-9)应该等于多少？例1、化简：(1) 16 81 (2) . 2000 (3) . 27 15(4) 16ab2(a-0,b-0)6、二次根式的乘法把公式、、ab =、a ・b (a _ 0,b _0)，反过来得、•、a ・、、b = .. ab(a _ 0, b _ 0).即:指数不变，被开方数相乘.运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
二次根式——精选推荐
二次根式定义性质和概念如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
二次根式即：若，则x叫做a的平方根，记作x=。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
性质：二次根式1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形势中被开方数不能有分母存在。
二次根式2.零的平方根是零，即；3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。
二次根式4.无理数可用有理数形式表示, 如:。
几何意义二次根式1°(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质在实数范围内因式分解];二次根式2°，都是非负数；当a≥0时，；而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。
二次根式3°c=表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;4° 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如二次根式二次根式﹙a>0﹚，﹙a<0﹚二次根式﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚二次根式7° 注意:，即具有双重非负性。
算术平方根正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
0的算术平方根为0.开平方运算化简化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
最简二次根式二次根式化简一般步骤：①把带分数或小数化成假分数；②把开方数分解成质因数或分解因式；③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；⑤约分。
运算法则乘除法1.积的算数平方根的性质二次根式（a≥0，b≥0）2. 乘法法则二次根式（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
《二次根式》培优专题一
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。
3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。
二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义
二次根式基本运算、分母有理化中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根化简和运算式的混合运算（不要求分母有理化）例题精讲板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶ 分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的除法法则： a a（ a 0 ，b 0 ）b b利用这两个法则时注意a 、 b 的取值范围，对于aba b ， a 、 b 都非负，否则不成立，如 (7)(5)(7) ( 5)一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．【例 1】若最简二次根式3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。
【例 2】下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（）A ．2a B．3a 2C．a3D． a 4【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴2x3 y和 2x3 yz ⑵2b和aa 2b⑶27 x和 3xy ⑷ 4 a3 b2 和 a2 b34 y85 5【例 3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127 ；48 ；20；1125；1y； y x ．5 2 x x y【例 4】若最简二次根式 a b 2a b与 a 2b 是同类根式，求a2b的值．【巩固】若 a ，b 为非负数， a b 4b 与3a b 是可以合并的二次根式，则 a ，b 的值是（）A ． a 0 ，b 2 B． a 1，b 1 C． a 0，b 2 或 a 1，b 1 D． a 2 ，b 0【例 5】已知最简根式 a2a b与a b 7 是同类二次根式，则满足条件的a ,b 的值（）A ．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a b4与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a，b为整数，则a ______，b________；b【例 6】方程x y 1998 的整数解有组 .【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ，⋯，1999 这 1999 个式子中，与2000 是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例 7】化简：a26a 9a210a 25【例 8】计算：48 1 2 17527 81 1【巩固】 (3 0.5 4 1.5)( 0.24 4 )2 2【例 9】3x y y x x3 yxy3x y【例 10】计算： 5 2 8 7 18【巩固】计算：1 1 2 12315348 3 3【巩固】计算：2 1 240.5 2 63 8【例 11】计算：8 2 0.251150 2 728 31 1【巩固】(27) (12 45)3 5【例 12】先化简后求值。
二次根式
二次根式一、定义1.二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
说明：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个带有字母的式子，但必须注意a ≥0是a 为二次根式的前提；（3）形如b （a ≥0）的式子也是二次根式b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是分数时，不能写成带分数的形式。
二、性质1.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
（2）（a ）2=a （a ≥0）；即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
（3）==a a 2 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
2、典型例题例1、如果 是二次根式，那么m,n 应满足的条件是（ ）例2、求下列二次根式中字母的取值范围例3、 - ； =例4、如果a+ =1，那么a 的取值范围是（）。
例5、若化简|1-x|- 的结果是2x-5，则x 的取值范围是（） 例6、要使式子有意义，则M 的取值范围是( )a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；例7、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）例8、已知a,b为两个连续的整数，且a>则a+b=( )例9、 + =( )例10、=·成立的条件是（）+|x+y-2|=0,则x-y=（）例11、如果=成立，那么（）A. m≥3B. m﹥3C.0≤m≤3D. m≥0例12、已知数a，b=b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b例13、x为何值时，在实数范围内有意义（）A. x>1B. x<0C. x≥1D. x≤0例14、 =3-a,则3与a的大小关系是( )A. 3>aB. 3<aC. 3≥aD. 3≤a例15、如果x<-4，那么|2- |的值是( )A. 4+xB. -xC. -4-xD. x例16、若有意义，则m能取的最小整数值是（）A. m=0B. m=1C. m=2D. m=3三、化简、运算1、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；此法可推广到多个二次根式相乘的情况即 · ·= （a ≥0，b ≥0，c ≥0）b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
《二次根式》实数PPT课件(第1课时)
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
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教案
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论坛
二次： 根式的定义
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二次.1p根pt 式的性质
二次根式的化简及计算
二次根式得化简及计算一、学习准备：1、平方根:如果ｘ = ，那么ｘ叫做得平方根。
若, 则得平方根记为 .2、算术平方根:正数得正得平方根,叫做得算术平方根。
若, 则得算术平方根记为＿____.3、填空:①表示10０得_＿_＿___，结果为__＿_＿__.②表示得_＿_＿___，结果为＿＿＿__.③ 0、81得算术平方根记为___＿＿＿____＿,结果为_＿___＿___.④计算:＋＝___＿______, -＝____＿____＿.二、阅读理解4、二次根式得概念：对于形如,这样得式子,我们将符号“”叫做二次根式,根号下得数叫做被开方数。
在实数范围内,负数没有平方根，所以被开方数只能就是正数或零，即被开方数只能就是非负数。
5、积得算术平方根计算= 、×＝ ,所以一般地, (注意:公式中必须都就是非负数）积得算术平方根,等于.想一想:成立吗?为什么?应该等于多少？例1、化简:（１)ﻩ (2) (３）（4）即时练习:计算(1)ﻩ(２）ﻩ(3) (4)6、二次根式得乘法把公式，反过来得．即:二次根式相乘,根指数不变,被开方数相乘.运用此公式，可以进行二次根式得乘法运算。
例2、计算 (１) (2）即时练习:计算（１)ﻩﻩ（2）(3)７、商得算术平方根计算: , 。
一般地,有商得算术平方根，等于。
化简(1) (2)ﻩ(3)ﻩ即时练习:化简(1）ﻩ(2) (３）ﻩ课堂检测1、计算:(1) (2）(３) (４)ﻩ2、设直角三角形得两条直角边分别为a，b，斜边为ｃ、(1）如果; (2)如果；（3)如果3、计算：（１) （2)(3) (4)4、化简(1) (２) (3)8．根式分母有理化例1：把下列各式化为最简二次根式(1) (2) (3)即时练习:把下列与各式化为最简二次根式(1) (2)ﻩ（3）ﻩ (4)例2、把下列各式分母有理化:(１) （2）(3)ﻩ即时练习:把下列各式分母有理化:(１） (2）课堂检测1、下列各式中哪些就是最简二次根式?哪些不就是?并说明理由(1) (2) （３）ﻩ2、把下列各式化为最简二次根式(１) ﻩ (2)ﻩ (３) （4）ﻩ3、把下列各式分母有理化：(1）ﻩﻩ(2）9.同类二次根式概念:几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 注意：判断几个二次根式就是否为同类二次根式,必须将不就是最简二次根式得式子化为最简二次根式,再瞧它们得被开方数就是否相同。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。
1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
据此可以确定字母的取值范围。
2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。
若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。
3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。
4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。
（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。
（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。
应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。
该性质常与配方法结合求字母的值。
2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。