神奇的莫比乌斯带
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当然现实生活中可能不会发生这样的故事，但是这个故事却很好地反映出一 个很有名的几何体的特点，这个几何体就是公元 1858 年由德国数学家莫比乌斯 发现的具有魔术般神奇性质的单面纸带(后人即称之为“莫比乌斯带”)：将一个 长纸条的一头扭转 180，后再两头粘接起来。普通纸带具有两个面(即双侧曲面， 见图一)，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样粘接起来 的纸带只有一个面(即单侧曲面，见图二)，只能不间断地涂上一种颜色；而且一 只蚂蚁可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘!
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地 蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便 撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色 的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转 180°，再将一端的正面 和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
“手套易位问题”说明：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体可以 通过扭曲实现转换。
五、相关故事
“莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们还是根据它的特性 编出了一些故事。数学上就盛传着这样一个故事：
有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允 许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留 下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个 面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有
（二）生活生产
莫比乌斯带是一个迷人的几何表面，它只有一个面和一个边界，代表着可能 性和永无休止的循环。葡萄牙设计师与建筑师 Pereira Migue 就将它的这种特性
融入于家具设计中，为贝纳通带来了 United Colors 座椅。
毋庸置疑，莫比乌斯带在生活和生产中 也有一些更常见的用途。例如，传送机械动 力的皮带就可以做成莫比乌斯带状，这样皮 带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁 带做成莫比乌斯带状，磁带就只有一个面， 就不存在正反两面的问题了，也就不存在翻 磁带的问题了。同样的道理，打印机中的色 带做成莫比乌斯带结构，就可以延长其使用寿命。
拓展延伸
莫比乌斯带还有着更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可 思议地在莫比乌斯带上获得了解决。比如在普通空间无法实现的“手套易位问 题”：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。没有人能把左手 的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你 怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若你把 它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。
图
图
一
二
一、相关介绍
莫比乌斯带，是一种拓扑学1结构，它只有一个面（表面）和一个边界。它 是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在 1858 年独立发现的。这 个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。
1 拓扑学：详见附录。
1—17
二、发现人物 1790 年 11 月 17 日生于瑙姆堡附近的舒尔普 福塔，1868 年 9 月 26 日卒于莱比锡。1809 年入 莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。 1814 年获博士学位，1816 年任副教授，1829 年 当选为柏林科学院通讯院士，1844 年任莱比锡大 学天文与高等力学教授。 莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领 奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯 域。他领导建立了莱比锡大学天文台并任台长。因发表《关于行星掩星的计算》 而获得天文学家的赞誉，此外还著有《天文学原理》和《天体力学基础》等天文 学著作。在数学方面，莫比乌斯发展了射影几何学的代数方法。他在其主要著作 《重心计算》中 ，独立于 J. 普吕克等人而创立了代数射影几何的基本概念— —齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概 念给出了完善的处理。莫比乌斯最为人知的数学发现是后来以他的名字命名的单 侧曲面——莫比乌斯带。此外，莫比乌斯对拓扑学球面三角等其他数学分支也有 重要贡献。 三、相关实验 做几个简单的实验，就会发现“莫比乌斯带”有许多惊奇有趣的结果。
4—17
一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？
对于这样一个看起来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认 真研究，结果都没有成功。后来，莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心 思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清 凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
德国数学家黎曼(G．F．B．Riemann，1826--1866)是黎曼几何和黎曼积分的 创始人，复变函数论的创始人之一。早在哥根廷大学学习期间，黎曼发现人们对 莫比乌斯带等新的几何图形及思想有浓厚的兴趣。他当时在做复变函数论的研 究，意识到这类新的几何学是理解复变量解析函数最深刻性质的关键，他由此引 进黎曼曲面，推动了拓扑等价问题的研究。拓扑学是一门年轻而富有生命力的学 科，是十分重要的基础性的数学分支，它与微分几何、动力系统等学科有着十分 密切的联系，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用， 甚至在物理学、经济学等部门也有着许多应用。因此，20 世纪以来拓扑学是数 学中发展最迅猛、研究成果最丰富的研究领域之一。
7—17
仔细观察该图，我们会发现这是一个像球面那样封闭(也就是说没有边)的曲 面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像一个瓶子。它 的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶 颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。我们可 以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行， 那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬进内表面。轮胎面也是一样，有内外 表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁， 可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去。事实上克莱因瓶并无内外之分!克莱因 瓶与莫比乌斯带是如此相似，以至于它们可以相互制造：如果我们把两条莫比乌 斯带沿着它们唯一的边粘合起来，就得到了一个克莱因瓶，不过我们必须在四维 空问中才有可能完成这个粘合，否则就不得不把纸撕破一点。同样地，如果把一 个克莱因瓶适当地剪开，我们就能得到两条莫比乌斯带。
六、参数方程 数学上，可以写出莫比乌斯带的参数方程：
其中 0≤u＜2π且-1≤v≤1。这个方程组可以创造一个边长为 1 半径为 1 的 莫比乌斯带，所处位置为 x-y 面，中心为（0，0，0）。参数 u 在 v 从一个边移动 到另一边的时候环绕整个带子。
5—17
七、实际应用 莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑、艺术、生活生产中。
图 三
图四
2—17
序号
项目
内容
实验一 （如图三）
实验内容 实验结果
先在裁好的一张纸条正中间画一条线，然后粘成 “莫比乌斯带”，最后沿线剪开。
我们把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿。事 实上，我们会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反
而剪出一个两倍长的纸圈。
先在纸条上划两条线，然后粘成“莫比乌斯带”， 实验内容 再用剪刀沿线剪开。猜一猜，剪开后的结果是什么?是
1—17
神奇的莫比乌斯带
有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，有人将小偷送到 县衙。县官发现小偷正是自己的儿子，于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放 掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官去办理。聪明的 执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起，然后向大家宣布：根据县太爷 的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官就将纸条捏在 手上拿给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改， 县官不知其中奥秘，又看到确实是自己的字迹，只好自认倒霉。县官清楚是执事 官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条，要执事官 仅用一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一 下，粘住两端，提起毛笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑 色。县官的诡计又落空了。
6—17
时，也加大了和江边及周围山体配合的施工难度。
（四）文学作品 莫比乌斯带也经常出现在科幻小说里面，比如亚瑟·克拉克的《黑暗之墙》。 科幻小说常常想象宇宙就是一个莫比乌斯带。由 A.J.Deutsch 创作的短篇小说 《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线 路按照莫比乌斯带方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。另外一部小说《星 际航行：下一代》中也用到了莫比乌斯带空间的概念。 有一首小诗就如此描写了“莫比乌斯带”：数学家断言/莫比乌斯带只有一边 /如果你不相信/就请剪开一个验证/带子分离时候却还是相连。 八、相关发展 莫比乌斯带虽然神奇，但美中不足的是它具有一条非常明显的边界。1882 年， 另一位德国数学家克莱茵(F．Klein，1849--1925)，找到了一种自我封闭而没有 明显边界的模型，后来以他的名字命名为“克莱因瓶”，如下图所示。
后再沿着环 1 和环 2 以及因沿着环 1 和环 2 中间剪开所生成的
所有环的中间剪开，都将会形成两个与环 0 空间一样的、具有
正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在
一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而
独立存在。
3—17
四、主要特性
莫比乌斯带的主要特性是单侧性。 关于莫比乌斯带的单侧性，可用如下的方法直观地了解。如果给莫比乌斯带 着色，笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把莫比乌斯带两面均涂上 颜色，即区分不出哪是正面，哪是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边 界不可能对另一侧也着色。 单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆， 对每个小圆周指定一个方向，称为相伴该曲面圆心点的指向。若能使相邻两点相 伴的指向相同，则称曲面是可定向的，否则称为不可定向的。莫比乌斯带是不可 定向的。
8—17
关于拓扑
橡皮几何——拓扑学
莫比乌斯带是一件数学珍品，它催生了全新的数学分支——拓扑学。拓扑学是 一门研究几何图形在连续改变形状时的一些特征和规律的科学（乌斯带被称为拓扑 学中最有趣的单侧曲面问题之一)，但拓扑学不是研究大家最熟悉的普通的几何学性 质，而是研究图形的一类特殊性质，即所谓的“拓扑性质”。尽管拓扑性质是图形的 一种很基本的性质，但它却具有很强的几何直观性，而且很难用简单通俗的语言来 准确地进行描述。拓扑学所研究的是几何图形的一些特别的性质，即所谓的拓扑性 质。我们将在本文给出拓扑学的稍微详细的介绍。
（一）艺术作品
莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家 M.C.Escher 就是一个利 用这个结构在他木刻画作品里面的人，埃舍尔多次表达数学上有趣的莫比乌斯 带。当一条丝带被扭曲后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接 起来的。但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易，1963 年的《红 蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。埃舍尔在他的著作 中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。
（三）建筑工业
运用莫比乌斯带原理，我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。 比如 Next 设计的长沙龙王港新桥。这座如缎带般优美柔和的人行桥是 Next 建筑 事务所为湖南长沙龙王港设计的一座体现传统文化的桥梁。桥身长 150 米、高 24 米，其独特的莫比乌斯带（中国结）造型在为坚毅的桥梁注入柔美气质的同
一个大圈，还是三个圈儿?
实验二 （如图四）
实验结果
事实上，它变成了缠绕在一起的两个圈，而且一个 是大圈，一个是小圈。有趣的是：新得到的这个较长的 纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不 打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一
次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条
互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两
条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
莫wk.baidu.com乌斯带只存在一个面，即单侧曲面。
如果沿着莫比乌斯带的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比
乌斯带空间大一倍的且具有正反两个面的环，而不是形成两个
莫比乌斯带或两个其它形式的环。
小结
如果再沿着环 0 的中间剪开，将会形成两个与环 0 空间一样的、 具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的，从此以
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地 蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便 撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色 的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转 180°，再将一端的正面 和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
“手套易位问题”说明：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体可以 通过扭曲实现转换。
五、相关故事
“莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们还是根据它的特性 编出了一些故事。数学上就盛传着这样一个故事：
有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允 许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留 下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个 面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有
（二）生活生产
莫比乌斯带是一个迷人的几何表面，它只有一个面和一个边界，代表着可能 性和永无休止的循环。葡萄牙设计师与建筑师 Pereira Migue 就将它的这种特性
融入于家具设计中，为贝纳通带来了 United Colors 座椅。
毋庸置疑，莫比乌斯带在生活和生产中 也有一些更常见的用途。例如，传送机械动 力的皮带就可以做成莫比乌斯带状，这样皮 带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁 带做成莫比乌斯带状，磁带就只有一个面， 就不存在正反两面的问题了，也就不存在翻 磁带的问题了。同样的道理，打印机中的色 带做成莫比乌斯带结构，就可以延长其使用寿命。
拓展延伸
莫比乌斯带还有着更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可 思议地在莫比乌斯带上获得了解决。比如在普通空间无法实现的“手套易位问 题”：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。没有人能把左手 的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你 怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若你把 它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。
图
图
一
二
一、相关介绍
莫比乌斯带，是一种拓扑学1结构，它只有一个面（表面）和一个边界。它 是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在 1858 年独立发现的。这 个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。
1 拓扑学：详见附录。
1—17
二、发现人物 1790 年 11 月 17 日生于瑙姆堡附近的舒尔普 福塔，1868 年 9 月 26 日卒于莱比锡。1809 年入 莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。 1814 年获博士学位，1816 年任副教授，1829 年 当选为柏林科学院通讯院士，1844 年任莱比锡大 学天文与高等力学教授。 莫比乌斯的科学贡献涉及天文和数学两大领 奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯 域。他领导建立了莱比锡大学天文台并任台长。因发表《关于行星掩星的计算》 而获得天文学家的赞誉，此外还著有《天文学原理》和《天体力学基础》等天文 学著作。在数学方面，莫比乌斯发展了射影几何学的代数方法。他在其主要著作 《重心计算》中 ，独立于 J. 普吕克等人而创立了代数射影几何的基本概念— —齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间的关系，并对交比概 念给出了完善的处理。莫比乌斯最为人知的数学发现是后来以他的名字命名的单 侧曲面——莫比乌斯带。此外，莫比乌斯对拓扑学球面三角等其他数学分支也有 重要贡献。 三、相关实验 做几个简单的实验，就会发现“莫比乌斯带”有许多惊奇有趣的结果。
4—17
一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？
对于这样一个看起来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认 真研究，结果都没有成功。后来，莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心 思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清 凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
德国数学家黎曼(G．F．B．Riemann，1826--1866)是黎曼几何和黎曼积分的 创始人，复变函数论的创始人之一。早在哥根廷大学学习期间，黎曼发现人们对 莫比乌斯带等新的几何图形及思想有浓厚的兴趣。他当时在做复变函数论的研 究，意识到这类新的几何学是理解复变量解析函数最深刻性质的关键，他由此引 进黎曼曲面，推动了拓扑等价问题的研究。拓扑学是一门年轻而富有生命力的学 科，是十分重要的基础性的数学分支，它与微分几何、动力系统等学科有着十分 密切的联系，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用， 甚至在物理学、经济学等部门也有着许多应用。因此，20 世纪以来拓扑学是数 学中发展最迅猛、研究成果最丰富的研究领域之一。
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仔细观察该图，我们会发现这是一个像球面那样封闭(也就是说没有边)的曲 面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像一个瓶子。它 的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶 颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。我们可 以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行， 那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬进内表面。轮胎面也是一样，有内外 表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁， 可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去。事实上克莱因瓶并无内外之分!克莱因 瓶与莫比乌斯带是如此相似，以至于它们可以相互制造：如果我们把两条莫比乌 斯带沿着它们唯一的边粘合起来，就得到了一个克莱因瓶，不过我们必须在四维 空问中才有可能完成这个粘合，否则就不得不把纸撕破一点。同样地，如果把一 个克莱因瓶适当地剪开，我们就能得到两条莫比乌斯带。
六、参数方程 数学上，可以写出莫比乌斯带的参数方程：
其中 0≤u＜2π且-1≤v≤1。这个方程组可以创造一个边长为 1 半径为 1 的 莫比乌斯带，所处位置为 x-y 面，中心为（0，0，0）。参数 u 在 v 从一个边移动 到另一边的时候环绕整个带子。
5—17
七、实际应用 莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑、艺术、生活生产中。
图 三
图四
2—17
序号
项目
内容
实验一 （如图三）
实验内容 实验结果
先在裁好的一张纸条正中间画一条线，然后粘成 “莫比乌斯带”，最后沿线剪开。
我们把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿。事 实上，我们会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反
而剪出一个两倍长的纸圈。
先在纸条上划两条线，然后粘成“莫比乌斯带”， 实验内容 再用剪刀沿线剪开。猜一猜，剪开后的结果是什么?是
1—17
神奇的莫比乌斯带
有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，有人将小偷送到 县衙。县官发现小偷正是自己的儿子，于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放 掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官去办理。聪明的 执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起，然后向大家宣布：根据县太爷 的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官就将纸条捏在 手上拿给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改， 县官不知其中奥秘，又看到确实是自己的字迹，只好自认倒霉。县官清楚是执事 官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条，要执事官 仅用一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一 下，粘住两端，提起毛笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑 色。县官的诡计又落空了。
6—17
时，也加大了和江边及周围山体配合的施工难度。
（四）文学作品 莫比乌斯带也经常出现在科幻小说里面，比如亚瑟·克拉克的《黑暗之墙》。 科幻小说常常想象宇宙就是一个莫比乌斯带。由 A.J.Deutsch 创作的短篇小说 《一个叫莫比乌斯的地铁站》为波士顿地铁站创造了一个新的行驶线路，整个线 路按照莫比乌斯带方式扭曲，走入这个线路的火车都消失不见。另外一部小说《星 际航行：下一代》中也用到了莫比乌斯带空间的概念。 有一首小诗就如此描写了“莫比乌斯带”：数学家断言/莫比乌斯带只有一边 /如果你不相信/就请剪开一个验证/带子分离时候却还是相连。 八、相关发展 莫比乌斯带虽然神奇，但美中不足的是它具有一条非常明显的边界。1882 年， 另一位德国数学家克莱茵(F．Klein，1849--1925)，找到了一种自我封闭而没有 明显边界的模型，后来以他的名字命名为“克莱因瓶”，如下图所示。
后再沿着环 1 和环 2 以及因沿着环 1 和环 2 中间剪开所生成的
所有环的中间剪开，都将会形成两个与环 0 空间一样的、具有
正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在
一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而
独立存在。
3—17
四、主要特性
莫比乌斯带的主要特性是单侧性。 关于莫比乌斯带的单侧性，可用如下的方法直观地了解。如果给莫比乌斯带 着色，笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把莫比乌斯带两面均涂上 颜色，即区分不出哪是正面，哪是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边 界不可能对另一侧也着色。 单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆， 对每个小圆周指定一个方向，称为相伴该曲面圆心点的指向。若能使相邻两点相 伴的指向相同，则称曲面是可定向的，否则称为不可定向的。莫比乌斯带是不可 定向的。
8—17
关于拓扑
橡皮几何——拓扑学
莫比乌斯带是一件数学珍品，它催生了全新的数学分支——拓扑学。拓扑学是 一门研究几何图形在连续改变形状时的一些特征和规律的科学（乌斯带被称为拓扑 学中最有趣的单侧曲面问题之一)，但拓扑学不是研究大家最熟悉的普通的几何学性 质，而是研究图形的一类特殊性质，即所谓的“拓扑性质”。尽管拓扑性质是图形的 一种很基本的性质，但它却具有很强的几何直观性，而且很难用简单通俗的语言来 准确地进行描述。拓扑学所研究的是几何图形的一些特别的性质，即所谓的拓扑性 质。我们将在本文给出拓扑学的稍微详细的介绍。
（一）艺术作品
莫比乌斯带为很多艺术家提供了灵感，比如美术家 M.C.Escher 就是一个利 用这个结构在他木刻画作品里面的人，埃舍尔多次表达数学上有趣的莫比乌斯 带。当一条丝带被扭曲后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接 起来的。但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易，1963 年的《红 蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。埃舍尔在他的著作 中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。
（三）建筑工业
运用莫比乌斯带原理，我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。 比如 Next 设计的长沙龙王港新桥。这座如缎带般优美柔和的人行桥是 Next 建筑 事务所为湖南长沙龙王港设计的一座体现传统文化的桥梁。桥身长 150 米、高 24 米，其独特的莫比乌斯带（中国结）造型在为坚毅的桥梁注入柔美气质的同
一个大圈，还是三个圈儿?
实验二 （如图四）
实验结果
事实上，它变成了缠绕在一起的两个圈，而且一个 是大圈，一个是小圈。有趣的是：新得到的这个较长的 纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不 打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一
次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条
互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两
条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
莫wk.baidu.com乌斯带只存在一个面，即单侧曲面。
如果沿着莫比乌斯带的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比
乌斯带空间大一倍的且具有正反两个面的环，而不是形成两个
莫比乌斯带或两个其它形式的环。
小结
如果再沿着环 0 的中间剪开，将会形成两个与环 0 空间一样的、 具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的，从此以