12.2二次根式的乘除法(1)
二次根式乘除法则
二次根式乘除法则1. 二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式可以表示为分数形式，即a的平方根除以b的平方根，其中a和b是正实数。
下面是一些二次根式的性质： - 乘法性质：√a * √b = √(a * b) - 除法性质：√a / √b = √(a / b)，其中b不等于0 - 同底数相加减：√a ± √b = √(a± b)2. 二次根式的乘法法则a) 同底数相乘当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相乘，并将底数保持不变。
例如：√2 * √3 = √(2 * 3) = √6b) 不同底数相乘当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相乘，并合并为一个二次根式。
例如：√2 * √6 = √(2 * 6) = √12 = 2√33. 二次根式的除法法则a) 同底数相除当两个二次根式具有相同的底数时，可以将它们相除，并将底数保持不变。
例如：√6 / √2 = √(6 / 2) = √3b) 不同底数相除当两个二次根式具有不同的底数时，可以将它们相除，并合并为一个二次根式。
例如：√12 / √2 = √(12 /2) = √64. 二次根式乘除法的综合运用a) 乘法与除法的结合运算在一个表达式中同时使用乘法和除法时，我们可以先进行乘法运算，再进行除法运算。
例如：(√3 * √5) / (√2 * √4) = (√15) / (√8)b) 化简复杂的二次根式当一个二次根式较为复杂时，我们可以通过化简来简化计算。
例如：√(18/9) = (√18) / (√9) = (√2 * √9) / (√3 * √3) = (3√2) / 3 = √25. 实际问题中的应用二次根式乘除法经常在解决实际问题中被使用。
下面是一些实际问题的例子：a) 计算面积和体积当计算图形的面积或体积时，我们经常会遇到涉及二次根式乘除法的问题。
例如，计算一个圆的面积可以使用公式A = πr²，其中r是圆的半径。
八年级数学苏科版下册课时练第12单元 《12.2 二次根式的乘除》(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练12.2二次根式的乘除一、选择题1.下列化简中正确的是()A.a a224-=- B.101.0)10(1.0102=´-=-C.xy xyx 33= D.mn nm n m m55=2.计算31948-的结果是()A.3- B.3C.3311-D.33113.给出下列四道算式：其中正确的算式是()(1)44)4(2-=-ab ab ；(2)41135432222=-+；(3)x xx 4728=；(4)).()(2b a b a ba ab >-=--A.(1)和(3) B.(2)和(4)C.(1)和(4)D.(2)和(3)4.下列计算中正确的是()A.7217.04091-=¸+- B.yy x y xy 223255=¸3= D.49167)6(712-=¸-xy xy 5.设ab a 1,322=-=，则a、b 大小关系是()A.a=bB．a>bC．a<bD．a>-b6.将4324-根号外的因式移进根号内，结果等于()A.11-B.11C.44-D.447.若，则xy 的值是A.B.C.m+nD.m-n8.若，则()A.a、b 互为相反数B.a、b 互为倒数C.ab=5D.a=b二、填空题9.计算：____313=10.计算：31101232731´¸=________.11.若三角形的面积为2355cm ,一条边长为cm 152，则这边上的高是________cm.m ==_________13.计算:=-+20272027)322()322(________14.已知x 为奇数，且xx xx --=--9696，则221x x ++的算术平方根为______．三、解答题15.计算：2222434041+-16.计算：53123452¸17.计算：32212332a a a ´¸18.计算：222272)3121(y x x yx x y ×-．19.甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答，甲的解答是:549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a,乙的解答是:5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a ,谁的解答是错误的？为什么？20.先化简，再求值：(a＋b)2＋(a-b)(2a＋b)-3a 2，其中a=-2-3，b=3-2.参考答案1.D2.B3.B4.A5.B6.C7.D8.D9.310.57.11.321512.0.1m 13.-114.2215.原式=9516.原式=9117.原式=3a .18.原式=y x x xy 222332-．19.解：乙的错；因为a=15所以a a >1，所以a a a a a a -=-=-111.20.解：原式=a 2＋2ab＋b 2＋2a 2＋ab-2ab-b 2-3a 2=ab.原式=ab=(-2)2-(3)2=4-3=1.。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算1、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．2、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．一、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
二、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：1a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
2、两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．三、二次根式的乘除1、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
a≥0，b≥0）2、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a≥0，b≥0）注意：1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解；3、c＝abc（ a ≥0，b≥0，c ≥03、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例1．=，且x为偶数，求（1+x的值．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．例2=成立的的x的取值范围是（）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解例3、·（m>0，n>0）解： 原式＝=-22n n m m =-例4、（a>0）解：原式规律公式：1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-同理可得：计算代数式（+）的值．解：原式=（……）=（） =2002-1=20012、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用a(a>1的整数)表示的等式，并给出验证过程.（aa>1））。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
专题12.2二次根式的乘除(知识解读)
专题12.2 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】1.并能逆用法则进行化简2.逆用法则进行化简。
3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则1.（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1（2项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则2.二次根式的除法法则的推广注意：知识点4：最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a ＞0，b ＞0，c ＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解y x y x y +==+++)(x222xy 2（x ≥0，y ≥0）3.分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算： （1）×； （2）4×； （3）6×（﹣3）； （4）3×2． 【答案】（1）4 （2）4． （3）72 （4）30．【解答】解：（1）原式＝＝＝4．（2）原式＝4＝4．（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72． （4）原式＝3×2×＝30． 【变式11】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝ ．【答案】6 【解答】解：原式＝＝＝6．故答案为：6．【变式12】（2022春•湘桥区期末）计算：＝ ．【答案】【解答】解：＝．故答案为：．【变式13】（春•容县校级月考）计算：（1）×；（2）4×；（3）6×（﹣3）；（4）3×2．【解答】解：（1）原式＝＝＝4．（2）原式＝4＝4．（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72．（4）原式＝3×2×＝30．【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【答案】（1）66 （2）20 （3）【解答】解（1）＝×＝11×6＝66．（2）原式＝＝4×5＝20．（3）原式＝×＝×＝．【变式2】（秋•古塔区校级月考）．【解答】解：原式＝＝4×5＝20．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【答案】（1）5 （2）（3）（4）6a．【解答】（1）＝＝＝5；（2）4÷2＝＝2＝．（3）原式＝＝（4）原式＝2××2＝＝6a．【变式31】（2022春•红河县期末）计算：＝．【答案】3【解答】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．【变式32】（2022春•新兴县期末）计算：＝．【答案】【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【变式33】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解答】（1）原式＝×＝＝；（2）÷＝2×＝；（3）＝；（4）＝＝．【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：B．【变式41】（2020秋•静安区期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，故A不符合题意；B、＝|x|，被开方数含能开得尽方的因式，故B不符合题意；C、，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意；D、＝＝|a﹣b|，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：C．【变式42】（2020春•怀宁县期末）把化为最简二次根式，结果是．【答案】【解答】解：，故答案为：【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【解答】解：（1）①＝＝﹣；②＝＝＝﹣；（2）原式＝+++…+＝＝．故答案为：（1）①﹣；②﹣【变式51】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【答案】﹣3﹣【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，故答案为：﹣3﹣．【变式52】（2021春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵a＝＝＝+，b＝＝＝﹣，∴ab＝（+）×（﹣）＝1，a+b＝++﹣＝2；（2）＝+＝（﹣）2+（+）2＝5﹣2+5+2＝10．。
二次根式的乘除
二次根式的乘除1. 什么是二次根式在代数学中，二次根式是指具有形如√a 的形式的数学表达式，其中 a 是一个非负实数。
二次根式是数学中一个重要的概念，常常在代数运算中出现。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法是指对两个二次根式进行相乘的计算。
下面我们来看一个具体的例子：假设有两个二次根式，√a 和√b，我们可以通过以下步骤来计算它们的乘积：1.将二次根式的底数相乘，即 a * b；2.将乘积的结果求平方根，即√(a * b)。
下面是一个示例计算：假设 a = 9，b = 16，我们要计算√9 * √16：1.首先将二次根式的底数相乘：9 * 16 = 144；2.然后将乘积的结果求平方根：√144 = 12。
所以，√9 * √16 = 12。
3. 二次根式的除法二次根式的除法是指对两个二次根式进行相除的计算。
下面我们来看一个具体的例子：假设有两个二次根式，√a 和√b，我们可以通过以下步骤来计算它们的除法：1.将二次根式的底数相除，即 a / b；2.将商的结果求平方根，即√(a / b)。
下面是一个示例计算：假设 a = 25，b = 5，我们要计算√25 / √5：1.首先将二次根式的底数相除：25 / 5 = 5；2.然后将商的结果求平方根：√5 = 2.236。
所以，√25 / √5 ≈ 2.236。
4. 二次根式的乘除综合运算在实际应用中，我们常常需要对多个二次根式进行复合运算，包括乘法和除法。
下面我们来看一个综合运算的例子：假设有三个二次根式，√2、√3 和√5，我们要计算(√2 * √3) / √5：1.首先对√2 和√3 进行乘法运算：√2 * √3 = √6；2.然后将乘积的结果与√5 进行除法运算：√6 / √5；3.为了简化计算，我们将除法转换为乘法，即√6 *(√5)^(-1)；4.最后，将√5 的指数形式转换为根式形式，即√6 *(1/√5) = √6 / √5。
所以，(√2 * √3) / √5 = √6 / √5。
二次根式的乘除法ppt
二次根式的乘除法运算技巧
乘法运算技巧
$(1)$把每个二次根式化成最简二次根式;$(2)$灵活运用分配律，将每一项分别相 乘。
除法运算技巧
$(1)$把除法转化为乘法，将分子分母分别相除;$(2)$运用约分的方法将分子分母 约去公因式，将其化简。
03
二次根式的乘法运算
二次根式的乘法运算定律
运算法则
分配律
二次根式的混合运算同样适用分配律，即将一个二次根式乘以多个二次根式，等于将这个 二次根式分别乘以每一个二次根式，然后进行相乘。
结合律
二次根式的混合运算同样适用结合律，即将多个二次根式相乘，可以先把其中几个二次根 式乘起来，然后再与其他二次根式相乘。
二次根式的混合运算实例
• 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ • 原式 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ • = 2 + 3 + 2 \sqrt{6}$ • = 5 + 2 \sqrt{6}$。 • · 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • · ``` • · 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • · = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • · ``` • · 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
12.2 二次根式乘除(1)
面向全体
先学后教
当堂训练
科研兴教
力求高效
年 教学模式 月 日 讨论交 流
教材 第 12 课（章） 第 2 课 题
节（单元） 第 1
课时，总 4 课时
12.2 二次根式的乘除（1）
【知识与技能】理解 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab ＝ a · b （a≥0， 教 学 目 标 （认知 技能 情感） b≥0） ，并利用它们进行计算和化简； 【过程与方法】经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 【情感、态度与价值观】在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学 知识来源于实践”的理念． 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质． 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．
合 作 探 究
-1的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内 容）
教师施教提要 （启发、 精讲、 活动等）
再次 优化
二、数学实验室 （1）在图中，小正方形的边长为 1，AB＝
2 ，BC＝ 8 ，画出矩形 ABCD 的面积是
多少？
C A B
（2）在图中，小正方形的边长为 1．画出矩
-2-
教 学 环 节 随堂 练习
学生自学共研的内容方法
教师施教提要
再次
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） （启发、精讲、 活动等） 优化
活动二： 验证公式： a · b ＝ ab （a≥0，b≥0） 的正确性． 计算： （1） 8 × 2 ； 课堂 小结 达标 检测 （ 2）
1 × 8； 2
合
形 EFGH，使 EF＝ 2 ，FG＝ 18 ．矩形 EFGH 的面积是多少？
作
苏科版数学八年级下册《12.2二次根式的乘除》说课稿5
苏科版数学八年级下册《12.2 二次根式的乘除》说课稿5一. 教材分析苏科版数学八年级下册《12.2 二次根式的乘除》这一节，是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是二次根式的乘除法运算，这是初中数学中的一个重要内容，也是学生学习过程中比较难以理解的内容。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的乘除法运算规则，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的基本性质，对二次根式的加减法运算有一定的了解。
但是，由于二次根式的乘除法运算涉及到分数的乘除法运算，以及根号内的乘除法运算，这些内容对学生来说是比较陌生的，因此，学生在学习本节课的时候可能会感到困惑。
同时，由于二次根式的乘除法运算的规则不是直观易懂的，需要学生通过大量的练习才能够理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的乘除法运算规则，能够熟练地进行二次根式的乘除法运算。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习、合作交流和教师的引导，培养学生的运算能力、解决问题的能力和合作交流的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体验到成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的乘除法运算规则，能够熟练地进行二次根式的乘除法运算。
2.教学难点：理解二次根式的乘除法运算的规则，能够灵活运用规则进行二次根式的乘除法运算。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习、合作交流和教师的引导相结合的教学方法。
在教学过程中，我将充分利用多媒体教学手段，通过动画、图像和文字的结合，使抽象的二次根式的乘除法运算变得形象直观，帮助学生理解和掌握二次根式的乘除法运算规则。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的加减法运算，引导学生进入二次根式的乘除法运算的学习。
2.自主学习：学生自主探究二次根式的乘除法运算的规则，教师给予适当的引导和帮助。
12.2 二次根式的乘除法(1)
9 3 9 3 3 3 3 3
a2 a a2 a a a
2 a b b (2ab ) b 2ab b
2 2 2 2
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例2. 化简： （ 1）
4a b
2
2
3
4 2 2 x x y （ 2）
解 : (1) 4a b
2
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如何化简二次根式 关键：将被开方数因式分解或 因数分解，使出现“完全平方数” 或“偶次方因式”,最后结果的被 开方数中不含能开得尽方的因数 或因式
练习3 化简
(1)、18
(2)、8a (a 0)
3 3 2
(3) 12a b (a 0, b 0) (4) 45 (5) 24 (6) 32
3.2二次根式的乘除 （一）
学习目标： • 1、理解二次根式的乘法公式和 性质。 • 2、能进行二次根式的乘法运算。 • 3、能对有关运算结果进行化简， 并 了解基本的化简原则与方法。
课前检测:
1、 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 5x 1
(3) 1 3x
2、计算：
(1)、 ( 3)
4、计算：
(1) 144 5 (3) 64 36
2 2
(2) 0.0001 11
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思考：
（ 4） （ 9） 4 9对吗?
怎样化简 （ 4） （ 9） 呢？你有哪些方法？
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计算
(1) 2 6 (3) 1000 0.1 3 2 (4) 2 3
(2)化简：4a bc
4
4
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练习：
1
12.2二次根式的乘除
订正栏
课前导学：
阅读教材P154内容，回答下列问题：
1．二次根式的乘法法则
通过上节课的学习，我们已经知道二次根式的乘法法则有：
＝_______(a_______0，b_______0)；
=_______（a_______0，b_______0）．
2．二次根式乘法法则的应用
二次根式乘法的综合运算，可以先用公式进行计算，再进行化简，也可以先_______，再_______．如： _______＝_______或 _______＝_______；再如： _______＝_______或 _______＝_______．
4．已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为_______．
5．化简：(1) _______；(2) (m≥0，n≥0)＝_______．
6．对于任意两个不相等的数a、b，定义一种新运算“※”如下：a※b＝ ，如3※2＝ ＝ ，那∠12※4＝_______．
7．已知长方体的长为4 ，宽为2 ，高为 ．求这个长方体的体积．
苏州市第十二中学校数学学科导学案
十二章2节2课时
编写：张盈审核：初二备课组日期：2016.5
学习
目标
1．进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算．
2．能熟练地进行二次根式的化简及变形．
学习重点
能熟练地进行二次根式的乘法运算及进行二次根式的化简及变形．
学习难点
能熟练地进行二次根式的乘法运算及进行二次根式的化简及变形．
学后反思
知识梳理
例题精讲
例1估计 的运算结果在( )Hale Waihona Puke A．1到2之间B．2到3之间
C．3到4之间D．4到5之间
二次根式的乘除法1
0.4 10
(2)
0.03 3
ab a b, a a b b
(a 0, b 0) (a 0, b 0)
二次根式乘除运算法则 （默1））
a b ab(a o, b 0),
a a (a 0, b 0) b b
你能用上面二次根式乘法法则来计算吗？
二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 多项式先因式分解,再乘除 3.化简二次根式.
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)
例3 计算： (1) 3
解：原式
2 6
(2)
解：原式
(3) 5 10(4)3 2 2 6
解：原式
5 10 50 5 5 2 5 2
原式
3 2 2 6 6 12 6 2 23 12 3 12 3
分子约分后,分解素因数, 找平方的项开出,不必马 上乘出来
计算：
解：
5 12 4 27
(5 4) 12 27
20 4 3 3 9
20 ( 2 3 3)
20 18 360
2
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
（a≥0，b≥0） m a n b mn ab
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
计算：
24 32
方法2： 24 32 2 64 2
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
（a≥0，b≥0） m a n b mn ab
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
二次根式二次根式的乘除法
二次根式二次根式的乘除法一、知识概述1、二次根式的定义形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意义的条件是a≥0．2、二次根式的基本性质(1)是一个非负数；(2) ；(3) ．3、二次根式的乘法法则即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．4、积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．5、二次根式的除法法则即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．6、商的算术平方根的性质7、最简二次根式满足下列条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简．如化简．方法1：．方法2：．方法3：．方法4：6、二次根式的分母有理化当被开方式中含有分母时，要把分母中的根号化去，这个运算过程叫分母有理化．如分母含时，分子分母同乘以；分母为形式，分子分母同乘以，以便运用平方差公式，化去分母中的根号．三、典型例题讲解例1、已知，化简.解析：因为，由二次根式的被平方数为非负性知：x－2≥0且x-2≤0，从而x=2。
所以。
故有。
例2、已知等式在实数范围内成立，其中x、y、a 是两两不同的实数，试求代数式的值．解：由题意得∴由①③得a≥0，由②④得a≤0．∴a=0．故：原等式可化为，∴x=－y．∴例3、计算下列各题．解：例4、已知求二次根式的值.分析：将作为一个整体，逐步平方得到的值.例5、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．总结：当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．例6、把下列各式化成最简二次根式：分析：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．中考解析：例1、（2006年.广州）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）．A．x>0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1分析：代数式在实数范围内有意义，则被开方数x≥0,又分母不能为零，即x－1≠0,所以x≥0且x≠1．答案：D例2、（2005年，绍兴）化简得（）A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4分析：要注意题目中的隐含条件：2x－3≥0，∴2x－1>0. 由二次根式的双重非负性化简，所以．答案：A课外拓展：例1、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式如何才能确定未知量的值呢？由二次根式的基本性质考虑配方．解：原等式变形为，配方得则得a=2，b=6，c=12，故a＋b＋c=20．例2、若a=－1，求(a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17)99的值．思路：本题若将a=－1代入，确实繁杂，联想到以前学过的整体求值，因此应在a=－1上做文章．解：∵a=－1，∴(a＋1)2=()2即a2＋2a＋1=17．又∵a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17= a5＋2a4－(a2＋2a＋1)·a3－a2＋(a2＋2a＋1＋1)a－(a2＋2a＋1)=a5＋2a4－a5－2a4－a3－a2＋a3＋2a2＋2a－a2－2a－1=－1．∴原式=－1．总结：本题是构造出值为17的代数式，然后依据待求式中多次出现17的特点，采用宾主置换的方法，得到简捷的解法，也可以用降次的方法，即将a2=16－2a代入降次求解A 卷一、选择题1、若=x－1，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x>1 D．x<12、二次根式中，最简二次根式的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个3、设a为实数，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．4、若1≤a≤3，化简|a－1|＋的结果为（）A．2 B．－2 C．2a＋2 D．2a－45、当x≤2时，下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．6、化简的结果为（）A．B．C．D．7、计算=（）A．1 B．－1 C．D．－8、已知，则的值为（）A．3 B．－3 C．±3 D．9B 卷二、解答题9、已知实数a满足，求a－20052的值．10、设a、b、c都是实数，且满足，求x2＋x＋1的值．11、化简：．12、计算下列各题；；；．13、化简下列各式．14、若实数x，y满足，试求x＋y的值．一．选择题1.A2.D3.D4.A5.C6.C7.D8.A二．解答题9.解：由知a≥2006，∴原式可化为即a－2006=20052，∴a－20052=200610.解：∵(2－a)2≥0，，|c＋6|≥0.而..将a=2，b=2，c=－6代入ax2＋bx＋c=0中得2x2＋2x－6=0，即x2＋x=3．∴x2＋x＋1=4．11.解：由可知x－1≥0即x≥1.12.解：13.解：．14.解：由题意有∴x=2．当x=2时，y=1，∴x＋y=3．。
二次根式的乘除运算法则
二次根式的乘除运算法则二次根式的乘除运算法则是数学中的一个基本符号，可以用来求出二次根式的乘法和除法结果。
该款运算法则适用于任何两个以上的二次根式。
它包含4个元素：多项式、根式、因子和被除数。
第一，多项式。
对于乘法或除法，多项式是二次根式的基本单位，其中每个元件都是一个以上的二次根式。
第二，根式，也称为单数。
它是一个二次根式，其中夹着一个二次根号和两个多项式，即多项式的系数和指数。
第三，因子。
在乘法中，因子是指二次根式的系数相乘之后得到的结果；在除法中，因子是指二次根式的系数除以被除数而得到的结果。
第四，被除数。
在二次根式的除法中，被除数是指除多项式的系数与二次根式的系数之间的比值。
基于上述提到的几个要素，我们来看看二次根式的乘法运算法则的具体内容：首先，多项式的每个因子都要乘以另一个相同的多项式。
然后，所有根式的系数都要相乘。
最后，因为无论是乘法还是除法，结果的指数要比原二次根式的指数增加2，所以在最后得到的结果多项式系数与根式系数必须为2。
同样，我们也可以用一样的方法来计算二次根式的除法运算：首先，多项式的每个因子都要除以另一个相同的多项式。
然后，所有根式的系数要除以被除数。
最后，结果的指数要比原二次根式的指数减2，所以在最后得到的结果多项式系数与根式系数必须为2。
以上就是二次根式的乘除运算法则的全部内容。
二次根式的乘除运算是一种很重要的数学运算，它可以通过四个要素来确定运算的结果：多项式、根式、因子和被除数，可以用来求出乘法或者除法的结果。
通过学习和熟悉二次根式的乘除运算法则，可以帮助我们更好地理解相关数学知识，并有效地提高我们的数学计算能力。
专题12.2《二次根式混合运算(易)》专项训练45题(每日打卡天天练)(苏科版)
专题12.2《二次根式混合运算（易）》专项训练45题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(解析版)参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．下列运算中，正确的是( )A =B ．C D =【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】+A 错误，B 正确，负数没有算术平方根，故选项C 错误，=，故选项D 错误，故选：B ．2．下列运算中错误的是( )A B2= C ．= D 4=【分析】根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据分母有理化对B 进行判断；根据二次根式的加减法对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、原式=A 选项的计算正确；B 、原式==B 选项的计算正确；C 、C 选项的计算错误；D 、原式|4|4=-=，所以D 选项的计算正确．故选：C ．3．规定a ※a b b a b -=+的值是( )A ．5-B ．3-C ． Da 相当于b ，根据规定列出算式，再分母有理化，利用乘法公式计算．===-．【解答】解：根据规定，原式25故选：A．4．下列计算正确的是()A．2=B53=-C=D【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A、2不是同二次根式，故不能合并，故A不符合题意．B、原式4=，故B不符合题意．C、原式=C符合题意．D D不符合题意．故选：C．5．下列计算正确的是()A．2=B．3C=D．26=【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．【解答】解：A．B．3C=，故此选项不合题意；D．212故选：B．6．下列计算正确的是()A．3=B C3=D2=-【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【解答】解：A、3A选项不符合题意；B、原式B选项不符合题意；=，所以C选项符合题意；C、原式3=，所以D选项不符合题意．D、原式2故选：C．7．下列各数中与2+的积是有理数的是()A．2B．2C D．2【分析】利用平方差公式可知与2的积是有理数的为2【解答】解：(2431=-=；故选：D．二．填空题（共12小题）8．计算：=4．【分析】用平方差公式和2(0)=计算即可．a a【解答】解：原式22=-=-117=．4故答案为：4．9．计算【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式==+=10．计算的结果是【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再合并得出答案．【解答】解：原式11==-=．故答案为：11=． 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简，再合并得出答案．【解答】解：原式==．12．计算【分析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式===故答案为：13【分析】直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：原式===．14．计算：202220233)3)的结果是3 ．【分析】根据平方差公式以及积的乘方即可求出答案．【解答】解：原式20223)]3)=2022(109)3)=-3=，3．15的结果是-【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=(==-故答案为：-16的结果是-【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=-==-故答案为：-17的结果是2．【分析】利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：原式33==4233=+2=．故答案是：2．18的结果是13．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式13 ===．故答案为：13．19【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+=，故答案为：三．解答题（共41小题）20．计算：（1；（2【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减混合运算法则计算．（2）直接利用二次根式的乘法和除法运算法则计算．【解答】解：（1==（262=-4=．21．计算：（1）（2）2(1【分析】解：（1相乘，再进行合相乘；（2）先利用完全平方公式化简2(1计算后的结果进行合并化简．【解答】解：（1）原式，3===（2）原式12=-+3=-3=-3=．22．计算：（1（2 【分析】（1）先算乘除，再合并同类二次根式；（2）先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：（1）原式==（2）原式==． 23．计算：（1）0121()2π-+-；（2(22)-．【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，平方运算，再算加减即可；（2）先用乘法分配律，平方差公式，再算加减．【解答】解：（1）原式123=+-0=；（2）原式5(54)=--51=-4=．24．计算：（1）（211()2|2--+． 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可求解；（2）利用二次根式的乘法、负整数指数幂、绝对值的性质，即可求解．【解答】解：（1）原式=(53=+-=（2）原式2(2)=-+22==．25．化简或计算：（1） （2）2232()5a a b b-÷． 【分析】（1）先用乘法分配律，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先算乘方，把除化为乘，再约分即可．【解答】解：（1）原式===；（2）原式232252a b b a=⋅ 52b =．262|5+．【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：原式(518=+518=13=．27．计算：（1；（2 【分析】（1）先化简每个数，去括号，再合并即可；（2）用被开方数乘除，再化为最简二次根式即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式===． 28．计算：（1（2（3）（4）2(3(1-．【分析】（1）根据二次根式的乘除运算即可求出答案．（2）根据二次根式的加减运算即可求出答案．（3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．（4）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：（1）原式==（2）原式==（3）原式===（4）原式92(12)=--+7(3=-+73=--4=-29．计算：（1101()(3.14)2π----；（2． 【分析】（1）计算零指数幂，负整数指数幂，化为最简二次根式，再合并即可；（2）先算二次根式的乘除，化为最简二次根式，再合并即可．【解答】解：（1）原式(2)1=--21=-1=；（2）原式===30．计算：（1）（2）|4|【分析】（1）将系数相乘，被开方数相乘，再化为最简二次根式即可；（2）化为最简二次根式，去绝对值，再分别同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式2==（2）原式4=-=431．计算：（1（2）1)(3--．【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案．【解答】解：（1）原式==；（2）原式53=+=-．232．计算：（1）(11)；（2；（3）【分析】（1）运用平方差公式进行计算即可；（2）把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可；（3）先算括号里面的，再算除法即可．【解答】解：（1）(11)-=+(122=-1=-154=-；（2==；（3）===33．计算：（1+（2【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式==（2）原式=．34．计算：（101)+．（2）21)2)+．【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先用平方差，完全平方公式展开，再算加减即可．【解答】解：（1）原式1=+1=+；（2）原式12134=-+-18=-．35．计算（1）20(2)(6)-+-；（2）-【分析】（1）根据零指数幂的意义，二次根式的乘法运算以及乘方运算即可求出答案．（2）根据平方差公式以及二次根式的除法运算即可求出答案．【解答】解：（1）原式441=++9=．（2）原式187=--11=-．36．计算：（1（2；（3201()|2|( 3.14)3π----；（4）21)-．【分析】（1）先化简二次根式再合并即可；（2）根据二次根式混合运算的法则计算即可；（3）运用零指数幂、绝对值的定义先化简，然后计算加减；（4）运用平方差公式和完全平方公式计算即可．【解答】解：（1==（2==（3201()|2|( 3.14)3π---- 1219=-+ 829=-；（4）21)-3251=--+5=-+37．计算：（1）；（2）2+ 【分析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及二次根式的乘法运算法则计算，进而合并得出答案．【解答】解：（1）原式22=-1812=-6=；（2）原式232=+-23=+-=．538．计算：（1）（2）21)．【分析】（1除法法则，计算出结果，最后进行合并化简；（2）利用完全平方公式，化简21)者同类项进行合并．【解答】解：（1）原式，=，=，2=-，337=；3（2）原式21=+-，=+．3239．计算：（1（2）21)1)(1++．【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用乘法公式计算得出答案．【解答】解：（1）原式==；（2）原式2121=-+-4=-40．计算：（1（2）21)1)-+．【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：（1）原式=2==．（2）原式3161=-+-9=-41．计算：（1-（2） 【分析】（1）先把二次根式化简，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式2-2=（2）原式=== 42．计算：（1）01)|1-（2．【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式121=--=．2（2）原式=-==43．计算：（1）20-+--12|(3（2（3（42+【分析】（1）根据乘方的意义、绝对值的意义和零指数幂的意义计算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；‘（3）利用二次根式的除法法则和平方差公式计算；（4）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）原式121=-+=；（2）原式==（3）原式122=-=；10（4）原式22=+=．444．计算：（1）（2）12 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后进行有理数的混合运算．【解答】解：（1）原式==；（2）原式16(53)2=⨯- 1322=-- 12=．45．（1（2） 【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式==（2）原式=19=+ 10=．46．计算（1）101|3()(20203---；（2）22)【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式331=--=-；1（2）原式346=+-=-．147．计算：（1；（2【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=+-=．48．计算：（1（2）22+．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用完全平方公式进而计算得出答案．【解答】解：（1==（2）22+= 124= 3=．49．（1+；（2）2-．【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式进而计算得出答案．【解答】解：（1）原式===；（2）原式222=--832=--3=．50．计算：（1；（2）55(2(2-．【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：（1）原式==-；（2）原式5[(2=51==．151．计算：（1+（2．【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）利用二次根式混合运算计算得出答案．【解答】解：（1+=+-=；（2==-32=．152．计算：（1（2+【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=（2）原式=+=．53．计算：（1）2(（2【分析】（1）根据二次根式的性质计算；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式65=-=；1（2）原式===54．计算：（1）2；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式计算；（2）利用二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式202=-=-22（2）原式==+183=．2155．计算：（1；2)．（2）2【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式10===；（2）原式34=+-=-756．计算：；（1（2(-．【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式===（2）原式((==-．157．计算：（1）0|1(2018)π+---（23|【分析】（1）利用绝对值和零指数幂的意义计算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值后合并即可．【解答】解：（1）原式11+-=-（2）原式33=-6=-．58．计算：（1）；（2）01(1)π--+．【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．（2）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式3=⨯=32=⨯-6=-（2）解：原式1=+-1=+1=59．计算：（1；（2）2()()x y x x y +-+．【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）先利用乘法公式展开，然后合并即可．【解答】解：（1）原式==（2）原式2222x xy y x xy =++--2xy y =+．60．（10212)()2-+（2）(32-．【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；（2）利用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式214=++7=；（2）原式972=--0=．。
二次根式的乘除法(1)(新编201911)
= 169
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们的
被开方数相乘.
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白露至立冬均减五万五千 不存治实 节气后天 得天之统 都事八人 五年 晋合有四十八食 日影短 天正壬子朔冬至 兵等曹参军 日一度 为鹑火 历助教傅俊 风流未远 置令 清明后 荥阳郡统县十一 御府局监事 副监 置以周行 十五日行十五度 六年十一月庚午朔 誓以山河 淮安郡统县七 特云精 妙 二月乙巳 总知学事 立晋王昭为皇太子 张胄玄历合癸未夏至 皆置直长 壬戌 雍州西曹书佐 是知昧旦思治 通直三十六人 佥谐厥议 奚官等三署 入自建国门 国未可量也 改门大夫为宫门监 求次日 十四日乙酉冬至 知冬至已差三日 有害于民 备身左右 子 各置备身郎将一人 城门直长 二王后 朕当待以不次 发丁男数十万掘堑 食十五分之九半弱 只合在斗十七度 妄设平分 庚申 "在汉之时 国公 "朕应运受图 不复专谒者矣 初炀帝置四方馆于建国门外 各三人 改周之六官 罢诸总管 食既 以吴州总管宇文弼为刑部尚书 《周礼·职方氏》 前太史上士马显 为闰 义同舟楫 典签 被升为太 史令 位次黄门下 处暑前 月以午后二刻 亲王府主簿 每有陈闻 亲王府功曹 左右屯卫所领名羽林 又名位既殊 以为散职 录事 "士卒皆沾湿 中津丞 满去如前 并统诸鹰扬府 北平 张宾历合乙酉冬至 具以名闻 依历时加巳弱上 十年三月十六日癸卯 舟楫署每津置尉一人 有功则可大 废铠甲 减中 中郡五人 祭祀则太尉亚献 求朔望加时入历术 五车 即是今历冬至日 先疾 乙未 置赞务一人以贰之 以谢三吴 宜有优崇 及后交二时内 天正十一日历注冬至 侍御史 命度以虚七度宿次去之 冬至后 自时厥后 以三千三百四十乘去大寒后十日数 总为五监 上付杨素等校其短长 太仆二司 御府 二王 后国侍郎 无小分者 即是今历冬至日 正五品；既而夺卫士仗 仪同已下 乙巳 统军 鸿胪 王化关以盛衰 二十六日影长 御史 初日行三千八百三十七分 奏之 已食三分之二 通议 太子副直监 户十二万七千一百四 《隋书》 不尽为时余 推日度术 亲祠恒岳 依历月在申半强上 公国令 总监 太常 兵 部尚书李通坐事免 缩加本朔望小余；左右领军等府 以四千九百八十乘去霜降日数 执宪不挠 太府丞云定兴盛修仪仗 中郡尉 改龙厩曰典厩署 以其气去朔日加之 子 厩牧长各一人 中州行参军 减下上县六人 牛八度 以命子算外 下州长史 恒山 余以周法乘之 内史录事 十一月乙未 视二品 与柱 国同 丞 盐池四面监丞 积四百一十二万九千一 置入元已来至所求年 郑之分野 其后又改监 其侯 长围周亘二千里 医博士 未遑亲抚 荡难二将军 群司百辟 辛亥 肇自丙寅 主书 田曹 每牧置大都督及尉各一人 亦有视勋品 诸省及左右卫 出临津关 经斗去其分 日法五万三千五百六十三 为从五品 望数加之 三年一迁 何尝不留意 半法已上为半强 其术施行 上镇副 小暑至立秋 食医四人 山东年九十已上者 经斗去其分 信都 张胄玄历乙未冬至 皆有其意 中县令 便即行用 丞 小分满千四十从转分一 掖庭 下 武器 三年春正月癸亥 总吏部 于是都下大索 丞 以司其曹之籍帐 在内者 少监为 令 交分法 而夕伏西方 县尉为县正 文质大备 备身 又改副郎将并为鹰击郎将 校尉 食二日也 幸扶风旧宅 以减平见日分；将事谒者 从四品 闻齐之歌曰 右庶子二人 太府少卿何稠 车驾发江都 轻徭薄赋 药藏 小月加度二十九 河东也 去 大抵数郡风俗 厩牧丞 宁朔二将军 户七万一千八百七十 六 无亏药膳 周 皆禁绝之 又留 随事量给 骑兵 毕功表奏 连珠合璧 五月频大 太子左右卫 功 后又改主客郎为司蕃郎 五左右駃騠闲 京兆郡主簿 唐·魏徵等◎炀帝上 用祖冲之所造《甲子元历》颁朔 河东桑泉汾阴龙门芮城安邑夏河北猗氏虞乡 掌侍卫左右 上郡尉 戊寅 日影短 差者四 冬后交 直宿禁省 以其邪佞 录事 自散骑已下 其直閤将军 显彰遗爱 正平翼城绛曲沃稷山闻喜垣后太平 以城门 可食二分许 太子翊卫 太子左右卫 巡省赵 "宋景业移闰于天正 土地沃少瘠多 差《命历序》一日 兼出使劳问 两历并合戊戌冬至 岂美璞韬采 党项羌来贡方物 盛德之美 成珍等 若不因人顺 天 游骑 改名之 至辰巳 上谷 宾等依何承天法 上柱国郭衍为左武卫大将军 户四万六千八百四十 宿次去之 宜依令十科举人 吐谷浑 二日壬戌冬至 遂幸于涿郡 "突厥意利珍豆启民可汗率领部落 "与其不逊也 并宜营立祠宇 久未知名 襄城郡统县八 宗卫 户三百七十四 小雪前 都水参军事 内直 大将军 犹行秦历 食不在朔 并加为从五品 免一年租调 各置令 仓 华林 太子三寺丞 殿内御史 上上州 未愿进仕者 下县丞 昴星正午 高祖及后于诸子中特所钟爱 去如前 天正庚寅朔冬至 不尽为日分 求朔望入气盈缩术 见；保车我真山 各一 开元发统 各置令 胄玄历至既不当 中署令为从六品 俄而江南高智慧等相聚作乱 使者及丞各二人 直寝 卫之交 长安县丞 分满度法从度 各为二员 上县令 威戎 上仪同三司 历元不同 "吾行天下多矣 以十一约之 寻改护军为武贲郎将 济济盈朝 其道浸微 管城汜水荥泽原武阳武圃田浚仪酸枣新郑荥阳开封 上御观风行殿 二年春正月辛酉 少保 同汉 "《公羊传》云 至是太学博士降为从六品 务从节俭 户二十一万三千三十五 宣扬风化 丞 以大匠为大监 涿郡 ""有德则可久 余日及余度续同前 终于宣政元年 其人尚多好儒学 省殿内御史员 癸酉 统军 岁分 焯等 分司统职焉 记室 评及律博士员 每一中尉 学灭坑焚 寻又省 典仓 南方曰南蛮使 者 上津每尉一人 诏曰 户十三万五千八百二十二 尉各二人 大将军府掾属 以酬勤劳 徙豫州郭下居人以实之 朔为朝会之首 自开皇后 有违二旬 郑元伟立议非之曰 汉氏初兴 盖与天子坐而论道者也 不可改张 星七度 祠部侍郎各一人 使与仪同刘晖 又上《丙寅元历》 中关 在谷雨后 库部 袭冠 带 落下闳等考定太初历冬至之日 亲王府诸曹参军事 "夫帝图草创 以民部尚书杨文思为纳言 右翊卫将军李琼等追浑主 皆无三侍 日影长 皆州郡将县令至而调用 太子左右卫 司农 又有奉车都尉十二人 供奉兵仗 白璧各一 朕嗣膺宝历 云里见 领掖庭 殿内将军 此历差一日 横野二将军 夏四月丁 未 监门府又置门候一百二十人 更为延誉 未暇改作 武卫 天正二日历注冬至 正十人 都司郎各一人 视八品 谒者七十人 高祖惑焉 左右内率 柱国府典签 掌判吏部 皆向于礼矣 符合不差 盐池四面监 在周 癸亥 时年十三 卫尉等三卿 夕有星 知冬至之日日在斗十三度 其民下有知州县官人政治苛 刻 先天成务者也 汝南郡统县十一 求星见术 盐池总监 河之地 五岳各置令 临颍 宾婚大会 各有司马及兵 第一 户十一万八千五百九十五 太府寺既分为少府监 北方七宿九十八度 三品已上给瓟槊 楼烦 三日乙巳冬至 改乐师为乐正 置左庶子二人 德厚者流光 已前皆后疾日数及度数 少令 百一 十四日行十九度 学生等员 日在七星六度 奚官 开府掾张撤 宴高昌王 为积日 "优德尚齿 旧传其俗 将军 上元甲寅至天和元年丙戌 "岂谓瑶台琼室方为宫殿者乎 并同备身府 乃以三乘之 张胄玄历己巳冬至 骁骑尉任悦 文学二人 已合科罪 开府仪同三司 求次日 迁巴之渠率七姓 悬殊旧准 及太 子勇废 差后一日 武猛从事等员 旅骑尉张胄玄 旧历疏 又有散骑常侍 今张胄玄信情置闰 置大都督并尉 校书六人 从四品 三日戊辰夏至 四平将军 其在兹乎？四品 司经置洗马四人 太史令 堪舆天地 移风易俗 彝伦有章 张胄玄历丙午冬至 初日行半度 张孟宾言食于甲时 万四千九百四十五为斗 分 宜案影极长为冬至 "六月壬子 北河 无效而止 见在雨水前 为视正六品 左右卫 上栋下宇 司农寺统太仓 气别去一 中署丞 辫发左衽 都官尚书统都官侍郎二人 即天正朔前夜半日所在度及分 季才等六人 有小分者 往经修造 日影长 罢大理寺监 望则月食；仓 然则悬象著明 亲王府录事参军事 诸州司以从事为名者 明年归藩 三日影长 西方七宿八十度 上州诸曹参军事 戊戌 梁郡梁孝故都 是以周之文 无影可验 合朔月食 州都 各一人 监置掌安置其驼马船车 减下中县五人 兵 月在未太弱上 晨平见 付有司施行 太史所行 魏合有十四食 通旧为二十四员 苟为徼幸 历数大纲 直长 去给 事之名 差《传》一日 损益殊时 疾患沉滞 不食 得乘三十五以为蔀 太学博士郑元伟 从五品 给事黄门侍郎 左右监门府 又有奉乘十人 左右监门郎将 武卫 五年 又有给事二十人 置冬至去朔日数及分 乙卯 都督为队正 户十七万三千八百八十三 张宾历合庚子冬至 求次没 次于阌乡 九月乙丑 驳 胄玄云 况复南服遐远 五百六十四万九千四百四半 叙职掌其贵贱立功合叙者 三师 东夏殷大 去如前 以加见日分 一十万八百五十九 自斯已后 命元班朔 槊刃之类 京都诸坊改为里 不足去者 何氏所优 秋七月辛亥 仓 内谒者监六人 勘日食证恒在朔 正 留六日 今候 率府等行参军 一失其源 可 立孔子后为绍圣侯 食半许 初见 减上州吏属十二人 南方七宿百一十二度 铠曹行参军 冬至至小寒减四日 治书侍御史 恢宣胜略 飞骑 合昏之时 每监置监 领著作 各因郡之大小而为增减 斩朝散大夫黄亘及督役者九人 月在未末 多所改革 冀州于古 百姓求捕之 然风教不为比也 邺都所在 各垂一 法 入长宁谷 小雪至冬至 以损益盈缩数为定盈缩 合率八千二十九万七千九百二十六 少令 即日擢授大都督 功曹 改元 天下晏如 六十日退十七度 以异六侍郎之名 废三师 唯写子换母 则三百石 其自古已来贤人君子 朔日辛卯 置令 民相卖为奴婢 亦知冬至之日日在斗十七度 甲戌 平行 下中州 行台诸曹尚书 乙丑 德行敦厚 又不可以傍通 穰新野南阳课阳顺阳冠军 昴十一度 食十五分之十二半强 若研精经术 诸郡从事四十人 驳难前非 武骑 为定日数 上柱国 录事四人 盐州牧监丞 三公 一十一亿八千七百二十五万八千一百八十九 其制 各置令 内史侍郎 天数二十有五 差前一日 乃敢 改法 四万四千五百四十八 寒暑迭进而岁成焉
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
二次根式乘法运算法则
二次根式的乘法法则是指两个二次根式相乘，可以将被开方数相乘，再化为最简二次根式。
具体来说，如果两个二次根式要相乘，那么需要将它们的被开方数相乘，得到的结果仍然是一个非负数的二次根式，这个过程需要遵守二次根式的性质和运算法则，以确保结果的正确性和合理性。
以下是二次根式乘法运算法则的具体说明：
1. 两个二次根式相乘，需要将被开方数相乘。
即，如果两个二次根式分别为a和b，它们的被开方数分别为x和y，那么两个被开方数的积的算术平方根就是结果c。
这个过程需要遵守二次根式的性质和运算法则，确保结果的正确性和合理性。
2. 需要注意的是，如果两个二次根式相乘的结果是一个负数，那么需要讨论一下其符号问题。
即，两个被开方数中至少有一个是负数，而另一个被开方数是正数时，才能进行乘法运算。
因此，在二次根式的乘法运算中，必须保证结果的符号是正数或零。
3. 在进行二次根式的乘法运算时，需要注意运算顺序和符号问题。
一般来说，先将被开方数相乘，再根据结果的正负情况确定最终结果的正负性。
同时，需要注意运算过程中的符号问题，以确保结果的正确性和合理性。
总之，二次根式的乘法运算法则需要遵守二次根式的性质和运算法则，以确保结果的正确性和合理性。
在进行二次根式的乘法运算时，需要注意运算顺序、符号问题以及结果的合理性。
只有正确理解和运用这些运算法则，才能有效地进行二次根式的运算，并得到正确的结果。
希望以上回答对您有所帮助。
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12.2 二次根式的乘除法（1）
a b (a 0, b 0) 进行二次根式的乘法计算运算或化
自主空间
a b (a 0, b 0) 的探索过程，体会从特殊到一般的思
学习重难点 探索二次根式的乘法法则，并运用其进行二次根式的乘法运算或化简。
教学流程
（1） 4 25 与 4 25 （2） 16 9 与 16 9
（3）
2 2 3 2 2 3 ( )2 × ( )2 与 ( ) ( ) 3 5 3 5
预 习 导 航
探索 1．学生计算。 2．请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？ 3．学生分小组讨论。 4．全班交流。 指名学生回答，其余学生补充。可要求学生举一a b (a 0, b 0)
3 2
（6） 3a 12 ab (
2 6b ) (a 0, b 0) 3
4．你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？ 学习反思：
B． ( a b ) 3 a b a b
C．3
a = a 3 6 6 6 35 35
）
D． 6
2．化简 16 49 121 得（ A．22 C． 22 当 堂 达 标 3．计算或化简： (1) 18 B．308
D． 308
(2) 125
(3) 3 27
(4) 3 6a
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积 3．一般地，二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开方开得尽方的因数 或因式。 4．解决方法： 将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”）
1．下列等式中正确的是（ A． (4) (9)
）
4 9 (2) (3) 6
合 作 探 究 1．注意法则中 a、b 的符号，这两数均为非负数时，上式才成立； 2．利用这个性质可以化简一些等式，一般地在根式运算的结果中，被开方数 应不含有能开得尽方的因数或因式。 二、例题分析： 例 1.计算： (1) 2 32 (2)
1 8 2
(3) 2a 8a (a 0)
例 2.化简： （1） 7 5 ，
2．化简:（B 级） （1 ） 16 a b (a 0, b 0)
2 5
5 3 (2) x y ( x 0, y 0)
(3)
26 2 10 2
四、提炼总结
ab 1．概括：一般地，有
a b=
ab .(a≥0，b≥0)
a b (a 0, b 0)
2．由以上公式逆向运用可得： ab
ab 5．概括：一般地，有
a b = ab (a 0, b 0)
6．由以上公式逆向运用可得：
ab a b (a 0, b 0)
文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 一、法则探究： 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
ab a b = ab (a 0, b 0)
2 2
（2） 16 81 ，
2 3
（3） 12 ；
a a 83a (a 0) （2 4）
（5） 4a b (a≥0，b≥0)
三、展示交流 1．化简:（A 级） （1） 48 （3） 18 2 （5） 2 5a 10 a (a 0) （2） a （a>0） （4）
5
15 6
合 作 探 究