概率及概率密度分布函数-PPT

概率论随机变量的分布函数ppt课件

因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。

3.1分布函数及概率密度函数

x
x
2020年5月28日星期四
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第三章连续型随机变量及其分布
4) 对任意x(,), F(x)是右连续的.
2020年5月28日星期四
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3.1 分布函数与概率密度函数
例：设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个连续随机变量。当0≤x≤1时，概率P {0≤X≤ x} 与x2成正比。试求X的分布函数F(x)。
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例：设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个连续随机变量。当0≤a≤1时，概率P {0≤x≤ a } 与a2成正比。试求X的分布函数F(x)。
0, x 0;
F (x)
x
2
,0
x
1;
1, x 1.
F '(x)
f
(x)
2x,0 x 1;
0, 其他
x
F (x) f (t)dx
0,
F
(
x)
1
4 3
, ,
4 1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
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引例：
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃，其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X -1
pk
1 4
23
11 24
30 P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1)
f (x)
x2 x1

分布函数与概率密度函数的求法ppt文件

04
分布函数与概率密度函数的求解方法
离散型随机变量的求解方法
定义法
根据随机变量的定义，利用公式计算离散型随机变量的概率，从而得到其分布函数和概率密度函数。
表格法
将随机变量取值的所有可能结果列成一个表格，计算每个可能结果的概率，从而得到其分布函数和概率密度函数。
连续型随机变量的求解方法
公式法
连续型随机变量的关系
• 连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率。例如，正态分布的分布函数可以表示为
• f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)), x∈R • 其中，μ是均值，σ是标准差。 • 连续型随机变量的概率密度函数是一个连续函数，它描述了随机变量取某个范围内的概率密度。例如，正
分布函数与概率密度函数的求法
xx年xx月xx日
contents
目录
• 分布函数的定义与性质 • 概率密度函数的定义与性质 • 分布函数与概率密度函数的关系 • 分布函数与概率密度函数的求解方法 • 分布函数与概率密度函数的应用
01
分布函数的定义与性质
分布函数的定义
离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量X，其分布函数F(x)定义为事件{X≤x}的概率，即F(x)=P(X≤x)。
分布函数与概率密度函数在统计分析中的应用
参数估计
假设检验
方差分析
相关分析
回归分析
利用样本数据估计未知参数，包括点估计和区间估计。
利用样本数据对未知参数进行假设检验，包括参数检验和非参数检验。
分析多个因素对观测值的影响，判断各因素对观测值的影响是否显著。
研究两个或多个变量之间的相关关系，包括线性相关和非线性相关。

4-1 正态分布的概率密度与分布函数

0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
概率论与数理统计教程（第五版）
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
P( X 30) P(30 X 30)
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
0.5987 (1 0.8944) 0.4931.
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 ,
1
则当很小时，
1.5
曲线的形状与一尖塔相似；
3
当值增大时，
7.5
O
x
曲线将趋于平坦.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F(x) 1
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
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所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过

概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件

0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.

第二讲分布的概率密度函数与分布函数2

2013-3-13
山东工商学院计算机学院

2013-3-13 山东工商学院计算机学院 25

【4-9】利用函数binopdf()产生二项分布的概率密度函数，并进行显示 >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.5); >> plot(x,y,'r*')
2013-3-13
山东工商学院计算机学院
26
0.25
【例4-4】利用函数poisscdf()产生泊松分布的概率密
度函数，并进行显示
>> x=1:50; >> y=poisscdf(x,25); >> figure; >> plot(x,y,'r+'); >> title('泊松分布');
2013-3-13
山东工商学院计算机学院
13
泊松分布 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
参数为lambda的泊松分布的概率密度函数值poisspdfxlambdapoisspdf参数为mkn的超几何分布的概率密度函数值hygepdfxmknhygepdf参数为p的几何分布的概率密度函数值geopdfxpgeopdf参数为np的二项分布的概率密度函数值binopdfxnpbinopdf参数为ab的韦伯分布概率密度函数值weibpdfxabweibpdf参数为b的瑞利分布概率密度函数值raylpdfxbraylpdf参数为ndelta的非中心卡方分布概率密度函数值ncx2pdfxndeltancx2pdf参数为ndelta的非中心t分布概率密度函数值nctpdfxndeltanctpdf参数为n1n2delta的非中心f分布概率密度函数值ncfpdfxn1n2deltancfpdf参数为rp的负二项式分布概率密度函数值nbinpdfxrpnbinpdf参数为musigma的对数正态分布概率密度函数值lognpdfxmusigmalognpdf分布概率密度函数值betapdfxabbetapdf分布概率密度函数值gampdfxabgampdf第一自由度为n1第二自由度为n2的f分布概率密度函数值fpdfxn1n2fpdf自由度为n的t分布概率密度函数值tpdfxntpdf自由度为n的卡方分布概率密度函数值chi2pdfxnchi2pdf参数为musigma的正态分布概率密度函数值normpdfxmusigmanormpdf参数为lambda的指数分布概率密度函数值exppdfxlambdaexppdf均匀分布离散概率密度函数值unidpdfxnunidpdfab上均匀分布连续概率密度在xx处的函数值unifpdfxabunifpdf注释调用形式函数名参数为ab的参数为ab的参数为lambda的泊松分布的累积分布函数值fxpxxpoisscdfxlambdapoisscdf参数为mkn的超几何分布的累积分布函数值hygecdfxmknhygecdf参数为p的几何分布的累积分布函数值fxpxxgeocdfxpgeocdf参数为np的二项分布的累积分布函数值fxpxxbinocdfxnpbinocdf参数为ab的韦伯分布累积分布函数值fxpxxweibcdfxabweibcdf参数为b的瑞利分布累积分布函数值fxpxxraylcdfxbraylcdf参数为ndelta的非中心卡方分布累积分布函数值ncx2cdf

条件分布律条件分布函数条件概率密度ppt课件

第三章随机变量及其分布
一、随机变量的独立性
§4随机变量的独立性
设 (X， Y )是二维随机变量，其联合分布函数为 F (x， y) ，又随机变量X 的分布函数为FX (x)，随机变量Y 的分布函数为FY ( y)．
如果对于任意的x， y，有
F (x， y) FX (x) FY (y)
则称 X， Y 是相互独立的随机变量．
第三章随机变量及其分布
一、离散型随机变量的条件分布律
§3条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：
P{ X xi } pi• pi j , i 1,2, j 1
1 2
- 2)
(y
- 2 )2
2 2
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第三章随机变量及其分布
又随机变量Y 的边缘密度函数为
§3条件分布
fY (y)
1
- ( y-2 )2
e 2
2 2
2 2
(- < y < )
因此，对任意的 y，fY ( y) 0，
( ) ( ) f X Y
xy
f (x， y) fY (y)
所以，当0 < y < 1时， 0,
其它.
fY (y) f (x，
-
y)dx
y 1 dx - ln(1 -
0 1- x
y
y).
所以，随机变量 Y 的密度函数为
1
fY
(y)
ln(1 -
0,
y),

概率及概率密度分布函数

概率及概率密度分布函数概率及概率密度分布函数是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的分布情况。

概率研究的是随机事件的可能性，而概率密度分布函数则描述了连续型随机变量在某个取值范围内的概率密度。

一、概率的基本概念概率在概率论中是指某个事件发生的可能性大小。

常用的概率表示方法有百分数、分数和小数等形式。

如果某个事件必然发生，则其概率为1；如果某个事件不可能发生，则其概率为0。

对于其他事件，其概率一般介于0和1之间。

二、概率的计算方法根据概率的定义，我们可以通过实验来确定某个事件发生的概率。

在实验中，若某事件发生的次数为m，总共进行实验的次数为n，则该事件发生的概率可用频率表示为m/n。

此外，还有一些常用的概率计算方法，如加法定理、乘法定理、条件概率等。

加法定理适用于求两个事件中至少一个发生的概率；乘法定理适用于求两个相继独立事件同时发生的概率；条件概率则描述了在已知某事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

三、概率密度分布函数概率密度分布函数是用来描述连续型随机变量的分布情况的数学函数。

对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为在x处的概率密度。

一般来说，概率密度函数为非负的连续函数，并满足积分为1的条件。

在实际应用中，概率密度分布函数可以用图像形式表示出来，常用的图像表示方法有直方图、正态分布曲线等。

直方图可以直观地反映出某一区间内的事件发生的概率密度，而正态分布曲线则是一种常见的连续概率分布曲线。

四、概率密度分布函数的应用概率密度分布函数在概率统计学中有着广泛的应用。

它可以用于描述各种现实世界的随机现象，如人类身高、体重的分布，机器零件的寿命，气象数据等。

通过分析概率密度分布函数，我们可以得到关于随机变量的各种统计量，如期望、方差、标准差等。

这些统计量能够帮助我们对随机变量的分布特征进行全面的描述和分析。

总结：概率及概率密度分布函数是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布情况。

概率是指某个事件发生的可能性大小，可以通过实验或计算得到。

概率分布和概率密度

概率分布和概率密度
概率分布：概率分布是概率论的基本概念之一，它主要的研究对象是随机事件（变量）在指定区间范围内的发生（取值）的统计规律。

概率分布函数：概率分布函数是指定区间内随机事件（变量）发生（取值）的统计值分布规律的数学表示。

即对于任意实数X，事件x在x<X范围内，每个点发生的概率分布函数可以表示为：
F(x)=P(x<X)，显然0<=F(x)<=1，在给定区间a<=x<=b上，概率分布函数决定了事件(取值)x的发生概率，它反映了随机事件（取值）的统计特性。

概率密度：概率密度也是概率论的基本概念之一，它研究的对象是随机事件（变量）在单位区间内发生概率。

概率密度函数：概率密度函数是随机事件（变量）在单位区间内发生概率的数学表示。

即：f(x)=F(x)/|a-b|，其中b<= x <=a，
对于离散事件有F(x)= ∑P(x) （b≤X≤a），
对于连续随机事件有 F(x)= ∫ba p(x)dx 显然f(x)为非负值。

概率与概率分布

2、若一批玉米种子发芽率为0.9，发芽后能出土的概率为0.8，求这批种子的出苗率?
三、概率分布
若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布(probability distribution)。
为了深入研究随机试验，先引入随机变量(random variable)的概念。
二项分布的累计函数:
i
F(x) P(x) x0
x ~ B(n, p)
性质
n
由于(p+q)n=1，所以 P( x) 1 x0
二项分布的数学期望 E(x)=np
方差 D(x)=npq
标准差 npq
例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即 p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头中死3头、2头、1头以及全部愈好的概率为多少？
对立事件
必有一件发生，但 A+B=U; A•B=V;B=Ā;
不同时发生，也不 P(A+B)=1; P(A•B)=0;
能同时不发生
P(B)=P(Ā)=1-P(A)
互不相关; 独立事件多个彼此独立事件 P(A•B)=P(A)•P(B);
1、有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。
lim n
P |
1 n
Xi
|
1
意义：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值
依概率收敛于它的数学期望。
切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立，每个Xk的方差存在，且一
致有界，即存在常数c，使得

概率密度函数 ppt课件

概率密度函数
定义设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
1
3
指数分布
定义若连续型随机变量X的概率密度为
ex
f(x)
x0(0为常数）
0 x0
则称X服从参数为的指数分布.
X～ E()
分布函数
0
x0
F(x)1ex x0
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
均匀分布
定义若连续型随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
则称X在区间（a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
b x
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
。 P(X a) 1 (a )
例设X~N（1，4），求 P(0<X<1.6)
解
1, 2
P(0X1.6) (1.61)(01)
2
2
(0.3)(0.5)
(0.3)1 (0.5)

概率论与数理统计ppt课件

注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验正态总体均值的假设检验正态总体方差的假设检验置信区间与假设检验之间的关系样本容量的选取分布拟合检验秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例：记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13

事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定

例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定明天天气状况 ——不确定买了彩票会中奖

概率论与数理统计PPT课件

24
例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号：其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一球，记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若：则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
32
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n；则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62

正态分布的概率密度与分布函数

Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
例1、设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解: (1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y)
1
1 y
y 2e 2,
2π0,y 0; y Nhomakorabea.所得的分布称为自由度为1的 2分布.
§4、1 正态分布得概率密度与分布函数
小结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
f (x)
1
2 π
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N (0 ,1)的概率密度与分布函数：
2
e t2 2dt
所以,
D(X ) 2 , (X ) .
x t
2π ,
§4、2 正态分布得数字特征
正态分布的参数是该分布的数学期望,另一个参数是该分布的标准差.
正态分布得概率密度完全由数学期望和方差决定、
§4、2 正态分布得数字特征
定理2、设随机变量 X 服从正态分布，则k 阶中心矩
则 X 的数学期望为 _____ , 方差为 ______.
解: X 的概率密度可以写为
f (x)
1 2π
1
exp[
(x 2(
1)2 1 )2
]
2
2
由此可知, X ~ N (1 , 1) . 于就是有E,( X ) 1 , D( X ) 1.