数学建模-量纲分析法
数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
建模 第九章量纲分析
五、大作业(以队为单位完成)
题目:每个队从2005或2006年竞赛题中任选一个题目,采取三人合作方 式完成一篇论文.成员之间要有效的分工和合作,队长要发挥核心领导 和组织作用.论文上注明三个成员的姓名. 在9月8日前交到我的邮箱 这次作业的目的: 熟悉赛题 熟悉论文写作格式 培养团队协作精神 熟悉建模的每个环节(选题-查阅文献资料-分析题意-做出模型假设建立模型和求解模型-改进模型-评价模型-(应用模型)等. 培养攻关意识 提示：可以参考参考甚至 模仿已有的论文。
其中k是常数,下面列出变量和对应的量纲 变量 | F k v A ρ -------------------------------------------------量纲 | MLT -2 M0L0T0 LT-1 L2 M L-3
就量纲而言,由假设(2)得, MLT 2 =(M 0 L0T 0 )(LT 1 ) a (L2 ) b (ML3 ) c ,
THE END
变量 | v r g ρ μ ----------------------------------------------------2 -1 -3 -1 -2 量纲 | LT L LT M L ML T
.
(3)确定无量纲乘积,由Buckingham（布金汉） 定理,列出线性方程组
在变量中间找出所有的无量纲乘积,其形式 必为va r b g c d e (1) 故量纲为(LT 1 )a (L) b (LT 2 )c (ML3 ) d (ML1T 1 ) e , 因为(1)式是无量纲的, 所以, a+b+c-3d-e=0 -a-2c-e=0 d+e=0
T M 1L 1 2T 2 1
量纲分析法
L, T ;
而
[x] L [t] T [r] L [v] LT 1 [g] LT 2
所谓无量纲化是指，对(3.18)式中的 x 和 t 分别构造且有相同的参数组合 xc 和 tc ，使得
新变量
x x x0
t t t0
为无量纲量，其中 xc , tc 称为特征尺度或参考尺度；把方程（3.18）化为 x 对
q L M T I N J
量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体 的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例 3—1： 单摆运动，质量为 m 的小球系在长度为 l 的线的一端，线的另一端固定， 小球偏离平衡位置后，在重力 mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期 t 的表达式。
--------------（3.2）
由量纲齐次原则应有 （3.3）
1 2
0 3
0
23 1
---------------
解得：1 0 ,
2
1 2
,
3
1 2
,
代入（3．1）得
t
l g
-------
（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，
lv Fr ; 称为 Reynold 数，记为 Re , 因此（3.10）又可写为
f l 2v2 ( l h , Fr, Re)
------------------（3.11） 4. 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。
设: f、l、h、v、、、g 和 f 、l、h、v、 、、g 分别表示模型和原型中
量 纲 分 析 法 建 模
§5 量 纲 分 析 法 建 模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理 设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ． 并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与 等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解 线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性 量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初 等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法 难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常 出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函 数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题 在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。
量纲分析——精选推荐
量纲分析量纲分析量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建⽴数学模型的⼀种⽅法，它是在经验和实验的基础上, 利⽤物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
为了能够应⽤数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。
物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。
被测物理量的数值⼤⼩不仅取决于其本⾝，⽽且取决于所选⽤的单位。
例如为了描述⼀块地的范围，需要确定其⾯积的单位和数值的⼤⼩。
我们可以说这是块⼤⼩为1平⽅公⾥的地，也可以说这是块⼤⼩为1000000平⽅⽶的地。
离开了单位，仅根据数值我们⽆法判断⼀块地的⼤⼩。
单位的选取往往带有任意性，⽐如说度量长短可以选⽤⽶为单位，也可以选⽤厘⽶、分⽶、公⾥甚⾄光年为单位。
然⽽这些单位都是⽤来度量同⼀个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统⼀性。
我们把这种统⼀性称为量纲。
单位：物理量的⼤⼩；量刚：物理单位的种类。
m 、cm、mm 长度类⽤L表⽰分、⼩时、秒时间类⽤T表⽰公⽄、克质量⽤M表⽰⼀般来说，测量同⼀个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯⼀的。
例如，测量长度可以⽤厘⽶、分⽶、公⾥甚⾄光年为单位，量刚只能⽤L来表⽰。
通常⽤［量］来表⽰物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，⽆单位的物理量的量纲记为1。
⼀个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的⼀些看成是基本量，其他的是导出量。
基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独⽴的，不能从其他量纲推导出来量纲。
在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热⼒学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J]其他量的量纲可以由基本量纲导出。
导出量纲：可⽤基本量纲推导出来的量纲例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么⾯积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。
量纲分析模型
量纲分析法来构造模型一、基本概念：在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：质量的量纲是：克（g ）；千克（kg ） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡def ：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。
用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。
def ：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。
例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。
def ：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。
def ：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：力学中基本量纲为：m （质量），l （长度），t （时间），分别记成：[]M ，[]L ，[]T ，其他量纲可由此推出来。
例如：速度 1[][]V LT -=；加速度 2[][]a LT -=，力22[][][][][][]f M a M LT MLT --=== .有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 122m m f K r= 中的引力常数K 的量纲也可推出来：222132132[][][][][][][][]MLT K m L K M L T M L T ------=⇒==def ：无量纲常数α，记为0[]1, ( [])L M T αα== 二、量纲分析法建模的例子：先从实例讨论出发，再给出一般方法。
例1：单摆运动模型：已知：质量为m 的小球，系在长为l 的线的一端，重力F mg =作用下作简谐运动，求：单摆运动关于周期t 的模型。
解： 1：将可能与t 有关的物理量, , m l g 用关系式(, , )t l m g ϕ= （1）表示出来。
数学建模3.1量纲分析法
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y 2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
s qj
j 1
m
y sj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
1 ( 2 , 3 )
1 v 2 1 p 2 lv 1 1 2 1 3 l v g
未定
v gl : Froude number
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ),
f , s , l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l g ( 1 , 2 )
3
f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) v1 s1 1 , 2 2 l1 g1l1
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式 1983 年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首 次开设。
1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。
20 多年 来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从 1989年起参加美国数学建模竞赛， 1992 年国家教委高教司提出在全国普通高等 学校开展数学建模竞赛， 旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神， 全面 提高学生的综合素质” 。
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越 来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。
本文主要介绍了数学建模中常用的方法。
一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。
模型 是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、 提炼 而构造的原型替代物。
一个原型， 为了不同的目的可以有多种不同的模型。
数学 模型是指对于现实世界的某一特定对象， 为了某个特定目的， 进行一些必要的抽 象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。
数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程， 是现实的现象通过心 智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、 学方法。
二、教学模型的分类 数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、 微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。
三、数学建模的常用方法 1. 类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数 学概念和数学符号表述成数学问题， 而表述成什么样的问题取决于思考者解决问 题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上， 通过联 想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系， 用已知模型的某 些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
量纲分析法与无量纲化ppt课件
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解0 1 1212y
y1 ,
y2
,
y3
1 1
1 0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
导出量纲
万有引力常数 G 的量纲 [G]=M-1L3T-2
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
量纲分析法与 无量纲化
1
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
数学建模-3.量纲分析法
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g l1 3
f 1
F=0 3(1,2)
fl3g( 1,2), 1vg,l2ls2 未定
2021/3/18
11
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
R e 2 lv: R e y n o l d n u m b e r ;F r 3 v g l: F r o u d e n u m b e r
2021/3/18
8
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f(q 1,q 2, ,q m )0 (g,l,,v,s,f)0
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 f l 3 g ( 1, 2 )
型船所 受阻力
1
v gl
,
2
s l2
可得原 型船所 受阻力
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
3.1 量纲分析法与无量纲化
数学建模-量纲分析建模
如速度的量纲是LT 1, 但其单位可以是(m / s) 也可以是(km/ s), 还可以是(km/ h).
3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度
4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属 性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。
L T M 12 33 4 5 6 -2 24 5 26 3 4 5
L0T0M 0
由此得一六个未知量的方程组 其系数矩阵为
1 2 33 4 5 6 0
3 4 5
0
-2
24 5 26 0
则可等价地写出1 h( 2,3),即. p v2h( 2,3).
量纲分析法建模的工作步骤
一、找出含目标因素在内的各主要相关因素。
二、写出含目标因素在内的各主要相关因素的量纲积。
三、
写出含目标因素在内的各主要相关因素的无量纲量
的
i
量纲表达式 该表达式的指数为待定常数。
四、 利用量纲齐次性原理得到齐次线性方程组， 并求基础解系
摩尔
符号 m kg s A K cd
mol
3、量纲
定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的 量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示， 因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成
Q L1 M T I 2 3 4 5 J 6 N 7
许多物理问题的研究只涉及M , L,T三个基本量纲，
§5.1 量纲分析建模
一、单位与量纲 1、单位
数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。
《数学建模课程》第三章 量纲分析法
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量 纲 分 析 法 建 模
§5 量 纲 分 析 法 建 模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理 设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ． 并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与 等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解 线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性 量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初 等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法 难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常 出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函 数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题 在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。
数学建模的主要建模方法
主要建模方法1、类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型2、量纲分析是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。
它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。
在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。
量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。
3.差分法差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验4、变分法较少5、图论法数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。
图论是研究由线连成的点集的理论。
一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。
数学建模的主要方法
数学建模的主要方法2数学建模主要分析方法初等数学法。
主要用于一些静态、线性、确定性的模型。
例如，席位分配问题，同学成绩的比较，一些简单的传染病静态模型。
层次分析法。
主要用于有关经济计划和〔管理〕、能源决策和分配、行为科学、军事科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等领域，以便进行决策、评价、分析、猜测等。
该方法关键的一步是建立层次结构模型。
数据分析法。
从大量的观测数据中，利用统计方法建立数学模型，常见的有：回归分析法，时序分析法。
仿真和其他方法。
主要有计算机模拟(是一种统计估计方法，等效于抽样试验，可以离散系统模拟和连续系统模拟)，因子试验法(主要是在系统上做局部试验，依据试验结果进行不断分析修改，求得所必须模型结构)，人工现实法(基于对系统的了解和所要达到的目标，人为地组成一个系统)。
3数学建模常用方法差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
类比法：数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思索者解决问题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该"类似'问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
量纲分析法：量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。
量纲分析模型
量纲分析在实际问题中的应用
假设 问题的解是依据适当的物理基本量的量纲 齐次方程给出的。 齐次方程给出的。
任 务
•首先找出所有与问题的解 （因变物理量 ） 首先找出所有与问题的解（因变物理量） 有关的物理量和基本量； 有关的物理量和基本量； •其次寻求一个 适当的 无量纲齐次方程来确 其次寻求一个适当的无量纲齐次方程来确 适当的无量纲齐次方程 定待定方程的形式（ 定待定方程的形式 （ 即 变量是独立的无量 纲积的方程） 纲积的方程）； •最后把因变物理量解出来。 最后把因变物理量解出来。
定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系， 定义 ：一物理量与基本物理量之间的规定关系， 称
基本物理量 以基本物理量的幂 为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂 为该量的量纲 。这种规定关系常
名称 量纲 单位 符号 指乘积形式表示，因此也称为量纲积。 指乘积形式表示，因此也称为量纲积。 即任一物理 长度 L 米 m 量Q的量纲皆可表示成 M 的量纲皆可表示成 • 质量 千克 kg • 时间 s δ [Q]=LαM βTγITΘεJζNη 秒 •电流强度 I 安培 A 其中， ， ， ， ， ， ， 是基本物理量的量纲 是基本物理量的量纲； 其中，L，M，T，I，Θ，J，N是基本物理量的量纲； • 温度 Θ 开尔文 K η称为量纲指数 称为量纲指数。 α, β, γ, δ, ε, ζ, η称为量纲指数。 • 光强 J 坎德拉 cd •物质的量 N 摩尔 mol 称量纲指数均为0的物理量为无量纲量。 称量纲指数均为0的物理量为无量纲量。
2.10.1 量纲分析建模和Pi定理 量纲分析建模和Pi定理 Pi 量纲齐次法则
用数学表达式表示一个物理定律时， 用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边 的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。 的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。 例如, 例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法， 量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利 是在物理领域中建立数学模型的方法 用物理量的量纲提供的信息， 用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确 定物理量之间的关系。 定物理量之间的关系。
量纲分析法建模案例
r (t , E, , p)
记作更一般的形式
(1)
f (r, t , E, , p) 0
(2)
取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2） 中各个物理量的量纲分别是
[r ] L,[t ] T ,[ E] L2 MT 2 ,[ ] L3M ,[ P] L1MT 2
边取对数作线性最小二乘拟合，取＝1.25kg/m3 , 有 5 1 E log10 r log10 t log10 ( ) (9) 2 2
x
c
5 1 E y c, y log10 r x, x log10 t , c log10 ( ) 2 2
c 6.9038
由此得到量纲矩阵为
A35
1 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 1 2 0 2
齐次方程 Ay=0的基本解为 y (1,2 / 5,1 / 5,1 / 5,0)T
y (0,6 / 5,2 / 5,3 / 5,1)
T
根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个 基本解可以得到2个无量纲量
(10)
由c和容易算出E 8.0276 1013 焦耳
1千吨TNT的核子能量＝4.184 1012 焦耳
原子弹爆炸能量的实际值21千吨
原子弹爆炸 的能量是 19.1863千吨
0.80 34.2 0.94 36.3 1.08 38.9 1.22 41.0 1.36 42.8
1.50 44.4 1.65 46.0 1.79 46.9 1.93 48.7 3.26 59.0
3.53 61.1 3.80 62.9
15.0 106.5 25.0 130.0 34.0 145.0 53.0 175.0 62.0 185.0
《数学模型》课件量纲分析法20180907
[q] M L T
几何学量纲： = 0，0，=0
分
类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
无量纲量
当
0
则
［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几
个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。
i
，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲
可表为
q1 q2
qm
n
aij
q j X i , j 1, 2, , m
X 1 a11
i 1
X 1 a21 aij
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rank A r
于是
由F( 1, 2) = 0,可得 1 = ( 2 ) ( )
从而有
l
t 2
g
. 给定摆角实验,从数据进行参数估计
为什么可以假设为幂次乘积式
物理量，通常由实数连同所采用的单位表示。随单位的变
化物理量的实数值也会随着相应变化，也可以认为这是一
种主观的变化，非实质的变化。客观规律当然不依赖于主
量纲分析法
我们发现的化学元素仅有百余种，然而各成分的多寡、
结构差异形成了万物间的千差万别. 我们称这些元素为
基础成分.
反映物理现象的各个量是否也具有类似的统一的基础
成分哪？如有，可以找到类似分子结构的东西。类比
如，物理学研究物质在时空中的演化和运动，所有一
切最终离不开质量、时间和长度这三种基本量，因此
2：量纲分析法 数学建模
π
2 gt 故单摆公式可用 f(π ,π ) 0 f(θ , ) 0 表示。 1 2 l gt 2 从中解出显函数 h(θ( 则可得： l l l 其中 k (θ ) h(θ ) t h(θ( k(θ( g g
l
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实 上，需要用椭圆积分才能表达它。
R（A）=3
解齐次方程Ay=0
y 1 (0,1,1,0,0,0,0) T y 2 (0,1,0,2,0,0,1) T y 3 (0,1,0,1,1,1,0) T y 4 (1,2,0,2,1,0,0) T
(6)式给出4个相互独立的无量纲量 (6)
1 lh
1
2 lv 2 g 3 lvru1 4 fl 2 v 2 r 1
f LMT 2
假设关系式为： G(f,l,h,v,R源自u,g)=0 基本量纲为：L，M，T
[l ] L [h ] L [ v ] LM 1 [p ] L 3 M [u ] L1 MT 1 [g ] LT 2
1--8
v 其中u的量纲由基本关系P u , p为压强 x -2 2 1 1 [p] LMT L L MT
量纲分析法建模
• • • • 1 万有引力公式的推导 2 理想单摆的摆动周期 3 量纲分析法理论 4 航船的阻力
§2.6 量纲分析法建模
物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表 示）、长度（ 用L表示）、时间（ 用T表示），有时还有温 度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲 为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
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任何建模方法都有局限性
2020/11/7
13
力学，电学，热学问题是最常见的物理问题，时间， 质量，长度是这类问题最常用的基本物理量，以这 几个物理量作为基本物理量的量纲系统通常称为 系统ML，T 下表给出若干常用物理量的量纲：
物理量 质量 长度 时间 速度 加速度
2020/11/7
量纲
M
L
T
LT 1
LT 2
物理量 力 熵 频率
角速度 角加速度
量纲
MLT 2
ML2T 2 T 1 T 1
T 2
14
物理量 角动量 能量 功 动量 热量 密度 黏性系数 压强 表面张力 功率 转动惯量 转矩
量纲
ML2T 1
ML2T 2
ML2T 2
2020/11/7
5
例4.1 非线性震荡运动方程
m
d2x dt 2
Kx
C
dx dt
F
或
dx dt
v,
m
dv dt
Kx
Cv
F.
模型中有参数：m、K、C
令 x0= ,
2020/11/7
6
根据量纲齐次性，有
[ F ]=MLT－2 , [ K ]=MT－2, [ C ]= MT－1 , [ w0 ]=T－1
第四章 量纲分析建模法
在数学的应用中，需处理的往往不是“纯粹的” 数，而是反映事物某一特性的度量。
用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性。
量纲分析法是一种初等有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）
2020/11/7
1
一个模型中单位必须统一
的量纲可表为 [qj
]=
n
X
ij
i
j=1,2, …,m
i 1
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵。若A的秩
Rank(A)=r
2020/11/7
10
若齐次线性方程组 AY=0 （y是m维向量）的
m－r个基本解为：
则
ys=(ys1, ys2, …, ysm)Tm,
s
s=1,2,
q
ysj j
…,m－r
[加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
f
K
m1m2 r2
中的引力常数K的量纲为
[K]
fr 2
[ f ][r 2 ]
m1m2 [m1][m2 ]
LMT 2 L2 L3M 1T 2
二.量纲 基 本 物 理 量
质量（M） 力学中，任何物理量
长度（L）
都可以表示为其组合形 式，称这种组合形式为
时间（T） 物理量的量纲。
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量
纲
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例：[速度]=[ v ]=[
ds
dt ] = =LT－1 ;
MLT 1
ML2T 2 ML3
ML1T 1
ML1T 2
MT 2
ML2T 3
ML2
ML2T 2
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以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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2. 合理选择基本量纲（一般，在力学中选取 L、M、T即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学 问题加上电量量纲Q）。
3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解。
量纲分析建模方法有如下优缺点:
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果。
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2. 可将无关的物理量去掉。 3. 可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量。 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程 F（·）=0，仍然包含着一些未定函数、参数 或无量纲量。
K ( x ) C ( v ) F mw02 x0 mw0 v0 mw0v0
=－X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
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原方程变形为
优点：
dV dT AV F0 X
1. 减少了参数的个数；
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量。
四. 量纲分析建模
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建 立数学模型的一种方法,是对所设问题有一定了
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三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
指一个方程在任何度量单位制下都成立
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必 定是量纲一致的，即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验
2. 无量纲化方法减少参数个数
注意：量纲尺度必须是线性的，否则量纲分 析会失效！
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M2
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部分物理量是无量纲的，称之为纯数字，如 ［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量，但它有单位（弧度）。
量纲独立于单位
量纲表达式总保持成立，与度量单位制的 特殊选择无关。例如速度量纲为LT-1，可以表 示为米每秒、英尺每秒、里每秒；面积量纲 为L2，可以用平方米、平方公里等表示。
j 1
为 m－r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1, π2, …，πm－r)=0
（2）
与（1）式等价，其中F的形式未知。
例4.2 航船阻力
例4.3 物理模拟中的比例模型
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应用量纲分析法建立数学模型应注意：
1. 正确确定模型中所含物理量（主要靠经验 和知识，没有一般的方法可以保证得到的结果是 正确或有效）。
引进无量纲量： T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得 dx d(x0 X ) w0 x0dX v0dX v
dt d( T ) dT
dT
w0
dX v
特点？
V
dT v0
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将
m
dv dt
m
d (v0V ) d (T w0 )
mw0v0
dV dT
代入原方程，有
dV K x C v F dT mw0v0 mw0v0 mw0v0
解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则
来确定各物理量之间的关系。
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例4.2 单摆运动
单摆运动的抽象
Buckingham Pi定理：
设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而 f (q1，q2，… qm )=0
（1）
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2,
… , Xn是基本量纲，其中n≤m，q1，q2，… qm