数学建模-量纲分析法

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例4.1 非线性震荡运动方程
m
d2x dt 2
Kx
C
dx dt
F
或
dx dt
v,
mBiblioteka Baidu
dv dt
Kx
Cv
F.
模型中有参数：m、K、C
令 x0=x(0) ,
w0 =
K m
,
v0=x0 w0 ,
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根据量纲齐次性，有
[ F ]=MLT－2 , [ K ]=MT－2, [ C ]= MT－1 , [ w0 ]=T－1
第四章 量纲分析建模法
在数学的应用中，需处理的往往不是“纯粹的” 数，而是反映事物某一特性的度量。
用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性。
量纲分析法是一种初等有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）
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一个模型中单位必须统一
2. 合理选择基本量纲（一般，在力学中选取 L、M、T即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学 问题加上电量量纲Q）。
3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解。
量纲分析建模方法有如下优缺点:
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果。
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2. 可将无关的物理量去掉。 3. 可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量。 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程 F（·）=0，仍然包含着一些未定函数、参数 或无量纲量。
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三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
指一个方程在任何度量单位制下都成立
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必 定是量纲一致的，即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验
2. 无量纲化方法减少参数个数
注意：量纲尺度必须是线性的，否则量纲分 析会失效！
二.量纲 基 本 物 理 量
质量（M） 力学中，任何物理量
长度（L）
都可以表示为其组合形 式，称这种组合形式为
时间（T） 物理量的量纲。
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量
纲
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例：[速度]=[ v ]=[
ds
dt ] = =LT－1 ;
5. 物理定律中常见的函数，如三角函数 sin（·），指数函数exp（·）等是无量纲的，不 可能用量纲分析法得到。
任何建模方法都有局限性
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力学，电学，热学问题是最常见的物理问题，时间， 质量，长度是这类问题最常用的基本物理量，以这 几个物理量作为基本物理量的量纲系统通常称为 系统ML，T 下表给出若干常用物理量的量纲：
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M2
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部分物理量是无量纲的，称之为纯数字，如 ［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量，但它有单位（弧度）。
量纲独立于单位
量纲表达式总保持成立，与度量单位制的 特殊选择无关。例如速度量纲为LT-1，可以表 示为米每秒、英尺每秒、里每秒；面积量纲 为L2，可以用平方米、平方公里等表示。
引进无量纲量： T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得 dx d(x0 X ) w0 x0dX v0dX v
dt d( T ) dT
dT
w0
dX v
特点？
V
dT v0
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将
m
dv dt
m
d (v0V ) d (T w0 )
mw0v0
dV dT
代入原方程，有
dV K x C v F dT mw0v0 mw0v0 mw0v0
[加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
f
K
m1m2 r2
中的引力常数K的量纲为
[K]
fr 2
[ f ][r 2 ]
m1m2 [m1][m2 ]
LMT 2 L2 L3M 1T 2
j 1
为 m－r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1, π2, …，πm－r)=0
（2）
与（1）式等价，其中F的形式未知。
例4.2 航船阻力
例4.3 物理模拟中的比例模型
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应用量纲分析法建立数学模型应注意：
1. 正确确定模型中所含物理量（主要靠经验 和知识，没有一般的方法可以保证得到的结果是 正确或有效）。
物理量 质量 长度 时间 速度 加速度
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量纲
M
L
T
LT 1
LT 2
物理量 力 熵 频率
角速度 角加速度
量纲
MLT 2
ML2T 2 T 1 T 1
T 2
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物理量 角动量 能量 功 动量 热量 密度 黏性系数 压强 表面张力 功率 转动惯量 转矩
量纲
ML2T 1
ML2T 2
ML2T 2
MLT 1
ML2T 2 ML3
ML1T 1
ML1T 2
MT 2
ML2T 3
ML2
ML2T 2
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以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则
来确定各物理量之间的关系。
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例4.2 单摆运动
单摆运动的抽象
Buckingham Pi定理：
设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而 f (q1，q2，… qm )=0
（1）
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2,
… , Xn是基本量纲，其中n≤m，q1，q2，… qm
K ( x ) C ( v ) F mw02 x0 mw0 v0 mw0v0
=－X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
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原方程变形为
优点：
dV dT AV F0 X
1. 减少了参数的个数；
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量。
四. 量纲分析建模
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建 立数学模型的一种方法,是对所设问题有一定了
的量纲可表为 [qj
]=
n
X
ij
i
j=1,2, …,m
i 1
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵。若A的秩
Rank(A)=r
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若齐次线性方程组 AY=0 （y是m维向量）的
m－r个基本解为：
则
ys=(ys1, ys2, …, ysm)Tm,
s
s=1,2,
q
ysj j
…,m－r