上海市高考数学基本要求例题及练习(基础-)

第一单元集台与函数

本单元所涉及的知识为集合和命题，函数的基本性质，幂函数、指数函数和对数

函数．

集合作为表述数学对象的一种数学语言，将贯穿在今后的数学学习中；数学命题

早已接触，数学命题的充分性与必要性是表述数学内容及逻辑关系的最精确和最简单

的语言，也将在今后的数学学习中不断予以运用．

函数是中学数学的一个核心内容，函数的概念、函数的基本性质以及分别作为基

本初等函数之一的幂函数、指数函数和对数函数的图像与性质的研究既是高等数学的

重要基础，也是用以建立函数模型解决诸多实际问题的重要依据．

1．1 集合与命题

【导言】

1．教学目标

(1)知道集合的意义，理解用以表示元素与集合间关系的符号；认识一些特殊集

合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质，会求几个集合的交集、并集以及已知集合关于全集的补集．

(2)理解逆命题、否命题、逆否命题的含义，掌握四种形式命题的相互关系；理解

充分条件、必要条件、充分必要条件的意义，能在简单的问题情景中判断条件的充分

性、必要性、充分必要性．

(3)体会数学抽象的意义，认识数学符号变换的含意，能用集合的知识与方法观

察、思考、表述和解决一些简单问题，领会分类、判断、推理的思想方法．

2．重点和难点

重点：子集的概念，集合的运算；充分条件、必要条件、充分必要条件．

难点：命题的证明，充分条件、必要条件、充分必要条件的判别．

命题的四种形

式

了解一些基本的逻辑关

系及其运算．

理解逆命题、否命题、逆

否命题，理解命题的四

种形式及其相互关系，体

会逻辑语言在数学表

达和论证中的作用．

初步掌握命题的四种形

式及其相互关系，建立命

题与集合之间的联系．领

会分类、判断、推

理的思想方法．

充分条件、必

要条件、充要

条件

理解充分条件、必要条

件、充要条件的意义．能

存简单的问题情景中判

断条件的充分性、必要

性、充要性．

知识结构

【学习指导】

1．问题讨论

问题l 下列三个集合{}{}

22

1,1,

A x y x x R

B y y x x R

==-∈==-∈

、、{}

2

(,)1,

A x y y x x R

==-∈相等吗?

问题2 如何判定命题的真假?

说明命题的真假判定都要有依据，要判定一个命题为真命题或假命题，需要证

明，证明包括直接证明、间接证明．判定一个命题为假命题有时可以举一个反例．问题3 如何判别一个条件是充分条件或必要条件?

说明应该依据推出关系判别一个条件是充分条件或必要条件．

2．例题解析

例题l 已知集合{}

13

A x x

=-<<，集合{}

230

B x x x

=-≤，集合{}

11,

C x a x a a R

=-≤≤+∈，若对任何一个x C

∈，都有x A B

∈I，求a的取值范围．例题2 写出命题“已知m R

∈，若0

m>．则关于x的方程20

x x m

+-=有实数

根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

例题3 判断下列各题中命题甲是命题乙的什么条件(填入充分非必要条件、必 要非充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件)，并说明理由． (1)函数()()f x g x 与的定义域均为R

甲：()()f x g x 与的积是偶函数． 乙：()()f x g x 与都是奇甬数．

(2)设点集{

}

{

22

M (,)2N (,)x y x y x y x y =+<=<<、，

甲：点P∈M ． 乙：点P∈N． (3)在△ABC 中，

甲：cosAcosBcosC>0． 乙：△ABC 为锐角三角形．

例题4 设集合{}

2M 60,x x mx x R =-+=∈，且{}{}M 2,32,3=U ，求实数m 的取值范围． 1.2

例题l 试判断以下各组函数是否表示同一个函数． （1

）()()f x g x =

=（2）1

0(),()1

x x

f x

g x x x ≥⎧==⎨

-<⎩

（3

）()()f x g x =

=（4）2

2

()21,()21f x x x g t t t =--=-- 例题2 求下列各函数的值域：

（1

）2y =（2）21

1

x y x -=

+ （3）222

(2)2

x x y x x ++=

>- （4

）y x =（5）2327y x x =-++-

例3 如图，学校有一块三角形空地，60,2,3A AB AC ∠===o

（单位：米），现要在此空地上种植花草，为了美观，用一根条形石料DE 将空地隔成面积相等的两部分（D 在AB 上，E 在AC 上）.

（1）设,AD x AE y ==，求用x 表示y 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如何选取D 、E 的位置，可以使所用石料最省?