八年级希望杯模拟试题一答案

八年级希望杯模拟试题一

拓展探究

一、选择：

2．设非零实数a ，b ，c ，满足⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋2b+3c ＝02a ＋3b+4c ＝0则a

b +b

c +ca

a 2+

b 2+

c 2的值为（ ）

（A ）—12 （B ）0 （C ）1

2

（D ）1

【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2

()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-

++，所以222

1

2

ab bc ca a b c ++=-++． 3．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：x y *=3x 3y +3x 2y 2+xy 3+45

(x +1)3+(y +1)3—60，且x y z =x y z ****（），

则2013201232****…的值为（ ）

（A ）607967 （B ）1821 967 （C ）5463 967 （D ）16389 967

【解答】设201320124m **

*=，则

()20132012433m **

**=*3232

33392745

93316460

m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*32233339239292455463

10360967

⨯⨯+⨯⨯+⨯+=

=+-． 二、填空：

4．已知，化简得 .

解：∵，∴，，

原式=.

5. 设a ，b 是a 2的小数部分，则(b +2)3的值为____________．

【解答】由于2123a a <<<<，故2

22b a =-=，因此33(2)9b +==．

6.

7．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，CA 1= .

解：过A 1作A 1M ⊥BC ，垂足为M ，设CM =A 1M =x ，则BM =4－x ， 在Rt △A 1BM 中，

，

∴=

，∴x =A 1M =

，

∴在等腰Rt △A 1CM 中，C A 1=.

8．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ， △BFE ，△BCF 的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD 的面积是____________．

【解答】如图，连接AF ，则有：

45

=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，

35

4

AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，

解得10813AEF S ∆=，96

13

AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是204

13

．

9．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅 笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少 卖出了__________支圆珠笔．

【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，

，+=⎧⎨

+<⎩

x y x y

所以201371

(5032)44

y y x y -+=

=-+

， 于是14

y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，

所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．

三、解答：

10．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当

2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

【解答】不能．

依题意，得111

()()()222

a y z

b x z

c x y =

+=+=+，，． 因为2

y z =，所以211(1)()()222

z z a y z z z +=+=+=．

又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．

当2z =时，2

2

42)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；

当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．

11．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．

【解答】若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．

又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整

数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤

i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．

故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k

i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．