圆周运动及其运用学案

圆周运动及其运用

一、描述匀速圆周运动的物理量

1.概念：线速度、角速度、周期、转速、向心力、向心加速度，比较如表所示：

二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动

1.匀速圆周运动

(1)定义：线速度_________的圆周运动.

(2)性质：向心加速度大小_____，方向总是_________的变加速曲线运动.

(3)质点做匀速圆周运动的条件合力______不变，方向始终与速度方向______且指向圆心.

【答案】大小不变

不变指向圆心

大小垂直

2.非匀速圆周运动

(1)定义：线速度大小、方向均__________的圆周运动.

(2)合力的作用.

①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft=mat，它只改变速度的______.

②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn=man，它只改变速度的______.

【答案】发生变化

大小方向

三、离心运动和近心运动

1.离心运动

(1)定义：做_________的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需________的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动. (2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的______，总有沿着圆周__________飞出去的倾向.

【答案】圆周运动向心力

惯性切线方向

(3)受力特点.

①当F=mω2r时，物体做__________运动；

②当F=0时，物体沿______方向飞出;

③当F

【答案】匀速圆周切线远离

2.近心运动

当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>mω2r,物体将逐渐______圆心，做近心运动.

【答案】靠近

考点一水平面内的匀速圆周运动

1.在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：

(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωR与半径R成正比，向心加速度大小a＝Rω2与半径r成正比．

(2)当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相

等，由ω＝v

R可知，ω与R成反比，由a＝v2

R可知，a与R成反比．

2.用动力学方法解决圆周运动中的问题

(1)向心力的来源.

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避

免再另外添加一个向心力.

(2)向心力的确定.

①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.

②分析物体的受力情况，找出所有的力,沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.

(3)解决圆周运动问题的主要步骤.

①审清题意，确定研究对象；

②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；

③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；

④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；

⑤求解、讨论.

3. 水平面内的匀速圆周运动的分析方法

1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等.

2.这类问题的特点是:(1)运动轨迹是圆且在水平面内；(2)向心力的方向水平，竖直方向的合力为零.

3.解答此类问题的方法：

(1)对研究对象受力分析，确定向心力的来源；

(2)确定圆周运动的圆心和半径；

(3)应用相关力学规律列方程求解.

【例1】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在

弯道上的行驶速度v 有关．下列说法正确的是 ( )． A ．速率v 一定时，r 越小，要求h 越大 B ．速率v 一定时，r 越大，要求h 越大 C ．半径r 一定时，v 越小，要求h 越大 D ．半径r 一定时，v 越大，要求h 越大 【答案】 AD

【详解】火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G 与轨道支持力FN 的合力来提供，如图所示，

则有mgtan θ＝mv2r ，且tan θ≈sin θ＝h

L ，其中L 为轨间距，是定值，有mg h L ＝mv2

r ，通过分析可知A 、D 正确． 考点二 竖直面内圆周运动问题分析

物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常有两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：

3.竖直平面内的圆周运动的求解思路

（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是：“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体.

（2）确定临界点：v临=，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点.

（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.

（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合=F 向.

（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.

【例2】 如图所示，质量为60 kg 的体操运动员，做“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，g ＝10 m/s2) ( )．

A.600 N B ．2 400 N C ．3 000 N D ．3 600 N 【答案】C

【详解】解析 运动员在最低点受的拉力至少为FN ，此时运动员的重心的速度为v ，设运动员的重心到手的距离为R ，由牛顿第二定律得：FN －mg ＝m v2

R

又由机械能守恒定律得：mg·2R ＝1

2mv2 由以上两式代入数据得：FN ＝5mg

运动员的重力约为G ＝mg ＝600 N 所以FN ＝3 000 N ，应选. C 【2013年】

20．D2、D4 [2013·福建卷] 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s ＝0.4 m ．设物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g ＝10 m/s2.求：

(1)物块做平抛运动的初速度大小v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ.

20．[解析] (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有 H ＝1

2gt2① 在水平方向上有 s ＝v0t ② 由①②式解得 v0＝s

g

2H ＝1 m/s ③

(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有

fm ＝m v20R ④ fm ＝μN ＝μmg ⑤ 由③④⑤式解得 μ＝v20

gR ＝0.2 【2013年-2013年】

1.（2013.安徽高考）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a ）所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b ）所示。则在其轨迹最高点p 处的曲率半径是

A.20v g

B.220sin v g α

C.220cos v g α

D.220cos sin v g α

α

【答案】选C.

【详解】物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度

α

cos 0v v p =，最高点重力提供向心力

R v m

mg p

2

=，由两式得

g v g v R p

α22

02

c o s =

=。

2.（2013·海南物理·T15）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab 为沿水平方向的直径。若在a 点以初速度0v 沿ab 方

向抛出一小球， 小球会击中坑壁上的c 点。已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。

【答案】g v )347(420

+ 【详解】如图所示，

2R h =

，则R

Od 23

=

小球做平抛运动的水平位移R R x 23+

=

竖直位移2R

h y =

=

根据

1y gt

=

２２，0x v t =

联立以上两式解得

g v R )347(420

+=

3. （2013·上海理综）8．如图是位于锦江乐园的摩天轮，

高度为108m ，直径是98m 。一质量为50kg 的游客乘坐该摩天轮做匀速圆周运动旋转一圈需25min 。如果以地面为零势能面，则他到达最高处时的（取g=10m/s2）（ ）。 A ．重力势能为5.4×104J ，角速度为0.2rad/s B ．重力势能为4.9×104J ，角速度为0.2rad/s C ．重力势能为5.4×104J ，角速度为4.2×10-3rad/s D ．重力势能为4.9×104J ，角速度为4.2×10-3rad/s 答案：C

4.（2013·江苏卷）14. (16分)在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg 的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角

α=30，绳的悬挂点O 距水面的高度为H=3m.不考虑

空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水

足够深。取中立加速度2

10/g m s =， sin 530.8=，cos530.6=

求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F ；

若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水碓选手的平均浮力1800f N =，平均阻力2700f N =，求选手落入水中的深度d ； 若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。

【解析】（1）机械能守恒

21(1cos )2mgl mv α-=

①

圆周运动 F ′－mg ＝m 2

v l

解得 F ′＝（3－2cos α）mg 人对绳的拉力 F ＝F ′

则 F ＝1080N

（2）动能定理 mg （H －lcos α＋d ）－（f1＋f2）d ＝0

则d=

12(cos )

mg H l f f mg α-+-

解得

(3)选手从最低点开始做平抛运动

x=vt

H-l=212gt

且有①式

解得x =当

2H

l =

时，x 有最大值，解得l=1.5m

因此，两人的看法均不正确。当绳长钺接近1.5m 时，落点距岸边越远。

本题考查机械能守恒，圆周运动向心力，动能定理，平抛运动规律及求极值问题。 难度：较难。

5. （2013·重庆卷）24.（18分）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，

球飞行水平距离d 后落地。如题24图所示。已知

握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为3

4d,

重力加速度为g 。忽略手的运动半径和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小1

v 和球落地时的速度大

小2v 。

（2）向绳能承受的最大拉力多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断

掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？ 解析：

（1）设绳段后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有

竖直方向2

1142d gt =，水平方向1d v t =

得1v =由机械能守恒定律，有

2221113

()224mv mv mg d d =+-

得

2v =

（2）设绳能承受的最大拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力大小。

球做圆周运动的半径为

3

4R d =

由圆周运动向心力公式，有

2

1mv T mg R -=

得

11

3T mg =

（3）设绳长尾l ，绳断时球的速度大小为3v ，绳承受的最大推力不变，

有

2

3mv T mg l -=

得3v =绳断后球做平抛运动，竖直位移为d l -，水平位移为x ，时间为1t 有

2

112d l gt -=

31x v t =

得 x =

当

2d l =

时，x 有极大值，max 3x d

=

1.匀速圆周运动属于( )

A.匀速运动

B.匀加速运动

C.加速度不变的曲线运动

D.加速度变化的曲线运动

【解析】选D.线速度是矢量，在匀速圆周运动中，线速度大小不变，但方向不断变化，所以匀速圆周运动是一个变速曲线运动或者称为速率一定的曲线运动，由于其加速度为向心加速度，方向始终指向圆心，因此加速度方向也不断发生变化，所以选项D 正确.

2.一个环绕中心线AB 以一定的角速度转动，P 、Q 为环上两点，位置如图所示，下列说法正确的是

( )．

A ．P 、Q 两点的角速度相等

B ．P 、Q 两点的线速度相等

C ．P 、Q 两点的角速度之比为3∶1

D ．P 、Q 两点的线速度之比为3∶1 【答案】AD

【详解】P 、Q 两点的角速度相等，半径之比RP ∶RQ ＝Rsin 60°∶(Rsin

30°)＝3∶1，由v ＝ωR 可得vp ∶vQ ＝RP ∶RQ ＝3∶1.

3. 如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 ( )．

A ．周期相同

B ．线速度的大小相等

C ．角速度的大小相等

D ．向心加速度的大小相等 【答案】 AC

【详解】设圆锥摆的高为h ，则mg·r h ＝m v2

r ＝mω2r ＝m ? ??

??2πT 2r ＝ma ，故v ＝r g

h ，ω＝ g h ，

T ＝2π

h g ，a ＝r

h g.因两圆锥摆的h 相同，而r 不同，故两小球运动

的线速度不同，角

速度的大小相等，周期相同，向心加速度不同．

4. (2013·东北地区名校联考)如图所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R ，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时 ( )．

A ．小球对圆环的压力大小等于mg

B ．小球受到的向心力等于0

C ．小球的线速度大小等于gR

D ．小球的向心加速度大小等于g 【答案】 CD

【详解】小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，

重力竖直向下提供向心力，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a ＝mg

m ＝g ，再

根据圆周运动规律得a ＝v2

R ＝g ，解得v ＝gR(竖直平面内圆周运动的绳模型)．

5．全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300公里，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风感觉．火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是

( )．

A ．适当减小内外轨的高度差

B ．适当增加内外轨的高度差

C ．适当减小弯道半径

D ．适当增大弯道半径 【答案】BD

【详解】设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定

律有mgtan α＝m v2

r ，解得v ＝grtan α，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，

可行的措施是适当增加内外轨的高度差(即适当增大角α)和适当增大弯道半径r.

6．“天宫一号”目标飞行器经过我国科技工作者的不懈努力，终于在2013年9月29日晚21点16分发射升空．等待与神舟八号、九号、十号飞船对接．“天宫一号”在空中运行时，沿曲线从M 点向N 点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中“天宫一号”所受合力可能是下图中的

( )．

【答案】C 【

详

解

】

7.(2013·南京模拟)如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则( )

A.两物体均沿切线方向滑动

B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减

小

C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动

D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远

【答案】选B、D.

【详解】当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后,A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动,但是B仍保持相对圆盘静止状态，故A、C选项错误，D选项正确；而且由于没有了细线的拉力，B受静摩擦力减小，B选项正确.

8．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时()

A ．小球对圆环的压力大小等于mg

B ．小球受到的向心力等于0

C ．小球的线速度大小等于gR

D ．小球的向心加速度大小等于g 【答案】 CD

【详解】小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力作用，重力竖直向下且过圆心，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a ＝mg m ＝g ，此时小球满足mg ＝mv2

R ，得v ＝gR.

9.甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动.已知M 甲=80 kg ，M 乙=40 kg ，两人相距0.9 m ，弹簧测力计的示数为96 N ，下列判断中正确的是 ( )

A.两人的线速度相同，约为40 m/s

B.两人的角速度相同，为2 rad/s

C.两人的运动半径相同，都是0.45 m

D.两人的运动半径不同，甲为0.3 m ，乙为0.6 m 【答案】选B 、D.

【详解】两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所需的向心力相同，由F=mω2r可知，旋转半径满足：r甲∶r乙=M乙∶M甲=1∶2，又r甲＋r乙=0.9 m，则r甲=0.3 m，r乙=0.6 m.两人的角速度相同，则v甲∶v乙=1∶2.由F=M甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故选项B、D正确.

10.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是( )

A.小球通过最高点时的最小速度

B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0

C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

【答案】选B、C.

【详解】小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧管壁无