相似三角形与实际应用

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初中数学优秀生特长生培训方案

相似三角形与实际应用

一， 思想、方法解读

利用相似三角形解决实际问题的方法与步骤

1、 分析题意

2、 画出图形

3、 找出两个能解决问题的两个相似三角形

4、 证明这两个三角形相似

5、 写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量）

6、 由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题

二，思想方法分类例析

（一）利用相似三角形进行测量

例1．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m)

例2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但

不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼

前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若

此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述

条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。

例3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？

例4.如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB

的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水

平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20

米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30°

角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）．

（二）利用相似三角形进行方案设计

例5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高

AH=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，

其余两个顶点分别在AB 、AC 上．这个正方形零件的边长是多少?

例6、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面

积为1.22m ，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌

面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的方案如图（1），乙的

A B

C D

设计方案如图10（2）。你认为哪位同学设计的方案较好，试说明理由。

（三）利用相似三角形进行综合应用

例7、如图所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线

应怎样设计？并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

三，练习与测试

1、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位

置上，求球拍击球的高度h。(设网球是直线运动)

2、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同

一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大

树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地

面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树

高AB。

3、如图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．

4．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得

长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠

近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，

如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面

部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?

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