高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§4 4-1 4-2 第1课时

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点共线与线共点问题
[探究共研型]
探究 1 如图 1-4-3 所示，在空间四边形各边 AD，AB，BC，CD 上分别取 E， F，G，H 四点，如果 EF，GH 交于一点 P，点 P，B，D 共线吗？请说明理由．
图 1-4-3
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【提示】 连接 BD. ∵EF，HG 相交于一点 P， 且 EF⊂平面 ABD，GH⊂平面 CBD， ∴P∈平面 ABD 且 P∈平面 CBD. 又平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD，∴点 P、B、D 共线．
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点线共面问题 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【导学号：10690009】
【精彩点拨】 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直 线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面 α， β，然后证明 α，β 重合．
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[再练一题] 1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相 应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.
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【解】 (1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图(1)、(2)、(3)所示．
(4)平面内的直线与不在平面内的直线互为异面直线．( )
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【解析】 (1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错． (2)两个平面的交线是直线，故(2)错． (3)正确． (4)可能相交或平行，故(4)错．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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如果一条直线上的 两点 在 一个平面内，那么这条直线 公理 2 在此平面内(直 线 在平面内) 如果两个不重合的平 面 有一个公共点，那么它们 公理 3 有且只有一 条 过 该 点 的 公 共直线
若 A∈l ， B∈l ， A∈α， B∈α ，则 lα
若 A∈α，A∈β，且 α 与 β 不重合，则
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[再练一题] 3.如图 1-4-6 所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点．求证：CE、D1F、DA 三线交于一点．
图 1-4-6
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【证明】 如图，连接 EF，D1C，A1B. ∵E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点，
阶
§4 空间图形的基本关系与公理
阶
段
段
一
三
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
阶 段 二
第 1 课时 空间图形的公理(公理 1、2、3)
学 业 分 层 测
评
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1．通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成——点、线、 面的基本位置关系．
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系．(重点、易错点) 3．掌握空间图形的公理 1,2,3.(重点、难点)
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证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用 “纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一个平面 β， 再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
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[再练一题] 2．已知 A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图 1-4-2)，求证：直线 AD，BD，CD 共 面．
图 1-4-2
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【证明】 因为 D∉l，所以 D 和 l 可确定一平面，设为 α. 因为 A∈l，所以 A∈α.又 D∈α，所以 AD α. 同理 BD α，CD α，所以 AD，BD，CD 都在平面 α 内，即它们共面．
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【精彩点拨】 (1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断； (2)可借助空间中的实物模型判断．
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【自主解答】 (1)如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公理 2，l α，又 l β，则 α∩β＝l.
【答案】 相交 (2)棱 DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线 BC′是 异面直线．
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教材整理 2 空间图形的公理
阅读教材 P23“练习”以下至 P25“公理 4”以上部分，完成下列问题． 1．三个公理：
名称
内容
图形表示
符号表示
过 不在一条直线上的三点， 公理 1 有且只有一个平面(即可以
确定一个平面)
若 A，B，C 三点不共线， 则 A，B，C确定 一 个 平 面 α 使 A∈α ， B∈α，C∈α
∴EF═ ∥12A1B. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
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∴E，F，D1，C 四点共面，且 EF＝12D1C， ∴D1F 与 CE 相交于点 P. 又 D1F 平面 A1D1DA，
CE 平面 ABCD，
∴P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点． 又平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA， 根据公理 3，可得 P∈DA，即 CE、D1F、DA 相交于一点．
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[构建·体系]
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1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
【解析】 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 【答案】 D
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2．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 Q，b，β 之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b β
C．Q b β
D．Q b∈β
【解析】 ∵点 Q(元素)在直线 b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线 b(集合)在平面 β(集合)内，∴b β，∴Q∈b β.
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条ห้องสมุดไป่ตู้线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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[小组合作型] 空间点、线、面的位置关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β
的位置关系是________． (2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，
哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
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图 1-4-5 【精彩点拨】 解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在 这条直线上．
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【自主解答】 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
∴由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上． 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
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[基础·初探]
教材整理 1 空间图形的基本关系
阅读教材 P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题．
位置关系
图形表示 符号表示
点与线的位 点 A 不在直线 a 上
A∉a
置关系 点 B 在直线 a 上
B∈a
点与面的位 点 A 在平面 α 内
A∈α
置关系 点 B 在平面 α 外
B∉α
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1.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点 是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．
2.证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明 这些点是这两个平面的公共点，再根据公理 3，这些点都在这两个平面的交线上； 二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．
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1．判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分 发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断．
2．对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定 平面的条件．“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平 行，也可能相交．
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法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR， ∴BC 平面 APR.又∵Q∈直线 BC，
∴Q∈平面 APR.又 Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R 三点共线．
∴平面 ABC1D1∩平面 A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面 ABC1D1＝Q，且 A1C 在平面 A1D1CB 内， ∴Q∈平面 A1D1CB，Q∈平面 ABC1D1， ∴Q 在两平面的交线 BD1 上，∴B，Q，D1 三点共线．
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已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分别交 平面 α 于 P，Q，R(如图 1-4-5)．求证：P，Q，R 三点共线．
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探究 2 如图 1-4-4，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于 Q，能否判断 B，Q，D1 三点共线？
图 1-4-4
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【提示】 ∵D1∈平面 ABC1D1，D1∈平面 A1D1CB，B∈平面 ABC1D1，B∈ 平面 A1D1CB，
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直线与直线 的位置关系
直线与平面 的位置关系
平行 相交 异面 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b a∩b＝O a 与 b 异面
aα a∩α＝A
a∥α
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平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
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(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．( ) (2)两个平面的交线可以是一条线段．( ) (3)直线 l 在平面 α 内，可以表示为“l α”．( )
α∩β＝l
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2.公理 1 的三个推论： 推论 1：一条直线和直线外一点确定一个平面． 推论 2：两条相交直线确定一个平面． 推论 3：两条平行直线确定一个平面． 公理 1 及其推论给出了确定平面的依据．
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两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
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【自主解答】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 法一：∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2 又 l2 α，∴B∈α.
同理可证 C∈α，又 B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点 A，B，C 既在平面 α 内，又在平面 β 内， ∴平面 α 和平面 β 重合，即直线 l1，l2，l3 在同一平面内．