第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换

主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性

2. 相抵标准形的唯一性

3. 矩阵秩的性质

4. 满秩矩阵的性质

一、矩阵的秩

定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。

定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵

中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩

2 1 0

3 12

3 1 2 1 01

A

4 1 6 3 58

2 2 2 6 16

2 1 0

3 1 2

3 1 2 1 0 1

A

4 1 6 3

5 8

2 2 2 6 1 6

R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1

R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1

0 3 6 9 3 4

0 1 2 3 2 8

1 2 2 2 1 1

R2 R1 2 1 0 3 1 2

0 3 6 9 3 4

0 1 2 3 2 8

1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4

0 3 6 9 3 4

0 1 2 3 2 8

1 2 2 2 1 1

R2 R4 0 1 2 3 2 8

0 3 6 9 3 4

0 5 4 7 3 4

所以秩(A) = 4 o |

性质

(1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n}

(3)初等行变换不改变矩阵的秩。

定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。

定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。

R 4 ( 5)R 2

R

3 3R 2

1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20

0 0 6 8 13 44

01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3

20

R

3

、 矩 阵的初等变换 矩阵初等行变换的推广： ( 1)用一个非零数乘某一列的全部元素 (2) 一列的倍数加到另一列上

(3) 互换两列的位置 称上述对矩阵列的处理为 矩阵的初等列变换

定义 设 A 和 B 是两个同类型矩阵。若 A 可通 过有限次初等变换化为 B ,则称A 相抵于B ,记为 A B 。

性质 矩阵的相抵满足：

(1) 自反性： A A (2) 对称性： A B B A

(3) 传递性： A B, B C A C

矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系

矩阵的初等变换

矩阵的初等行变

换

定理设A是mx n 矩阵，且秩（A）= r，贝9 相抵于下述矩阵

10 0 0

01 0 0 r行

00 1 0

00 0 0

00 0 0m n

称之为A 的相抵标准型

例用初等变换化下述矩阵为相抵标准型

1 1

2 1

2 1 2 4

A=

1 2 0 3

4 1 6 2

解

11

2 1R4 ( 4)R1

1 1

2 1 R

3 ( 1)R1

2

A= 1 2 4 R2 ( 2)R1 0 3 2 2

1 2 0 3 0 3 2 2

4 1 6 2 0 3 2 2

1 1

2 1

R3 ( 1)R2

R4 ( 1)R2 0 3 2 2

0 0 0 0

0 0 0 4

1 1

2 1

R4 R3

0 3 2 2

0 0 0 4

0 0 0 0

（护 1 1 2 1

2 2

(；)R4 0 1

4 3 3

0 0 0 1

0 0 0 0

R2 3R3

R1 ( 1)R2 1 0

0 1

0 0

0 0

4

3

2

3

1

C3 ( 3)C2

4

C3 ( 3)C1

10 0 0

0 10 0

0 0 0 1

0 0 0 0

R i ( 1)R3

分别计算P i 、P 2、P 3与A 的乘积 解

1 0 0

a 1 a 2 a 3 a

1

a

2

a

3

P 1A 0

2 0 b 1

b 2

b 3

= 2b 1

2b 2 2b 3

0 0 1

c

1 c

2 c

3 c

1 c

2

c

3

C

3

C

4

1000 0100 0010 0000

三、 初等矩阵

例 已知矩阵

a

1

A= b 1 c

1 构造三个矩阵

1 0 0

1 P 1 0 2

0 , P 2

0 0 0 1

a

2 a 3

b 2 b 3

c 2 c 3

0 0 0 1 0 1 0 , P 3 1 0 0 2 1 0 0 1