第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
第三章矩阵的初等变换
3 2 0 0
2 1 0 0
R(A) 3
0 7 1 0
由于R ( A) 3，可知A的最高阶的非零子式为 3 3 阶，而 A 的三阶子式共有 C3 C5＝4 10＝40个 , 要 4 从 40 个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的， 但考察 A 的行梯矩阵，记：A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 2 1 7 2 3 5 则由矩阵 B (a1 , a2 , a5 ) 知, R ( B ) 3， 3 2 0 1 0 0 故 B中必有三阶非零子式。 中的三阶子式只有4个 B 2 1 7 显然 2 0 14 0 ，所以该子式便是 A 的最高 3 1 0 0 阶的一个非零子式。
x1 x3 x2 x3 4 3 x4 3 00
(1) r3 2r4 1 (2) r4 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
(1) r1 r2 r3 1 (2) r2 r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么， AT 经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可 知， R(AT)=R(BT) 又因为，R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B) 所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
☞上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用
办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变 换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩 阵的秩。
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的
初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成
“c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C
矩阵的初等变换与矩阵的秩
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
高等数学(下) 第3版课件-矩阵的初等变换与矩阵的秩
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
山东大学《线性代数》课件01-5矩阵的初等变换与矩阵的秩
2
3
1 3 0 6
0 0
8 2
2 12 1 4
1 4 1 3 1 4
2 12 0 6 4 4
8
2
0 9 6 6
1 4 4 4 0 0
r( A) 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2.B
1 13
0 1 2
1 1 0
2 05
0 0 0
2 7 0
2 10 3
2 192
1
0 0 0
2 1 7 0
3 1 10 3
4 1 192
1
0
0 0
2 1 0 0
3 1 3 3
4
1
95
1 2 3 4
0 00
1 0 0
1 3 0
1
45
r(B) 4
1 A 4
2 t
2 3
3 12
t为何值时， r( A) 3？
3
1
1
9
1 A 0
2 t 8
a1n
ai1
ka j1
ai2 kaj2
ain
kajn
B
a j1
a j2
a jn
am1
am2
amn
由此可以推出:
r( A) r(B) r( A) r(B) r( A) r(B)
例:求矩阵的秩:
2 3 1.A 2 12 1 3
1 3
A 2 12
r1r3
1 2 2 3
1
2
2 3
B 4 3 3 12 0 11 11 0
3 1 1 9 0 7 7 0
1 0
2 1
2 1
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
第三讲 矩阵的初等变换---1 2010-4-14
第三讲 矩阵的初等变换一、概念1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1) j i r r ↔；j i c c ↔.（换行或换列）(2) k r i ⨯；k c i ⨯（数0≠k ）（倍行或倍列）(3) j i kr r +；j i kc c +..（倍行加或倍列加）2.矩阵A 与B 等价：n m A ⨯经过有限次的初等变换变成B . 记作~A B .（1）等价的性质：反身性 ~A A ；对称性 若~A B ，则~B A ；传递性 若~,~A B B C ，则~A C .（2）任何矩阵n m A ⨯都等价于一个标准形矩阵,即()()()()()r r r n r m n m n n r r n r n r E O A F r O O ⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⎛⎫→= ⎪⎝⎭． 即存在有限个初等矩阵l P P P ,,,21 , 使121()k k l m n PP P AP P F r +⨯= .且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如1210104112140110301113,00013000130000000000A A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.110104011030001300000A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭为行最简形矩阵. 例1 求所给矩阵A 的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. 123221112112141121421112 ~ 46224231123697936979r r r A ↔÷---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 4221323141r 222311214112140331603316 ~ 05536011160334300039~r r r r r r r r r +------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2333243r 3(4)311214112140111601116000412000130003900000~~r r r r r r +÷-↔---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（行阶梯矩阵） 1232321010401103 ~ 0001300000r r r r r --+-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭315132525434433451000001000 ~0010000000c c c c c c c c c c c c F +-+++⨯↔⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. （行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵E 只经过一次初等变换得到的方阵.①j i r r ↔或j i c c ↔ 均对应初等方阵),(j i E :行第行第j i j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101111011),(②k r i ⨯或k c i ⨯ )0(≠k 均对应初等矩阵))((k i E :行第i k k i E ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111))((③j i kr r +或i j kc c + 均对应初等矩阵))(,(k j i E :行第行第j i kk j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111))(,(（2）初等矩阵行列式的性质(,)1;(())(0);(,())1E i j E i k k k E i j k =-=≠= .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3)初等矩阵的逆矩阵①),(),(1j i E j i E =-;② ))1(())((1k i E k i E =-, )0(≠k ;③))(,())(,(1k j i E k j i E -=-.(4)初等矩阵的转置也是初等矩阵.①),(),(j i E j i E T =;② ))(())((k i E k i E T =, )0(≠k ;③))(,())(,(k i j E k j i E T =.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A 是一个m n ⨯的矩阵，对A 实施一次初等行(列)变换，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶（n 阶）初等矩阵.【性质2】 方阵m m A ⨯可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 12,,,n P P P ，使得12n A PP P = ，即~rA E .【定理】设A 与B 为m n ⨯矩阵，则①~rA B ⇔存在m 阶可逆矩阵P ,使PA B =.②~cA B ⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使AQ B =.③~rc A B ⇔分别存在m 、n 阶可逆矩阵P 、Q ,使PAQ B =.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法①若A 可逆,则1-A 也可逆,于是存在初等矩阵12,,,n P P P ,使12n A PP P = ，又1AA E -= 即112n PP P A E -= ，所以111121n A P P P ----= , 用分块矩阵运算表示为111(,)(,)A A E A A A ---=⇔ 1(,)~(,)rA E E A -.1111~CA A E AA A E E A A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1)解矩阵方程AX B =，其中A 可逆，则1X A B -=即 111(,)(,)(,)~(,)r A A B E A B A B E A B ---=⇔.(2)解线性方程组Ax b =，其中A 可逆.则1x A b -=，即 1(,)~(,)rA b E A b -.(3)解矩阵方程XA B =，其中A 可逆，则1X BA -=即 111~cA E A E AB BA B BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【定理6】 矩阵方程 AX B =有解的充要条件是 ()(,)R A R A B =.例2设1221311122,2,013225A b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求线性方程组 12,Ax b Ax b ==的解.解 设1212(,),(,)X x x B b b ==12211231321110122220(,,)1222033113512205005~r r r r A b b r r ↔⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭322123320001222142522000000111130030031212~~r r r r r r r r ↔⎛⎫⎛⎫--÷-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()1112,,E A b A b --=.因为~r A E ，所以A 可逆，且1420132X A B -⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，即线性方程组12,Ax b Ax b ==都有惟一解，且解依次为111122420,132x A b x A b ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.3.矩阵的秩（1）定义矩阵A 的k 阶子式：在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行与k 列，位于这些行列相交处的2k 个元素，按原相对位置构成的k 阶行列 式.（{}1min ,k m m ≤≤） kk k k kkkk j i j i j i j i j i j i j i j i j i i i i j j j a a a a a a a a a A 2122212121112121)( =.A 的k 阶子式共有kn k m C C 个.例3 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121021121021A 的k 阶子式： (1) 1阶子式如：12()A ：2,共有121413=C C 个. (2) 2阶子式如：1324()A ：2111-,共有182423=C C 个. (3) 3阶子式如：123124()A ：121212011-,共有43433=C C 个.（2）定义矩阵A 的秩——设矩阵A 中有一个非零的r 阶子式D ,而且所有1+r 阶子式(如果存在的话)值全为0，则D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩,记作()R A ,即()R A r =.注：①零矩阵的秩规定为0.②A 的最高阶非零子式称为矩阵A 的秩子式.例4 显然矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000100001A 的秩为2；(())m n R F r r ⨯=.(3)矩阵秩的性质①0()min(,)m n R A m n ⨯≤≤.（结论显然成立）②若n A 可逆,则()n R A n =（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时0A ≠. 若n A 不可逆,()n R A n <，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）. 此时有0A =(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的)③()()T R A R A =.④初等变换不改变矩阵的秩,即()()()R PA R AQ R A ==，(~r A B ;~c A M ~rc A W ),其中Q P , 为初等矩阵.若Q P ,均可逆,则()()()()R PA R AQ R PAQ R A ===.若~A B ,则()()R A R B =.⑤max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+.特别地，当B b =时，有()(,)()1R A R A b R A ≤≤+.证 因为A 的最高阶非零子式总是(,)A B 的非零子式,所以()(,)R A R A B ≤.同理有()(,)R B R A B ≤，所以max{(),()}(,)R A R B R A B ≤.设(),()R A r R B t ==.把A 与B 分别作列变换化为列阶梯形 A 和 B ，则 A 和 B 中分别含有r,t 个非零列，设 12~(,,,,0,,0)c r A A a a a = ， 12~(,,,,0,,0)ct B B b b b = . 则 (,)~(,)c A B A B由于 (,)A B 中只含r t +个非零列，因此 (,)R A B r t ≤+,而(,)(,)R A B R A B =，故 (,)R A B r t ≤+，即 (,)()()R A B R A R B ≤≤+.综上所述 max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+.⑥()()()R A B R A R B +≤+.证 不妨设A B 、为m n ⨯，则 (1,2)(,)(,)~i n i c c i n A B B A B +-=+ ，于是 ()(,)(,)()()R A B R A B B R A B R A R B +≤+=≤+.⑦设,m n n s A B ⨯⨯，则()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤. 证 一方面： 设()R A r =，则000r E A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中,P Q 分别为,m n 阶可逆矩阵，又设12C QB C C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()R B R C =，且1120000r C E C AB P P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R C R C R B =≤=.又()[()][]()()T T T T R AB R AB R B A R A R A ==≤=，所以 ()min{(),()}R AB R A R B ≤.另一方面：由 1122()()()C C R C R C R C C ⎛⎫=⇒≤+ ⎪⎝⎭且1()()R C R AB =，()()R C R B =又由2C 为()n r s -⨯形矩阵知2()()R C n r n R A ≤-=-，所以 ()()()R B R AB n R A ≤+-，即 ()()()R A R B n R AB +-≤. 综上所述 ()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤.结论：若0m n n l A B ⨯⨯=,则()()R A R B n +≤.结论：①将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.②将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.③矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改 变秩子式的行位置.子式的行位置.二、提问1.下列矩阵（ ）不是初等矩阵（A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001020100(B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001(C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100410001 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030001. 2.已知 102013231A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）（A ）T A A =；（B ）A 可逆；（C ）1A A -为对称矩阵（1490A =--≠）; （D ）001231010013100102A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(所有答案正确)3.（799P ） 求作一个秩为4 的方阵，它的两个行向量是()()10100,11000-解 1000011000101000001000000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭4.解方程 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 因为010100100(1,2),001(2,3)001010E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且11(1,2)(1,2),(2,3)(2,3)E E E E --==，故方程的解为 11143(1,2)201(2,3)120X E E ---⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭143(1,2)201(2,3)120E E -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭201210143(2,3)134120102E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 练习： 解方程 120(1,3)(2(2))314053E XE ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭.答案： 50321342110⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5.（92年数一）设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，其中0,0(1,2,,)i i a b i n ≠≠= ，则()R A = 1 .提示：()1212n n a a A b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 为非零矩阵⇒()1R A ≥ 又因为()min{(),()}R AB R A R B ≤即得结论.6.(93年数三)当44A ⨯且()2R A =时，则*()R A = 0 .7.（96年数一）设43A ⨯且()2R A =，又100020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB ＝ 2 .（注意B 为可逆矩阵）.8.（09.3.4）设A ,P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+,则 T Q AQ 为（ A ）（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭提示：()()1223123100,,,,110(2,1(1))001Q PE ααααααα⎛⎫⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭100[(2,1(1))][(2,1(1))](2,1(1))010(2,1(1))002T T T Q AQ PE A PE E E ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100110210(1,2(1))010(2,1(1))010(2,1(1))110002002002E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.矩阵 222111a a A b b c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()3R A =，则 （ C ） （A ）,,a b c 都不等于1；（B ）,,a b c 都不等于0；（C ）,,a b c 互不相等；（D ）a b c ==.10.设 33()ij A a ⨯=，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100010101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 （ C ）（A ）12APP B =；（B ）21AP P B =；（C ）12PP A B =（D ）21P PA B =. 11.78797P - 在秩为r 的矩阵中有没有等于零的1r -阶子式，有没有等于零的r 阶子式？答：都有可能.至少有一个秩为r 的子式，秩子式不一定惟一；只有当矩阵是可逆矩阵时秩子式才是惟一的.注意秩子式是行列式而不 是矩阵.12.（78798P -） 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 秩的关系？ 答：()1()()R A R B R A -≤≤.13.（06。
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩 定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换： （1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）； （2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）； （3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵： （1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方； （2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性⽅程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答矩阵与线性⽅程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施⾏初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，⽽等价的矩阵有相同的等价标准型，从⽽有相同的秩。
换⾔之，对矩阵施⾏初等变换不改变秩。
于是利⽤这⼀性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过⼀系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中⾮零⾏的⾏数即为矩阵的秩。
问题2：线性⽅程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性⽅程组0=?x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有⾮零解。
⾮齐次线性⽅程组b x A n m =?分有解和⽆解的情况，有解时分有唯⼀解还是⽆穷多解：b x A n m =?⽆解)~()(A r A r ≠?b x A n m =?有解)~()(A r A r =?有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯⼀解；b AX n A r A r =?==)~()(有⽆穷多解。
其中),(~b A A = 为增⼴矩阵。
问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性⽅程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性⽅程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换⾔之，B 的每个列向量均是齐次线性⽅程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的⼀组基础解系线性表⽰，设r A r =) (，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的⼀组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从⽽.)()(n B r A r ≤+问题4：设⾮齐次线性⽅程组b Ax =，其中A 是n m ?矩阵，则b Ax =有唯⼀解的充要条件是（）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =?/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯⼀解；若1)(-=n A r ,⽆解。
1.2矩阵的初等变换与矩阵的秩
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
2 1 4
1 0 2
r2 2r1 r3 2r1
1 0 0
2 5 0
1 2 , 0
易看出A的行阶梯形有两个非零行，则rA 2.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
等价关系的性质：
（1） 反身性 AA；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
用矩阵的初等行变换，化简下述矩阵：
2 1 1 1 2
B
Байду номын сангаас
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
rj
r; i
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
2
3 1
1 2 0
1 2 4
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性
方程组是最简单的 而且是最容易求解的.
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§3.2 初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用.
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初等矩阵
例如
由单位矩阵E经过一次初等变 换得到的矩阵称为初等矩阵.
E(i j)表示对调单位矩阵E的第 i j两行(列)得到的初等矩阵.
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
天
津
师 范
§3.1 矩阵的初等变换
大
学 计 算
§3.2 初等矩阵
机
与 信
§3.3 矩阵的秩
息
工 程 学
§3.4 线性方程组的解
院
郑 陶 然
§3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用.
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
第三节矩阵的秩和初等变换
根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述性质： a) 反身性：A～A； b) 对称性：若A～B，则B～A； c)传递性：若A～B，而B～C，则A～C。
定理1 如果A～B，则R(A)=R(B)。 即初等变换不改变矩阵的秩。
证明思想：只需证明任何一种初等
变换对行列 式是否为0没有影响即可。
如果我们经过初等变换将矩阵A变成 阶梯型矩阵B，得到矩阵B的秩，则由定 理1知，矩阵A的秩就等于矩阵B的秩。
例: 求R(A),其中
解:
⎡1 0 −1 2⎤ A = ⎢⎢1 −1 2 3⎥⎥
⎢⎣2 −2 4 6⎥⎦
⎡1 A= ⎢⎢1
0 −1
−1 2
2⎤ 3⎥⎥
⎯r⎯r32−−2r1⎯r1→⎡⎢⎢10
解：
可以验证，A中有一个二阶子式不为0，而 其所有的3阶子式全为0，故R(A)＝2。
对于B，显然R(B)＝3。
上例中的B这种类型的矩阵称为行阶梯型矩 阵。其特点为：
1.元素全为零的行（如果有的话），位于矩阵的 最下面；
2.自上而下各行中的第一个非零元素左边的零的 个数，随着行数的增加而增加。
以后，我们一般都是用初等变换的方法把矩阵化
为这种行阶梯型矩阵，再求秩。
矩阵的初等变换(Elementary operation)
定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i). 对调两行（对调i、j行，记作ri↔rj） (ii). 以非0数乘以某一行的所有元素；
（第i行乘k，记作kri） (iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上
0 −1
−1 3
2⎤ 1⎥⎥
⎢⎣2 −2 4 6⎥⎦
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
矩阵初等行变换矩阵秩
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
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§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性2. 相抵标准形的唯一性3. 矩阵秩的性质4. 满秩矩阵的性质一、矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。
定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩2 1 03 123 1 2 1 01A4 1 6 3 582 2 2 6 162 1 03 1 23 1 2 1 0 1A4 1 6 35 82 2 2 6 1 6R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 10 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1R2 R1 2 1 0 3 1 20 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 40 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1R2 R4 0 1 2 3 2 80 3 6 9 3 40 5 4 7 3 4所以秩(A) = 4 o |性质(1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n}(3)初等行变换不改变矩阵的秩。
定义设A 是n 阶方阵。
若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。
定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。
R 4 ( 5)R 2R3 3R 21 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 200 0 6 8 13 4401 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 320R3、 矩 阵的初等变换 矩阵初等行变换的推广： ( 1)用一个非零数乘某一列的全部元素 (2) 一列的倍数加到另一列上(3) 互换两列的位置 称上述对矩阵列的处理为 矩阵的初等列变换定义 设 A 和 B 是两个同类型矩阵。
若 A 可通 过有限次初等变换化为 B ,则称A 相抵于B ,记为 A B 。
性质 矩阵的相抵满足：(1) 自反性： A A (2) 对称性： A B B A(3) 传递性： A B, B C A C矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系矩阵的初等变换矩阵的初等行变换定理设A是mx n 矩阵，且秩（A）= r，贝9 相抵于下述矩阵10 0 001 0 0 r行00 1 000 0 000 0 0m n称之为A 的相抵标准型例用初等变换化下述矩阵为相抵标准型1 12 12 1 2 4A=1 2 0 34 1 6 2解112 1R4 ( 4)R11 12 1 R3 ( 1)R12A= 1 2 4 R2 ( 2)R1 0 3 2 21 2 0 3 0 3 2 24 1 6 2 0 3 2 21 12 1R3 ( 1)R2R4 ( 1)R2 0 3 2 20 0 0 00 0 0 41 12 1R4 R30 3 2 20 0 0 40 0 0 0（护 1 1 2 12 2(；)R4 0 14 3 30 0 0 10 0 0 0R2 3R3R1 ( 1)R2 1 00 10 00 043231C3 ( 3)C24C3 ( 3)C110 0 00 10 00 0 0 10 0 0 0R i ( 1)R3分别计算P i 、P 2、P 3与A 的乘积 解1 0 0a 1 a 2 a 3 a1a2a3P 1A 02 0 b 1b 2b 3= 2b 12b 2 2b 30 0 1c1 c2 c3 c1 c2c3C3C41000 0100 0010 0000三、 初等矩阵例 已知矩阵a1A= b 1 c1 构造三个矩阵1 0 01 P 1 0 20 , P 20 0 0 1a2 a 3b 2 b 3c 2 c 30 0 0 1 0 1 0 , P 3 1 0 0 2 1 0 0 110 0 a1 a2 a3 P 2A 01b1b2b32 1c1 c2c3a1a 2a3 b 1b2b3c12b 1c 2 2b2c3 2b 30 1 0 a 1 a 2 a 30 0 1 c 1 c 2 c 3a1 a2 a3 1 0 0a1 2a2 a3 AP 1b 1b2b 3 0 2 0=b12b 2 b3c1 c2 c3 0 0 1c12c 2c3a 1 a 2 a 3 1 0AP 2b 1b 2b 3 0 1c1 c2 c3 02 1a1 a2 2a3 a 3b1b 22b 3 b 3c1 c22c 3c3P 3A 1 0 0 b1 b2 b 3b 1 b 2 b 3c1 c2 c 3Ia 1 a 2 a 3 0 1 0 a 2 a 1 a 3 AP 3b 1 b 2 b 3 1 0 0 = b 2 b 1 b 3c 1 c 2 c 3 0 0 1 c 2 c 1 c 3定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩 阵称为 初等矩阵 。
1I cRiE i (c)c1111c1R j cR iE ij (c)01R i R j EE ij101定理对m x n矩阵A作一次初等行变换，等同于在A 的左边乘上一个对应的作一次初等列变换，等同于在应的n 阶初等矩阵。
例已知矩阵m 阶初等矩阵；对A A 的右边乘上一个对a1 b1 c 1 b1 3c1a2 b2 c2 a2 b2 3c2c1 b1 a1 a1 2b1 b1 c1 c2 b2 a2 a2 2b2 b2 c2问A 与B、C、D 之间有何联系？解因为3C3 B，与之相对应，I33C3 E3(3)，3AE 3 (3) B同理可得AE12 C。
因为R1 ( 2)R2 D，R1 I3 2)R2E12( 2) ，1AE12( 2)例已知矩阵a1 a2 a3b1 b2 b3A b1 b2 b3 ,B a1 a2 a3c1 c2 c3c1 2a1 c2 2a2 c3 2a30 1 0 100P 1 0 0 ，Q 0 1 00 0 1 021问P 与Q 如何与A 相乘可得到B ？解因为对A 作两次初等行变换可得B ，而P 与Q 均为初等矩阵，所以应有PQA=B 或QPA=B。
A a1b1c1a2b2c2a3b3c3R1b1R2 a a1c1b2a2c2b3a3c3 b1 b2 b3R3 2R2a1 a2 a3 Bc1 2a1 c2 2a2 c3 2a3又R1 R2对应P, R3 2R2对应QQPA Q(PA) B |性质(1)初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵；(2 )对任一初等矩阵P,均存在初等矩阵Q,使PQ = QP = I 。
定理满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。
推论满秩方阵的乘积也是满秩方阵。
定理设A与B是两个m x n矩阵，则A相抵于B 的充分必要条件是：存在m 阶满秩矩阵P 与n 阶满秩矩阵Q,使PAQ = B。
定理同型矩阵A 与B 相抵的充分必要条件是秩(A)=秩(B)。
推论矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。
定理(1 )秩(A)=秩(A T)( 2)设A 是m x n 矩阵, P 是m 阶满秩方阵, Q 是n 阶满秩方阵,则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 例设A是4 X 5矩阵且秩(A) =3,12342340B=34004000求秩(BA)。
例对任一满秩方阵P，均存在同阶的满秩方阵Q, 使PQ = QP = I。
证因为P 满秩，故存在初等矩阵P1,P2, ,P s 使P P1P2 P s 。
已知对初等矩阵P i ，存在初等矩阵Q i，满足P i Q i Q i P i I , i 1,2, , S。
于是，令Q Q S Q S1 Q2Q I，贝9 Q 满秩且PQ = QP = I o |1.4 可逆矩阵定义设A是n阶方阵。
若存在n阶方阵B,使AB = BA = I贝称A 是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵。
例讨论n 阶零方阵0 与n 阶单位矩阵I 的可逆例 初等矩阵都是可逆矩阵， 且它们的逆矩阵也 是初等矩阵例设方阵A 满足A 23A 10I0，证明A,A 3I 都可逆。
证由已知得A(A 3I )101 且(A 3I )A 101，于是有1 口 1 (―A)(A 3I ) I 且 (A 31)(—A) I 10 101 口 1 A[—(A 3I )] I 且[―(A 3I )]A I 10 10 由⑴得A 3I 可逆，且(A 3I)110A ； 由⑵得A 可逆，且A 1盒(A 3I) ol定理 设A 是方阵，则A 是可逆矩阵的充分必 要条件是A 满秩。
(1)⑵a bA= c d则当ad be时，A可逆，并且d bA 1 1ad be e a。