对数函数的图象变换及在实际中的应用苏教版
高中数学对数函数对数函数性质的应用苏教版必修一
高中数学对数函数对数函数性质的应用苏教版必修一一．课题：对数函数——对数函数性质的应用二．教学目标：1.复习巩固对数函数的图象和性质；2.会利用对数函数的性质（单调性）比较两个对数值的大小。
三．教学重、难点：对数函数性质的灵活运用。
四．教学过程：（一）复习：1．对数函数的概念；2．根据对数函数的图象，叙述对数函数的性质。
（二）新课讲解：例1．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 8.5；（2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是0.3log 1.8>0.3log 2.7；（3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数， 于是log 5.1a <log 5.9a ，当1o a <<时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是log 5.1a >log 5.9a ．说明：本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的，底数与1的大小关系不明确时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。
例2．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3．解：（1）∵66log 7log 61>=，77log 6log 71<=， ∴6log 7>7log 6；（2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8．（3）∵0.901.1 1.11>=，1.1 1.1log 0.9log 10<=，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=， ∴0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9．（4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3．说明：本例是利用对数函数的增减性比较两个数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较上述两个对数的大小。
苏教版数学必修1课件：第3章 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用
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值XX域X 问题
(1)已知函数 f (x)＝2log1x 的定义域为[2,4]，则函数 f (x)的值域是
2
________． (2)若函数 f (x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值
为________． (3)求函数 f (x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域.
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2．对称变换 要得到 y＝loga 1x的图象，应将 y＝loga x 的图象关于 x轴 对称．
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为了得到函数 y＝lg x＋103的图象，只需把函数 y＝lg x 的图象上所有的点 ________________________________________________________． 【解析】 y＝lg x＋103＝lg (x＋3)－1，故将 y＝lg x 向左平移 3 个单位，再向 下平移 1 个单位．
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【自主解答】 步骤如下： (1)作出 y＝log2 x 的图象，如图(1)． (2)将 y＝log2 x 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位得到 y＝log2 (x＋2)的图象，如 图(2)． (3)将 y＝log2 (x＋2)的图象在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上 方得到 y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)． (4)将 y＝|log2 (x＋2)|的图象沿 y 轴方向向上平移 4 个单位，得到 y＝|log2(x＋2)| ＋4 的图象，如图(4)．
【答案】 向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位
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苏教版(2019)必修第一册6.3(1)对数函数的概念和图像
苏教版（2019）必修第一册
课前预习
知识点二 对数函数的图像与性质
定义 底数
y=logax(a>0,a≠1) a>1
0<a<1
图像
苏教版（2019）必修第一册
课前预习
定义 定义域
值域
y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞)
R
单调性 共点性
函数
增函数
图像过定点 (1,0) x∈(0,1)时,y∈ (-∞,0) ;
减函数
,即loga1= 0 x∈(0,1)时,y∈ (0,+∞) ;
值特征 x∈(1,+∞)时,y∈ (0,+∞)
x∈(1,+∞)时,y∈ (-∞,0)
对称性
x
趋近 趋势
a越大,图像越接近x轴
a越小,图像越接近x轴 图像无限趋近于y轴
苏教版（2019）必修第一册
课堂评价
6.设a=log32,b=log52,c=log23,则 ( D )
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
[解析] a=log32<log33=1,c=log23>log22=1,由对数函数的性质可知
log52<log32,∴b<a<c,故选D.
苏教版（2019）必修第一册
课中探究
(3)若函数y=loga(x+b)+c(a>0,a≠1)的图像过定点(3,2),则实数
-2
b2=
,c=
苏教版高中数学必修第一册6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质【授课课件】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为 R．
()
(2)y＝log2x2 不是对数函数．
()
[答案] (1)× (2)√
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
知识点 2 对数函数的图象与性质 a>1
义
域
为
x0≤x<12
．
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函 数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注 意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调 性，有针对性地解不等式.
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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(2)f(x)＝ －lg 1－x；
[解] 由－ 1－lgx>10－，x≥0，
得lg 1－x≤0， x<1
⇒0＜1－x≤1， x<1
⇒0≤x<1．
∴函数的定义域为[0,1)．
图 象
0<a<1
第1课时 对数函数的概念、 图象与性质
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a>1
苏教版6.3对数函数(第二课时)课件(49张)
角度3 由单调性求参数
【例2－3】 (1)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是
()
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(1，3]
D.[3，＋∞)
(2)若函数 y＝log1 (3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数 a 的取值范围是
2
________.
【训练2】 (1)已知log(3x)<log(x＋1)，则x的取值范围为( )
A.12，＋∞
B.－∞，12
C.－12，12
D.0，12
(2)求函数 y＝log0.3(3－2x)的单调区间；
(3)函数 f(x)＝log1(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数 a 的取值范围.
基础自测
1.y＝log1x2 在(0，＋∞)上为增函数.( × )
2
提示 函数 y＝log1x2 在(0，＋∞)为减函数.
2
2.ln x<1的解集为(－∞，e).( × )
提示 由ln x<1，解得0<x<e.
3.y＝ax与x＝logay的图象相同(a>0且a≠1).( √ )
4.由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象.( × )
法二 由 1＋x2－x>0 可得 x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg( 1＋x2－x)＋lg( 1＋x2＋x)＝lg( 1＋x2－x)( 1＋x2＋x)＝lg(1＋ x2－x2)＝0. 所以f(－x)＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝lg( 1＋x2－x)是奇函数.
反函数 (1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为_y_＝__a_x_的反函数，反之，y＝ax也称为_y_＝__lo_g_a_x_ 的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作__y_＝__f－_1_(_x_)___.
对数函数的图像及性质的应用
例2 比较下列各组中两个值的大小: ⑴log 67 ,log 7 6 ; ⑵log 3π ,log 2 0.8
提示 : log aa＝1 解: ⑴∵log67＞log66＝1 log76＜log77＝1 ∴log67＞log76
提示: log a1＝0
⑵∵log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴ x>2或x<1
∴函数的定义域是{x|x>2或x<1}
(2)依题意，可知
9 x2 0
x
2
1
0
x 2 0
x 2 1
∴-2<x<-1或1<x<3
∴函数的定义域是
{x| -2<x<-1或1<x<3}
对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小
对数函数定义
函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数. 其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进 行讨论来比较两个对数的大小.
比较下列各题中两个值的大小 ⑴ log106 ＜ log108 ⑵ log0.56 ＜ log0.54 ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数函数y = ax的反函数
函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数， 其中 x是自变量，函数的定义域是（ 0 , +∞）
对数函数和指数函数互为反函数
问题:作出函数 y ＝ log 2 x 和函数 y ＝log x的1 图像.
第6章-6.3-对数函数高中数学必修第一册苏教版
A.
B.
)
C.
D.
【解析】
若0 < < 1,则函数 = 的图象下降且过点 0,1 ，而函数
= log − 的图象上升且过点 −1,0 ，与题中所给图象均不符合.若 > 1,
首先函数 = 的图象只可能在轴上方，函数 = log − 的图象只可能
在轴左侧，从而A,D中图象不正确；再看单调性， = 与 = log − 的单调性
∴ = + 1.
又 的图象过点 1,3 ,
∴ 3 = + 1,即 = 2,
∴ = 2 + 1（【另解】至此,也可令2 + 1 = 9,解得 = 3,即 −1 9 = 3）.
∴ −1 = log 2 − 1 , > 1.
故 −1 9 = log 2 8 = 3.
（1） = lg − 1 + lg − 2 ;
【解析】要使函数式有意义，需满足ቊ
− 1 > 0,
解得 > 2.
− 2 > 0,
所以函数 = lg − 1 + lg − 2 的定义域是{| > 2}.
（2） = log
1−
5;
【解析】要使函数式有意义，需满足ቊ
所以函数 = log
log 0.5 4 − 3
ln 4−
−3
3
的定义域是{|
4
< ≤ 1}.
.
4 − > 0,
【解析】要使函数式有意义，需满足ቊ
解得 < 4且 ≠ 3.
− 3 ≠ 0,
所以函数 =
ln 4−
−3
新教材高中数学第6章第2课时对数函数的图象与性质的应用ppt课件苏教版必修第一册
的值域是
．
(2)若函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为
a，则 a 的值为
．
(3)求函数 f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．
[思路点拨] (1)中利用 f(x)＝2log1x 在定义域[2,4]上为减函数求
2
解．
(2)中 y＝ax 与 y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以 f(x) ＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上是单调函数．
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.3 对数函数 第2课时 对数函数的图象与性质的应用
学习目标 1．能正确判断图象之间的变换关 系．(重点) 2．理解并掌握对数函数的单调 性．(重点) 3．会用对数函数的相关性质解综 合题．(难点)
核心素养
通过学习本节内容，提升 学生的直观想象、逻辑推 理、数学运算的核心素 养．
要得到y＝loga 1x的图象，应将y＝loga x的图象关于 x轴 对称．
为了得到函数y＝lg x＋103的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所
有的点
．
向左平移3个单位，再向下平移1个单位 [y＝lg x＋103＝lg (x＋3)
－1，故将y＝lgx向左平移3个单位，再向下平移1个单位．]
合作 探究 释疑 难
(3)[解] ∵－x2－4x＋12＞0， 又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， ∴0＜－x2－4x＋12≤16， 故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4， ∴函数的值域为(－∞，4]．
求函数值域或最大小值的常用方法 1直接法,根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围 出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函 数值域. 2配方法,当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的 形如y＝a[fx]2＋bfx＋c，求函数值域问题时，可以用配方法.
苏教版必修第一册632对数函数图象与性质的综合应用课件_3
函数y＝ax与y＝logax互为反函数，所以根据互为反函数的函数图象关 于直线y＝x对称，可知A正确； 根据互为反函数的函数性质知，前者的定义域、值域分别是后者的 值域、定义域，故B正确； 根据互为反函数的函数性质知C正确； 由图象的平移知，y＝ax平移后得不到y＝logax的图象，故D不正确.
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课时对点练
基础巩固
1.(多选)已知函数y＝ax与y＝logax，其中a>0且a≠1，下列说法正确的是
√A.两者的图象关于直线y＝x对称 √B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域 √C.两函数在各自的定义域内增减性相同
D.y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象
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由题意知 0.15x，0≤x≤10，
y＝1.5＋2log5x－9，x>10.
(2)如果业务员老江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
由题意知＋2log5(x－9)＝， 即log5(x－9)＝2， ∴x－9＝52，解得x＝34. ∴老江的销售利润是34万元.
反思感悟
对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型. (2)依实际情况确定解析式中的参数. (3)依题设数据解决数学问题. (4)得出结论.
∴函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象过点(a， a)，
∴aa＝
a＝
1
a2
，即
a＝12.
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3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特
对数及对数函数的图像与性质(教师版)
第一课时 对数及其运算【知识要点】 1.对数的定义：如果N a b=（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log2.指数式与对数式的关系：b N N a a b=⇔=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）log 10a =； log 1a a =； log a Na N =； logb a a b =；（2）()log log log a a a MN M N=+ （3）log log log aa a MM N N=- （4）()log log n a a M n M n R =∈（5）1log log aa M n=（6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；（3）log log m n a a n b b m= 【典题精讲】题型一 对数的化简、求值1.b N N a a b=⇔=log ．2．注意对数恒等式log aN a N＝，对数换底公式log log log b a b NN a=及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a=⋅=在解题中的灵活应用．【例1】(1) 若23=x，则x = 465=⎪⎭⎫⎝⎛x，求=x(2)设3643==ba ，则=+ba 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363，b＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ． 23a a -【变式2】若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y xa y x 则（ A ）A ．a 3B ．a 23C ．23-aD ．a【变式3】（1）计算=-+23lg 53lg 25lg __________. 答案：1（2）计算：=+⋅+20lg 5lg 2lg 5lg 2__________. 答案：2【例2()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-； 【变式1】lg 的值是（ ）A.12B.1C.10D.100 【答案】B【解析】由1==，故选B.【变式2】已知,lg ,24a x a==则x =________.【解析】由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x =,【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝_________.【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________（2）若__________3log ,2log123==则a（3）若2log 2,log 3,m na a m n a +===___________答案：(1) 64 (2)11+a (3) 12【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值.【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩Q （），＝或1x y =（舍去），33229log log 24x y ==. 题型二 对数换底公式的应用【例2】 设+∈R z y x ,,，且zy x 643==.（1） 求证：yx z 2111=-； （2）比较z y x 6,4,3的大小。
(教师用书)高中数学 3.2.2 第2课时 对数函数的图像和性质的应用同步教学课件 苏教版必修1
1．对数值比较大小的类型及方法：
2． 如果底数不确定时， 常对底数分 a>1 或 0<a<1 分别求 解．
若 a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则 a、b、c 的大小关 系是________．
【解析】 ∵a＝log3π>log33＝1，即 a>1， b＝log76<log77＝1，即 0<b<1， c＝log20.8<log21＝0，即 c<0，∴a>b>c.
对数函数的图象及应用
已知函数 f(x)＝lg|x|. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)画出函数 f(x)的草图； (3)求函数 f(x)的单调递减区间，并加以证明．
【思路探究】 (1)确定函数的定义域，判断 f(x)和 f(－x) 的关系；(2)函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，利用变换作图画 出草图；(3)由图象观察出单调递减区间，再用定义证明．
1 1 当 0<a<1 时，loga <logaa，即 0<a< . 3 3 1 综上，实数 a 的取值范围为 0<a< 或 a>1. 3
(2)原不等式等价于 log2(3x－5)<log22x. 3x－5>0， ∴x>0， 3x－5<2x， 5 ∴3<x<5. 5 故原不等式的解为{x|3<x<5}． x>5， 3 解得x>0， x<5.
●重点、难点 重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题 中的灵活应用． 难点：依据底数的不同讨论函数的相关性质．
●教学建议 1．关于两个数大小比较的教学 教学时建议教师充分利用对数函数的单调性，进一步熟 悉对数函数的性质，让学生采用不同的方法解决这个问题． 2．关于利用对数函数单调性解不等式的教学 建议教师在教学时对学生强调好两点：一是对数的真数 需大于零；二是底数含参数时一定要注意分类讨论．
高中数学3.2.2对数函数第2课时对数函数的图象与性质的应用讲义苏教版必修1
第2课时 对数函数的图象与性质的应用1．平移变换当b ＞0时，将y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位，得到y ＝log a (x ＋b )的图象；向右平移b 个单位，得到y ＝log a (x －b )的图象．当b ＞0时，将y ＝log a x 的图象向上平移b 个单位，得到y ＝log a x ＋b 的图象，将y ＝log a x 的图象向下平移b 个单位，得到y ＝log a x －b 的图象．2．对称变换要得到y ＝log a 1x的图象，应将y ＝log a x 的图象关于x 轴对称．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点_______________．向左平移3个单位，再向下平移1个单位 [y ＝lg x ＋310＝lg (x ＋3)－1，故将y ＝lg x向左平移3个单位，再向下平移1个单位．]2思路点拨：可先作出y ＝log 2 x 的图象，再左移2个单位得到y ＝log 2 (x ＋2)，通过翻折变换得到y ＝|log 2 (x ＋2)|，再向上平移4个单位即可．[解] 步骤如下：(1)作出y ＝log 2 x 的图象，如图(1)．(2)将y ＝log 2 x 的图象沿x 轴向左平移2个单位得到y ＝log 2 (x ＋2)的图象，如图(2)． (3)将y ＝log 2 (x ＋2)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得到y ＝|log 2 (x ＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y ＝|log 2 (x ＋2)|的图象沿y 轴方向向上平移4个单位，得到y ＝|log 2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y ＝f (x )的图象，求y ＝|f (x ＋a )|＋b 的图象步骤如下：y ＝f (x )→y ＝f (x ＋a )→y ＝|f (x ＋a )|→y ＝|f (x ＋a )|＋b .2．已知y ＝f (x )的图象，求y ＝|f (x ＋a )＋b |的图象，步骤如下：y ＝f (x )→y ＝f (x ＋a )→y ＝f (x ＋a )＋b →y ＝|f (x ＋a )＋b |.从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x ，再变换y .1．(1)若函数f (x )＝a －x(a >0，a ≠1)是定义域为R 的增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )(2)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )(1)D (2)B [(1)因为函数f (x )＝a －x是定义域为R 的增函数，所以0<a <1.另外g (x )＝log a (x ＋1)的图象是由函数h (x )＝log a x 的图象向左平移1个单位得到的．(2)由lg a ＋lg b ＝0，得lg (ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b，所以当0<b <1时，a >1；当b >1时，0<a <1.又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．综合分析可知，B 正确．]12(2)若函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．(3)求函数f (x )＝log 2(－x 2－4x ＋12)的值域．思路点拨：(1)中利用f (x )＝2log 12x 在定义域[2,4]上为减函数求解．(2)中y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上是单调函数．(3)中注意考虑真数－x 2－4x ＋12的范围．(1)[－4，－2] (2)12[∵f (x )＝2log 12x 在[2,4]上为减函数，∴x ＝2时，f (x )max ＝2log 122＝－2；x ＝4时，f (x )min ＝2log 124＝－4.∴f (x )的值域为[－4，－2]． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，a ＞0且a ≠1，∴log a 2＝－1， 解得a ＝12.](3)[解] ∵－x 2－4x ＋12＞0，又∵－x 2－4x ＋12＝－(x ＋2)2＋16≤16， ∴0＜－x 2－4x ＋12≤16，故log 2(－x 2－4x ＋12)≤log 216＝4， ∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法 (1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域.(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法.(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围.2．(1)函数f (x )＝log 13(9－x 2)的单调增区间为________，值域为______．(2)当x ∈[3,27]时，函数f (x )＝log 3 x 3·log 3 x9的值域为________．(1)(0,3) [－2，＋∞) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [(1)f (x )的定义域为9－x 2>0⇒x 2<9⇒－3<x <3，当x ∈(－3,0)时，u (x )＝9－x 2单调递增，∴f (x )单调递减． 当x ∈(0,3)时，u (x )＝9－x 2单调递减，∴f (x )单调递增． ∵9－x 2∈(0,9]，∴log 13 (9－x 2)≥log 139＝－2.即函数的值域为[－2，＋∞)．(2)f (x )＝log 3 x 3·log 3 x 9＝(log 3 x －1)(log 3 x －2)＝(log 3 x )2－3log 3 x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3 x －322－14， 令t ＝log 3 x ，∵x ∈[3,27]，∴t ∈[1,3]，∴f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322－14＝2，f (x )min ＝－14.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.](1)求值：f ⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 015；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．思路点拨：(1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性． [解] (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 015＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 015－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 015＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 015－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 015＝0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2，又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0. 又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0， ∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用 1．常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．2．解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．[解] (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，x ∈[0,1)， 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． ∵F (x )在[0,1)上是增函数， ∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m 的取值范围为(－∞，0]．1．对数函数的单调性，内容是什么？[提示] 对数函数y ＝log a x ，当a >1时，在(0，＋∞)上单调递增，当0<a <1时，在(0，＋∞)上单调递减．2．常数m 能表示成对数形式吗？ [提示] 能．m ＝log a a m.3．在y ＝log a x 中，a ，x 的要求是什么？ [提示] a >0且a ≠1，x >0.【例4】 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a >0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由．思路点拨：根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论．[解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x >－1}，g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x <1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x >－1}∩{x |x <1}＝{x |－1<x <1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )，∴h (x )为奇函数．1．(变条件)若f (x )变为log a 1＋x1－x (a >1)，求f (x )的定义域．[解] 因为f (x )＝log a 1＋x1－x，所以1＋x1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，1－x <0，所以－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．(变设问)在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )<0成立的x 的集合． [解] ∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2.∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )<0等价于log 2(1＋x )<log 2(1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <1－x ，1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <0.故使h (x )<0成立的x 的集合为{x |－1<x <0}．1．解对数方程不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．2．当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁．1．图象的左右平移是对自变量x 作变化，和x 前面的系数无关．如y ＝lg 2x 图象向左平移3个单位得y ＝lg 2(x ＋3)的图象，而不是y ＝lg (2x ＋3)的图象，上下平移是对函数值y 作变化．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.1．若a >0且a ≠1，则函数y ＝log a (x ＋1)＋1的图象恒过定点的坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(2,1) C ．(0,1)D ．(0，－1)C [将y ＝log a x 左移1个单位，再上移1个单位，则得到y ＝log a (x ＋1)＋1的图象，由于y ＝log a x 过定点(1,0)，故y ＝log a (x ＋1)＋1过定点(0,1)．]2．已知函数y ＝f (2x)的定义域为[－1,2]，则函数y ＝f (log 2 x )的定义域为________．[2，16] [由题知x ∈[－1,2]时，2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴log 2 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x ∈[2，16]， ∴y ＝f (log 2 x )的定义域为[2，16]．] 3．函数f (x )＝1＋log 2 x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________．(填序号)③ [y ＝log 2 x 的图象向上平移1个单位得到f (x )的图象，故f (x )必过点(1,1)，g (x )可由y ＝2－x的图象右移1个单位得到，故g (x )必过点(1,1)．]4．求函数y ＝(log 12 x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] ∵2≤x ≤4，则由y ＝log 12x 在区间[2,4]上为减函数知，log 122≥log 12x ≥log 124，即－2≤log 12x ≤－1.若设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，且y ＝t 2－12t ＋5.而y ＝t 2－12t ＋5的图象的对称轴为t ＝14，且在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上为减函数，而[－2，－1]⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，所以当t ＝－2，即x ＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t ＝－1，即x ＝2时，此函数取得最小值，最小值为132.。
高考数学 3.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用课件
x 0的图象C1,再作出C1关于y轴的对称图形C2 .C1和C2
构成函数 y log2 | x |的图象,如图.
y
C2
C1
2
1
-2 -1 O 1 2 3
x
由图象可以知道,函数 y log2 | x | 的单调减区间是 增区间是 0, .
, 0 ,单调
思考3 : 函数y f x 与函数 y f x 的图象之间有什么关系?
对应的y值与y log3 x中x a对应的 y值相等,所以将对数函数y log3 x的 图象向左平移 2 个单位长度 ,就 得
到函数y log3 x 2 的图象.
思考1： 函数y loga x b 与函数 y loga x (a 0,a 1, b 0)的图象之间有什么关系?
提示：函数y loga x b 是由函数 y loga x (a 0,a 1, b 0) 的图象向左平移b个单位长度（b 0），或者向右平移 b 个 单位长度（b 0）得到的.
提示：函数y f x 是先作出函数y f x（ x 0）的图象C1，
然后再作出y f x 关于y轴对称的图形C2.C1和C2构成y
f x 的图象.
1.(2012·济宁高一检测)若函数 y loga( 2 ax （) a>0且
a≠0）在区间 (0, 1) 是减函数，则实数a的范围是（ B ）
1、利用对数的性质熟练作出对数函数的图象. 2、会通过平移、对称变换作函数的图象.
只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋斗 雄心，生命的硕果就会如影相随。
的图象.
4、画出函数 y log2 | x 1| 的图象，并由图象写出它
的单调区间.
解 先根据例2作出函数 y lo g2 x 的图象，然后把函数 y lo g2 x 的图象向左平移1个单位就得到函数 y lo g2 x 1 .
对数及对数函数的图像与性质(教师版)
第一课时 对数及其运算【知识要点】 1.对数的定义：如果N a b =（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log2.指数式与对数式的关系：bN N a a b =⇔=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）log 10a =； log 1a a =； log a Na N =； logb a a b =；（2）()log log log a a a MN M N=+ （3）log log log aa a MM N N=- （4）()log log n a a M n M n R =∈（5）1log log aa M n=（6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；（3）log log m n a a n b b m= 【典题精讲】题型一 对数的化简、求值1.bN N a a b =⇔=log ．2．注意对数恒等式log aN a N＝，对数换底公式log log log b a b NN a =及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a =⋅=在解题中的灵活应用．【例1】(1) 若23=x，则x = 465=⎪⎭⎫ ⎝⎛x，求=x(2)设3643==ba，则=+ba 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363，b＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ． 23a a -【变式2】若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（ A ）A ．a 3B ．a 23C ．23-aD ．a【变式3】（1）计算=-+23lg 53lg 25lg __________. 答案：1（2）计算：=+⋅+20lg 5lg 2lg 5lg 2__________. 答案：2【例2【解析】()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-；【变式1】lg 的值是（ ）A.12 B.1 C.10 D.100【答案】B【解析】由1==，故选B.【变式2】已知,lg ,24a x a ==则x =________.【解析】由42a=得12a =，所以1lg 2x =，解得x =,【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝_________.【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________（2）若__________3log ,2log123==则a（3）若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________答案：(1) 64 (2)11+a (3) 12【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy 的值.【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩（），＝或1x y =（舍去）， 33229log log 24x y ==.题型二 对数换底公式的应用【例2】 设+∈R z y x ,,，且zy x 643==.（1） 求证：yx z 2111=-； （2）比较z y x 6,4,3的大小。
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对数函数的图象变换及在实际中的应用
对数函数图象是对数函数的一种表达形式，
形象显示了函数的性质。
为研究它的数量关
系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。
一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一)
图象的平移变换
y log 2(x 2)的图象
主：图象的平移变换： 1.水平平移：函数y f (x b) , (a 0)的图像，可由y f (x)的
2.竖直平移：函数y f (x) b , (b 0)的图像，可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换
例2.画出函数y log 2 x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间 •
解：当 x 0 时，函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2
log 2 x 2 f (x)，所以
2 2
y log 2 x 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。
当x 0时，y log 2 x
2 log 2 x 。
因
此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ，再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2
调增区间是(0,)
例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与
y log 2(x 2)的图像，并指出两个图像
之间的关系?
解：函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像；如果向左平移 /pl y i. J -
■- .—
w ■■
*-------- 1 ------ ~
/ -
1 ]
''5 / 3 = / '
到y log 2(x 2)的图像，所以把y
log 2(x 2)
图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到
2个单位就得
2个单位就得
的图象向右平移4个单位得到
例3•画出函数y log s x与y log1x的图像，并指出两个图像之间的关系?
3
1
④y f (x)与y f(x)关于直线y x轴对称
⑤y f (x)的图像可将y f (x)，x 0的部分作出，再利用偶函数的图像关于y轴对
称，作出x 0的图像.
二利用对数函数的图象解决有关问题
(一) 利用图像求参数的值
大小关系•
解：在同一直角坐标系中作出函数y log m x与y log n x的图象，
再作x 2的直线，可得m n。
注：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低(即
在x 1的部分底越大图象就越接近x轴)②底都小于1时，底大图高 (即在0 x
1的部分底越大图象就越远离x轴)
(三)利用图像解有关的不等式
例6•解关于x 的不等式log 2（x 6） x 1 解：在同一直角坐标系中作出函数
y log 2（x 6）与y x 1的图象，如图：
两图象交点的横坐标为 2,所以原不等式的解 集为xx 2
（四）利用图像判断方程根的个数
例7.已知关于x 的的方程|log 3 x a ，讨论 a 的值来确定方程根的个数。
系中作出函数与 y a 的图象，如图可知：①当 a 0时，两 个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为
0个；
② 当a 0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程 根的个数为1个；
③ 当a 0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程 根的个数为2个。
能准确地作出对数函数的图象， 利用平移、对称的变换来 研究复杂函数的性质。
运用数形结合的数学思想，来研究对数函数的有关问题。
解：因为y |log 3 x
log 3X （x 1） log 3 x （0 x
在同一直角坐标
1）。