第5课菱形和矩形的性质与判定的总结
矩形、菱形、正方形的性质与判定(5)
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）教学过程：一、情境创设矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？你能证明这些性质吗？二、探索活动问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二 证明：菱形的4条边都相等。
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。
问题三 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。
三、例题教学例 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A 、E 、F 、C 、G 、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC 两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B 、M处固定，则B 、M 之间的距离是多少？分析：可将问题归结到菱形ABCD 中研究，求出BD 的长即可。
可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD 。
例2 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上任一点， DF 交AC 于点E 。
求证：∠AFD=∠CBE 分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。
四、练习1、P 18 练习1B A DC G E H M F O DC B A EAB CD G2、证明：菱形对角线的交点到各边的距离相等。
五、小结菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。
矩形和菱形的性质和判定(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形和菱形的基本概念。矩形是一种四边形，有四个直角，对边平行且相等；菱形则是四边相等的四边形，对角线互相垂直平分。它们在几何图形中具有重要的地位，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用矩形和菱形的性质来解决实际问题，如计算图形的面积和周长。
4.培养学生的数学应用意识，将矩形和菱形的知识应用于生活实际，如设计图案、计算面积等，增强数学与生活实际的联系，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）矩形和菱形的性质：熟练掌握矩形和菱形的定义、特征及性质，包括对边平行且相等、对角线互相平分等。
举例：矩形性质的应用——计算矩形面积；菱形性质的应用——判断菱形对角线长度关系。
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过观察、操作矩形和菱形，使其理解并掌握其性质，能运用这些性质解决实际问题；
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过矩形和菱形的判定方法的学习，使学生能够运用严谨的逻辑推理证明四边形的类型，提高解决问题的能力；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用矩形和菱形的相关性质，分析解决实际问题时四边形边长、角度等数据的变化规律；
（4）几何证明的逻辑推理：在判定矩形和菱形时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，能够运用已知条件和性质进行证明。
举例：运用矩形和菱形的性质，通过步骤严谨的推理过程，证明一个四边形是矩形或菱形。
在教学过程中，教师需针对这些难点和重点，采用适当的教学策略，如直观演示、案例分析、小组讨论等，帮助学生透彻理解矩形和菱形的性质与判定方法，提高解决问题的能力。
（2）矩形和菱形的判定方法：理解和掌握矩形、菱形的判定条件，能够准确判断四边形的类型。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
菱形的判定
章节：§（第五课时）课题：菱形的判断（书71—72页）学习目标：1．模仿矩形的研究方法，从定义、边、角、对角线几个方面研究菱形的判断方法．2．能应用菱形定义、判断等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培育自己的剖析能力。
3.培育学生与人合作，进行有效沟通的能力以及谨慎的逻辑推理能力和几何书写能力。
要点、难点：1．要点：菱形的判断．2．难点：菱形的判断及性质的综合应用．一、课前预习：1.菱形的性质（1）边：（2）角：hnm a（3）对角线：（4）面积： S=2.菱形的定义也是它的判断，所以我们能够得出菱形的第一种判断：判断 1:二、课上研究：模仿矩形判断方法的研究方向，你以为能够从方面研究菱形的判断方法。
自主研究一（从的角度）如图：将一张长方形纸对折两次，沿虚线剪下一个角,翻开后 ,这是一个什么样的图形 ? 你能用你所学的知识来推理论证吗？答：已知：求证：判断 2：几何语言表述：自主研究二（从对角线的角度）你猜想知足什么条件的是菱形？例：在□ABCD 中，对角线 AC⊥ BD，垂足为点 O。
求证：□ABCD 是菱形。
A DB C判断 3：几何语言表述：定理应用例 1：在□ABCD的两条对角线AC、BD订交于点O，AB=5, AO=2, OB=1 （1）AC、BD 相互垂直吗？ D（2）求证：□ABCD 是菱形。
O CAB例 2：已知：如图，AD 是△ ABC 的角均分线, DE∥ AC 交 AB 于 E，ADF∥AB 交 AC 于 F.求证：四边形 AEDF 是菱形 .E123F B D C三、做一做：将两张宽相等的矩形纸片叠合在一同，重合的部分是什么特别的四边形？请着手叠一叠，查验你的猜想。
ADB C四、小结：性质判断1.2.3.五、检测：如图， A E∥BF,AC均分∠BAD,交BF于点C,BD均分∠ABC,交AE于点D,联络CD。
求证：四边形 ABCD 是菱形 .A D EOB C F超越自我：如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝900， CD 是 AB 边上的高，∠ BAC 的均分线AE 交 CD 于 F，EG ⊥AB 于 G，求证：四边形 GECF 是菱形ADG FB E C。
第5课菱形和矩形的性质与判定的总结
第5课菱形和矩形的性质与判定的总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KIIO DCBAABCDO DCBADCB AAB CD第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结一、归纳知识点：1. 菱形的定义、性质及判定定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。
ABCD ABCD AB BC ⎫⇒⎬=⎭平行四边形菱形性 质菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形．① AB=BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．面 积①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）①12ABCD S AC BD =⋅菱形 ②12ABCDS AC BD =⋅四边形判 定① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形．例1将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.2. 矩形的定义、性质及判定ABCDEFDO AB CDOAB C30°ABCOAB CD定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．90ABCDABCDB⎫⇒⎬∠=︒⎭平行四边形矩形性质矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④是中心对称图形、轴对称图形．①ABC BCD CDA DAB∠=∠=∠=∠ =90°；②AC=BD．推论①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．①O是AC的中点，则12BO AC=．②30B∠=︒，则12AC AB=．判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．例2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°（1）求BE、QF的长（2）求四边形PEFH的面积．。
矩形、菱形的性质与判定
矩形、菱形的性质与判定教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。
掌握矩形的性质定理2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题。
3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用．节前预习： 1：矩形的四个角都是．2：矩形的对角线．3：直角三角形等于斜边的一半．4：的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形．5：的四边形是矩形．教学过程一．复习提问：1.什么叫平行四边形？它和四边形有什么区别？二、引入新课：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形，堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．讲解新课：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．（1）、矩形性质1：矩形的四个角都是直角．2：矩形对角线相等．（2）、矩形的判定．矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义备注由平行四边形到矩形，便于学生理解图形。
设问：如何用理论推理的方法来证明矩形的对角线相等呢？（让学生思考并提问回答，再让作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．讲矩形判定定理1，对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形和菱形的性质与判定
A
C
F
B
D
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D 分别是边AC和AB的中点 过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E， 连接AE. 求证：四边形AECD是菱形。
小 1、菱形的性质 结
2、菱形的判定
A D
O
B
C
下列说法正确的是（）
A .对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直且平分 D.矩形的对角线相等且平分
中考题训练
如图，矩形ABCD对角线AC=8cm， ∠AOD=°，则AB的长
A
D
B
O
C
把矩形ABCD沿着直线EF折叠， 若∠1=20°，则∠2=
知识回顾与梳理
考点一：矩形的性质 1、对边平行且相等 2、四个角都是直角 3、对角线相等且互相平分 4、是中心对称图形又是轴对称图形，两条对称轴
考点二：矩形的判定 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、对角线相等的平行四边形是矩形 3、有三个角是直角的四边形是矩形
基础练习
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， 如果添加一个条件， 即可推出该四边形是矩形的，那么这个条件是 （1） （2）
在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的 中点，四边形ABDE是平行四边形 求证：四边形ADCE是矩形
矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 点E、F在BD上，BE=DF， 求证：（1）AE=CF (2)若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD面积
小
1、矩形的性质
结
2、矩形的判定
考点一、菱形的性质 考点二、菱形的判定
2015钦州.如图，要使 则需要添加的条件是 （1） （2）
矩形、菱形性质与判定
一、什么是矩形？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图平行四边形ABCD ,∠A=90°，四边形ABCD 为矩形 ．CABD二、什么是菱形？有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图平行四边形ABCD ,AD=AB ，四边形ABCD 为菱形． AC1．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．矩形、菱形的性质与判定知识回顾知识讲解2．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．3．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．4．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．5．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点平行中点模块一 矩形的概念与性质【例1】 矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【例2】 矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【例3】 矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【例5】 矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝12cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【例6】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
菱形的判定和性质
菱形的判断和性质一、基础知识（一）菱形的观点一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形的性质：1、拥有平行四边形的全部性质；2、菱形四条边都相等；3、菱形的对角线相互垂直均分，每条对角线均分一组对角；4、菱形是轴对称图形；A DOB C边角对角线对称性菱形对边平行；对角相等；相互垂直均分且轴对称四边相等邻角互补均分对角（三）菱形的判断：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线相互垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的四边形是菱形；（四）菱形的面积1、能够用平行四边形的面积算（S=1底×高）21ab)2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半S=2DA CEB二、例题解说考点一：菱形的判断例 1：以下命题正确的选项是（）（A）一组对边相等，另一组对边平行的四边形必定是平行四边形（B）对角线相等的四边形必定是矩形（C）两条对角线相互垂直的四边形必定是菱形（D）两条对角线相等且相互垂直均分的四边形必定是正方形练习 1：菱形的对角线拥有 ( )A ．相互均分且不垂直B．相互均分且相等C．相互均分且垂直D．相互均分、垂直且相等OM、 ON、练习 2：如图，菱形ABCD中，对角线AC、 BD订交于点 O， M、 N 分别是边AB、 AD的中点，连结MN，则以下表达正确的选项是（）A．△ AOM和△ AON都是等边三角形B．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形C．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 D ．四边形MBCO和四边形N DCO都是等腰梯形AM NB DOC练习3：如图，在三角形ABC 中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC 上的点，△ADE沿线段DE( )翻折，使点 A 落在边BC 上，记为A．若四边形ADA E是菱形，则以下说法正确的选项是A．DE是△ABC 的中位线B．AA是 BC 边上的中线C．AA是 BC 边上的高D． AA是△ABC 的角均分线ADEB A C练习 4：如图，以下条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC BD② BAD90o③ AB BC ④AC BDA．①③B．②③C．③④D．①②③A DB C例 2 ：已知 AD是△ ABC的均分线， DE∥ AC交 AB于 E，DF∥ AB 交 AC于 F，则四边形AEDF是什么四边形？AA请说明原因．EF E FB C B CD D变化：若 D 是等腰三角形底边 BC的中点， DE∥ AC交 AB于 E， DF∥ AB交 AC于 F，则四边形 AEDF是什么四边形？请说明原因．练习 1：如图， AD是 Rt △ ABC斜边上的高，BE均分∠ B 交 AD于 G，交 AC于 E，过 E 作 EF⊥ BC于 F，试说B明四边形 AEFG是菱形．DFGCAE练习 2：如图， E 是菱形 ABCD边 AD的中点， EF⊥ AC于点 H，交 CB延伸线于点F，交 AB于点 G，求证： AB与 EF 相互均分。
平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理
平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
两点之间，线段最短。
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离人，叫做这两条平行线之间的距离。
如果直线a平行直线b ，A是a上的任意一点，AB垂直直线b，b是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离。
平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；矩形的4个角都是直角；矩形的对角线相等。
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是举行。
菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；菱形的4条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好，平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。
正方形正方形的两条对角线，把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
平行四边形菱形矩形正方形的性质及判定归纳
平行四边形菱形矩形正方形的性质及判定归纳性质：1、边：平行四边形的对边平行且相等。
2、角：平行四边形的邻角互补，对角相等。
3、对角线:平行四边形的对角线互相平分。
4、中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
5、夹在两条平行线间的平行线段相等。
6、若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分分四边形的面积。
判定：1、边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
菱形性质1.边：四条边相等。
2.对角线：对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称、中心对称图形。
4.面积：①菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
②菱形的周长＝棱长乘以4。
③S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）。
判定1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
〖注意〗1.对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．2.利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．矩形性质1：矩形的四个角都是直角．2：矩形的对角线相等．3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．判定：1、有一个角是直角的平行四边形。
用定义判定一个四边形是矩形，必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．2、对角线相等的平行四边形是矩形．用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．3、有三个角是直角的四边形是矩形．判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．正方形性质1、边：对边平行，四边相等；2、角：四个角都是直角；3、对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴．5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．6、正方形的面积：若正方形的边长为，对角线长为，则．判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．2.判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)。
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明
矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明一、知识概述1、矩形的性质定理定理1：矩形的四个角都是直角．说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．定理2：矩形的对角线相等．说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．2、矩形的判定定理定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．3、菱形的性质定理定理：菱形的四条边都相等．说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．(2)利用该特性可以证明线段相等．定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．4、菱形的判定定理定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理2：四条边都相等的四边形是菱形．说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．5、正方形的性质普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．6、正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．二、重难点知识归纳1、特殊的平行四边形知识结构三、典型例题讲解例1、如图所示，M，N分别是平行四边形AB CD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形P MQN 为矩形．错解：连接MN．∵四边形ABC D是平行四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．∴四边形AMN B是平行四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PMQ N为矩形．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PM QN是平行四边形，证四边形PM QN是平行四边形这种方法比较好．正解：连接MN，∵四边形ABC D是平行四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，∴四边形BND M为平行四边形．∴BM DN，同理ANM C．∴四边形PMQ N是平行四边形．∵AM BN，∴四边形ABN M是平行四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形ABN M是菱形．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQ N是矩形．例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；(3)四边形PQE F的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少?分析：(1)猜想四边形P QEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即APCE ，四边形APC E为平行四边形，易知PE与A C平分于点O；(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形A BCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQE F为正方形，证明如下：在正方形AB CD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQE F为正方形．(2)连接AC交P E于点O．∵AP EC，∴四边形APC E为平行四边形．又∵O为对角线A C的中点，∴对角线PE总过AC的中点．(3)当P运动至与B重合时，四边形PQE F面积最大，等于原正方形面积，当PE⊥AB时，四边形PQE F的面积最小，等于原正方形面积的一半．小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．(1)当x取何值时，四边形EAC F是菱形?请说明理由；(2)当x取何值时，四边形EAC D的面积等于2？分析：本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EAC F是平行四边形．当CF=AC时，四边形ACF E是菱形．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题意，舍去)．即当时，四边形ACF E是菱形．(2)由已知条件可知四边形E ACD是直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形A BCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．(1)求证四边形M ENF是菱形；(2)若四边形ME NF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．分析：由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形ME NF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接M N(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形ABC D是等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形ENF M是菱形．解：(2)结论：等腰梯形AB CD的高等于底边BC的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，又∵四边形MEN F是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，∵N为BC中点，∴MN=BC．小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．例5、如图所示，在梯形ABC D中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．分析：本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN 于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．分析：要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．如图所示，已知梯形AB CD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能有三个角是钝角．。
第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结复习课程
O DCBAABCDO D CBADCB A第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结一、归纳知识点：1. 菱形的定义、性质及判定定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。
ABCD ABCD AB BC ⎫⇒⎬=⎭平行四边形菱形性 质菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形．① AB= BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线．面 积①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用）①12ABCD S AC BD =⋅菱形 ②12ABCD S AC BD =⋅四边形判 定① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形．D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.ABCDEFDAB CDOABC DOABC30°ABCOABCD2. 矩形的定义、性质及判定定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．90ABCD ABCD B ⎫⇒⎬∠=︒⎭平行四边形矩形性质矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且相等；②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等；④是中心对称图形、轴对称图形．①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠ =90°；②AC=BD ．推论①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．① O 是AC 的中点，则12BO AC =． ② 30B ∠=︒，则12AC AB =． 判定① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 例2.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30° （1）求BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积．。
讲义矩形和菱形
讲义矩形和菱形-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1龙文教育学科教师辅导讲义【答案】3:2例1. 如图，菱形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，OG ⊥CD 于G ，OH ⊥AD 于H ，试说明四边形EFGH 为矩形。
分析：四边形EFGH 与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角线EG 和HF 相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH 是矩形，根据菱形的对角线平分每一组对角，知AC 是∠DAB 和∠DCB 的角平分线，DE 是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，因为OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，根据角平分线的性质很容易得出OE ＝OF ＝OG ＝OH 解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AC 、BD 平分对角∴O 点在∠DAB 、∠BCD 、∠CDA 、∠ABC 的角平分线上 又∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ∴OE ＝OF ＝OG ＝OH又∵AB ︒=∠120AOD 4cm BD CE ⊥1:3:=∠∠ECB DCE ACE ∠（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。
【答案】114n -6. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.【答案】257.如图，矩形ABCD 中，CE 平分15,=∠∠ACE BCD °，求BOE DOC ∠∠,的度数。
8、如图，矩形纸片ABCD 中，3cm 4cm AB BC ==，，现将A C 、重合使纸片折叠压平，设折痕为E F 、，则重叠部分AEF △的面积为多少…… A BO C D D A OB C E D A CB H GF EA E BFODCＡ FDCBED 'BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFC AB【例3】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形为什么M'MDC BA【巩固】(湖南湘西24,10分)如图,已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2. (1)求AC 的长.(2)求∠AOB 的度数.(3)以OB 、OC 为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC 的面积.【综合题】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半MPFABCDE考点三：矩形和菱形的综合应用例（2011山东德州16,4分）长为1，宽为a 的矩形纸片（121<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为 正方形，则操作终止．当n =3时，a 的值为_____________．练习1：(2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．⑴求证：△ABF ≌△ECF⑵若∠AFC=2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．练习2（2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD 中，AD =4，AB =m (m ＞4)，点P 是AB 边上的任意一点（不与A 、B 重合），连结PD ，过点P 作PQ ⊥PD ，交直线BC 于点Q ．(1)当m =10时，是否存在点P 使得点Q 与点C 重合若存在，求出此时AP 的长；若不存在，说明理由；(2)连结AC ，若PQ ∥AC ,求线段BQ 的长（用含m 的代数式表示）(3)若△PQD 为等腰三角形，求以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围．ABCD EF(第21题) 第一次操作第二次操作∴∠AOM＝60°∴△AOM为等边三角形∴MA＝MO＝ME′，∠'AE M＝∠'E AM又∵∠'AE M＋∠'E AM＝∠AMO即2∠'AE M＝60°∴∠'AE M＝30°∴∠'AE M＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°∴△AOE′为直角三角形.2011湖南衡阳，26，10分【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴PB BCDA AP=，∴1044APAP-=，∴2AP=或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴AB BCDA AP=，即44mAP=，∴16APm=．∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，PB BQAB BC=，即164m BQmm-=，∴2164BQm=-．(3)由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB=DA=4，AP=BQ=4m-，∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩形ABCD－S△DAP－。
矩形的性质及判定知识点及典型例题
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．一、矩形的判定【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA矩形的性质 及判定【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA321FE D CB A【例11】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．【例12】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
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O D
C
B
A
A
B
C
D
O D C
B
A
D
C
B A
第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结
一、归纳知识点：
1. 菱形的定义、性质及判定
定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。
ABCD ABCD AB BC ⎫
⇒⎬=⎭
平行四边形菱形
性 质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形．
① AB= BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分
别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线． 面 积
①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对
角线乘积的一半．（注：不能直接使用）
①1
2
ABCD S AC BD =
⋅菱形 ②1
2
ABCD S AC BD =⋅四边形
判 定
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形．
D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形证明你的结论.
A
B
C
D
E
F
D
A B C
D
O
A
B
C D
O
A
B
C
30°
A
B
C
O
A
B
C D
2. 矩形的定义、性质及判定
定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
90ABCD ABCD B ⎫
⇒⎬∠=︒⎭
平行四边形矩形
性 质
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质．
①对边平行且相等；②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等； ④是中心对称图形、轴对称图形．
①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠
=90°； ②AC=BD ．
推论
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
②在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半．
① O 是AC 的中点，则1
2
BO AC =． ② 30B ∠=︒，则1
2
AC AB =
． 判定
① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 例2.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30° （1）求BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积．。