函数单调性和凹凸性
函数单调与凹凸教学
单调性是函数的局部性质，即在某 个区间内单调递增或递减，并不代 表在整个定义域上都是单调的。
判断函数单调性的方法
导数法
通过求函数的导数，并判断导 数的符号来判定函数的单调性
。
定义法
通过比较函数在定义域内的任意 两点x1和x2的函数值f(x1)和 f(x2)，来判断函数的单调性。
图像法
通过观察函数的图像，可以直 观地判断函数的单调性。
判断函数凹凸性的方法
导数法
通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的凹凸性。如果导数在某 区间内大于0，则函数在该区间内为凹函数；如果导数在某区间内小于0，则函 数在该区间内为凸函数。
二阶导数法
如果一个函数的二阶导数在某区间内大于0，则该函数在该区间内为凹函数；如 果二阶导数在某区间内小于0，则该函数在该区间内为凸函数。
单调性决定了函数值的增减趋势，而 凹凸性则决定了函数图像的弯曲程度。
在单调递减的函数中，如果函数是凹 的，则图像呈现向下凸起的形状；如 果函数是凸的，则图像呈现向上凸起 的形状。
在单调递增的函数中，如果函数是凹 的，则函数图像呈现出向上凸起的形 状；如果函数是凸的，则图像呈现向 下凸起的形状。
单调与凹凸在函数图像上的表现
函数凹凸性的应用
01
02
03
最优化问题
利用函数的凹凸性，可以 确定函数的最大值或最小 值，从而解决最优化问题。
经济模型
在经济学中，凹凸性可以 用来描述某些经济现象， 例如供需关系、成本和收 益等。
物理学
在物理学中，凹凸性可以 用来描述物理量之间的关 系，例如弹性、能量等。
03 单调与凹凸的关系
单调与凹凸的相互影响
函数单调与凹凸教学
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
6.4知识资料函数的单调性与曲线的凹凸性
所以 函数在[0, )单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、函数单调区间的求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调.
若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 的分界点．
证 设f ( x) 1 x2 ex sin x 且f (0) 0 2 定不出符号
f ( x) x ex cos x 且f (0) 0
f ( x) 1 ex sin x 0
0 x 1, f ( x) 0, f ( x) C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ( x) 1 x2 ex sin x 2
f ( x) x ex cos x
f ( x)在[0,1]上单调增加
当0 x 1时,有f ( x) f (0) 0. 0 x 1, f ( x) 0, f ( x)C[0,1].
所以f ( x)在[0,1]上单调增加.
(上)方, 称为凹(凸) 弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f (x)的切线斜率是单增的, 即f ( x)是单增的, 而凸 弧的切线斜率是单减的, 即f ( x) 是单减的.
利用二阶导数判断曲线的凹凸性
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
2. 凹凸性的判别法
y
B y f (x)
A
y
B y f (x)
证 任取x0 (a, b), 泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
3.3 单调性与凹凸性
例5、 判断曲线 f (x)
1 9
x2
解： f (x) 在定义域 Df (
2 11 f (x) 9 x 3 3 x2
3 x 的凹凸性及拐点。 , ) 内连续，
2 21 f (x) 9 9 3 x5
2 9
(1
1 )
3 x5
0
x
1
(x 0) (x 0)
以 x 1、x 0 划分定义域得：
例4、 确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间。 解： f (x) 在定义域 Df ( , ) 内连续，
f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 0 x1 1 x2 2 以 x1 1、x2 2划分定义域得：
Df ( ,1) 1 ( 1 ,2 ) 2 (2, ) f (x)
单调区间
定义： 若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
问题： 如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。
单调性分界点只可能产生于： 驻点 与不可导点处
方法： 用驻点及不可导点划分函数定义域， 在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
(1) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极小值点； (2) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极大值点。
例3、 求函数 f (x) 3x x3 的极值。
解： 函数 f (x) 在其定义域 ( , ) 内连续，
f (x) 3 3x2 3(1 x)(1 x) 0 x1 f (x) 6x f ( 1) 6 0 f (1) 6 0
函数的单调性与凹凸性
单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用，如果函数在某区间内单调递增或递减，则该函数的导 数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性，并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中，常需要求解函数在开区间 上的最值问题，以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上，函数可能没有最大值或最小 值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性，并考虑无穷远处的情 况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中，常需要研 究函数在无界区间上的最值问题，以深入理 解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时，利用函数的 单调性和凹凸性，可以判断系统的稳定性和 运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中，利用函数的单调性和 凹凸性，可以分析电路的工作状态和性能， 优化电路设计。
函数的单调性与曲线的凹凸性
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
函数的单调性与曲线的凹凸性
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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感谢您的观看
产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
4[1].4函数的单调性与凹凸性
![4[1].4函数的单调性与凹凸性](https://img.taocdn.com/s3/m/8cab8c07e87101f69e3195eb.png)
f ′ ( x ) = cos x 1 ≤ 0
5函数的凸性 函数的凸性 凸性 设 函 数 f ( x ) : [ a , b ] → R .
如 果 x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 不 等 式 f ( λ1 x1 + λ 2 x 2 ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ 2 f ( x 2 ) 对 于 满 足 λ1 + λ 2 = 1 的 任 意 非 负 实 数 λ1和 λ 2 都 成 立 , 则 称 f 在 [a , b ] 上 为 凸 函 数 .
[证] 必要性 证 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ]上为下凸函数
x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 且 x1 < x 2 , x : x1 < x < x 2
有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x 2 ) ≤ x x1 x x2
因为 f ( x )在 x1与 x 2 都可导 , 根据极限的保号 性, 有
4.4函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性
1 问题的提出
y
y = f (x)
A
B
y
A y = f (x) B
o
a
b
x
o a
f ′( x) ≤ 0
b x
在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调上升 上单调上升 在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调下降 上单调下降
f ′( x) ≥ 0 f ′( x) ≤ 0
这就是说 ,函数 f ( x )在区间 [a , b ] 上是 下凸的 .
定理2: 定理 :( 用二阶导数判定函数的凸性 )
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b )内 二阶可导 , 则 f 在 [ a , b ] 为下凸 ( 上凸 ) 函数 的充分必要条件是 : f ′′( x ) ≥ 0 ( f ′′( x ) ≤ 0 ).
函数的单调性与凹凸性
函数的单调性与凹凸性在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。
具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。
例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。
具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。
凹凸性常常与函数的极值点相关。
对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。
因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。
三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。
例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。
同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。
函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。
总结：函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。
函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
函数的单调性与凸凹性
函数的单调性与凸凹性函数在数学中扮演着重要的角色，而其中的单调性与凸凹性则是研究函数性质的重要方面。
本文将为你详细介绍函数的单调性与凸凹性，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的单调性在数学中，函数的单调性指的是函数随着自变量的增大或减小而产生的变化趋势。
具体而言，单调性可以分为“单调递增”和“单调递减”两种情况。
1. 单调递增当函数的自变量增大时，函数的取值也相应增大，这种情况下函数被称为单调递增函数。
在数学语言中，假设有函数f(x)，当对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f(x)是单调递增函数。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以看到当x1 < x2时，f(x1) =x1^2 < x2^2 = f(x2)，所以f(x) = x^2是一个单调递增函数。
2. 单调递减与单调递增相反，单调递减函数在自变量增大时，函数的取值反而减小。
同样地，对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，函数f(x)是单调递减函数，当且仅当f(x1) ≥ f(x2)。
例如，考虑函数f(x) = 2/x，当x1 < x2时，f(x1) = 2/x1 > 2/x2 =f(x2)，因此f(x) = 2/x是一个单调递减函数。
函数的单调性在数学和实际问题中都有重要的应用。
它们可以帮助我们研究函数的性质，求解方程、优化问题等。
二、函数的凸凹性函数的凸凹性也是函数性质的重要方面，它揭示了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，凸函数与凹函数是最常见的两种情况。
1. 凸函数在数学中，如果对于函数f(x)上的任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，连接这两点的线段在曲线上方，那么函数f(x)被称为凸函数。
以函数f(x) = x^2为例，对于任意的x1和x2，当x1 ≠ x2时，(x1,f(x1))和(x2, f(x2))之间的线段都在曲线y = x^2的上方，因此f(x) = x^2是一个凸函数。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定方法如果函数在上单调增加（单调减少）,那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）,即(或)由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理(函数单调性的判定法)设函数在上连续,在内可导.(1)如果在内,那么函数在上单调增加;(2)如果在内,那么函数在上单调减少.证明只证(1)（（2）可类似证得）在上任取两点,应用拉格朗日中值定理,得到.由于在上式中,因此,如果在内导数保持正号,即,那么也有,于是从而，因此函数在上单调增加.证毕例3-19判定函数在上的单调性.解因为在内,所以由判定法可知函数在上单调增加.例3-20讨论函数的单调性.解由于且函数的定义域为令,得,因为在内,所以函数在上单调减少;又在内,所以函数在上单调增加.例3-21讨论函数的单调性.解:显然函数的定义域为,而函数的导数为所以函数在处不可导.又因为时,,所以函数在上单调减少;因为时,,所以函数在上单调增加.说明:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间,就能保证在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数在每个部分区间上单调.例3-22.确定函数的单调区间.解该函数的定义域为.而,令,得.列表函数f(x)在区间和内单调增加,在区间上单调减少.例3-23讨论函数的单调性.解函数的定义域为函数的导数为:,除时,外,在其余各点处均有因此函数在区间上单调减少;因为当时,,所以函数在及上都是单调增加的.从而在整个定义域内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线.说明:一般地,如果在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正（或负）时,那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例3-24证明:当时,.证明:令,则因为当时,,因此在上单调增加,从而当时,,又由于,故,即,也就是,().二、函数的凹凸性与拐点在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方定义3-6-1设在区间I上连续,如果对I上任意两点 ,恒有那么称在I上的下凸函数;如果恒有那么称在I上的上凸函数.函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性二、判定函数的凸性的充分条件定理设在上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在内,则在上是下凸的;(2)若在内 ,则在上是上凸的.证明只证(1)((2)的证明类似).设,记.由拉格朗日中值公式,得,,两式相加并应用拉格朗日中值公式得,即,所以在上的图形是凹的.拐点:连续曲线上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求出在二阶导数 ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点;注:根据具体情况（1）、（3）步有时省略.例3-34判断曲线的凸性.解:因为 ,.令得,当时,,所以曲线在内为上凸的;当时,,所以曲线在内为下凸的.例3-35求曲线的拐点及凸性区间.解:(1)函数的定义域为;(2),;(3)解方程,得,;(4)列表判断:在区间和上曲线是下凸的,在区间上曲线是上凸的.点和是曲线的拐点.例3-36问曲线是否有拐点？解, .当时,,在区间内曲线是下凸的,因此曲线无拐点.例3-37求曲线的拐点.解(1)函数的定义域为;(2),;(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ;(4)判断:当时,;当时,因此,点是曲线的拐点.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
函数的单调性和曲线的凹凸性
弦上对应点的纵坐标B:
x = x2+(x1– x2)t
y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
则称f (x)在[a, b]上的图形是凹的.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
故得如下定义.
f (t x1+(1– t) x2) < t f (x1)+(1– t) f (x2) (1.1)
添加标题
添加标题
添加标题
则称f (x)在[a, b]上的图形是凸的.
若有
f (t x1+(1– t) x2) > t f (x1+(1– t) f (x2) (1.2)
f ' (0) = 0, x 0, f ' (x) > 0
f (x)在(, +)上单增.
0
x
y=x3
y
注2. f ' (x) 在(a, b)上变号, 则分区间讨论 f (x)的单调性.
PART ONE
例2.
解:
在(, 0)上, y' > 0,故函数在(, 0)上单增.
在(0, +)上, y' < 0,故函数在(0, +)上单减.
比如, y = x3, y'' =6x, 在(0,0)两边曲线凹凸性相反, 故(0,0)是一个拐点.
定理4. (必要条件)若 f '' (x)存在, 且点(x0, f (x0))是曲线 y = f (x)的拐点, 则 f '' (x0) = 0.
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《经济数学》第四章
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2、曲线凹凸的判定
y
y ? f (x) B
y y ? f (x)
B
A
oa
bx
f ?( x ) 递增 y??? 0
A
oa
bx
f ?( x ) 递减 y??? 0
定理1 如果 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二
阶导数，若在（a,b）内
（1）f ??(x) ? 0 ，则 f (x) 在[a,b]上的图形是凹的；
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y
y
观直何几
0
x
(1)
0
x
(2)
f ?(x) ? 0
f ?(x) ? 0
如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看
出，当 f ?(x) ? 0 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；
当 f ?(x) ? 0 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。
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§4.3 函数的单调性和 曲线的凹凸性
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《经济数学》第四章notonicity of function ）
现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时，
另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量 反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用 描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看 时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降” 的， 好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们 引入 了函数通“过单研调究性某”些的特概定念函。数（事实上是那些基本初等函数） 的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函 数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。 下面我们利用导数来研究函数的单调性。
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，
则该区间称为函数的单调区间 .
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例如：函数 y ? x2及 y ? x 在?? ? ,0?内单调减少， 在 ?0,?? ?内单调增加。如下图所示。
y
y ? x2
y y? x
0
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x
0
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当0 ? x ? ?? 时， f ?( x ) ? 0, ? 在[0,?? )上单调增加； 单调区间为 (?? ,0]， [0,?? ).
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4.3.2 曲线的凹凸性
观察抛物线 y ? x2与
y
y ? x，它们在区间 ?0,1?内都
是单调增加的，但弯曲的方
(2)求f ?(x)，求出f ?(x) ? 0的根及 f ?(x)不存在的点；
(3)用(2)中的点划分函数 f (x)的定义区间, 然后判断
区间内导数的符号. (4)根据定理写出结论。
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例1、确定函数
的单调区间 .
解: ? x ? (?? ,?? ).
f ?(x) ? 6x2 ? 18x ? 12 ? 6(x ? 1)(x ? 2)
令 f ?(x) ? 0 , 得 x ? 1, x ? 2.
列表讨论：
x (?? ,1) 1 (1, 2) 2 (2, ? ? )
f ?(x) ?
0?
0?
f (x)
2
1
故 的单调增区间为 (?? , 1) , (2, ? ? );
的单调减区间为 (1 , 2).
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图象的上升与
下降可用一阶导数 的符号来判定。
从P点改变 弯曲方向
同是上升(或下 降)曲线还有凹凸 之分.
凹弧的切线总是 在曲线的下方
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1、曲线凹凸性的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向 ?
定义
内各点都有切线，在切 点附近如果
凹弧，也称 ?a, b?为曲线y ? f ?x?的
1
向不一样。
这说明在研究函数的图形 时，只知道它们的单调性是不 够的，曲线的弯曲方向和弯曲 方向的转变点对我们研究函数 0 的性态也是十分重要的 . 这就 是下面讨论的凹凸性与拐点。
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y ? x2
y? x
1x
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函数图象的凹凸分析：
凸弧的切线总 是在曲线的上方
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定理（单调性的充分条件）
设函数 y ? f (x)在[a, b]内连续，在 (a,b)内可导.
（1）如果在(a,b)内f ?(x) ? 0，那么函数 y ? f (x)
在(a,b) 上单调增加； (2) 如果在(a,b)内 f ?(x) ? 0，那么函数 y ? f (x)
在 (a,b) 上单调减少.
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y
y
观直何几
0
x
(1)
0
x
(2)
f ?(x) ? 0
f ?(x) ? 0
如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看
出，当 f ?(x) ? 0 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；
当 f ?(x) ? 0 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。
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y
2 1
0
1
2
x
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例2 确定函数 f ( x ) ? 3 x 2 的单调区间 .
解 ? D : (?? ,?? ).
f ?( x ) ?
2 ,
33 x
(x ? 0)
y ? 3 x2
当x ? 0时,导数不存在.
当 ? ? ? x ? 0时，f ?( x ) ? 0, ? 在(?? ,0]上单调减少；
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3、曲线的拐点及其求法
（2）f ??(x) ? 0 ，则 f (x) 在[a,b]上的图形是凸的；
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例3、判断曲线 y ? x3的凹凸性。
解
当 时，
∴曲线在
为凸的；
当 时， ∴曲线在
为凹的。
y
y ? x3
1
?1 0 1 x
?1
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注意：点（0,0）是曲线 由凸变凹的分界点。
x
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问题 :如上例，函数在定义区间上不是单调 的，但在各个部分区间上单调．
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区 间的分界点．
定义: 使导数为零的点(即方程 f ?(x) ? 0 的实根)叫 做函数 f (x) 的驻点.
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求单调区间的步骤 :
(1)求出函数f (x)的定义域；