武汉中考数学24题专题2
专题02 整式及其运算(共37题)(原卷版)-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题02整式及其运算（37题）一、单选题1．（2023·宁夏·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．532a a -=B ．632a a a ÷=C ．()222a b a b -=-D ．()3263a b a b =2．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知3x y =，则13x +=（）A ．yB ．1y+C ．3y+D ．3y3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m ，n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m ，n ，n m -；第2次操作后得到整式串m ，n ，n m -，m -；第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（）A ．m n+B ．mC ．n m-D ．2n4．（2023·四川雅安·统考中考真题）若2210m m +-=．则2243m m +-的值是（）A ．1-B ．5-C ．5D ．3-5．（2023·四川雅安·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．235a b ab+=B ．()325a a =C ．248a a a ⋅=D ．32a a a ÷=6．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．235x x x ×=B ．()336x x =C ．()211x x x +=+D ．()222141a a -=-7．（2023·山东泰安·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．235a b ab +=B ．222()a b a b -=-C ．()3235ab a b =D ．()3253412a a a⋅-=-8．（2023·吉林长春·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．32a a a-=B ．23a a a ⋅=C ．()325a a =D ．623a a a ÷=S S>B．A．1212．（2023·江苏徐州·统考中考真题）下列运算正确的是（A．236a a a⋅=B．13．（2023·辽宁·统考中考真题）下列运算正确的是（A．23+=B．a a a2314．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）下列运算正确的是（A．235+=B．a a a18．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．236a a a ⨯=B ．235a a a +=C ．22(2)4a a -=-D ．642a a a ÷=19．（2023·河北·统考中考真题）代数式7x -的意义可以是（）A ．7-与x 的和B ．7-与x 的差C ．7-与x 的积D ．7-与x 的商20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）下列计算结果正确的是（）A ．3332a a a ⋅=B ．222853a a a -=C ．824a a a ÷=D ．()32639a a -=-21．（2023·山东东营·统考中考真题）下列运算结果正确的是（）A ．339x x x ⋅=B ．336235x x x +=C ．()32626x x =D ．()()2232349x x x+-=-22．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了()n a b +展开式的系数规律．10()1a b +=111()a b a b +=+121222()2a b a ab b +=++1331+=+++33223()33a b a a b ab b 当代数式432125410881x x x x -+-+的值为1时，则x 的值为（）A ．2B ．4-C ．2或4D ．2或4-23．（2023·四川巴中·统考中考真题）若x 满足2350x x +-=，则代数式2263x x +-的值为（）A ．5B ．7C ．10D ．13-24．（2023·河北·统考中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于129.4610km ⨯．下列正确的是（）A ．12119.4610109.4610⨯-=⨯B ．12129.46100.46910⨯-=⨯C ．129.4610⨯是一个12位数D ．129.4610⨯是一个13位数二、填空题三、解答题33．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算：()()()2234x y x y y y +---．34．（2023·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(1)a >．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为12,S S ．(1)请用含a 的式子分别表示12,S S ；当2a =时，求12S S +的值；(2)比较1S 与2S 的大小，并说明理由．。
专题02 数与式和方程的压轴真题训练(解析版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题02数与式和方程的压轴真题训练一．整式的加减（共2小题）1．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y ﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n ＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意；②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；正确的个数为3，故选：D．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．二．多项式乘多项式（共1小题）3．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣4【答案】B【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，∵m2+n2＝2+mn，∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），∴mn≥﹣，∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），∴mn≤2，∴﹣≤mn≤2，∴﹣14≤﹣7mn≤，∴﹣4≤10﹣7mn≤，即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，故选：B．方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，∴mn+2+2mn＝k2，∴mn＝k2﹣，∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，故选：B．三．零指数幂（共1小题）4．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【答案】C【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．四．有理数的乘方（共1小题）5．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘，∴YYDS（永远的神）的说法正确；∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，∴2200不等于2002，∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的尾数2，4，8，6循环，∵200÷4＝50，∴2200的个位数字是6，∴JXND（觉醒年代）说法正确；∵210＝1024，103＝1000，∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，∵1024＞1000，∴2200＞1060，∴QGYW（强国有我）说法正确；故答案为：DDDD．五．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，∴，解得：，∴x+y＝12，故选：D．六．高次方程（共1小题）7．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为．【答案】4：3【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y 元，由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），15a＝20y，∴＝，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．故答案为：4：3．七．分式方程的解（共2小题）8．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13B．15C．18D．20【答案】A【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，∵x＞0且x≠3，∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，∴a＞2且a≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y≥5，∴＜5，∴a＜7，∴2＜a＜7且a≠5，∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，故选：A．9．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：两边同时乘（x﹣1）得，2x+m＝x﹣1，解得：x＝﹣1﹣m，又∵方程的解是正数，且x≠1，∴，即，解得：，∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．故答案为：D．10．（2021•达州）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝．【答案】±1【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），整理得﹣2ax＝﹣4，整理得ax＝2，∵x，a为整数，∴a＝±1或a＝±2，∵x＝±1为增根，∴a≠±2，∴a＝±1．故答案为：±1．11．（2020•大庆）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．【答案】3【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴Δ＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故答案为3．12．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x ﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．。
武汉中考24题参考答案与试题解析
武汉中考24题参考答案与试题解析1．（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出的值．压轴题．（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立，证△DFG∽△DEA，得出=，证△CGD∽△CDF，得出=即可得出答案；（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=9证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x﹣2+（x）2=62，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴=；（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴=，∴=，∴=，即当∠B+∠EGC=180°时，=成立．（3）解：=．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM=CN，AN=CM，∵在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM∽△DCN，∴=，∴=，∴CM=x，在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM﹣AB=x﹣6，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，∴（x﹣6）2+（x）2=62，x=0（舍去），x=，CN=，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF=90°，∴△AED∽△NFC，∴===．2．（2012•武汉）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．作图题；压轴题．（1）作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM=∠B，利用相似可得的长；（2）①AC为两直角边长为4，8的直角三角形的斜边，2为两直角边长为2，4的两直角三角形的斜②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那共有8个．解：（1）①∵△AMN∽△ABC，∴=∵M为AB中点，AB=2，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②∵△AMN∽△ACB，∴=，∵BC=6，AC=4，AM=，∴MN=1.5；（2）①如图所示：②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．3．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．压轴题．（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==从而得出答案．（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴=，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得==，∴×=•，∴（）2=•，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．4．（2010•武汉）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．压轴题．（1）过D作BO的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△PDE和△P 中，ED：BC=PE：PC，再根据C是BO的中点，可以求出PE：PC=1：2，再根据三角形中位线定理，点是AC的中点，利用比例变形即可求出AP与PC的比值等于2；（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再过D作DF⊥AC于F，设AD为a，利用勾股定理求出AC等2a，再利用相似三角形对应边成比例求出DF、AF的值，而PF=AC﹣AF﹣PC，也可求出，又∠BPC与∠F 是对顶角，所以其正切值便可求出．（3）根据（2）的方法，把相应数据进行代换即可求出．解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，∵D为OA中点，∴AE=CE=，，∵点C为OB中点，∴BC=CO，，∴，∴PC==，∴=2；（2）过点D作DE∥BO交AC于E，∵，∴==，∵点C为OB中点，∴，∴，∴PC==，过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，∵OA=OB，点C为OB中点，∴CO=2a，在Rt△ACO中，AC===2a，又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，∴AF=，DF=，PF=AC﹣AF﹣PC=2a﹣﹣=，tan∠BPC=tan∠FPD==．（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=a，PF=a，所以tan∠BPC=．5．（2009•武汉）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．几何综合题；压轴题．（1）要求证：△ABF∽△COE，只要证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．（2）作OH⊥AC，交BC于H，易证△ABF≌△COE，进而证明△ABF∽△HOF，根据相似三角形的对应边的比等，即可得出所求的值．同理可得（3）=n．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°，∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE．∴△ABF∽△COE．（2）解：过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．∴∠AFB=∠OEC，∴∠AFO=∠HEO，而∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO，∴△OEH∽△OFA，∴OF：OE=OA：OH又∵O为AC的中点，OH∥AB．∴OH为△ABC的中位线，∴OH=AB，OA=OC=AC，而，∴OA：OH=2：1，∴OF：OE=2：1，即=2；（3）解：=n．6．（2010•大田县）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）压轴题；动点型．（1）由正方形的性质证得△BQP≌△PFE，从而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，故PA=PG，PC=CF，易得PA=EF，进而得到PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；（2）同（1）证得DF=EF，三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE．解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，∵∠BQP=∠PFE=90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP=EF，∵AQ=DF，∴DF=EF；②如图2，过点P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，∵四边形DFPG为矩形，∴PA=PG，PC=CF，∵PG=DF，DF=EF，∴PA=EF，∴PC=CF=（CE+EF）=CE+EF=CE+PA，即PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE．如图3：①∵PB⊥PE，BC⊥CE，∴B、P、C、E四点共圆，∴∠PEC=∠PBC，在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴∠PBC=∠PDC，∴∠PEC=∠PDC，∵PF⊥DE，∴DF=EF；②同理：PA=PG=DF=EF，PC=CF，∴PA=EF=（CE+CF）=CE+CF=CE+PC即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC=CE．7．（2007•武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F．（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=60°；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB=45°；（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB=90°（用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤．在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°+．请你任选其中一个结论证明．压轴题；探究型．（1）由题意易得△ABC∽△EDC，进一步证得△BCD∽△ACE，进而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=60°，同理可得，∠AFB的大小；（2）同（1）的证明可得；（3）图四，由前面步骤可得∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB=90°图5，与前面步骤相同，可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED，代入数据求大小．解：（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD，=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=90°﹣，∴∠AFB=90°﹣．故答案为：∠AFB=90°．（3）图4中：∠AFB=90°；图5中：∠AFB=90°+．∠AFB=90°的证明如下：∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD，=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=90°﹣，∴∠AFB=90°﹣．∠AFB=90°+的证明如下：∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，=∠CDE+∠CED=180°﹣∠DCE，∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，∴∠DCE=90°﹣，∴∠AFB=180°﹣（90°﹣）=90°+．。
2024年中考数学真题汇编专题二 有理数及其运算+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题二 有理数及其运算+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P 表示的数是（ ）A ．1−B ．0C ．1D ．22．（2024·四川遂宁·中考真题）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（ ）A ．60.6210⨯B ．66.210⨯C ．56.210´D ．56210⨯3．（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.401510⨯B ．64.01510⨯C ．540.1510⨯D ．34.01510⨯4．（2024·河南·中考真题）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）A ．8578410⨯B ．105.78410⨯C ．115.78410⨯D ．120.578410⨯ 5．（2024·河南·中考真题）计算3···a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个的结果是（ ） A ．5a B ．6a C ．3a a + D ．3a a6．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.0810⨯B ．60.810⨯C ．5810⨯D ．48010⨯7．（2024·四川乐山·中考真题）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）A ．8410⨯B ．9410⨯C ．10410⨯D ．11410⨯8．（2024·广西·中考真题）广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次．将849000000用科学记数法表示为（ ）A ．90.84910⨯B ．88.4910⨯C ．784.910⨯D ．684910⨯ 9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）实数12025−的相反数是（ ） A ．2025 B ．2025− C ．12025− D ．1202510．（2024·甘肃临夏·中考真题）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ）A ．82.710⨯B ．100.2710⨯C ．92.710⨯D ．82710⨯11．（2024·吉林·中考真题）长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯12．（2024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是（ ）A ．2024B ．2024−C ．12024D ．12024− 13．（2024·重庆·中考真题）下列各数中最小的数是（ ）A ．1−B ．0C ．1D ．214．（2024·广东·中考真题）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ）A ．43.8410⨯B ．53.8410⨯C ．63.8410⨯D ．538.410⨯15．（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ）A ．2−B ．0C ．3D ．12− 16．（2024·四川德阳·中考真题）下列四个数中，比2−小的数是（ ）A ．0B ．1−C ．12−D ．3−17．（2024·四川广安·中考真题）下列各数最大的是（ ）A ．2−B ．12−C ．0D ．118．（2024·云南·中考真题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作（ ）A ．100米B ．100−米C ．200米D ．200−米19．（2024·四川广元·中考真题）将1−在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）A ．1−B ．1C ．3−D ．320．（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：553025.827−−−+，，，，，，负数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个21．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）A ．3−B ．1C ．2D ．322．（2024·湖北·中考真题）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入20元记作20+元，则支出10元记作（ ）A ．10+元B ．10−元C ．20+元D ．20−元23．（2024·湖南·中考真题）在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A ．180+元B ．300+元C ．180−元D ．480−元24．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）A ．B ．C ．D ． 25．（2024·广东广州·中考真题）四个数10−，1−，0，10中，最小的数是（ ）A ．10−B ．1−C ．0D ．1026．（2024·贵州·中考真题）下列有理数中最小的数是（ ）A ．2−B ．0C ．2D ．427．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）A ．北京B ．济南C ．太原D ．郑州 28．（2024·四川内江·中考真题）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（ ）A ．44.9110⨯B ．54.9110⨯C ．64.9110⨯D ．74.9110⨯29．（2024·广西·中考真题）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）A ．B ．C ．D ．30．（2024·福建·中考真题）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）A ．696110⨯B ．2696.110⨯C ．46.96110⨯D ．50.696110⨯31．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（ ）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯32．（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（ ）A ．50.310⨯B ．60.310⨯C ．5310⨯D ．6310⨯33．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度GDP 为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（ ）A ．920.13710⨯B ．80.2013710⨯C ．92.013710⨯D ．82.013710⨯34．（2024·吉林·中考真题）若()3−⨯的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1−35．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（ ）A ．95.210⨯B ．110.5210⨯C ．95210⨯D ．105.210⨯36．（2024·内蒙古包头·中考真题）若,m n 互为倒数，且满足3m mn +=，则n 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．437．（2024·四川内江·中考真题）下列四个数中，最大数是（ ）A ．2−B ．0C ．1−D ．338．（2024·甘肃·中考真题）下列各数中，比2−小的数是（ ）A ．1−B ．4−C ．4D ．139．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋454g ．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）A ．7+B ．5−C ．3−D ．1040．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a b b +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（ ）A ．a b +B ．a b −C ．abD ．a b −二、填空题41．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为 ．42．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作121−年，那么公元后2024年应记作 年． 43．（2024·湖北·中考真题）写一个比1−大的数 ．44．（2024·湖南·中考真题）计算：()2024−−= ．45．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2记作 ℃．46．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2−，1−，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可）47．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 ．48．（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示） 49．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是1810−秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为秒．50．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。
2017武汉中考数学第24题分析及备考建议
总结
对于第24题压轴题，它的特点就是题量大，分值多， 知识点多，关系复杂，解法灵活，条件隐蔽。很多同学 光是扫了一眼，就自动打了退堂鼓，觉得自己能力有限， 肯定做不出。但是如果真的就此放弃中考数学压轴题， 那就亏大了。
常见技巧
技巧2：利用条件或结论的多变性，运用需要的图形或基本图形
常见技巧
技巧4：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的 方法或结论
常见技巧
技巧5：分题得分。
常见技巧
技巧6：分步得分。
切值相等得到角
度相等，从而证 出平行得5分。
复习建议
24题第2问应该是我们学生尽力争取的分数（按步 骤给分），考查方程与不等式，表面是证平行，其实 考查一次函数与二次函数求交点，解方程的思想。
此题要求学生对一次函数经过一点设含参数解析 式要非常熟练，学生对在含参数情况下的一次函数与 二次函数求交点坐标的能力我认为还需要加强。
2017武汉中考数学第24题 分析及备考建议
武汉市青山中学 陈思
2017武汉中考数学第24题
2017武汉中考数学第24题评分标准
24题第1问3分，按照评分标准本应是写出最后结 果才有3分，但试改一段时间后，发现很多同学即使是 解对了系数，代进二次函数解析式中仍错，后来阅卷 组长经过沟通，决定算对a,b的系数给1分。
我认为大家可以从以下几个方面训练： 基础：抛物线的顶点、对称轴、最值等； 模型：对称模型、相似模型、面积模型等； 技巧：复杂问题简单化、运动问题静止化、一般 问题特殊化等； 思想：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结 合思想、划归思想等； 计算：特别是含参数。
2024年湖北武汉市中考数学试题+答案详解
2024年湖北武汉市中考数学试题+答案详解（试题部分）亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟．2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效．5．认真阅读答题卡上的注意事项．预祝你取得优异成绩！一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A. 随机事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 确定性事件3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A. B. C. D.4. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A. 50.310⨯B. 60.310⨯C. 5310⨯D. 6310⨯5. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. ()1432a a =C. ()2236a a =D. ()2211a a +=+ 6. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（ ）A. B. C. D. 7. 小美同学按如下步骤作四边形ABCD ：①画MAN ∠；②以点A 为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，D ；③分别以点B ，D 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C ；④连接BC ，CD ，BD ．若44A ∠=︒，则CBD ∠的大小是（ ）A. 64︒B. 66︒C. 68︒D. 70︒8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. 19 B. 13 C. 49 D. 599. 如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O的半径是（ ）A. 3B. 3C. 2D. 210. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =−+−的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++的值是（ ）A. 1−B. 0.729−C. 0D. 1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作_________℃．12. 某反比例函数k y x =具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是__________．13. 分式方程131x x x x +=−−的解是______． 14. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是__________m ．（参考数据：tan632︒≈）15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E ，F ，记正方形ABCD 的面积为1S ，正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>，则用含k 的式子表示12S S 的值是___________．16. 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤． 其中正确的是__________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17. 求不等式组3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②的整数解． 18. 如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，AF CE =．（1）求证：C ABE DF ≌△△；（2）连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由） 19. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m ，n 的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．20. 如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D ，底边BC 与半圆O 交于E ，F 两点．（1）求证：AB 与半圆O 相切；（2）连接OA ．若4CD =，2CF =，求sin OAC ∠的值．21. 如图是由小正方形组成的34⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD 交BC 于点D ，使AD 平分ABC 的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD 上画点E ，使ECB ACB ∠=∠；（3）在图（2）中，先画点F ，使点A 绕点F 顺时针旋转90︒到点C ，再画射线AF 交BC 于点G ； （4）在（3）的基础上，将线段AB 绕点G 旋转180︒，画对应线段MN （点A 与点M 对应，点B 与点N 对应）．22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．23. 问题背景：如图（1），在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接BD ，EF ，求证：BCD FBE ∽△△．问题探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 在边BC 上，2AD CF =，EF 与BD 交于点G ，求证：BG FG =．问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG ，AD CD =，AG FG =，直接写出EG GF 的值．24. 抛物线215222y x x =+−交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的右边），交y 轴于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图（1），连接AC ，BC ，过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥，交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ，求点P 的坐标；（3）如图（2），点D 与原点O 关于点C 对称，过原点的直线EF 交抛物线于E ，F 两点（点E 在x 轴下方），线段DE 交抛物线于另一点G ，连接FG ．若90EGF ∠=︒，求直线DE 的解析式．2024年湖北武汉市中考数学试题+答案详解（答案详解）亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项：1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时120分钟．2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效．5．认真阅读答题卡上的注意事项．预祝你取得优异成绩！一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A. 随机事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 确定性事件【答案】A【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，故选：A ．3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可．【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，故选：B ．4. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（ ）A. 50.310⨯B. 60.310⨯C. 5310⨯D. 6310⨯【答案】C【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．【详解】解：5300000310=⨯，故选：C ．5. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. ()1432a a =C. ()2236a a =D. ()2211a a +=+ 【答案】B【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B. ()4312a a =，故该选项正确，符合题意；C. ()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. ()22121a a a +=++，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．6. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t 的函数关系的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D ．7. 小美同学按如下步骤作四边形ABCD ：①画MAN ∠；②以点A 为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，D ；③分别以点B ，D 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C ；④连接BC ，CD ，BD ．若44A ∠=︒，则CBD ∠的大小是（ ）A. 64︒B. 66︒C. 68︒D. 70︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD 是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：作图可得AB AD BC DC === ∴四边形ABCD 是菱形， ∴,AD BC ABD CBD ∠=∠ ∵44A ∠=︒，∴44MBC A ∠=∠=︒， ∴()()11180180446822CBD MBC ∠=︒−∠=︒−︒=︒， 故选：C ．8. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A.19B.13C.49D.59【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示，共有9种情况，至少一辆车向右转有5种， ∴至少一辆车向右转的概率是59， 故选：D ．9. 如图，四边形ABCD 内接于O ，60ABC ∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒，2AB AD +=，则O的半径是（ ）A.B.C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】延长AB 至点E ，使BE AD =，连接BD ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接AF ，即可证得()SAS ADC EBC ≌，进而可求得cos 45AC AE =︒⋅=，再利用圆周角定理得到60AFC ∠=︒，结合三角函数即可求解．【详解】解：延长AB 至点E ，使BE AD =，连接BD ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ADC ABC ABC CBE ∠+∠=∠+∠=︒ ∴ADC CBE ∠=∠ ∵45BAC CAD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒ ∴BD 是O 的直径，∴90DCB ∠=︒∴DCB △是等腰直角三角形， ∴DC BC = ∵BE AD =∴()SAS ADC EBC ≌ ∴ACD ECB ∠=∠，AC CE =, ∵2AB AD += ∴2AB BE AE +== 又∵90DCB ∠=︒ ∴90ACE ∠=︒∴ACE △是等腰直角三角形∴cos 45AC AE =︒⋅=∵60ABC ∠=︒ ∴60AFC ∠=︒ ∵90FAC ∠=︒∴sin 603AC CF ==︒∴123OF OC CF ===故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数32331y x x x =−+−的图象，发现它关于点()1,0中心对称．若点()110.1,A y ，()220.2,A y ，()330.3,A y ，……，()19191.9,A y ，()20202,A y 都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则1231920y y y y y +++++的值是（ ）A. 1−B. 0.729−C. 0D. 1【答案】D 【解析】【分析】本题坐标规律，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出123911190y y y y y y +++++=，进而转化为求1020y y +，根据题意可得100y =，201y =，即可求解． 【详解】解：∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1， ∴0.1 1.90.2 1.80.9 1.11222+++==⋅⋅⋅=， ∴123911190y y y y y y +++++=，∴12319201020y y y y y y y +++++=+，而()101,0A 即100y =，∵32331y x x x =−+−， 当0x =时，1y =−，即()0,1−，∵()0,1−关于点()1,0中心对称的点为()2,1， 即当2x =时，201y =， ∴12319201020011y y y y y y y +++++=+=+=，故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作_________℃． 【答案】2− 【解析】【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：零上3℃记作3+℃，则零下2℃记作2−℃．， 故答案为：2−． 12. 某反比例函数ky x=具有下列性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小，写出一个满足条件的k 的值是__________．【答案】1（答案不唯一） 【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可． 【详解】解：∵当0x >时，y 随x 的增大而减小， ∴0k >故答案为：1（答案不唯一）． 13. 分式方程131x x x x +=−−的解是______． 【答案】3x =− 【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以()()31x x −−完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案． 【详解】解：131x x x x +=−−， 等号两边同时乘以()()31x x −−，得 ()()()131x x x x −=−+， 去括号，得 2223x x x x −=−−， 移项、合并同类项，得 3x =−， 经检验，3x =−是该分式方程的解， 所以，该分式方程的解为3x =−． 故答案为：3x =−．14. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是__________m ．（参考数据：tan632︒≈）【答案】51 【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，根据tan632︒≈，求出51m DC AD =≈，即可求解．【详解】解：延长BA 交距水平地面102m 的水平线于点D ，如图，由题可知，102m BD =， 设AD x =， ∵45DCA ∠=︒ ∴DC AD x == ∴102tan632BD DC x︒==≈ ∴51m DC AD =≈∴1025151m AB BD AD =−=−≈ 故答案为：51．15. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD ．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点E ，F ，记正方形ABCD 的面积为1S ，正方形MNPQ 的面积为2S ．若(1)BE kAE k =>，则用含k 的式子表示12S S 的值是___________．【答案】221(1)k k +− 【解析】【分析】作EG AN ⊥交AN 于点G ，不妨设MN a =，设1EG =，通过四边形MNPQ 是正方形，推出45EMG PMN ∠=∠=︒，得到1EG MG ==，然后证明AEG ABN ∽，利用相似三角形对应边成比例，得到111AE AG AB BN AN k ===+，从而表示出AG ，MN 的长度，最后利用2122AB BN AN S ==+和222S MN a ==表示出正方形ABCD 和MNPQ 的面积，从而得到12S S ． 【详解】解：作EG AN ⊥交AN 于点G ，不妨设MN a =，设1EG =四边形MNPQ 是正方形45PMN ∴∠=︒45EMG PMN ∴∠=∠=︒1EG MG ∴==在AEG △和ABN 中，EAG BAN ∠=∠，90AGE ANB ∠=∠=︒AEG ABN ∴∽AE EG AGAB BN AN∴== (1)BE kAE k =>(1)AB AE BE AE k ∴=+=+ 111AE AG AB BN AN k ∴===+ 1BN k ∴=+由题意可知，ABN DAM △≌△1BN AM k ∴==+11AG AM GM k k ∴=−=+−=111AG AG k AN AM MN k a k ∴===++++ 21a k ∴=−2211AN AG GM MN k k k k ∴=++=++−=+∴正方形ABCD 的面积222221222(1)()(1)(1)S AB BN AN k k k k k ==+=+++=++，正方形MNPQ 的面积2222222(1)(1)(1)S MN a k k k ===−=+−222221(1)(1)(1)(1)k k k k S S +++−∴= 1k >2(1)0k ∴+≠ 22121(1)k S S k +−∴= 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．16. 抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解； ④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤． 其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴11022m−+−<<，即可判断①，根据()1,1−，(),1m 两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过()1,1−得出2c b =+，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴111224m −+−<≤−，解不等式，即可求解．【详解】解：∵2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．∴对称轴为直线122b mx a −+=−=， 11022m −+−<<， ∵02bx a=−<，a<0 ∴0b <，故①错误， ∵01m <<∴()11m −−>，即()1,1−，(),1m 两点之间的距离大于1 又∵a<0∴1x m =−时，1y >∴若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>，故②正确； ③由①可得11022m −+−<<， ∴1022b−<<，即10b −<<， 当1a =−时，抛物线解析式为2y x bx c =−++设顶点纵坐标为224444ac b c b t a −−−==− ∵抛物线2y x bx c =−++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，∴11b c −−+= ∴2c b =+∴()222224411122144444c b b c t b c b b b −−+===+=++=++−∵10b −<<，104−>，对称轴为直线2b =−，∴当0b =时，t 取得最大值为2，而0b <，∴关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无解，故③正确；④∵a<0，抛物线开口向下，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上， 1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，又12124x x x +=>−， ∴点()11,A x y 离14x =−较远，∴对称轴111224m −+−<≤− 解得：102m <≤，故④正确． 故答案为：②③④．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17. 求不等式组3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②的整数解．【答案】整数解为：1,0,1− 【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解：3121x x x +>⎧⎨−≤⎩①②解不等式①得：2x >− 解不等式②得：1x ≤∴不等式组的解集为：21x −<≤， ∴整数解为：1,0,1−18. 如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，AF CE =．（1）求证：C ABE DF ≌△△；（2）连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】（1）见解析 （2）添加AF BE =（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出AB CD =，B D ∠=∠，结合已知条件可得DF BE =，即可证明C ABE DF ≌△△；（2）添加AF BE =，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AD BC =，B D ∠=∠，∵AF CE =，∴AD AF BC CE −=−即DF BE =，在ABE 与CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE CDF ≌；【小问2详解】添加AF BE =（答案不唯一）如图所示，连接EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，即AF BE ∥，当AF BE =时，四边形ABEF 是平行四边形．19. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m 名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m ，n 的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．【答案】（1）60m =，15n =，众数为3分（2）该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人【解析】【分析】本题考查了样本估计总体，求众数，频数分布表与扇形统计图；（1）根据成绩为2分的人数除以占比，求得m 的值，根据成绩为3分的人数的占比，求得18a =，进而求得9b =，即可得出n 的值；（2）根据得分超过2分的学生的占比乘以900，即可求解．【小问1详解】解：依题意，156025%m ==（人），6030%18a =⨯=（人），6012181569b =−−−−=（人），∴9%100%15%60n =⨯=， ∴15n =，∵3分的人数为18个，出现次数最多，∴众数为3分，【小问2详解】 解：181290045060+⨯=（人） 答：该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数为450人.20. 如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D ，底边BC 与半圆O 交于E ，F 两点．（1）求证：AB 与半圆O 相切；（2）连接OA ．若4CD =，2CF =，求sin OAC ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）45 【解析】【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）连接OA 、OD ，作ON AB ⊥交AB 于N ，根据等腰三角形三线合一可知，AO BC ⊥，AO 平分BAC ∠，结合AC 与半圆O 相切于点D ，可推出ON OD =，得证；（2）由题意可得出OAC COD ∠=∠，根据OF OD =，在Rt ODC △中利用勾股定理可求得OD 的长度，从而得到OC 的长度，最后根据CD sin OAC sin COD OC∠=∠=即可求得答案． 【小问1详解】证明：连接OA 、OD ，作ON AB ⊥交AB 于N ，如图ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点AO BC ∴⊥，AO 平分BAC ∠ AC 与半圆O 相切于点DOD AC ∴⊥由ON AB ⊥ON OD ∴=AC ∴是半圆O 的切线【小问2详解】解：由（1）可知AO BC ⊥，OD AC ⊥90AOC ∴∠=︒，90ODC ∠=︒18090OAC OCA AOC ∴∠+∠=︒−∠=︒，18090COD OCA ODC ∠+∠=︒−∠=︒OAC COD ∴∠=∠sin sin CD OAC COD OC ∴∠=∠=又OF OD =，2CF =∴在Rt ODC △中，4CD =，2OC OF FC OD =+=+222OC CD OD =+，∴222(2)4OD OD +=+解得：3OD =442325CD CD sin OAC sin COD OC OD ∴∠=∠====++ 21. 如图是由小正方形组成的34⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD 交BC 于点D ，使AD 平分ABC 的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD 上画点E ，使ECB ACB ∠=∠；（3）在图（2）中，先画点F ，使点A 绕点F 顺时针旋转90︒到点C ，再画射线AF 交BC 于点G ； （4）在（3）的基础上，将线段AB 绕点G 旋转180︒，画对应线段MN （点A 与点M 对应，点B 与点N 对应）．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析 （3）作图见解析（4）作图见解析【解析】【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．（1）作矩形HBIC ，对角线HI 交BC 于点D ，做射线AD ，即可；（2）作OP BC ∥,射线AR OP ⊥于点Q ，连接CQ 交AD 于点E ，即可；（3）在AC 下方取点F ，使AF CF ==ACF △是等腰直角三角形，连接CF ， AF ，AF 交BC于点G ，即可；（4）作OP BC ∥，交AG 于点M ，作ST AG ∥，交BC 于点N ，连接MN ，即可．【小问1详解】如图，作线段HI ，使四边形HBIC 是矩形，HI 交BC 于点D ，做射线AD ，点D 即为所求作； 【小问2详解】如图，作OP BC ∥,作AR OP ⊥于点Q ，连接CQ 交AD 于点E ，点E 即为作求作；【小问3详解】如图，在AC 下方取点F ，使AF CF ==CF ，连接并延长AF ，AF 交BC 于点G ，点F ，G即为所求作；【小问4详解】如图，作OP BC ∥，交射线AG 于点M ，作ST AG ∥，交BC 于点N ，连接MN ，线段MN 即为所求作．22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．【答案】（1）①115a =−，8.1b =；②8.4km （2）2027a −<< 【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）①将()9,3.6代入即可求解；②将2115y x x =−+变为2115151524y x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭，即可确定顶点坐标，得出 2.4km y =，进而求得当 2.4km y =时，对应的x 的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km ，求得227a =−，即可求解． 【小问1详解】解：①∵火箭第二级的引发点的高度为3.6km∴抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+均经过点()9,3.6 ∴3.6819a =+，13.692b =−⨯+ 解得115a =−，8.1b =． ②由①知，18.12y x =−+，2115y x x =−+ ∴22111515151524y x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭ ∴最大值15km 4y = 当15 1.35 2.4km 4y =−=时， 则21 2.415x x −+= 解得112x =，23x =又∵9x =时， 3.6 2.4y =>∴当 2.4km y =时， 则418. 2.12x +=− 解得11.4x =()11.438.4km −=∴这两个位置之间的距离8.4km ．【小问2详解】解：当水平距离超过15km 时，火箭第二级的引发点为()9,819a +，将()9,819a +，()15,0代入12y x b =−+，得 181992a b +=−⨯+，10152b =−⨯+ 解得7.5b =，227a =− ∴2027a −<<． 23. 问题背景：如图（1），在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接BD ，EF ，求证：BCD FBE ∽△△．问题探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，点E 是AB 的中点，点F 在边BC 上，2AD CF =，EF 与BD 交于点G ，求证：BG FG =．问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG ，AD CD =，AG FG =，直接写出EG GF的值．【答案】 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得90AB CD EBF C =∠=∠=︒，，根据点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，可得12BE BF AB BC ==，即可得证；。
2022年湖北武汉中考数学试题及答案详解
2022年湖北武汉中考数学试题及答案详解（试题部分）一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.实数2 022的相反数是()A.－2 022B.－12 022C.12 022D.2 0222.彩民李大叔购买1张彩票，中奖.这个事件是()A.必然事件B.确定性事件C.不可能事件D.随机事件3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。
下列汉字是轴对称图形的是()A B C D4.计算(2a4)3的结果是()A.2a12B.8a12C.6a7D.8a75.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是()A B C D6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y=6x的图象上，且x1<0<x2，则下列结论一定正确的是()A.y1+y2<0B.y1+y2>0C.y1<y2D.y1>y27.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满。
在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)。
这个容器的形状可能是()A B C D8. 班长邀请A ，B ，C ，D 四位同学参加圆桌会议。
如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A ，B 两位同学座位相邻的概率是( )A .14B .13C .12D .23 9. 如图，在四边形材料ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =9 cm ，AB =20 cm ，BC =24 cm 。
现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )A .11013 cmB .8 cmC .6√2 cmD .10 cm10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格。
将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方。
图(2)是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是 ( )A .9B .10C .11D .12二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11. 计算√(−2)2的结果是 .12. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表。
专题24 手拉手模型问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题24 手拉手模型问题【规律总结】特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：【典例分析】例1．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∥AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，△ACB=△DCE=60°，从而证出△ACD△△BCE，可推知AD=BE；③由△ACD△△BCE得△CBE=△DAC，加之△ACB=△DCE=60°，AC=BC，得到△ACP△△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；②根据②△CQB△△CPA（ASA），再根据△PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由△PQC=△DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④根据△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，可知△DQE≠△CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC△DE，再根据平行线的性质得到△CBE=△DEO，于是△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°，可知⑤正确．【详解】①△等边△ABC和等边△DCE，△BC=AC,DE=DC=CE，△DEC=△BCA=△DCE=60△，△△ACD=△BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，△ACD=△BCE，DC=CE，△△ACD△△BCE(SAS)，△AD=BE；故①正确；③△△ACD△△BCE(已证)，△△CAD=△CBE，△△ACB=△ECD=60°(已证)，△△BCQ=180°-60°×2=60°，△△ACB=△BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，△CAD=△CBE，AC=BC，△ACB=△BCQ=60°，△△ACP△△BCQ(ASA)，△AP=BQ；故③正确；②△△ACP△△BCQ，△PC=QC，△△PCQ是等边三角形，△△CPQ=60△，△△ACB=△CPQ，△PQ△AE；故②正确；④△AD=BE，AP=BQ，△AD−AP=BE−BQ，即DP=QE，△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ，△CDE=60°，△△DQE≠△CDE，则DP≠DE ，故④错误；⑤△△ACB=△DCE=60°，△△BCD=60°，△等边△DCE ，△EDC=60°=△BCD ，△BC△DE ，△△CBE=△DEO ，△△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．例2．（2020·武汉市二桥中学八年级月考）在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AD 的右恻作等边ADE ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【分析】以AC 为边向左作等边三角形ACF ，连接DF ，先根据直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半求出BC 的长，再由勾股定理求出AC 的长，根据作的辅助线证明()ACE AFD SAS ≅，则CE DF =，当DF BC ⊥时，DF 的长是最小的，即CE 的长最小，求出此时CD '的长即可．【详解】解：如图，以AC 为边向左作等边三角形ACF ，连接DF ，△90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，△30BAC ∠=︒，△4AB =， △122BC AB ==， △2223AC AB BC ，△ACF 是等边三角形，△CF AC AF ===60FAC ∠=︒，△ADE 是等边三角形，△AD AE =，60DAE ∠=︒，△FAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，△CAE FAD ∠=∠，在ACE △和AFD 中，AC AF CAE FAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS ≅，△CE DF =，当DF BC ⊥时，DF 的长是最小的，即CE 的长最小，△906030FCD '∠=︒-︒=︒，Rt CFD '，△12D F CF '==3CD '=， △当线段CE 的长度最小时，则线段CD 的长度为3．故答案是：3．【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及掌握有30角的特殊直角三角形的性质和等边三角形的性质．例3．（2021·北京房山区·八年级期末）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．（1）如图1，点D 为BC 边上一点，连接AD ，以AD 为边作Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，连接EC ．直接写出线段BD 与CE 的数量关系为 ，位置关系为 ． （2）如图2，点D 为BC 延长线上一点，连接AD ，以AD 为边作Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，连接EC ．①用等式表示线段BC ，DC ，EC 之间的数量关系为 ．②求证：2222BD CD AD +=．（3）如图3，点D 为ABC 外一点，且45ADC ∠=︒，若13BD =，5CD =，求AD 的长．【答案】（1）BD CE =，BD CE ⊥；（2）①BC DC EC +=，②见解析；（3）【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到45B ACB ∠=∠=︒，根据题意可知BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，再利用SAS 证明BAD △CAE ，可得到BD CE =，45ABC ACE ∠=∠=︒，从而算出BCE ∠的度数，进而得到线段BD 与CE 的位置关系；（2）①根据角度的运算得到BAD CAE ∠=∠，再利用SAS 证得BAD △CAE ，得到BD CE =，再根据BD BC CD =+，等量代换即可求出答案；②由①中BAD △CAE ，得到BD CE =，ABC ACE ∠=∠，在根据等腰直角三角形的性质即可得出ACE ∠的度数，进而证得90BCE DCE ∠=∠=︒，根据勾股定理得到222AE AD DE +=，222CE CD DE +=，等量代换后得到2222AE AD CE CD +=+，又因为AE AD =，BD CE =，代入即可得出答案；（3）过点A 作AE AD ⊥，并且AE AD =，连接DE ，CE ，得到ADE 是等腰直角三角形，由（2）得BAD △CAE ，得到BD CE =，在Rt CDE △中，通过勾股定理求出DE 的长度，在Rt ADE △中又由勾股定理得：222AE AD DE +=，再根据AE AD =，代入数据即可求出AD 的长度．【详解】（1）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =， ∴45B ACB ∠=∠=︒，90DAE ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD △CAE ()SAS ，∴BD CE =，45ABC ACE ∠=∠=︒，∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒，∴BD CE ⊥．故答案为：BD CE =，BD CE ⊥．（2）①90BAC ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD △CAE ()SAS ，∴BD CE =，BD BC CD =+，∴BC DC EC +=．故答案为：BC DC EC +=．②证明：由①得：BAD △CAE ，∴BD CE =，ABC ACE ∠=∠，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，∴45ACE ABC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90BCE DCE ∠=∠=︒，在Rt ADE △和Rt ECD △中，由勾股定理得：222AE AD DE +=，222CE CD DE +=， ∴2222AE AD CE CD +=+，AE AD =，BD CE =，∴2222AD BD CD =+，即2222BD CD AD +=．（3）过点A 作AE AD ⊥，并且AE AD =，连接DE ，CE ，如图，∴ADE 是等腰直角三角形，∴45ADE ∠=︒，45ADC ∠=︒，∴90CDE ∠=︒，由（2）中②可知，BAD △CAE ，∴BD CE =，13BD =，5CD =，∴13CE =，在Rt CDE △中，由勾股定理得：222DE CD CE +=， ∴12DE =，在Rt ADE △中，由勾股定理得：222AE AD DE +=， ∴22144AD =， ∴AD =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线找出两个三角形全等．【好题演练】一、单选题1．（2020·哈尔滨市第六十九中学校八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、F 是射线BC 上两点，且AD AF ⊥，若AE AD =，15BAD CAF ∠=∠=︒；则下列结论中正确的有（ ）①CE BF ⊥；②ABD ACE △≌△；③ABC ADCE S S =四边形△；④122BC EF AD CF -=- A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】由AD△AF ，△BAD=△CAF ，得出△BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出△B=△ACB=45°，由SAS证得△ABD△△ACE （SAS ），得出BD=CE ，△B=△ACE=45°，S △ABC =S 四边形ADCE ，则△ECB=90°，即EC△BF ，易证△ADF=60°，△F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD ，DF=2AD ，则BD=12EF ，由BC -BD=DF -CF ，得出BC -12EF=2AD -CF ，即可得出结果． 【详解】△AD△AF ，△BAD=△CAF ，△△BAC=90°，△AB=AC ，△△B=△ACB=45°，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， △△ABD△△ACE （SAS ），△BD=CE ，△B=△ACE=45°，S △ABC =S 四边形ADCE ，△△ECB=90°，△EC△BF ，△△B=45°，△BAD=15°，△△ADF=60°，△△F=30°，△EF=2CE=2BD ，DF=2AD ， △BD=12EF ， △BC -BD=DF -CF ， △BC -12EF=2AD -CF ， △①、②、③、④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 2．（2020·嵊州市三界镇中学八年级期中）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE ．下列结论中：（1）CE BD =，（2）ADC 是等腰直角三角形，（3）ADB AEB ∠=∠，（4）BCDE 1=2S BD CE ⋅四边形，（5）2222BC DE BE CD +=+． 正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得AB =AC ，AD =AE ，然后求出△BAD =△CAE ，再利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =BD ，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得△ABD =△ACE ，从而求出△BCG +△CBG =△ACB +△ABC =90°，再求出△BGC =90°，从而得到BD △CE ，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC 2+DE 2，BE 2+CD 2，得到⑤正确；再求出AE △CD 时，△ADC =90°，判断出②错误；△AEC 与△AEB 不一定相等判断出③错误．【详解】△△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△AB =AC ，AD =AE ．△△BAC =△DAE =90°，△△BAC +△CAD =△DAE +△CAD，△△BAD =△CAE ，在△ABD和△ACE中，△AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD△△ACE(SAS)，△CE=BD，故①正确；△△ABD△△ACE，△△ABD=△ACE，△△BCG+△CBG=△ACB+△ABC=90°，在△BCG中，△BGC=180°﹣(△BCG+△CBG)=180°﹣90°=90°，△BD△CE，△S四边形BCDE12=BD•CE，故④正确；由勾股定理．在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，△BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，△BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，△BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；只有AE△CD时，△ADC=△DAE=90°，无法说明AE△CD，故②错误；△△ABD△△ACE，△△ADB =△AEC ．△△AEC 与△AEB 相等无法证明，△△ADB =△AEB 不一定成立，故③错误；综上所述：正确的结论有①④⑤共3个．故选：C ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解答本题的关键．二、填空题3．（2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图，在ABC 中，45ABC ︒∠=，3AB =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点F ．1AE =，连接DE ，将AED 沿直线AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF ，连接DF ．过点D 作DG DE ⊥交BE 于点G ，则四边形DFEG 的周长为________．【答案】2【分析】先证BDG DE ∆≅∆，得出1AE BG ==，再证DGE ∆与EDF ∆是等腰直角三角形，在直角AEB ∆中利用勾股定理求出BE 的长，进一步求出GE 的长，可通过解直角三角形分别求出GD ，DE ，EF ，DF 的长，即可求出四边形DFEG 的周长．【详解】△45ABC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，△9045BAD ABC ︒︒∠=-∠=，△ABD ∆是等腰直角三角形，△AD BD =，△BE AC ⊥，△90GBD C ︒∠+∠=，△90EAD C ︒∠+∠=，△GBD EAD ∠=∠，△90ADB EDG ︒∠=∠=，△ADB ADG EDG ADG ∠-∠=∠-∠，即BDG ADE ∠=∠，△()BDG ADE ASA ∆≅∆，△1BG AE ==，DG DE =，△90EDG ︒∠=，△EDG ∆为等腰直角三角形，△9045135AED AEB DEG ︒︒︒∠=∠+∠=+=，△AED ∆沿直线AE 翻折得AEF ∆，△AED AEF ∆≅∆，△135AED AEF ︒∠=∠=，ED EF =，△36090DEF AED AEF ︒︒∠=-∠-∠=，△DEF ∆为等腰直角三角形，△EF DE DG ==，在Rt AEB ∆中，BE ===△1GE BE BG =-=，在Rt DGE ∆中，222DG ==-，△22EF DE ==-， 在Rt DEF ∆中，1DF ==，△四边形DFEG 的周长为：GD EF GE DF +++221)2⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭2=+，故答案为：2+．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．4．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司九年级月考）如图，四边形ABCD 为正方形．O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，且与AB 、AD 分别交于点F ，E ．（1）若5DE =，则AF =______．（2）若7AD =，O 的半径为52，则AE DE=______． 【答案】5 43或34【分析】（1）连接EF 、EP 、FP ，由四边形ABCD 为正方形，则△BAD=90°，△BPA=90°，得到△FPE=90°，所以△BPF=△APE ，易证△BPF△△APE ，则BF=AE ，即可得到DE=AF ；（2）连EF ，由△BAD=90°，得到EF 为△O 的直径，即EF=5，所以22225AF AE EF +==，而DE=AF ，所以22225DE AE EF +==，再由AD=AE+ED=7，这样得到关于DE ，AE 的方程组，解方程组求出DE ，AE ，即可得到AE DE的值． 【详解】（1）连接EP 、FP ，如图，△四边形ABCD 为正方形，△△BAD=90°，△BPA=90°△△FPE=90°，△△BPF=△APE，又△△FBP=△PAE=45°，△△BPF△△APE，△BF=AE，而AB=AD，△AF= DE=5；故答案为：5，（2）连EF，△△BAD=90°，△EF为△O的直径，而△O的半径为52，△EF=522⨯=5，△22225AF AE EF+==，而DE=AF，22225DE AE EF∴+==①；又△AD=AE+ED=AB，△AE+ED=7②，由①②联立起来组成方程组，解之得：AE=3，ED=4或AE=4，ED=3，故答案为：34AEDE=或43AEDE=．【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的内接四边形的性质，“手拉手”模型构造全等三角形，解一元二次方程等知识点，熟练掌握基本的辅助线构造，灵活推理证明是解题关键．三、解答题5．（2019·河南周口市·九年级二模）（1）（探索发现）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∥MAN＝45°，若将∥DAN绕点A顺时针旋转90°到∥BAG位置，可得∥MAN≌∥MAG，若∥MCN的周长为6，则正方形ABCD 的边长为．（2）（类比延伸）如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∥BAD＝120°，∥B+∥D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∥MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）（拓展应用）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∥ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，∥ABM是等边三角形，AM∥AD，DN＝51），请直接写出MN的长．【答案】（1）3；（2）MN＝BM+DN，理由见解析；（3）米【分析】（1）由旋转可知，DN=BG，由全等可知，MN=MG=BM+DN，即△MNC的周长＝BC+CD=6，进而解决问题；（2）延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，证明△MAN△△MAE，根据全等三角形的性质证明；（3）如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH△AD于H，在AH上取一点K，使得△NKH＝30°，想办法证明△MAN＝75°＝12△BAD，再利用（2）中的结论即可解决问题；【详解】解：（1）如图1中，△△MAN△△MAG，△MN＝GM，△DN＝BG，GM＝BG+BM，△MN＝BM+DN，△△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，△BM+CM+CN+DN＝6，△BC+CD＝6，△BC＝CD＝3，故答案为3．（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，△△ABC +△D ＝180°，△ABC +△ABE ＝180°，△△D ＝△ABE ，在△ABE 和△ADN 中，AB AD ABE D BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△ADN ，△AN ＝AE ，△DAN ＝△BAE ，△△BAD ＝2△MAN ，△△DAN +△BAM ＝△MAN ，△△MAN ＝△EAM ，在△MAN 和△MAE 中，AN AE MAN MAE AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△MAN △△MAE ，△MN ＝EM ＝BE +BM ＝BM +DN ，即MN ＝BM +DN ；（3）解：如图3，把△ABM 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，连接AN ．作NH △AD 于H ，在AH 上取一点K ，使得△NKH ＝30°在Rt△DHN 中，△△NDH ＝60°，DN ＝51），△DH ＝12DN HN在Rt△KNH 中，KN ＝2HN ＝15﹣，HK△AK ＝AH ﹣HK ＝15﹣△AK ＝KN ，△△KAN ＝△KNA ，△△NKH ＝△KAN +△KNA ，△△NAK ＝15°，△△MAN ＝75°＝12△BAD ，由（2）得，MN ＝BM +DN ＝10+51）＝．【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（2020·鄱阳县第二中学八年级月考）如图1，在∥ABC 中，AC=BC ，∥ACB=90°，CE 与AB相交于点D，且BE∥CE，AF∥CE，垂足分别为点E，F．（1）若AF=5，BE=2，求EF的长；（2）如图2，取AB的中点G，连接FG，EG，求证：FG=EG．【答案】（1）3；（2）见解析【分析】（1）证得△ACF＝△CBE，由AAS证得△ACF△△CBE得出CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，即可得出结果；（2）连接CG，推出△GCB＝△CBG＝45°，得出CG＝BG，证得△CFG△△BEG得出FG＝EG即可．【详解】（1）△BE△CE，△△BEC＝90°，△△ACB＝90°，△△BEC＝△ACB，△△ACF+△BCE＝△BCE+△CBE＝90°，△△ACF＝△CBE，△AF△CE，△△AFC＝90°，在△ACF和△CBE中，△ACF CBEAFC BECAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACF△△CBE（AAS），△CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，△EF＝CE﹣CF，△EF＝5﹣2＝3；（2）连接CG，如图2所示：△AC＝BC，AG＝BG，△CG△AB，△BCG＝12△ACB＝12×90°＝45°，△△CBG＝90°﹣45°＝45°，△△GCB＝△CBG＝45°，△CG＝BG，在△ADF和△BDE中，△△AFD＝△BED，△△FAD＝△EBG，由（1）证可知：△ACF△△CBE，△CF＝BE，△CAF＝△BCE，△△CAF+△FAD＝△GCD+△BCE＝45°，△△FAD＝△GCD，△△EBG＝△FCG，在△CFG与△BEG中，△CG=BG，△FCG=△EBG，CF=BE，△△CFG△△BEG（SAS），△FG＝EG．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与全等三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．。
专题24圆的有关位置关系-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题24圆的有关位置关系（共52题）一．选择题（共15小题）1．（2022•长沙）如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（）A．32°B．52°C．64°D．72°2．（2022•哈尔滨）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，P A与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（）A．65°B．60°C．50°D．25°3．（2022•无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°4．（2022•眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿P A，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（）A．28°B．50°C．56°D．62°5．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（）A．3B．4C．3D．46．（2022•武汉）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（）A．cm B．8cm C．6cm D．10cm7．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC＝3，则PB的长为（）A．B．C．D．38．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（）A．5B．5C．8D．99．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60°B．62°C．72°D．73°10．（2022•十堰）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．12．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．（2022•娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．14．（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．515．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）A．cosθ（1+cosθ）B．cosθ（1+sinθ）C．sinθ（1+sinθ）D．sinθ（1+cosθ）二．填空题（共17小题）16．（2022•泰州）如图，P A与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．17．（2022•海南）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB＝°．18．（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．19．（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为丈．20．（2022•泰安）如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝．21．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为．22．（2022•连云港）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝°．23．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．25．（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．26．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．27．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．28．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．29．（2022•湖北）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD 交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．其中所有正确结论的序号是．30．（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．31．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）32．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是．三．解答题（共20小题）33．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．34．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，P A、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．（1）求证：∠ADE＝∠P AE．（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．35．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．36．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．37．（2022•天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．38．（2022•绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．39．（2022•安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．40．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，①求AE的长；②求△AEF的面积．41．（2022•随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝4，sin C＝，①求⊙O的半径；②求BD的长．42．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．（1）求∠ACB的度数；（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．43．（2022•新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．（1）求证：∠ABC＝∠CAD；（2）求证：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．44．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin A＝，OA＝8，求CB的长．45．（2022•赤峰）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．46．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O 交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．47．（2022•玉林）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．48．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．49．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．50．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O 作BC的平行线交PC的延长线于点D．（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tan A＝，求△OCD的面积．51．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．52．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB 长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．。
2023武汉中考数学24题
中考数学试题一、选择题1．如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1B．3:1C．4:3D．3:22．如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C．D．3．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB的面积为k B．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小4．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝35.已知反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y= kx−k的图象经过（）。
A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1的图象可能是（）xA．B． C．D．7.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对8．一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。
A．B．C．D．二、填空题（共24分）9．已知△ABC，若有|sinA−1|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数2是。
(x<0)图象上的点，过点A作y轴10．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。
11．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
12．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
【中考冲刺】初三数学培优专题 24 平面几何的定值问题(含答案)(难)
平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1. 探求定值； 2. 给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点. 求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A . 到CD 的距离保持不变 B . 位置不变C . 等分DB⌒ D . 随C 点的移动而移动 （济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.A【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足. 求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值. 从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°. 点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E . 连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点. 若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P . 动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点. 求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1. 如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段. 若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）AABCDEF（第3题图） （第4题图）2. 从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°（武汉市竞赛试题）5. 如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP . 连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B . 在垂直AB 的某直线上移动C . 在弧AMB 上移动D . 保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6. 如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12（海南省竞赛试题））7. （1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况. 在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来. 请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8. 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转. 旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9. 如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB . 在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等. 指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图） （第10题图） （第11题图）10. 如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O的半径为R . 求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心. 当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2. 已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题） 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（ ）A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图） （第4题图）4. 如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则12GF ED CHBAA . 在0°到30°变化B . 在30°到60°变化C . 保持30°不变D . 保持60°不变5. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8. 若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A . 5B . 6C . 7D . 8（黄石市中考试题）（第5题图）6. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F . 试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）7. 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M . 设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N . 证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图） （第8题图）B NKMB AC HCBA距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC . 现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动. 点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动. 线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F . 设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题）（第9题图） （第10题图）10. 已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11. 已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG . 求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）平面几何的定值问题例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故2PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 . DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = . ∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF PF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋PB 2＋PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×23＝6．故PA 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4 提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2 提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A ′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝xB •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22. 5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP 2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP 2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a 2a )，从而21AP BPCP DP++为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD 2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PM EC PC =，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185． ⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4. 5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4. 5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6. 5，∴t ＋224441425=．∴t ＝ 4142． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4. 5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝22422415，又0≤5t ≤22. 5，∴－8≤5t －8≤14. 5，14. 52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4. 5)满足此方程．综上所述，当t ＝4142时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB的垂线CH，EM，G N，垂足分别是H，M，N．容易证明△AEM≌△ACH，△B G N≌△BCH．从而有AM＝CH＝BN，EM＝AH，G N＝BH．这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMN G的中位线，从而OP⊥AB，OP＝12(EM＋G N)＝12(AH＋BH)＝12AB．∴无论点C在AB同一侧的位置如何，E G中点P的位置不变．。
武汉中考数学第24题专题练习
F EA PBCD 图2武汉中考第24题一、内容分析：培养数学逻辑推理能力是新课标的要求，第24题便是近年来考查这种能力的一种新题型,它不仅开阔同学们的视野,而且发展了同学们发散思维,创新探索和逻辑推理能力和动手能力，这种题型考查学生逻辑推理的方式主要注意如下几方面:① 图形由特殊到一般;② 图形的位置由特殊到一般；③ 结论由特殊到一般.解决方法主要由“特殊到一般”的思路,结合旋转,全等或相似的相关性质，以及实践操作，观察猜想加以解决. 二、主要知识考点：1、图形旋转的性质；2、三角形全等或相似；3、实践作图； 三、结论类型： 1、 角度大小关系； 2、 线段大小和位置关系；3、 其它；四、题型变化引例：（08届4月调考题）如图所示，ABCD 为正方形。
(1)如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系？证明你的结论； (2)如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 为△FBE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系？证明你的结论； (3)如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点。
完成图3，判断DP 与DF 之间的数量关系（直接写出结论，不证明）。
对照练习：1、如图1，正方形ABCD 中，∠FOE=90°顶点O 于D 点重合，交BC 边于E ，交BA 的延长线于F.(1)求证：OF=OE; (2)若O 点在直线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？试画图直接写出结论。
（ （3）如图4，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°交BC 、CD 边于F 、E 点。
求证OE=OF 。
（ （4）如图5、6，O 点在直线BD 上运动，OD ：OB=1：n ，其它条件不变，（3）中结论是否还成立？若不成立，请直接写出OE ：OF= 。
武汉市中考数学 易错易错压轴勾股定理选择题专题练习(及答案)(2)
武汉市中考数学易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题专题练习(及答案)(2)一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为（）A．20cm B．18cm C．25cm D．40cm2．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）A．813B．28 C．20 D．1223．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．253182+4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（）A．5B．53C．532D．5345．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．46．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（）A．10 B．410C．13D．2137．如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（）A．16 B．15 C．12 D．108．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．209．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．610．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形11．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．1012．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=AD D ．F BAQ ∠=∠13．若△ABC 中，AB=AC=25，BC=4，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．5214．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）A ．245B ．5C ．6D ．815．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+16．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．9，7，12 B ．2，3，4 C ．1，2，3D ．5，11，12 17．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）A ．杨辉B ．刘徽C ．祖冲之D ．赵爽 18．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4 19．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间20．在ABC ∆中，::1:1:2BC AC AB =则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形21．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．123B ．2、3、4C ．1、2、3D ．4、5、6 22．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米23．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（ ）A ．3．5B ．23C ．13D ．36224．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②25．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cm +B ．513cmC ．277cmD ．(2583)cm +26．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ）A ．3B 11C ．3D ．427．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A．121 B．110 C．100 D．9028．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )A．3 B．154C．5 D．15229．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.530．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，6 D．13，2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、易错易错压轴选择题精选：勾股定理选择题1．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径，由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半，由此即可解题．【详解】解：如图，将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长，即 25cm AF BF A B '+==，延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=，Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=-=-=， ∴该圆柱底面周长为：20240cm ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．C解析：C【解析】分析：将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求.详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A 关于EF 的对称点A ′，连接A ′B ,则A ′B 即为最短距离，A ′B 2222=1216A D BD '++ (cm )故选C.点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.3．A解析：A【解析】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是34•AB2=34•（25+12）253故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．4．C【分析】在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴△AB’B是等边三角形，∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH=22BC BH=532．即BE的最小值是532．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．5．C【分析】作DE⊥AB于E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC22106-8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝12DE•AB＝12AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故答案为C．【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..6．D解析：D【分析】根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt△ACD和Rt△BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长．【详解】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为△ABC的两条中线，且AD＝10，BE＝5，求AB的长．设AC＝x，BC＝y，根据勾股定理得：在Rt△ACD中，x2+（12y）2＝（10）2，在Rt△BCE中，（12x）2+y2＝52，解之得，x＝6，y＝4，∴在Rt△ABC中，2264213AB+=，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.7．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为3AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D3，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P13a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为3，∴AP5=a3a+a＝3解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．8．C解析：C【分析】将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，2222'15129A D A B BD ∴--'==．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．9．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
2024年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学中考数学模拟试卷(二)及答案解析
2024年湖北武汉市江夏区光谷实验中学中考数学模拟试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数是（）A．2024B．﹣2024C．D．2．（3分）下列是几个著名汽车品牌标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）A．点数的和为1B．点数的和为6C．点数的和大于12D．点数的和小于134．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣3a2）3＝﹣9a6B．（﹣a）2•a3＝a5C．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2D．a2+4a2＝5a45．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P 在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式•﹣的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD＝，则线段AE的长是（）A．B．5C．D．9．（3分）3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑﹣2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：其中，错误的说法是（）A．起跑后1小时内，甲在乙的前面B．第1小时两人都跑了21千米C．甲比乙先到达终点D．两人都跑了42.195千米10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③；④AF＝AB+CF．其中正确结论的为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．②④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是．12．（3分）世界文化遗产长城总长约21000千米，数21000用科学记数法表示为．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）14．（3分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，这棵树AB的高度为_______米．15．（3分）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．其中正确的是_______（填写序号）．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是．三、解答题（共6小题，共52分）17．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为．18．（8分）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．19．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为，“合格”人数的百分比为；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线，交DE于点F．（1）求证：FC＝FD；（2）若E是OB的中点，sin D＝，OA＝2，求FD的长．21．（10分）【问题发现】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2024年湖北武汉市江夏区光谷实验中学中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此判断即可．【解答】解：的相反数是，故选：C．【点评】本题考查了相反数，熟知相反数的定义是解题的关键，属于基础题．2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】A、根据积的乘方的性质进行计算即可判断；B、先计算乘方，再根据同底数幂的乘法计算即可判断；C、根据完全平方公式进行计算即可判断；D、根据合并同类项法则进行计算即可确定答案．【解答】解：选项A：（﹣3a2）3＝﹣27a6，所以不符合题意；选项B：（﹣a）2•a3＝a2•a3＝a5，所以符合题意；选项C：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，所以不符合题意；选项D：a2+4a2＝5a2，所以不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式、合并同类项以及幂的乘方、积的乘方等知识，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．5．【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【解答】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为．故选：C．【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，解题的关键是画出树状图．6．【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA＝×4＝2，S△BOA＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．＝×2＝1，然后利用S△POB【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，∴S△POA＝2﹣1＝1．∴S△POB故选：A．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k ≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．7．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2+2x＝2，代入计算可得．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣＝﹣，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，则原式＝﹣＝﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．8．【分析】连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF＝5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．【解答】解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD＝＝，OD＝3，∴OF＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠F＝＝，∴AE＝（3+5）＝．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．9．【分析】由图象可知起跑后1小时内，甲在乙的前面；在跑了1小时时，甲追上乙，此时都跑了121千米；乙比甲先到达终点；根据纵坐标，即可求得两人跑的距离，则可求得答案．【解答】解：根据图象得：起跑后1小时内，甲在乙的前面；故选项A正确，不符合题意；在跑了1小时时，甲追上乙，此时都跑了21千米，故选项B正确，不符合题意；乙比甲先到达终点，故选项C错误，符合题意；两人都跑了42.195千米，故选项D正确，不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了函数图形的意义．解题的关键是根据题意理解各段函数图象的实际意义，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程．10．【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到∠BAE是否等于30°；②根据题目中的条件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；③根据前面的推论，可以得到CF和CD的关系，从而可以判断CF＝CD是否成立；④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到AF＝AB+CF是否成立．【解答】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB＝BC，BE＝AB，∴tan A＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝2CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，∴AE＝a，EF＝a，tan∠CFE＝2，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；∵BC＝CD，BC＝2CE＝4CF，∴CF＝CD，故③错误；作EG⊥AF于点G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG+GF，∴AF＝AB+CF，故④正确，由上可得，②④正确，正确的个数为2，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：数21000用科学记数法表示为2.1×104．故答案为：2.1×104．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．13．【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．【解答】解：根据题意得：∠BAC＝37°，∠ACB＝90°，∵，∴，解得：AB≈10米，即自动扶梯AB的长约为10米．故答案为：10米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．14．【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含AG的代数式表示出FG、DG，由于DG ﹣FG＝DF，得到关于AG的方程，求解即可【解答】解：由题意，四边形CDFE、四边形FEBG、四边形CDBG均为矩形，△ADG、△AFG均为直角三角形，所以CD＝BG＝1.5米，CE＝DF＝8米．在Rt△ADG中，∵tan∠ADG＝，即DG＝＝AG，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，即FG＝＝AG，又∵DG﹣FG＝DF＝8，∴AG﹣AG＝8即AG＝8∴AG＝4∴AB＝AG+GB＝1.5+4（米）故答案为：1.5+4【点评】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．15．【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与y轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线对称轴得到抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x ＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，即可判断③；把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，即可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故②正确．∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线交x轴于另一点（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故③正确．∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，∴a（5a+1）＜0，∴﹣＜a＜0，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，16．【分析】证明△AEG≌△BFG（ASA），根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，EG＝FG，设AE＝x，表示出CF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是AB的中点，AB＝8，∴AG＝BG＝×8＝4，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（ASA），∴AE＝BF，EG＝FG，设AE＝x，则CF＝BC+BF＝AD+BF＝4+x+x＝4+2x，在Rt△AEG中，EG＝＝，∴EF＝2，∵FH垂直平分CE，∴CF＝EF，∴4+2x＝2，解得：x＝3，∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，∴BC＝AD＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题（共6小题，共52分）17．【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，根据数轴找出不等式组公共部分即可．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x≤2；（3）把把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）所以原不等式组的解集为﹣1≤x≤2．故答案为：（1）x≥﹣1；（2）x≤1；（3）见解答；（4）﹣1≤x≤2．【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，不等式的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．18．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．19．【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；（3）用360°乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案为：50人，40%；（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.2°，故答案为：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，所以刚好抽中甲乙两人的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图；读懂统计图中的信息、画出树状图是解题的关键．20．【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCF＝90°，再证明∠D＝∠FCD，从而得到FC＝FD；（2）连接BC，过F点作FH⊥CD于H，如图，先在Rt△ADE中利用正弦的定义求出AD＝5，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠ABC＝∠D，接着在Rt△ABC中利用正弦的定义求出AC＝，则CD＝，由于FC＝FD，FH⊥CD，根据等腰三角形的性质得到DH＝，然后在Rt△DFH中利用解直角三角形可求出DF的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠FCD+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠FCD+∠A＝90°，∵DE⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∴∠D＝∠FCD，∴FC＝FD；（2）解：连接BC，过F点作FH⊥CD于H，如图，∵E是OB的中点，OA＝2，∴OE＝1，∴AE＝3，在Rt△ADE中，∵sin D＝＝，∴AD＝×3＝5，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠D+∠A＝90°，∴∠ABC＝∠D，在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝sin D＝＝，∴AC＝×4＝，∴CD＝AD﹣AC＝5﹣＝，∵FC＝FD，FH⊥CD，∴DH＝CH＝CD＝，在Rt△DFH中，∵sin D＝＝，∴设FH＝3x，DF＝5x，∴DH＝4x，即4x＝，解得x＝，∴DF＝5×＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．21．【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）如图3，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE，故答案为：相等；（2）成立，理由：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（3）如图2，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3，∴＝，∴CE＝2．如图3，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3，∴＝，∴CE＝6．综上所述，CE为2或6．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练证明△ABD∽△ACE是解题的关键．22．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，即C（0，2），当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4，即A（﹣4，0）．由A、B关于对称轴对称，得B（1，0）．将A、B、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）①当点M在x轴上方时，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，如图：设M（m，﹣m2﹣m+2），N（m，0）．AN＝m+4，MN＝﹣m2﹣m+2．由勾股定理，得AC＝＝2，BC＝＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，此时点M与点C重合，M（0，2）．当△ANM∽△BCA时，∠MAN＝∠ABC，此时M与C关于抛物线的对称轴对称，M（﹣3，2）．②当点M在x轴下方时，当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，此时直线AM的解析式为y＝﹣x﹣2，由，解得或，∴M（2，﹣3），当△ANM′∽△BCA时，∠MAN＝∠ABC，此时AM′∥BC，∴直线AM′的解析式为y＝﹣2x﹣8，由，解得或，∴M（5，﹣18）综上所述：抛物线存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标（﹣3，2）或（0，2）或（2，﹣3）或（5，﹣18）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏。
武汉市江岸区中考数学模拟试题(二)
武汉市江岸区中考数学模拟试题（二）考试时间：120分钟试卷满分：120分编辑人：丁济亮祝考试顺利！一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各选项中，既不是正数也不是负数的是（）A．－1 B．0 C D．π2x的取值范围是（）A、x＞12-B、x≤﹣12C、x≥﹣12D、x≤123.不等式组⎩⎨⎧-≥≤-223xx的解集在数轴上表示正确的是4．下列说法：①美职篮科比投篮一定命中；②明天下雨的可能性为90%，但是明天不一定下雨．下列判断正确的是（）A．①②都正确B．①正确C．②正确D．①②都不正确5．若x1，x2是方程x2 + 3x = 4的两根，则x1·x2的值是（）A．-3 B．4 C．-4 D．436．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是7．△ABC中，AB=AC,D为AB上一点，且AD=CD=BC，则∠A的度数为A．30°B．36°C．45°D．60°A B CD8下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，第③个图形中一共有16个矩形，……，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数为( )． A ．30个 B ． 25个 C ．28个 D ．31个9据《生活报》报道，有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据，已知该校九年级共有200名学生，图1是根据这组数据绘制的条形统计图，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，根据图中的信息，下列结论：①该校共有1000名学生：②本次调查中，该校共抽样调查了50名学生；③本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的百分比是36﹪;④估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人，其中正确的判断有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10如图，在ABC 中，10=AB ，8=AC ，6=BC ，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．75.4 B. 8.4 C. 5 D. 24 二填空题（每小题3分，共18分）11 sin45°=12根据第六次全国人口普查的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为1370000000人，将1370000000用科学记数法表示应为13．数据10、5、7、12、10、8的众数是14 -条笔直的公路上依次有B 、A 、c 三地，BC 两地相距300千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地，甲、乙两车到A 地的距离y 1、y 2（千米）与行驶时间t （时）的关系如图所示，则甲、乙两车相遇时离A 地的距离为__________千米．第10题15如图，直线3y x =-+与双曲线ky x=（x ＞0）交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连结OA 、OB ，若AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，则k = ．16将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB =23，E 是AC 上的一点(AE >CE )，且DE =BE ，则AE 的长为 .三、解答题（共9小题，共72分）17（本题6分）解方程：2x -x +26+x =1 18（本题6分）在平面直角坐标系中，直线y=kx-4 经过点P(2,-6)，求关于x 的不等式kx-6≥O 的解集．19（本题6分）在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE 。
专题24圆(基础巩固练习) 解析版
2021年中考数学 专题24 圆（基础巩固练习，共50个小题）一、选择题（共25小题）：1.（2020•广州）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝48cm ，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm【答案】C【解析】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示： ∵AB ＝48cm ，∴BD =12AB =12×48＝24（cm ），∵⊙O 的直径为52cm ，∴OB ＝OC ＝26cm ，在Rt △OBD 中，OD =√OB 2−BD 2=√262−242=10（cm ），∴CD ＝OC ﹣OD ＝26﹣10＝16（cm ），故选：C ．2.（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AĈ的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）A ．52√3 B ．3√3 C ．3√2 D ．4√2 【答案】D【解析】解：连接OD ，交AC 于F ，∵D 是AC ̂的中点，∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ，∴∠DFE ＝90°，∵OA ＝OB ，AF ＝CF ，∴OF =12BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在△EFD 和△ECB 中{∠DFE =∠BCE =90°∠DEF =∠BEC DE =BE∴△EFD ≌△ECB （AAS ），∴DF ＝BC ，∴OF =12DF ，∵OD ＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC=√AB2−BC2=√62−22=4√2，故选：D．3.（2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解析】解：如图所示：连接OD，∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC=√DO2−CO2=6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．4.（2020•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．2√91【答案】C【解析】解：连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝20，OM ：OC ＝3：5，∴OC ＝10，OM ＝6，∵AB ⊥CD ，∴AM =√OA 2−OM 2=√102−62=8，∴AB ＝2AM ＝16．故选：C ．5.（2020•广西）如图，已知四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，BD 平分∠ABC ，DH ⊥AB 于点H ，DH =√3，∠ABC ＝120°，则AB+BC 的值为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【答案】C【解析】解：延长BA 到E ，使AE ＝BC ，连接DE ，如图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD =12∠ABC =12×120°＝60°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝60°，∠DCA ＝∠DBA ＝60°，∴△DAC 为等边三角形，∴DA ＝DC ，在△ADE 和△BCD 中，{AE =BC∠DAE =∠DCB AD =CD，∴△ADE ≌△BCD （SAS ），∴∠E ＝∠DBC ＝60°，而∠DBA ＝60°，∴△DBE 为等边三角形，∵DH ⊥AB ，∴BH ＝EH ，在Rt △BDH 中，BH =√33DH =√33×√3=1，∴BE ＝2BH ＝2，∴AB+BC ＝2．故选：C ．6.（2020•巴中）如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在圆上，∠ACB ＝45°，AB =2√2，则⊙O 的半径OA 的长是（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．3【答案】B【解析】解：根据圆周角定理得：∠AOB ＝2∠ACB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∵AB＝2√2，OA＝OB，∴2OA2＝AB2，∴OA＝OB＝2，故选：B．7.（2020•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】A【解析】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠D＝100°，故选：A．8.（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解析】解：∵BC∥OA，∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：C．9.（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°【答案】A【解析】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A=1∠BOC＝30°，故选：A．210.（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3πB．4πC．6πD．9π【答案】D【解析】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．11.（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【解析】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∠BDC＝65°，故选：B．∴∠ODB＝∠ODC=1212.（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】B【解析】解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，=25°，∴∠OAB=180°−∠O2∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．13.（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°【答案】B【解析】解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，×62°＝31°．故选：B．∴∠A=1214．（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【答案】C【解析】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，∠AOB＝54°，故选：C．由圆周角定理得，∠C=1215.（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线【答案】B【解析】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，∴PA＝PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意．（B）由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意．（C）连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意．故选：B．16.（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】B【解析】解：∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∵∠APO＝∠BPC＝70°，∴∠A＝90°﹣70°＝20°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝20°，∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．故选：B．17.（2020•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠A＝90°，∵∠B＝20°，∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°，故选：D．18．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O 于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．19.（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，∴PB＝PA＝3，故选：B．20.（2020•日照）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6√3，AE＝9，则阴影部分的面积为（）A．6π−92√3B．12π﹣9√3C．3π−94√3D．9√3【答案】A【解析】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，∴CE＝DE=12CD=3√3．设⊙O的半径为r，在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2=(9−r)2+(3√3)2，解得，r＝6，∴OE＝3，∴cos∠BOD=OEOD =36=12，∴∠EOD＝60°，∴S扇形BOD =16π×36=6π，S Rt△OED=12×3×3√3=92√3，∴S阴影=6π−92√3，故选：A．21.（2020•西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A ．43π−√3B ．43π﹣2√3C ．83π−√3D ．83π﹣2√3 【答案】D 【解析】解：∵OD ⊥AC ，∴∠ADO ＝90°，AÊ=CE ̂，AD ＝CD ， ∵∠CAB ＝30°，OA ＝4，∴OD =12OA ＝2，AD =√32OA ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOE ﹣S △ADO =60⋅π×42360−12×2√3×2=8π3−2√3，故选：D ． 22.（2020•毕节市）如图，已知点C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为13π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．16πB ．316πC ．124πD ．112π+√34【答案】A【解析】解：连接CD 、OC 、OD ．∵C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°，AC ＝CD ，又∵OA ＝OC ＝OD ，∴△OAC 、△OCD 是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD ＝S△OCD，∵弧CD的长为13π，∴60π⋅r180=13π，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD=60π⋅12360=π6．故选：A．23.（2020•咸宁）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．π2−√2B．π−√2C．π2−2 D．π﹣2【答案】D【解析】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB=90⋅π×22360−12×2×2＝π﹣2．故选：D．24.（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB̂上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π【答案】A【解析】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC =36⋅π×102360=10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．25.（2020•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（）A．140°B．70°C．110°D．80°【答案】C【解析】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠DCE＝40°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∠AOB＝70°，∴∠P=12∵A、C、B、P四点共圆，∴∠P+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．二、填空题（共20小题）：26.（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为．【答案】30°【解析】解：如图，连接OC．̂=CD̂=BD̂，∵AB是直径，AC∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．故答案为30°27.（2020•南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm．【答案】12【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC=1AB＝5，2在Rt△OAC中，OC=√132−52=12，所以圆心O 到AB 的距离为12cm ．故答案为12．28.（2020•甘孜州）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，若AB ＝10，CD ＝8，则OH 的长度为 ．【答案】3【解析】解：连接OC ，∵CD ⊥AB ，∴CH ＝DH =12CD =12×8＝4，∵直径AB ＝10，∴OC ＝5，在Rt △OCH 中，OH =√OC 2−CH 2=3，故答案为：3．29.（2020•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．【答案】35【解析】解：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠1＝∠ADE ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．30.（2020•宜宾）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若△OBC 是等边三角形，则cos ∠A ＝ ．【答案】√32【解析】解：∵△OBC 是等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴∠A ＝30°，∴cos ∠A ＝cos30°=√32．故答案为：√32． 31.（2019•凉山州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A ＝30°，CD ＝2√3，则⊙O 的半径是 ．【答案】2【解析】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD=√3，∴∠ACB＝90°，CH＝DH=12∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2√3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC=√3BC＝2√3，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．32.（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝．【答案】1【解析】解：连接OB和OC，∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∴∠OBD＝30°，OB＝1，故答案为：1．∴OD=1233.（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝°．【答案】50【解析】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．34.（2020•广元）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB＝．【答案】565【解析】解：作直径AD，连接BD，∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°，又AH ⊥BC ，∴∠ABD ＝∠AHC ，由圆周角定理得，∠D ＝∠C ，∴△ABD ∽△AHC ，∴AB AH =AD AC，即AB 8=1410， 解得，AB =565，故答案为：565． 35.（2020•南充）△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，将△ABC 绕点C 旋转到△EDC ，点E 在⊙O 上，已知AE ＝2，tanD ＝3，则AB ＝ ．【答案】103【解析】解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝∠ACB ＝90°，∵将△ABC 绕点C 旋转到△EDC ，∴AC ＝CE ，BC ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∵tanD =CE CD =3，∴设CE ＝3x ，CD ＝x ，∴DE=√10x，∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，∴△ACE∽△BCD，∴ACBC =CECD=AEBD=3，∠CBD＝∠CAE，∵AE＝2，∴BD=23∵∠EAC+∠CBE＝180°，∴∠CBD+∠CBE＝180°，∴D，B，E三点共线，∴BE＝DE﹣BD=√10x−23，∵AE2+BE2＝AB2，∴22+（√10x−23）2＝（√10x）2，∴x=√103，∴AB＝DE=103，故答案为：103．36.（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为．【答案】2√5【解析】解：连接OB，如图，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PB＝PA＝6，OB⊥PC，OA⊥PA，∴∠CAP＝∠CBO＝90°，在Rt△APC中，PC=√PA2+AC2=√62+82=10，∴BC＝PC﹣PB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，∴OA＝3，OC＝5，在Rt△OPA中，OP=√OA2+PA2=√32+62=3√5，∵CD⊥PO，∴∠CDO＝90°，∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠PAO，∴△COD∽△POA，∴CD：PA＝OC：OP，即CD：6＝5：3√，∴CD＝2√5．故答案为2√5．37.（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．【答案】2√2【解析】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，=6，∴OA=OBtanA在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OP′=1OA＝3，2∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2，故答案为：2√2．38.（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．【答案】1【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．39.（2019•河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．【答案】76【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，PA⊥OA，∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．40.（2019•南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．【答案】219°【解析】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA=1（180°﹣102°）＝39°，2∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．̂上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD 41.（2020•贵港）如图，在扇形OAB中，点C在AB⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．【答案】1+√3−2π3【解析】解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，AB ＝2√2， ∵∠ABC ＝30°，AD ⊥BC 于点D ， ∴AD =12AB =√2，BD =√32AB =√6，∵∠ABO ＝45°，∠ABC ＝30°， ∴∠OBC ＝75°， ∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝75°， ∴∠BOC ＝30°，∴∠AOC ＝60°，CM =12OC =12×2=1， ∴S 阴影＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAB +（S 扇形OBC ﹣S △BOC ） ＝S △ABD +S △AOB ﹣S 扇形OAC ﹣S △BOC=12×2×2+12×√2×√6−12×2×1−60π×22360＝1+√3−23π． 故答案为1+√3−23π．42.（2020•朝阳）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，连接AB ，AC ，BC ，且∠ACB ＝15°，过点O 作OD ∥AB 交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，已知⊙O 半径为2，则图中阴影面积为 ．【答案】π3【解析】解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD ＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．故答案为：π3．43.（2020•鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2√3，则阴影部分面积S阴影＝．【答案】2π3【解析】解：连接OC．∵AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，CE＝DE=√3，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC ＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD=EDsin60°=2，∴S阴=60⋅π⋅22360=2π3，故答案为2π3．44.（2020•十堰）如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝．【答案】2【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，∵BC为直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，故CD ＝DB ＝DA ，∴D 点为BC ̂中点，由对称性可知CD ̂与弦CD 围成的面积与S 3相等． 设AC ＝BC ＝x ，则S 扇形ACB ﹣S 3﹣S 4＝S 1+S 2， 其中S 扇ACB =90⋅π⋅x 2360=πx 24，S 4=S △ACB −S △BCD −S 3=12⋅x 2−12⋅x ⋅x2−S 3=x 24−S 3，故：πx 24−S 3−(x 24−S 3)=π−1，所以：x 1＝2，x 2＝﹣2（舍去）；故答案：2．45.（2020•随州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AD 是∠BAC 的角平分线，若∠BOC ＝120°，则∠CAD 的度数为 ．【答案】30°【解析】解：∵∠BAC =12∠BOC =12×120°＝60°， 而AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠CAD =12∠BAC ＝30°． 故答案为：30°． 三、解答题（共5小题）：46.（2020•广西）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，点D 为AC 的中点，连接DE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若CE ＝1，OA =√3，求∠ACB 的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠ACB 的度数为60°. 【解析】（1）证明：如图，连接OD ，OE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∵点D 是AC 的中点，O 是AB 的中点， ∴OD ∥BC ，∴∠OBE ＝∠AOD ，∠OEB ＝∠DOE ， ∴∠AOD ＝∠EOD ， 在△AOD 和△EOD 中， {OD =OD∠AOD =∠EOD OA =OE， ∴△AOD ≌△EOD （SAS ）， ∴∠OED ＝∠OAD ＝90°， ∴OE ⊥DE ，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接AE，∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵点D为AC的中点，∴设AD＝CD＝x，∴AE=2−CE2=√4x2−1，∵∠C+∠CAE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠C＝∠BAE，∴△AEC∽△BEA，∴CEAE =ACAB，∴√2=2√3，∴√4x2−1x=√3，两边平方，得（4x2﹣1）x2＝3，整理，得4x4﹣x2﹣3＝0，∴（x2﹣1）（4x2+3）＝0，∴（x2﹣1）＝0或（4x2+3）＝0，解得，x＝±1（负值舍去），（4x2+3）＝0无解，∴x＝1，∴AC＝2x＝2，∴cos∠C=CEAC =12，∴∠C＝60°．答：∠ACB的度数为60°．47.（2020•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB＝2√6，AD＝3，求直径AE的长．【答案】(1)见解析；(2)AE=3√3.【解析】（1）证明：连接DE，如图1，∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，∴∠C＝∠E，∴∠E＝∠BAD，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠E+∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，即∠BAE＝90°，∴AE⊥AB，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，∵AB＝AC，∴BH＝CH，∵∠B＝∠C＝∠BAD，∴△ABC∽△DBA，∴ABBD =BCAB，即AB2＝BD•BC，又AB＝2√6，BD＝AD＝3，∴BC＝8，在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，∴AH=√AB2−BH2=√(2√6)2−42=2√2，∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，∴△AED∽△ABH，∴AEAB =ADAH，∴AE=AB⋅ADAH =√6×32√2=3√3．48.（2020•陕西）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．.【答案】(1)见解析；(2)AF=1565【解析】（1）证明：∵BE是⊙O的直径，∴CE⊥BC，∵BC∥AM，∴CD⊥AM，∵AM是⊙O的切线，∴OA⊥AM，∴CE∥OA；（2）解：∵⊙O的半径R＝13，∴OA＝13，BE＝26，∵BC＝24，∴CE=2−BC2=10，∵BC∥AM，∴∠B＝∠AFO，∵∠C＝∠A＝90°，∴△BCE∽△FAO，∴BCAF =CEOA，∴24AF =1013，∴AF=1565．49.（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．【答案】(1)见解析；(2)BD=7√2.【解析】（1）证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵∠EDA＝∠ACD，∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，∴AC＝10，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵sin∠ACB=AB，AC∴AB=sin45°⋅AC=5√2，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∵在Rt△ADF中，AD＝6，∵sin∠ADF=AF，AD∴AF=sin45°⋅AD=3√2，∴DF=AF=3√2，在Rt△ABF中，BF2=AB2−AF2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BF=4√2，∴BD=BF+DF=7√2．解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH＝90°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBH，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠BCH＝180°，∴∠BAD＝∠BCH，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBH（ASA），∴AD＝CH，BD＝BH，∵AD＝6，CD＝8，∴DH＝CD+CH＝14，在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，则BD2＝98．∴BD=7√2．50.（2020•包头）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A 是切点，D 是OA 上一点，CD 的延长线交直线l 于点E ，F 是OB 上一点，CF 的延长线交⊙O 于点G ，连接AC ，AG ，已知⊙O 的半径为3，CE =√34，5BF ﹣5AD ＝4．（1）求AE 的长；（2）求cos ∠CAG 的值及CG 的长．【答案】(1)AE ＝2；(2)cos ∠CAG =√1010；CG =9√105. 【解析】解：（1）延长CO 交⊙O 于T ，过点E 作EH ⊥CT 于H ．∵直线l 是⊙O 的切线，∴AE ⊥OD ，∵OC ⊥AB ，∴∠EAO ＝∠AOH ＝∠EHO ＝90°，∴四边形AEHO 是矩形，∴EH ＝OA ＝3，AE ＝OH ，∵CH =2−EH 2=√(√34)2−32=5，∴AE ＝OH ＝CH ﹣CO ＝5﹣3＝2．（2）∵AE ∥OC ，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65，∵5BF ﹣5AD ＝4，∴BF ＝2，∴OF ＝OB ﹣BF ＝1，AF ＝AO+OF ＝4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC ＝∠FGB ，∠AFC ＝∠GFB ， ∴△AFC ∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG ＝FG+CF =9√105， ∵CT 是直径，∴∠CGT ＝90°，∴GT =2−CG 2=√62−(9√105)2=3√105， ∴cos ∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG ＝∠CTG ，∴cos ∠CAG =√1010．。
2020年湖北省武汉中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年湖北省武汉市初中毕业生学业考试数 学亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．1．本试卷由第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分组成．全卷共8页，三大题，满分120分．考试用时120分钟．2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．3．答第I 卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在“试卷”．．．．．．上无效．．．． 4．答第II 卷（非选择题）时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效．．．．．．．．．． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1.2-的相反数是（ ）A .2-B .2C .12D .12-2.x 的取值范围是（ ）A .0x ≥B .2x -≥C .2x ≤D .2x ≥3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A .两个小球的标号之和等于1B .两个小球的标号之和等于6C .两个小球的标号之和大于1D .两个小球的标号之和大于64.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）ABCD5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）ABCD6.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）A .13B .14C .16 D .18 7.若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数()0ky k x=＜的图象上，且12y y ＞，则a 的取值范围是（ ）A .1a -＜B .11a -＜＜C .1a ＞D .1a -＜或1a ＞8.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始4 min 内只进水不出水，从第4 min 到第24 m in 内既进水又出水，从第24 m in 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是 （ ）（第8题）A .32B .34C .36D .38毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------9.如图，在半径为3的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）（第9题）AB. C. D.10.下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）A .160B .128C .80D .48第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下面各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11.________．12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h ），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是________． 13.计算2223m nm n m n--+-的结果是________． 14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D ∠=︒，则BAC ∠的大小是________．（第14题）15.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ＜）经过()2,0A ，()4,0B -两点，下列四个结论：①一元二次方程20ax bx c ++=的根为12x =，24x =-； ②若点()15,C y -，()2,D y π在该抛物线上，则12y y ＜； ③对于任意实数t ，总有2at bt a b +-≤；④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p ＞）的根为整数，则p 的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．16.如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．（第16题）三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17.（本小题满分8分）计算：()235423a a a a ⎡⎤⋅+÷⎢⎥⎣⎦． 18.（本小题满分8分）如图，直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠，且EM FN ∥．求证：AB CD ∥．（第18题）19.（本小题满分8分）为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持”，B 表示“支持”，C 表示“不关心”，D 表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是________； （2）将条形统计图补充完整；（3）该社区共有2 000名居民，估计该社区表示“支持”的B 类居民大约有多少人？20.（本小题满分8分）在85⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为()0,0O ，()3,4A ，()8,4B ，()5,0C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ； （2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ∠=︒（保留画图过程的痕迹）； （3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．（第20题）21.（本小题满分8分）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 交AC 于点D ，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E ． （1）求证：AD 平分BAE ∠； （2）若CD DE =，求sin BAC ∠的值．（第21题）-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________22.（本小题满分10分）某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产品的总成本y （万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系2y ax bx c =++，当10x =时，400y =；当20x 时，1000y =．B 城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a ，b 的值；（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？ （3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）．23.（本小题满分10分）问题背景 如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE △∽△； 尝试应用 如图（2），在ABC △和ADE △中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC边上，ADBDDFCF的值； 拓展创新 如图（3），D 是ABC △内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，AC =AD 的长．（第23题）24.（本小题满分12分）将抛物线()2:2C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ． （1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB △是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M为线段EF 的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．（第24题）2020年湖北省武汉市初中毕业生学业考试数学答案解析一、 1．【答案】B【解析】因为220-+=，所以2-的相反数是2，故选B ． 【考点】相反数 2．【答案】D20x ∴-≥， 2x ∴≥．故选D ．【考点】二次根式有意义的条件 3．【答案】B【解析】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2， 选项A ：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A 错误； 选项B ：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B 正确； 选项C ：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C 错误； 选项D ：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D 错误． 故选：B ．【考点】随机事件的概念，不可能事件的概念，必然事件的概念 4．【答案】C【解析】A 、不是轴对称图形，此项不符题意； B 、不是轴对称图形，此项不符题意； C 、是轴对称图形，此项符合题意； D 、不是轴对称图形，此项不符题意． 故选：C ．【考点】轴对称图形的定义5．【答案】A【解析】根据图形可知左视图为．故选A ． 【考点】三视图 6．【答案】C【解析】画树状图为：∴P （选中甲、乙两位）21126== 故选C ．【考点】列表法或树状图法 7．【答案】B【解析】解：∵反比例函数()0ky k x=＜， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，①若点A 、点B 同在第二或第四象限， ∵12y y ＞，∴11a a -+＞，此不等式无解； ②若点A 在第二象限且点B 在第四象限， ∵12y y ＞，∴1010a a -⎧⎨+⎩＜＞，解得：11a -＜＜；③由12y y ＞，可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能． 综上，a 的取值范围是11a -＜＜． 故选：B ．【考点】反比例函数的图象和性质 8．【答案】C【解析】设每分钟的进水量为 L b ，出水量为 L c 由第一段函数图象可知，2054b ==（L ） 由第二段函数图象可知，()()2016416435b c +---= 即201251235c +⨯-= 解得154c =（L ） 则当24x =时，()()15202445244454y =+-⨯--⨯=因此，45452412154a c -===解得()36min a = 故选：C ．【考点】函数图象的应用 9．【答案】D【解析】解：连接DO 、DA 、DC 、OC ，设DO 与AC 交于点H ，如下图所示，∵D 是AC 的中点，∴DA DC =，∴D 在线段AC 的垂直平分线上， ∵OC OA =，∴O 在线段AC 的垂直平分线上， ∴DO AC ⊥，90DHC ∠=︒， ∵AB 是圆的直径，∴90BCA ∠=︒，∵E 是BD 的中点，∴DE BE =，且DEH BEC ∠=∠， ∴()AAS DHE BCE △≌△， ∴DH BC =，又O 是AB 中点，H 是AC 中点， ∴HO 是ABC △的中位线， 设OH x =，则2BC DH x ==， ∴33OD x ==，∴1x =， 即22BC x ==， 在Rt ABC △中，AC ==故选：D ．【考点】圆周角定理，三角形全等，勾股定理 10．【答案】A【解析】由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数为54240⨯⨯=（个） 则404160n =⨯=， 故选：A ．【考点】图形类规律探索 二、 11．【答案】333=-=，故答案为3．【考点】二次根式的性质 12．【答案】4.5【解析】将这组数据按从小到大进行排序为3，3，4，5，5，6，则这组数据的中位数是454.52+=，故答案为：4.5． 【考点】中位数 13．【答案】1m n- 【解析】原式()()()()()23m n m n m n m n m n m n ---+=+--()()223m n m n m n m n --++-=()()m nmn m n ++-=1m n=-． 故答案为：1m n-．【考点】分式的减法运算 14．【答案】26°【解析】解：设BAC x ∠= ∵平行四边形ABCD 的对角线 ∴DC AB ∥，AD BC =，AD BC ∥ ∴DCA BAC x ∠=∠= ∵AE BE =∴ EBA BAC x ∠=∠= ∴2BEC x ∠= ∵AD AE BE == ∴BE BC =∴ 2BCE BEC x ∠=∠= ∴3DCB BCE DCA x ∠=∠+∠= ∵AD BC ∥，102D ︒∠=∴180D DCB ∠+∠=︒，即1023180x ︒+=︒，解得26x =︒． 故答案为26°．【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质 15．【答案】①③【解析】抛物线2y ax bx c =++经过()2,0A ，()4,0B -两点∴一元二次方程20ax bx c ++=的根为12x =，24x =-，则结论①正确抛物线的对称轴为4212x -+==-∴3x =时的函数值与5x =-时的函数值相等，即为1y0a ＜∴当1x -≥时，y 随x 的增大而减小又13π-＜＜12y y ∴＞，则结论②错误当1x =-时，y a b c =-+则抛物线的顶点的纵坐标为a b c -+，且0a b c -+＞将抛物线2y ax bx c =++向下平移a b c -+个单位长度得到的二次函数解析式为()22y ax bx c a b c ax bx a b =++--+=+-+由二次函数图象特征可知，2y ax bx a b =+-+的图象位于x 轴的下方，顶点恰好在x 轴上 即0y ≤恒成立则对于任意实数t ，总有20at bt a b +-+≤，即2at bt a b +-≤，结论③正确将抛物线2y ax bx c =++向下平移p 个单位长度得到的二次函数解析式为2y ax bx c p =++-函数2y ax bx c p =++-对应的一元二次方程为20ax bx c p ++-=，即2ax bx c p ++= 因此，若一元二次方程2ax bx c p ++=的根为整数，则其根只能是11x =，23x =-或10x =，22x =-或121x x ==-对应的p 的值只有三个，则结论④错误 综上，结论正确的是①③ 故答案为：①③．【考点】二次函数的图象与性质（对称性、增减性），二次函数图象的平移问题，二次函数与一元二次方程的联系 16．【答案】211144t t -+ 【解析】设DE EM x ==， ∴()2222x x t =-+，∴244x t =+，设CF y =，连接FM ，∴2BF y =-，又∵FN y =，1NM =， ∴()()2222121y y t +=-+-，∴2244t y t =-+，∴四边形CDEF 的面积为：()221142412244t t t x y CD ⎛⎫+-++ ⎝=+⋅⎪⎭，故答案为：211144t t -+． 【考点】勾股定理的综合运用 三、17．【答案】解：原式()35829+=a a a +÷()8289=a a a +÷ 8210a a =÷ 610a =．【解析】根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可．【考点】整式的乘除中幂的运算法则 18．【答案】EM 平分BEF ∠，FN 平分CFE ∠12MEF BEF ∴∠=∠，12N E CF F E ∠=∠EM //FNMEF NFE ∠=∠∴1122BEF CFE ∴∠=∠，即BEF CFE ∠=∠ //AB CD ∴．【解析】先根据角平分线的定义可得11,22MEF BEF N CF FE E ∠=∠∠∠=，再根据平行线的性质可得MEF NFE ∠=∠，从而可得BEF CFE ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证．【考点】平行线的判定与性质，角平分线的定义 19．【答案】（1）6018︒（2）A 类居民的人数为60369312---=（名） 补全条形统计图如下所示：（3）表示“支持”的B 类居民的占比为36100%60%60⨯= 则200060%1200⨯=（名）答：该社区表示“支持”的B 类居民大约有1200人．【解析】（1）根据C 类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D 类居民人数的占比，然后乘以360︒即可得；（2）根据（1）的结论，先求出A 类居民的人数，再补全条形统计图即可； （3）先求出表示“支持”的B 类居民的占比，再乘以2000即可得． 【考点】条形统计图和扇形统计图的信息关联，画条形统计图20．【答案】解：（1）如图示，线段CD 是将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到的；（2）BCE ∠为所求的角，点E 为所求的点．（3）连接()5,0和()0,5点，与AC 的交点为F ，且F 为所求．【解析】（1）根据题意，将线段CD 是将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒即可； （2）连接BD ，并连接()4,2，()5,5点，两线段的交点即为所求的点E ． （3）连接()5,0和()0,5点，与AC 的交点为F ，且F 为所求．【考点】作图旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质 21．【答案】（1）如图，连接OD 由圆的切线的性质得：OD DE ⊥AE DE ⊥//OD AE ∴ DAE ADO ∴∠=∠又OA OD =DAO ADO ∴∠=∠ DAE DAO ∴∠=∠则AD 平分BAE ∠； （2）如图，连接BD由圆周角定理得：90ADB ∠=︒90BDC ∴∠=︒ 90ABC ∠=︒ 90DAO C ∴∠+∠=︒ 90DAE ADE ∠+∠=︒ ADE C ∴∠=∠在ADE △和BCD △中，90E BDC DE CD ADE C ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ADE BCD ASA ∴△≌△AD BC ∴=设AD BC a ==，CD x =，则AC AD CD a x =+=+，且0a ＞，0x ＞在ACB △和BCD △中，90C CABC BDC ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩ACB BCD ∴△∽△AC BC BC CD ∴=，即a x aa x+=解得2a x -=或02a x -=＜（不符题意，舍去）经检验，x是所列分式方程的解AC a ∴=+=则在Rt ABC△中，sin BC BAC AC ∠===故sin BAC∠．【解析】（1）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得OD DE ⊥，再根据平行线的判定与性质可得DAE ADO ∠=∠，然后根据等腰三角形的性质可得DAO ADO ∠=∠，最后根据角平分线的定义即可得证；（2）如图（见解析），先根据角的和差、等量代换可得ADE C ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BC =，设AD BC a ==，CD x =，然后根据相似三角形的判定与性质可得AC BCBC CD=，从而可求出x 的值，最后根据正弦三角函数的定义即可得．【考点】圆周角定理，圆的切线的性质，正弦三角函数，相似三角形的判定与性质 22．【答案】（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即0x =时，0y =则010010400400201000c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1300a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故1a =，30b =；（2）由（1）得：230y x x =+设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W 则()223070100700040x x x x W x ++-+==- 整理得：()2206600W x +=- 由二次函数的性质可知，当20x 时，W 取得最小值，最小值为6600万元此时1001002080x -=-=答：A 城生产20件，B 城生产80件；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为()20n -件，从B 城运往C 地的产品数量为()90n -件，从B 城运往D 地的产品数量为()1020n -+件由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩≥≥，解得1020n ≤≤()()()3209021020P mn n n n =+-+-+-+整理得：()2130P m n =-+根据一次函数的性质分以下两种情况：①当02m ＜≤时，在1020n ≤≤内，P 随n 的增大而减小则20n =时，P 取得最小值，最小值为()2021302090m m -+=+ ②当2m ＞时，在1020n ≤≤内，P 随n 的增大而增大则10n =时，P 取得最小值，最小值为()10213010110m m -+=+答：当02m ＜≤时，A ，B 两城总运费的和的最小值为()2090m +万元；当2m ＞时，A ，B 两城总运费的和的最小值为()10110m +万元．【解析】（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本y 也为0，再利用待定系数法即可求出a 、b 的值；（2）先根据（1）的结论得出y 与x 的函数关系式，从而可得出A ，B 两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，先列出从A 城运往D 地的产品数量、从B 城运往C 地的产品数量、从B 城运往D 地的产品数量，再求出n 的取值范围，然后根据题干运费信息列出P 与n 的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可得．【考点】利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的实际应用 23．【答案】问题背景：∵A ABC DE ∽△△， ∴BAC DAE ∠=∠，AB ACAD AE=， ∴BAD DAC CAE DAC ∠+∠=+∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴ABD ACE △∽△； 尝试应用：连接CE ，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∵90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=， ∴BAC DAE △∽△，∴AB AD AC AE=， ∵BAD DAC CAE DAC ∠+∠=+∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴ABD ACE △∽△，∴BD AD CE AE=， 由于30ADE ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴tan30AE AD ︒==，即BD AD CE AE =，∵AD BD = ∴3AD CE=， ∵90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒， ∴60C E ∠=∠=︒， 又∵AFE DFC ∠=∠， ∴AFE DFC ∽△△， ∴AF EF DF CF =，即AF DFEF CF=， 又∵AFD EFC ∠=∠ ∴ADF ECF ∽△△， ∴3DF ADCF CE ==；拓展创新：AD =如图，在AD 的右侧作DAE BAC ∠=∠，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，∵ADE BAD ABD ∠=∠+∠，ABC ABD CBD ∠=∠+∠，30BAD CBD ∠=∠=︒， ∴ADE ABC ∠=∠， 又∵DAE BAC ∠=∠， ∴BAC DAE △∽△， ∴AB AC BCAD AE DE==， 又∵DAE BAC ∠=∠， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴BAD CAE △∽△，∴=BD AB AD CE AC AE === 设CD x =，在直角三角形BCD 中，由于30CBD ∠=︒，∴BD =，2BC x =， ∴3CE x =，∴DE x ，∵AB BCAD DE =， ∴4AD =， ∴AD =【解析】问题背景：通过A ABC DE ∽△△得到AB ACAD AE =，AB ACAD AE=，再找到相等的数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）角，从而可证ABD ACE △∽△；尝试应用：连接CE ，通过BAC DAE △∽△可以证得ABD ACE △∽△，得到BD ADCE AE=，然后去证AFE DFC ∽△△，ADF ECF ∽△△，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD 的右侧作DAE BAC ∠=∠，AE 交BD 延长线于E ，连接CE ，通过BAC DAE △∽△，BAD CAE △∽△，然后利用对应边成比例即可得到答案．【考点】相似三角形24．【答案】解：（1）∵抛物线()2:2C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ， ∴抛物线1C 的解析式为：()226y x =--，即242y x x =--， 抛物线2C 的解析式为：()2226y x =-+-，即26y x =-．（2）如下图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，连接AD ，∵OAB △是等腰直角三角形， ∴ 45BOA ∠=︒，又∵90BDO BAO ∠=∠=︒， ∴点A 、B 、O 、D 四点共圆， ∴45BDA BOA ∠=∠=︒， ∴9045ADC BDA ∠=︒-∠=︒， ∴DAC △是等腰直角三角形，∴DC AC =．∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上， ∴抛物线1C 的对称轴为2x =， 设点A 的坐标为()2,42x x x --， ∴2DC x =-，2 42AC x x =--， ∴22 42x x x -=--，解得：5x =或0x =（舍去）， ∴点A 的坐标为()5,3；同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，()2242x x x -=---，4x =或1x =-（舍去）， ∴点A 的坐标为()4,2-，综上，点A 的坐标为()5,3或()4,2-．（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点， ∴26y kx y x =⎧⎨=-⎩，∴260x kx --=，设点E 的横坐标为E x ，点F 的横坐标为F x ， ∴E F x x k +=，∴中点M 的横坐标22F M E x x x k+==， 中点M 的纵坐标22M y kx k==，∴点M 的坐标为2,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭；同理可得：点N 的坐标为228,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线MN 的解析式为y ax b =+（0a ≠），将2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、228,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得：数学试卷 第25页（共26页） 数学试卷 第26页（共26页）222282k ka b a b k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：242k a k b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴直线MN 的解析式为24·2k ky x -=+（0k ≠）， 不论k 取何值时（0k ≠），当0x =时，2y =， ∴直线MN 经过定点()0,2．【解析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到45BDA BOA ∠=∠=︒，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为()2,42x xx --，把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC AC =列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可． 【考点】二次函数综合应用。
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F E A P B C D 图2武汉中考第24题专项训练研讨一、内容分析：培养数学逻辑推理能力是新课标的要求，第24题便是近年来考查这种能力的一种新题型,它不仅开阔同学们的视野,而且发展了同学们发散思维,创新探索和逻辑推理能力和动手能力，这种题型考查学生逻辑推理的方式主要注意如下几方面:① 图形由特殊到一般;② 图形的位置由特殊到一般；③ 结论由特殊到一般.解决方法主要由“特殊到一般”的思路,结合旋转,全等或相似的相关性质，以及实践操作，观察猜想加以解决. 二、主要知识考点： 1、图形旋转的性质；2、三角形全等或相似；3、实践作图；三、结论类型：1、 角度大小关系；2、 线段大小和位置关系；3、 其它； 四、题型变化 引例：（08届4月调考题）如图所示，ABCD 为正方形。
(1)如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系？证明你的结论；(2)如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 为△FBE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系？证明你的结论；(3)如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点。
完成图3，判断DP 与DF 之间的数量关系（直接写出结论，不证明）。
对照练习：1、如图1，正方形ABCD 中，∠FOE=90°顶点O 于D 点重合，交BC 边于E ，交BA 的延长线于F.(1)求证：OF=OE;(2)若O 点在直线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？试画图直接写出结论。
（ （3）如图4，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°交BC 、CD 边于F 、E 点。
求证OE=OF 。
（ （4）如图5、6，O 点在直线BD 上运动，OD ：OB=1：n ，其它条件不变，（3）中结论是否还成立？若不成立，请直接写出OE ：OF= 。
2、如图，已知△ABC 为⊙O 的内接三角形，I 为△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于E ，交⊙O 于D 。
(1)求证：BD=ID=CD;(2)若点I 为∠ABC 和∠ACB 的外角平分线的交点，其它条件不变，问(1)中的结论是否仍然成立？请画图并直接写出结果（不必证明）。
EA B C D 图3图1E O A B C D 图2 E O A BC D图3 O F E A 图4 O F E D图5 OF E D C 图6FE C B A(P)图2P F E D C B A3、(1)如图1，P 为正方形ABCD 的AD 边上一点，PE ⊥AD 交BD 于E 点，将△PCD 绕C 点逆时针方向旋转90°到△FCB 的位置，连接PF 交BD 于Q 点。
①求证：BQ=EQ; ②探究线段PQ 与线段CQ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)再将△PED 绕D 点顺时针方向旋转45°，将△PDC 绕C 点逆时针方向旋转90°至△FBC 处（如图2），（1）中你探究的结论：线段PQ 与线段CQ 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，写出结论并予以证明；若不成立，请说明理由。
（3）若将△PED 绕D 点顺时针方向旋转α（0°<α<90°）,其它条件不变，试画图并判断线段PQ 与线段CQ 的关系（直接写出结论，不证明）。
4、点P 在正方形ABCD 的边AD 所在的直线上，以BP 为对角线作正方形BEPF ，连结CE 。
(1)如图1，当点P 与点A 重合时，则∠BCE 的度数为 ； (2)如图2，当点P 在正方形ABCD 的边AD 上（不与D 重合）时，∠BCE 的度数为多少？证明你的结论；(3)当点P 在正方形ABCD 的边AD 所在的直线上运动时，请画出图形并求∠BCE 的度数（不必证明）。
5、将正方形ABCD ，正方形BEFG ，如图1摆放，连DF ，则DF/CG= . （1）如图2，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转90°，连DF 、CG 相交于M ，则DF/CG= ，∠DMC= . （2）如图3，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转45°，DF 的延长线交CG 于M ，则DF/CG= ，∠DMC= . （3）如图4，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转β（0°<β<90°），则DF/CG= ，∠DMC= . （4）如图5，将图1中的正方形BEFG 绕B 点顺时针旋转β（0°<β<90°），则DF/CG= ，∠DMC= .从（3）、（4）两题中任选一个给予证明。
基本图形： 分析小结：1、构造三角形全等或相似2、利用基本图形或证明四点共圆进行角度转换。
3、根据题意绘制图形，利用工具度量写出结果。
五、分类研究： 1、角度演变引例1：（07届4月调考题）已知等腰三角形ABC 和ADE 的顶角共顶点，∠BAC=∠DAE 。
线段BD和EC 的垂直平分线相交于点P ，连接PB ，PC ，PD ，PE.（1）B 、A 、E 依次在同一条直线上。
若∠BAC=90°（图1），则∠BPC+∠DPE= ；若∠BAC=60°（图2），则∠BPC+∠DPE= ；（2）B 、A 、E 依次在同一条直线上。
若∠BAC=α°（图3），猜想∠BPC+∠DPE 的值，并写出你的结论； （3）在图1的基础上，若Rt △ABC 绕点A 旋转角度β，图4，试探究∠BPC+∠DPE 的值，并写出你的结论（不必证明）. 图1A CB P 图3A EC B P 图2A DP B C DEB AC P分析小结：如果两相似等腰三角形共顶角顶点，那么由两等腰三角形腰分别组成的三角形全等。
对照练习：1、已知△ABC 中，∠BAC = 45°，以AB 、AC 为边在△ABC 外作等腰△ABD 和△ACE ，AB = AD 、AC = AE ，且∠BAD =∠CAE ，连CD 、BE 并交于F ，连AF ． （1）①如图1，若∠BAD = 60°，则∠AFE = ． ②如图2，若∠BAD = 90°，则∠AFE = ． ③如图3，若∠BAD = 120°，则∠AFE= ．（2）如图4，若∠BAD = α°，猜想∠AFE 的度数，并予以证明． （3）如图5，将图2中的△ABD 绕点A 顺时针旋转β°（45°＜β＜90°），直接写出∠AFE 的度数（不必证明）．2、锐角△ABC 中 ，AB ＞AC ，分别以AB 、AC 为边向外作△ABD 和△ACE ，且△ABD ∽△AEC 连DE.P 、Q 、M 、N 分别为BC 、CE 、DE 、BD 的中点. ①如图1，若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，则∠QMN= ，四边形MNPQ 的形状是 ；②如图2，若△ABD 和△AEC 均为等腰直角三角形，则∠QMN= ，四边形MNPQ 的形状是 ；③如图3，若∠BAD=∠CAE=90°，试探究四边形MNPQ 的形状，并予以证明.引例2：（07届中考题) 点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。
(1)如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；(2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
分析小结：如果两相似等腰三角形共底角顶点，那么由两等腰三角形的底和腰分别组成的三角形相似。
对照练习：1、如图1，已知CA=CB ，FE=FB, ∠ACB=∠EFB=α，M 、N 、G 分别为AC 、CE 、EF 的中点，则∠MNG= .(1)如图2，当α=90°时，将△EFB 绕B 点顺时针旋转45°，则∠MNG= .如图3，当α=60°时，将△EFB 绕B 点逆时针旋转60°，则∠MNG= .（2将图1中的△EFB 绕B 点旋转一个锐角β得图4，则∠MNG= .（3将图1中的△EFB 绕B 点旋转一个钝角β得图5，则∠MNG= .选择图4或图5中的一个给予证明。
（4）在图5中，MN/NG= （用含α 的式子表示），不必证明。
B CD E P M N Q A B C D E P MN Q A AQ N M PED C B 图1 图2图3 A A A D D D F FF 图① 图② 图③A AB B CDD E E FF 图④ 图⑤2、已知：两个三角形△ABC和△ADE，顶点A重合，当两个三角形△ABC和△ADE绕着顶点A旋转任意角度时，连接BE、DC，分别取BE、ED、DC、CB的中点得到一个四边形PQMN；（1）、如图：（图1），若两三角形△ABC和△ADE都是等边三角形，则四边形PQMN的形状是，∠NPQ=（2）、如图：（图2），若两三角形△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，则四边形PQMN的形状是，（3）、如图：（图3），若两三角形△ABC和△ADE是两个全等的直角三角形，且AB=AD、AC=AE，则四边形PQMN的形状是特殊平行四边形；如（图4）若两三角形△ABC和△ADE是两个相似的三角形，且∠ABC=∠ADE、∠ACB=∠AED，则四边形PQMN的形状是特殊四边形；请选择其中一种情况证明你的猜想。
二、线段问题引例1：△ACD中，点P是CD的中点，分别以AC、AD为边在△ACD外作直角三角形ABC和ADE，∠ABC=∠AED=90°，锐角∠BAC=∠DAE，连PB、PE。
（1）如图1，分别取AC、AD的中点M、N，连PM、PN、BM|、EN，若∠BAC=30°，则PB和PE的数量关系为，∠BPE= ,如图2，若∠BAC=45°，则∠BPE= 。
（2）如图3，若∠BAC=α°，猜想∠BPE的度数，并证明你的结论。
（3）如图4，若将图1中的“直角三角形ABC和ADE”换为“等边三角形ABC和ADE”，其余条件不变，要使∠BPE=90°，则△ACD应满足什么条件？请写出来（不必证明）。